رياضيات الخسائر: عدم تماثل التعافي واحتمال الإفلاس

بعد تراجع بنسبة 10%، تتطلب العودة إلى القمة السابقة عائدًا بنسبة 11.1%؛ وبعد 50% تتطلب 100%، وبعد 90% تتطلب 900%. تتبع هذه القيم متطابقة حسابية واحدة ولا تحتاج إلى بيانات سوقية. أما احتمال الإفلاس فله وضع مختلف: إنه ناتج نموذج يقوم على توزيع محدد ومعلمات مقدّرة من عينة. يشتق هذا الدرس جدول التعافي، ويفحص افتراضات صيغة الإفلاس، ويقارن مسارات رأس المال وفق قواعد مختلفة لتحديد حجم المركز. ثم يأخذ في الحسبان التكاليف وترتيب النتائج وعدم يقين التقدير. وبذلك يمكن إرفاق كل رقم بأساس حسابه والشروط التي تتيح استخدامه.

تدخل ثلاث معلمات في كل حساب يأتي لاحقًا. لا تشتق هذه المقالة أيًا منها؛ فهذه مهمة المقالة 9.6. هنا تدخل فقط بوصفها أرقامًا تزودها أنت.

• نسبة الصفقات الرابحة (p): تدخل في صيغة الفقرة 3 والمحاكاة؛ والقيمة التوضيحية المستخدمة أدناه هي 55%.
• نسبة العائد إلى المخاطرة (RR): تحدد حجم الربح بالنسبة إلى الخسارة في التوزيع الذي تسحب منه المحاكاة؛ وتبلغ توضيحيًا 1:1.5، لكنها تساوي عمدًا 1:1 في الفقرتين 3 و11، لأن هذه النسبة وحدها تحقق شروط صيغة إفلاس المقامر.
• القيمة المتوقعة: المتوسط الذي ينتج عن توزيع العوائد المحدد؛ ولا يحدد احتمال الإفلاس بمفرده. وتبلغ توضيحيًا +0.54 R قبل التكاليف و+0.35 R بعد تكاليف التنفيذ (الفقرة 8).

1. الاشتقاق وجدول التعافي الكامل — من −5% إلى −90%

رأس المال بعد تراجع بمقدار الكسر DD المقاس من القمة يساوي K × (1 − DD). وللعودة إلى K يجب أن يزيد هذا المبلغ المنخفض بمقدار الفرق المفقود K × DD، ويُحسب العائد من المتبقي بعد الخسارة:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K تُختزل وتختفي، لذا لا تعتمد النتيجة على حجم الحساب ولا الأداة ولا مجموعة القواعد. هذه متطابقة حسابية: صحيحة بالتعريف، من دون أي بيانات. ولا شيء آخر في هذه المقالة له هذا الوضع؛ فاحتمال الإفلاس والمحاكاة ناتجان عن نماذج.

بالتعويض عن −50%: Z = 0.50 / 0.50 = 1.00، أي +100%. ولـ −20%: Z = 0.20 / 0.80 = 0.25، أي +25%. تقدم المقالة 9.1 جدولًا مختصرًا؛ أما النسخة الكاملة أدناه فتضم عمودين يوضحان عدد الصفقات اللازمة لتحقيق هذا العائد عند قيمة متوقعة محددة. يستخدم كل عمود من الأعمدة العددية الثلاثة أساسًا مختلفًا؛ فلا تخلط بينها.

للأعمدة الثلاثة أسس مختلفة؛ وتوضيحها هو السبيل الوحيد لمنع الجدول من تضليل القارئ. يُقاس التراجع من قمة مسار رأس المال. ويُحسب عائد التعافي من القاع — أي رأس المال بعد الخسارة — ولهذا يتطلب −50% عائدًا +100% بدلًا من +50%. يفترض عمودا عدد الصفقات قيمة متوقعة +0.4% لكل صفقة، لكنهما يستخدمان أساسين مختلفين.
A) مبلغ مخاطرة ثابت: تضيف كل صفقة متوسطًا +0.4% من رأس المال الابتدائي (مبلغًا ثابتًا 40 PLN عند بداية 10,000 PLN)، بصرف النظر عن قيمة الحساب الحالية. الصيغة: N = DD / 0.004. تتضمن هذه القيمة المتوسطة الخسائر بالفعل: فالمجموع المتوقع لعدد N من النتائج يساوي N × 0.004 × K0 ويعادل المبلغ المفقود DD × K0 تمامًا عندما N = DD / 0.004، بصرف النظر عن عدد الصفقات الخاسرة في التسلسل. يستخدم هذا خطية المجموع المتوقع؛ ولا يشترط أن تحقق كل صفقة المتوسط نفسه بالضبط. N يحدد متى يساوي المجموع المتوسط المبلغ المفقود. وليس متوسط زمن أول تعافٍ ولا وسيطه؛ فهذا يحتاج إلى نموذج منفصل لبلوغ الحاجز. إنها كمية قبل التكاليف: تُهمل تكاليف الصفقات. إذا خفضت تكلفة غير سالبة المتوسط نفسه مع إبقائه موجبًا، يتأخر تساوي المجموع المتوسط. ولا يعني ذلك أنه تقدير منخفض للزمن العشوائي لأول تعافٍ.
B) نسبة ثابتة من رأس المال: القيمة المتوقعة نفسها، لكنها محسوبة من حقوق الحساب الحالية، وهي أقل بعد التراجع. الصيغة: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1.004). أطول من العمود A لأن كل ربح يستخدم أساسًا أصغر.
يعطي العمودان عددًا من الصفقات. ويتطلب تحويله إلى زمن معرفة وتيرة تداولك؛ انظر المثال أدناه.

التحويل إلى زمن للعمود B عند وتيرتين. يستخدم الجدول قيمًا توضيحية ويفترض استمرار متوسط +0.4% لكل صفقة طوال فترة التعافي، وهو أمر لا يضمنه شيء. يحتفظ عمود الصفقات بالقيمة الدقيقة من صيغة العمود B قبل التقريب، لذلك تُعاد حسابات الأشهر مباشرة: 26.4 / 5 ≈ 5.3, 89.3 / 20 ≈ 4.5.

الدالة Z = DD/(1 − DD) متزايدة ومحدبة على مجالها كله من 0 إلى 1؛ ولا توجد فيها عتبة «يتغير عندها شيء». الزيادة مستمرة: بين −5% و−20% يرتفع العائد اللازم من +5.3% إلى +25%، وبين −20% و−50% من +25% إلى +100%، وفوق −50% من +100% إلى +900%. وأي عتبة لتقليص التداول أو إيقافه هي قرار مكتوب مسبقًا؛ ولا تقترح الصيغة عتبة. وتوضح المقالة 9.8 مصدر هذه العتبة وكيفية كتابة شرط الاستئناف.

إحدى النتائج تتجاوز زمن التعافي وحده: يقلل التراجع رأس المال الحالي، ورأس المال الحالي هو بالضبط الكمية التي تُقارن بعتبة الإغلاق القسري، المحسوبة عبر جميع المراكز المفتوحة في الحساب. تعود تعريفات هذه الكميات وآلياتها إلى القسم 2، وأثر الفجوة على سعر التنفيذ إلى المقالة 9.10.

الإيداع لا يعوّض خسارة التداول

مثال توضيحي: يهبط الحساب من 10,000 PLN إلى 8,000، ثم يودع صاحبه 2,000 PLN. يعود الرصيد إلى 10,000 PLN، لكن عائد التداول يظل −20%. وبالمثل، ليس السحب بعد الربح تراجعًا ناتجًا عن التداول. قبل استخدام DD/(1−DD)، حدد هل تقيس أداء الاستثمار دون التدفقات النقدية الخارجية أم مجرد المبلغ المتاح في الحساب. يهم الثاني القدرة على مواصلة التداول، بينما يهم الأول تعافي الأداء.

2. التعافي عند نسبة ثابتة من رأس المال

عند نسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية (1% لكل صفقة)، ينخفض مبلغ المخاطرة مع الحساب. الأساس هو حقوق الحساب الحالية المقاسة قبل فتح المركز. 1% من 10,000 PLN تساوي 100 PLN؛ وبعد الخسائر تصبح 1% من 8,500 PLN مساوية لـ85 PLN. تعطي القاعدة نفسها مبالغ مختلفة لأن أساسها تغير.

يعمل ذلك في الاتجاهين. تأخذ الخسارة التالية عددًا أقل من PLN، لكن الربح التالي يحقق عددًا أقل أيضًا لأن كليهما يستخدم الأساس المنخفض. قيم توضيحية، حساب بعملة PLN، وقيمة متوقعة +0.4 R لكل صفقة:

التناسب هنا دقيق وينتج مباشرة عن التعريف: ينكمش مبلغ الربح بالمعدل نفسه الذي ينكمش به رأس المال. لهذا يعطي العمود B في جدول الفقرة 1 أعدادًا أكبر من العمود A: عند تراجع −50% يلزم 174 صفقة بدلًا من 125، أي أكثر بنسبة 39%. يحسب العمودان النسبة نفسها من أساس مختلف، وهذا هو مصدر الفرق كله.

ليست أي من القاعدتين أفضل من الأخرى؛ فهما تجيبان عن سؤالين مختلفين ولهما آثار مختلفة على حجم المركز، وهو ما تتناوله المقالة 9.5. يغير اختيار الأساس عدد الصفقات اللازمة للتعافي، لذا فإن ذكر «كم يجب تعويضه» من دون تسمية الأساس غير مكتمل.

3. احتمال الإفلاس — الصيغة وافتراضاتها والجدول المعاد حسابه

احتمال الإفلاس هو احتمال بلوغ رأس المال عتبة دنيا محددة. ويعني الإفلاس في هذه الفقرة كلها الهبوط إلى 50% من رأس المال الابتدائي أو أقل. لا يوجد هدف علوي يجب بلوغ العتبة قبله؛ إذ يسمح النموذج بالتداول إلى أجل غير مسمى. يغير تبديل العتبة أو الأفق السؤال والنتيجة.

نسخة النموذج والصيغة

الحساب أدناه هو النموذج الكلاسيكي لإفلاس المقامر^[1] بنسخته ذات النتيجتين: تنتهي كل صفقة بربح أو خسارة بالحجم نفسه (نسبة عائد إلى مخاطرة 1:1)، ويكون المبلغ النقدي المعرّض للمخاطرة ثابتًا، وتكون نسبة الصفقات الرابحة p ثابتة، والنتائج المتعاقبة مستقلة، والأفق غير محدود.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — نسبة الصفقات الرابحة على هيئة كسر؛ edge = 2p − 1 (نسبة ربح 55% تعطي أفضلية 0.10). صيغتا المعادلة متطابقتان: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — عدد وحدات المخاطرة التي تفصل رأس المال الحالي عن عتبة الإفلاس. عند البداية، مع مخاطرة 2% من رأس المال الابتدائي وعتبة −50%: N = 50% / 2% = 25. بعد التراجع تُقاس المسافة من حالة الحساب الحالية؛ ويوجد مثال في التمرين (الفقرة 11).
• النتيجة بلا أبعاد: لا تعتمد على عملة الحساب ولا على حجم رأس المال، لأن جميع معلومات رأس المال موجودة داخل N.

يتطلب النموذج مبلغ مخاطرة نقديًا ثابتًا. عند نسبة ثابتة من رأس المال الحالي، ينكمش المبلغ مع الحساب، لذلك لا توجد قيمة N من هذه الصيغة تصف ذلك المسار، وتلزم المحاكاة بدلًا منها (الفقرة 6).

أي عتبة يستطيع رأس المال بلوغها فعلًا؟

تنطبق الصيغة أدناه عند p > 0.5؛ أما عند p ≤ 0.5 فاحتمال الإفلاس على الأفق غير المحدود يساوي 1، حتى عند متوسط صفري. إذا لم تكن المسافة الحالية إلى العتبة مضاعفًا صحيحًا للمبلغ الثابت R، فاستخدم N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉، مع التقريب إلى الأعلى. يتحرك رأس المال على شبكة بفواصل R، ولا يتوقف بين نقاطها. ينطبق ذلك على نموذج ±R وشرط «العتبة أو أقل»؛ وللعوائد المتغيرة أعد بناء شبكتها أو حاكِ المسار.^[1]

مثال توضيحي: K = 10,000 PLN، والعتبة 9,050 PLN، وR = 300 PLN. تعطي مسافة 950 PLN القيمة N = 4 وحالة دنيا يمكن بلوغها مقدارها 8,800 PLN. أما التقريب إلى N = 3 فيحسب الإفلاس عند عتبة مختلفة: 9,100 PLN، وهي لا تزال أعلى من الحاجز المحدد.

الجدول — يمكن إعادة حساب كل خلية من الصيغة أعلاه

كيف تعيد حساب أي خلية. نسبة الصفقات الرابحة 52%، والمخاطرة 2%: (1 − 0.52)/0.52 = 0.923077; N = 50%/2% = 25; 0.92307725 = 0.13519، أي 13.52%. نسبة الصفقات الرابحة 58%، والمخاطرة 10%: 0.42/0.58 = 0.724138; N = 5; 0.7241385 = 0.19912، أي 19.91%. الافتراضات التي يصح وفقها هذا الجدول: تعريف الإفلاس بالهبوط إلى 50% من رأس المال الابتدائي؛ ونسبة عائد إلى مخاطرة 1:1؛ ومبلغ نقدي ثابت للمخاطرة؛ ونسبة ربح ثابتة؛ ونتائج مستقلة؛ وتكلفة تنفيذ صفرية؛ وأفق غير محدود.

أربع قراءات للجدول، لا تمثل أي منها توصية بمفردها:

• عند نسبة ربح 55% ومخاطرة 1%، يبلغ احتمال الإفلاس النموذجي 0.0044%. يبدو ذلك آمنًا على الورق، لكن فقط لأن النموذج يفترض نسبة 1:1 ونسبة ربح ثابتة وغياب التكاليف واستقلال الصفقات. هذه افتراضات نموذجية، لا خصائص مثبتة لكل سلسلة فعلية. وتؤدي تكلفة إضافية غير سالبة إلى تدهور النتيجة على المسار نفسه، وقد يزيد التكتل الفعلي للخسائر المخاطرة؛ أما خطأ تقدير نسبة الربح ونسبة غير 1:1 فقد يحركانها في أي من الاتجاهين، لذا يجب فحص الاتجاه بصورة منفصلة كل مرة.
• نسبة الربح نفسها، 55%، عند مخاطرة 5% تعطي 13.44%. تؤدي زيادة المخاطرة لكل صفقة خمسة أضعاف إلى رفع احتمال الإفلاس النموذجي أكثر من ثلاثة آلاف مرة، لأن N يقع في الأس.
• نسبة ربح 52% عند مخاطرة 2% تعطي 13.52%. يمكن أن تجتمع قيمة متوقعة موجبة واحتمال إفلاس يقارب واحدًا من كل سبعة؛ فهما كميتان مختلفتان تُحسبان من المعلمات نفسها.
• تسير العلاقة في الاتجاه الصحيح من الجانبين: يزيد احتمال الإفلاس مع مخاطرة الصفقة، ويقل مع ارتفاع نسبة الربح. وأي خلية تعكس ذلك تمثل خطأ في الجدول أو الصيغة.

الحساب لمستويين من المخاطرة مع ثبات سائر المعلمات

معلمات مشتركة، وقيم توضيحية: نسبة ربح 55%، ونسبة عائد إلى مخاطرة 1:1، وعتبة إفلاس −50% من رأس المال الابتدائي، والمخاطرة محسوبة كنسبة من رأس المال الابتدائي ومثبتة في مبلغ نقدي.

• مخاطرة 1% لكل صفقة. N = 50/1 = 50. (0.45/0.55)50 = 0.818181850. باستخدام اللوغاريتمات: 50 × ln(0.818182) = −10.0335، وبالتالي Pruin = e−10.0335 = 0.0000439 → 0.0044%.
• مخاطرة 2% لكل صفقة. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0.818182) = −5.0168، وبالتالي Pruin = e−5.0168 = 0.006626 → 0.66%.
• الفرق: تزيد مضاعفة المخاطرة لكل صفقة احتمال الإفلاس النموذجي 151 ضعفًا، مع ثبات نسبة الربح ونسبة العائد إلى المخاطرة. ولا تتغير القيمة المتوقعة بوحدات R إطلاقًا.

نطاق الحساب. تتطلب هذه الصيغة عوائد ±R ومبلغ مخاطرة ثابتًا. عند نسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية ومضاعفات موجبة، لا يستطيع الحساب بلوغ الصفر في عدد محدود من الخطوات، لكنه قد يتجاوز عتبة إفلاس موجبة. وثبات نسبة الربح والاستقلال افتراضان، لا وصفان للسوق. ولا يمكن لتكلفة غير سالبة تُخصم على المسارات نفسها وبقيمة R نفسها أن تحسّن رأس المال. يقيّد الأفق المحدود أوقات الإفلاس الممكنة، لذا لا يمكن أن يتجاوز احتماله احتمال الأفق غير المحدود. لكن الاعتماد وخطأ نسبة الربح وتغير العوائد قد تؤثر في أي من الاتجاهين؛ ولا تحدد الصيغة وحدها الاتجاه.

فحص الصيغة من دون سحب عشوائي. يحقق الحل العلاقة التكرارية h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1)، وشرط الحد h(0)=1 والنهاية h(i)→0 عندما p>0.5: فالتعويض بـ h(i)=((1−p)/p)^i يجعل الطرف الأيمن مساويًا للأيسر تمامًا. عند p≤0.5، يساوي حل الاحتمال على الأفق غير المحدود 1. يعطي الجدول احتمالات هذا النموذج.

4. احتمال الإفلاس عند نسبة تختلف عن 1:1

تصف صيغة الفقرة 3 رهانًا يتساوى فيه حجما الربح والخسارة. ولا تحقق مجموعة قواعد بنسبة ربح 38% ونسبة 1:3 هذا الشرط؛ فإدخال نسبة ربحها في صيغة 1:1 يعطي أفضلية 2 × 0.38 − 1 = −0.24 واستنتاج «الإفلاس المؤكد»، بينما تبلغ القيمة المتوقعة لهذه المجموعة 0.38 × 3 − 0.62 = +0.52 R. ليست الصيغة خاطئة؛ بل طُبقت خارج النطاق الذي يكون لها فيه معنى.

عوائد غير متساوية: احسب احتمال الانتقال

لا يحل كسر كيلي محل الأفضلية في صيغة الإفلاس. فهو يحسّن كمية أخرى، لذا لا يبرر تشابه الرموز هذا الاستبدال. مع مبلغ مخاطرة ثابت وعوائد +aR و−bR، يمكن بناء علاقة تكرارية دقيقة. ولتدل الدالة H_t(x) على احتمال تجاوز العتبة الدنيا خلال عدد أقصاه t من الخطوات التالية، انطلاقًا من مسافة x فوقها. عندئذ H_0(x)=0 عندما x>0، و H_t(x)=1 عندما x≤0، ولـ x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

ينتج ذلك عن تقسيم الصفقة الأولى إلى ربح وخسارة، كما في النموذج الكلاسيكي في الفقرة 3.^[1] يجب تحديد قيمة t. عند عوائد كسرية نسبية على شبكة مشتركة، يعطي عدد محدود من الخطوات عددًا محدودًا من الحالات، فلا حاجة إلى صيغة تخمينية أو قطع علوي لرأس المال. ويمكن خصم تكلفة ثابتة من العائدين بالطريقة نفسها.

افحص الحساسية للأخطاء المشتركة في المعلمات باستخدام العتبة والأفق وقاعدة مبلغ المخاطرة نفسها. فتدهور زوج توضيحي من p=55% وRR=1.5 إلى p=52% وRR=1.2 يتطلب حسابين منفصلين لـ H. ولمعيار كيلي وحساسية كسره حساب مستقل في 9.5؛ وهما لا يقرّبان احتمال الإفلاس.

تعطي المحاكاة إجابة أكثر موثوقية. يأتي الجدول التالي من محاكاة أُجريت لهذه المقالة: 40,000 مسار بحد أقصى 500 صفقة، ومولد NumPy PCG64 ببذرة 20261005، وعوائد ذات نتيجتين مع نسبة ربح ونسبة عوائد محددتين، ونسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية، وتعريف الإفلاس بالهبوط إلى 50% من رأس المال الابتدائي (حيث يتوقف المسار)، وتكاليف تنفيذ صفرية. جميع القيم توضيحية. تُعطى المعلمتان p و RR كمدخلات؛ ولا تصف أي منهما السوق.

محاكاتنا: 40,000 مسار بحد أقصى 500 صفقة، ونسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية، وعتبة إفلاس −50% من رأس المال الابتدائي، وتكاليف تنفيذ مهملة، ونتائج مستقلة وتوزيع من نقطتين (ربح +RR، وخسارة −1 R). ينتهي المسار عند أول هبوط إلى عتبة الإفلاس أو بعد 500 صفقة؛ وتشمل مئينات التراجع الأقصى المسارات المتوقفة. المئين 95 للتراجع الأقصى ليس أسوأ حالة — فالكمّي نفسه لا يحد عمق نحو 5% من المسارات المتبقية. وتنتج حدود النموذج المحدد بصورة منفصلة عن عوائده وأفقه وقاعدة إيقافه. القيمة المتوقعة في العمود الثاني قبل التكاليف؛ وتقدم الفقرة 8 النسخة بعد تكاليف التنفيذ. وعند توزيع مختلف عن توزيع النقطتين، تعطي قيمتا p و RR نفسهما تراجعات مختلفة.

يفصل الجدول سؤالين. يعني الإفلاس الهبوط دون نصف رأس المال الابتدائي، بينما يستخدم التراجع الأقصى أعلى رأس مال سابق. لذلك قد يتجاوز التراجع من قمة جديدة 50% من دون بلوغ عتبة الإفلاس. ينطبق عدد الإفلاسات الصغير عند 1% و2% فقط على هذه التوزيعات الأربعة و500 خطوة. ولا يثبت أن الحدث مستحيل البلوغ. عند 5% يتغير كل من توزيع التراجع وعدد مرات عبور الحاجز بوضوح؛ ولا يرتّب المتوسط الأعلى وحده هذه النتائج.

عدم رصد أي إفلاس في المحاكاة يظل مصحوبًا بعدم اليقين

إذا لم تتضمن M من المسارات المستقلة أي إفلاس، فسجّل 0/M. يتبع الحد الأعلى الأحادي الجانب عند ثقة 95% للاحتمال في هذا النموذج الثابت (1−u)^M=0.05: u=1−0.05^(1/M). عند M=40,000، يبلغ تقريبًا 0.00749%؛ وعند 30,000، 0.00999%. يصف هذا الحد خطأ سحب عينات المحاكاة. ولا يشمل نسبة ربح غير صحيحة أو خسائر متطرفة مفقودة أو نموذج اعتماد غير مناسب.

احتمال مصادفة k خسائر متتالية في N من الصفقات سؤال منفصل، وإجابته تختلف عن (1 − p)k؛ ويوجد حسابه لنسبة ربح وطول تسلسل محددين في المقالة 9.1، الفقرة 4؛ أما المقالة 9.3 فتستخدم طول سلسلة مفترضًا كمدخل عند اشتقاق حد المخاطرة.

5. ترتيب النتائج — المجموعة نفسها، وتشغيلان

القسم 8 يترك وعدًا نفي به هنا: يهم ترتيب النتائج للمسار، مع أنه لا يهم نقطة النهاية. يمكن التحقق من هذه العبارة حسابيًا باستخدام عشرة أرقام.

للمسارين نتائج متطابقة — أربعة أرباح (+2 R، +2 R، +1.5 R، +1.5 R) وست خسائر بقيمة −1 R، بإجمالي +1 R على عشر صفقات ومتوسط +0.10 R. قاعدة الحجم: نسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية، 1% لكل صفقة. رأس المال الابتدائي 100 وحدة؛ والنتيجة بلا أبعاد، لذا لا يهم عدد الوحدات. الحد المحدد مسبقًا: تراجع −5% من القمة.

يُقاس التراجع من قمة مسار حقوق الحساب بعد كل صفقة. رأس المال بعد الصفقة: K × (1 + 0.01 × R). التقريب في الجدول إلى ثلاث منازل عشرية؛ أما الحساب نفسه فيُجرى دون تقريب وسيط.

نقطة النهاية متطابقة حتى المنزلة العشرية: 100.912 في التشغيلين، أي +0.912%. ولهذا التطابق سبب حسابي بحت. رأس المال النهائي عند نسبة ثابتة هو حاصل الضرب K0 × Π(1 + 0.01 × Ri)، والضرب عملية تبديلية؛ أي إن ترتيب العوامل لا يغير حاصل الضرب. ويصح الأمر نفسه عند مبلغ مخاطرة نقدي ثابت، ولكن بفضل تبديلية الجمع.

أما كل ما عدا ذلك فيختلف. يبلغ التراجع الأقصى 3.94% في التشغيل A و5.85% في التشغيل B، أي أكثر بمقدار النصف على النتائج العشر نفسها. يُتجاوز حد −5% في التشغيل B عند الصفقة السادسة، ولا يُتجاوز مرة واحدة في التشغيل A. إذا كان الحد يوقف التداول، فإن تشغيلًا على مجموعة النتائج نفسها ينتهي عند الصفقة العاشرة بعائد +0.912%، بينما يُقطع الآخر عند السادسة بعائد −5.85%؛ ولا تتحقق الأرباح الأربعة الموجودة في المجموعة مطلقًا.

للخلاصة العملية مستويان. لا يصف المتوسط الحسابي للعينة ترتيب النتائج. هنا يعطي ترتيبان للمجموعة نفسها رأس مال نهائيًا متطابقًا، لكن قد يعطيان تراجعين مختلفين تمامًا. ولذلك فإن التراجع المقاس على تسلسل تاريخي واحد هو تحقق واحد من عائلة مسارات ممكنة؛ وتتيح عشوائية الترتيب استكشاف تلك العائلة، وهي موضوع الفقرة التالية.

6. محاكاة توزيع النتائج — ما الذي يُسحب وما الذي لا تقوله النتيجة

يعرض الاختبار التاريخي تسلسلًا واحدًا: التسلسل الذي حدث. تبني محاكاة مونت كارلو توزيعًا لمسارات ممكنة من المادة نفسها؛ ويجب فصل عمليتين توصفان غالبًا بكلمة واحدة. التبديل يعيد ترتيب النتائج نفسها تمامًا: يبقى التكوين والقيمة النهائية دون تغيير، ويتغير المسار وحده. إنه اختبار خالص لمخاطر التسلسل، أُجري يدويًا في الفقرة 5. السحب مع الإرجاع يعامل العينة كتوزيع تُسحب منه قوائم جديدة: تُحذف بعض المشاهدات وتتكرر أخرى، فيتغير أيضًا تكوين كل مسار وقيمته النهائية. تستخدم الفقرة 7 السحب مع الإرجاع.

ما الذي يُسحب: نتيجة صفقة واحدة بوحدات R، من توزيع تجريبي مبني على سجلاتك (مع الإرجاع)، أو توزيع من نقطتين تحدده نسبة الربح ونسبة العائد إلى المخاطرة. افتراض الاستقلال: كل سحب مستقل عن السابق؛ افحص ذلك بصورة منفصلة على سلسلة نتائج قاعدة محددة. عدد التكرارات: تعطي التكرارات الأكثر مئينات أكثر استقرارًا؛ تستخدم هذه المقالة 40,000 في الفقرة 4 و30,000 في الفقرة 8، ويُذكر العدد دائمًا بجانب النتائج. يعرض الرسم التالي ثلاث كمّيات عند كل نقطة زمنية من تقريب لوغاريتمي طبيعي محدد صراحة، لا ثمانية مسارات مسحوبة عشوائيًا.

تُقرأ أربع كميات من التوزيع:

• وسيط التراجع الأقصى: التراجع الذي يقع نصف التشغيلات فوقه. ليس توقعًا ولا حدًا.
• المئين 95 للتراجع الأقصى. ليس هذا أسوأ سيناريو. تبلغ تراجعات نحو 5% من مسارات النموذج أعماقًا أكبر. لا يحد الكمّي نفسه المسارات المتبقية؛ وحدود النموذج المحدد مسألة منفصلة. تتناول المقالة 9.10 أحداث الفجوات السعرية.
• احتمال الإفلاس: حصة التشغيلات التي هبط فيها رأس المال إلى عتبة معينة. هذه كمية تعتمد على العتبة؛ ومن دون ذكر العتبة لا معنى لها.
• تشتت النتيجة النهائية، أي الفترة التي تحتوي حصة معينة من التشغيلات عند ثبات المعلمات. ولا تجيب عن سؤال مقدار الربح الذي سيتحقق.

في مجموع نتائج مستقلة ذات تباين ثابت ومحدود، يزداد الانحراف المعياري مع الجذر التربيعي لعدد الصفقات، بينما يزداد المجموع المتوقع خطيًا. ليست هذه قاعدة شاملة لكل نطاق توزيع أو لرأس المال عند مخاطرة بنسبة ثابتة. لا يمكن لتمديد المسار نفسه أن يخفض تراجعه الأقصى المسجّل، لكن ليس من الضروري أن يعمّقه. معرفة المعلمات مسألة منفصلة: فالعينة المستقلة الأطول تقلل خطأ تقدير المتوسط بنسبة 1/√n (الفقرة 9)، ولا يتعارض الاتجاهان لأنهما يجيبان عن سؤالين مختلفين.

يجب هنا الفصل بين رقمين يسهل الخلط بينهما لأن كليهما «عدد صفقات». طول تشغيل واحد في المحاكاة هو اختيار للأفق: تعني 500 صفقة سؤال «ماذا يمكن أن يحدث خلال 500 صفقة؟». حجم عينتك الخاصة هو عدد الصفقات التي يُبنى منها توزيع الإدخال، وهذا وحده يحدد مدى دقة معرفتك بالمعلمات. سحب 500 نتيجة من مجموعة مئة لا يخلق معلومات جديدة؛ يبقى فاصل الثقة للقيمة المتوقعة كما تمليه مئة مشاهدة (الفقرة 9).

متوسطان لا يعيدان بناء التباين

إذا كانت p تكرار الأرباح، ومتوسطا المجموعتين W و−L، وتبايناهما v_w وv_l، فإن Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². لا يحتفظ توزيع النقطتين إلا بالحد الأخير. عند p=0.5 وW=L=1 R، يبلغ تباينه 1 R². إذا كان نصف الأرباح +0.2 R ونصفها +1.8 R، مع خسائر سالبة مماثلة، يبقى متوسطا المجموعتين ±1 R لكن يصبح التباين 1.64 R². التباين أكبر، لكن ذلك لا يزال لا يعني وجوب زيادة كل كمّي للتراجع أو احتمال إفلاس كل حاجز.

7. المحاكاة خطوة بخطوة

لا تحتاج المحاكاة إلى أكثر من قائمة نتائجك بوحدات R وأداة تستطيع السحب عشوائيًا. يكفي جدول بيانات لبضع مئات من التشغيلات؛ وبعد ذلك يصبح سكربت قصير أكثر ملاءمة.

أ) المدخلات

لا تتجاوز جودة المحاكاة جودة قائمة إدخالها. تحتاج كل صفقة مغلقة إلى نتيجة واحدة بوحدات R، محسوبة بعد التكاليف: R = (النتيجة بعملة الحساب بعد العمولة ونقاط المبادلة والانزلاق) / (مبلغ المخاطرة المخطط عند الدخول). المقام هو المخاطرة المخططة لا المتحققة، لذا تكون الخسارة المصحوبة بانزلاق أسوأ من −1.00 R وتظهر في التوزيع. والنتيجة الموجبة ربح صافٍ بالوحدات نفسها.

ب) الإجراء

1. أنشئ قائمة نتائج بوحدات R من سجلاتك الخاصة، نتيجة واحدة لكل صفقة مغلقة.
2. اسحب مع الإرجاع. حدد طول التشغيل الواحد مساويًا للأفق الذي تسأل عنه. إذا كنت تسأل عن توزيع التراجعات على العينة الموجودة بالفعل، فليكن طوله هو حجم عينتك الخاصة؛ فلا يضيق فاصل الثقة للمعلمات لمجرد زيادة السحب.
3. أعد حساب رأس المال بعد كل صفقة مسحوبة وفق قاعدة حجم المركز الخاصة بك: عند نسبة ثابتة K ← K × (1 + r × R)، وعند مبلغ نقدي ثابت K ← K + المبلغ × R.
4. كرّر بقدر كافٍ حتى تتوقف المئينات عن التغير بين التشغيلات، عادة من بضعة آلاف إلى بضعة عشرات الآلاف من التشغيلات.
5. اقرأ الوسيط والمئين 95 للتراجع الأقصى، وحصة التشغيلات دون عتبة الإفلاس وتشتت النتيجة النهائية. دوّن جميع الافتراضات بجانبها؛ فبعد شهر لن يتيح لك إعادة بناء مصدر الأرقام سواها.

ج) ما الذي يقوله كل رقم بدقة

يتعمد هذا الجدول عدم وضع عتبة قبول. «احتمال إفلاس أقل من 1%» اختيار لا نتيجة، ويعتمد الاختيار على نسبة رأس المال التي تستطيع إخراجها من الاستخدام والمدة التي يمكنك تحملها. وكتابة هذه العتبة مع شرط الإيقاف والاستئناف من موضوع المقالة 9.8.

د) السكربت

استبدل مصفوفة النتائج بقيمك الخاصة بوحدات R. يعمل السكربت بنمطين: على نتائج حُسبت بالفعل بعد التكاليف، أو على نتائج قبل التكاليف تُضاف إليها التكلفة كمعلمة عشوائية.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    توزيع النتائج المسحوبة مع الإرجاع من قائمتك لنتائج R.

    الافتراضات التي يتبناها هذا الكود ولا يختبرها:
      - النتائج المتتابعة مستقلة (افتراض ينبغي التحقق منه)؛
      - تبقى المعلمات ثابتة طوال الأفق؛
      - للنتائج المستقبلية التوزيع نفسه الذي للعينة.

    length=None -> طول المسار يساوي حجم عينتك.
       يطرح المسار الأطول سؤالًا عن أفق مختلف؛
       ولا يضيّق فترة الثقة الخاصة بالمعلمات.

    outcomes_already_net=True -> القائمة صافية؛ ولا تُضاف تكاليف.
    outcomes_already_net=False -> اطرح التكلفة المستقلة max(0, Normal(mu,sigma)).
       تصف mu وsigma التوزيع الطبيعي قبل تطبيق الحد الأدنى،
       ولا تصفان متوسط التكلفة بعد تقييدها من أسفل وانحرافها المعياري.
       لا تُنمذج العلاقة الاعتمادية بين التكلفة والنتيجة.
       لا تطبق النهجين معًا؛ فهذا يحتسب التكاليف مرتين.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # تجعل seed عمليات السحب قابلة لإعادة الإنتاج
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("قدّم قائمة نتائج غير فارغة ذات قيم منتهية")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("يجب أن تقع المخاطرة والعتبة داخل (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("يجب أن يكون الطول وعدد التكرارات عددين صحيحين موجبين")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("لا يمكن أن يكون الانحراف المعياري للتكلفة سالبًا")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("يتطلب النموذج معامل ضرب موجبًا لرأس المال")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # النتيجة بلا أبعاد
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("تقع النتيجة مع التكلفة خارج مجال تعريف النموذج")
            capital *= multiplier     # نسبة مئوية ثابتة من صافي حقوق الحساب الحالية
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "خطر الإفلاس": ruins / repetitions,
        "وسيط أقصى تراجع من القمة": float(np.median(max_drawdowns)),
        "المئين 95 لأقصى تراجع من القمة": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "طول المسار": length,
        "حجم العينة": len(outcomes_R),
    }

# قيم اصطناعية (مثال قابل للتشغيل): استبدلها بنتائجك
# بوحدات R، بعد التكاليف، قيمة واحدة لكل صفقة مغلقة:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

يُحدد رأس المال الابتدائي عند 1. عتبة الإفلاس كسر من هذه القيمة، بينما يُقاس التراجع الأقصى من القمة الحالية؛ ولا تغير عملة الحساب أيًا من النسبتين. السطر capital *= (1 + risk * outcome) يمثل نسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية؛ استبدل الضرب بالجمع لمبلغ مخاطرة ثابت. التكلفة الافتراضية 0.06 R توضيحية وقد تكون أعلى مرات عديدة عند قصر مسافة الخروج الوقائي؛ وتبين الفقرة 8 كيف تدخل الحساب. تحتوي القائمة my_outcomes على عشرين قيمة فقط لجعل الكود قابلًا للتشغيل؛ وليست قياسات للسوق ولا عينة تكفي لإثبات استقرار المعلمات. التكلفة العشوائية في الكود مستقلة عن النتيجة ومحددة من الأسفل بالصفر؛ وتصف معلماتها التوزيع الطبيعي قبل هذا التحديد.

8. تكلفة التنفيذ بوصفها معلمة إدخال

القيمة المتوقعة هي ما يدخل صيغة احتمال الإفلاس والمحاكاة. إذا دخلت قبل التكاليف، فالنتيجة قبل التكاليف أيضًا، والفرق ليس شكليًا لأن التكلفة تثقل كل صفقة بصورة منفصلة، بما فيها الخاسرة. لا تصف هذه المقالة مصدر المكونات أو ما تعتمد عليه؛ فهذا موضوع القسم 2، بينما تتناول الأقسام 11–13 شروط التنفيذ لدى الوسطاء. هنا التكلفة رقم إدخال واحد، وكل ما يهم هو أثره على الحساب.

تأخذ التكلفة نفسها بالنقاط نسبة أكبر من R عندما يكون الخروج الوقائي أقرب إلى الدخول؛ وتُناقَش مسائل حجم المركز ومسافة الخروج في المقالة 9.5. أدناه تدخل التكلفة كرقم محسوب مسبقًا بوحدات R.

التحويل: مجموعة المعلمات نفسها قبل التكاليف وبعدها

مدخلات توضيحية: مركز على زوج رئيسي، ومسافة خروج وقائي 50 نقطة، والاحتفاظ بالمركز أربع ليالٍ، ومخاطرة مخططة 1 R. يُذكر كل مكوّن للتكلفة بصورة منفصلة:

• كامل السبريد للدورة الكاملة — الفرق بين الشراء عند الدخول والبيع عند الخروج، 4 نقاط نسبة إلى مسافة 50 نقطة: −0.08 R. احسب السبريد مرة واحدة بالضبط؛ فتقسيمه إلى «دخول» و«خروج» مع قيمته الكاملة في كل منهما سيحسب التكلفة نفسها مرتين
• المقدار المفترض من الانزلاق: −0.03 R
• نقاط التبييت على أربع ليالٍ: −0.08 R
• الإجمالي: −0.19 R لكل صفقة، سواء انتهت بربح أو خسارة

الأثر على صفقة واحدة: يعطي ربح +1.80 R قبل التكاليف صافيًا +1.61 R، وتعطي خسارة −1.00 R قبل التكاليف صافيًا −1.19 R. تؤثر التكلفة في النتيجتين في الاتجاه نفسه.

الأثر على القيمة المتوقعة عند نسبة ربح 55%:

• قبل التكاليف: 0.55 × 1.80 − 0.45 × 1.00 = 0.99 − 0.45 = +0.540 R
• بعد التكاليف: 0.55 × 1.61 − 0.45 × 1.19 = 0.8855 − 0.5355 = +0.350 R
• الفرق: −0.19 R، بانخفاض مقداره 35.2% من القيمة المتوقعة قبل التكاليف — وهو تكلفة الوحدة بالضبط، لأن تكلفة تُفرض على كل صفقة تقلل القيمة المتوقعة بمقدارها الكامل.

الأثر على توزيع النتائج — محاكاتنا، 30,000 مسار بحد أقصى 500 صفقة (تتوقف عند أول بلوغ للعتبة)، ونسبة ثابتة من حقوق الحساب الحالية وعتبة إفلاس −50%:

تستخدم النسختان إشارات النتائج المسحوبة نفسها: p=0.55، وعائد قبل التكاليف +1.8 R أو −1 R، وتكلفة صافية 0.19 R لكل خطوة. مولد PCG64 وبذرة 20261005؛ و30,000 مسار مستقل بحد أقصى 500 خطوة، تتوقف عندما يصبح رأس المال≤0.5 من رأس المال الابتدائي، ومئينات MDD محسوبة من القمة الحالية بالاستيفاء الخطي. يرتفع الوسيط عند 1% من 7.93% إلى 10.92%، وعند 2% من 15.35% إلى 20.91%. في كل نسخة بلغ الإفلاس 0/30,000 من المسارات؛ وهذا لا يثبت أن الاحتمال صفر. افحص أوجه الاعتماد الأخرى للنتائج بصورة منفصلة.

9. كم صفقة تقف وراء تقدير المعلمة

نسبة الربح ونسبة العائد إلى المخاطرة المدخلتان في صيغة الفقرة 3 تقديران من عينة، ولهما خطأ. يبلغ نصف عرض فاصل الثقة عند 95% للقيمة المتوقعة 1.96 × σ / √n، حيث σ هو الانحراف المعياري لنتيجة واحدة بوحدات R، و n هو عدد المشاهدات. نفترض أدناه على سبيل التوضيح σ = 1.5 R:

الحساب: 1.96 × 1.5 / √n. عند n = 100: 1.96 × 1.5 / 10 = 0.294. إذا تجاوز الانحراف المعياري 1.5 R (وهو ممكن عند نسبة 1:3، لكنه يعتمد أيضًا على نسبة الربح والتشتت داخل المجموعات)، تحتاج الفواصل نفسها إلى عينات أكبر بما يتناسب مع ذلك. تفترض الصيغة مشاهدات مستقلة وتقريبًا طبيعيًا للمتوسط (نظرية النهاية المركزية)، لذا يكون الفاصل إرشاديًا للعينات الصغيرة وتوزيعات النتائج شديدة الالتواء؛ وقد افترضنا σ = 1.5 R على سبيل التوضيح. قد يوسع الاعتماد الموجب بين النتائج الفاصل، وقد يضيقه الاعتماد السالب؛ ولا يحدد غياب الاستقلال وحده اتجاهًا. عند استبدال σ بالانحراف المعياري للعينة s، يستخدم الفاصل المعتاد توزيع ستيودنت t؛ ويفترض التقريب الطبيعي أدناه معرفة σ التوضيحية.^[8]

اقرأ صف الأربعمئة صفقة بعناية. تربط الدلالة الإحصائية حجم الأثر وخطأه والمستوى المختار؛ ولا يحددها عدد الصفقات وحده. عند نصف عرض ±0.15 R، يعطي تقدير +0.10 R فاصلًا من −0.05 R إلى +0.25 R يشمل الصفر: بعد أربعمئة صفقة، لا يمكن تمييز هذه النتيجة عن غياب الأفضلية. ولكي تستبعد قيمة متوقعة تقارب +0.10 R الصفر عند σ = 1.5 R، يلزم n > (1.96 × 1.5 / 0.10)² ≈ 864 من المشاهدات. أما عند +0.40 R، فيبدو الجدول نفسه مختلفًا تمامًا: تكفي مئة.

إذن جواب «كم صفقة؟» هو: يتوقف على حجم الأثر الذي تريد تمييزه عن الصفر، وعلى مقدار تشتت نتائجك. وأي عتبة تُذكر دون هذين الرقمين، سواء مئة أو مئتين أو خمسمئة، هي عرف لا نتيجة حساب.

10. ما الذي لا يقوله هذا الحساب

صيغة مستخدمة خارج نطاقها

يعطي إدخال نسبة الربح في صيغة 1:1 عندما تكون النسبة 1:3 نتيجة بلا معنى: عند نسبة ربح 35% تكون الأفضلية 2 × 0.35 − 1 = −0.30 ويكون الاستنتاج «الإفلاس المؤكد»، بينما تبلغ القيمة المتوقعة لهذه المجموعة 0.35 × 3 − 0.65 = +0.40 R. تظل الصيغة صحيحة؛ لكنها طُبقت على رهان لا تصفه. قابلية التطبيق جزء من الصيغة بقدر طرفها الأيمن.

إدخال القيمة المتوقعة قبل التكاليف

تؤثر تكلفة التنفيذ في كل صفقة، بما فيها الخاسرة، فتقلل القيمة المتوقعة بمقدارها بالضبط: تستخدم الفقرة 8 مقدار 0.19 R، أو 35.2% من القيمة قبل التكاليف. واحتمال الإفلاس المحسوب قبل التكاليف هو تقدير أدنى.

افتراض استقلال النتائج

يفترض سحب النتائج الفردية مع الإرجاع الاستقلال بين الصفقات المتتالية. تصف نماذج التقلب المشروط، مثل ARCH لإنغل، اعتماد التباين؛ وقد درست ورقة 1982 التضخم البريطاني.^[4] لا يعني ذلك أن نتائج قاعدة عملات محددة يجب أن تتكتل في سلاسل خسائر. إذا حدث هذا التكتل، فإن السحب الفردي يزيله. أما عند اعتماد متناوب، فقد يولد بدلًا من ذلك سلاسل أطول من الآلية الفعلية. افحص الاتجاه على نتائج القاعدة نفسها.

نسبة ربح واحدة، وآليتان مختلفتان للسلاسل

للتوضيح، لتكن نسبة الخسائر طويلة الأجل q=0.4. في النموذج المستقل، يكون احتمال خسارتين في مقطع محدد 0.4²=0.16. وفي نموذج مستقر مع P(خسارة بعد خسارة)=0.6 و P(خسارة بعد ربح)=0.2667، يبلغ تقريبًا 0.4×0.6=0.24. وعند احتمالي انتقال 0.2 و0.5333، ينخفض إلى 0.4×0.2=0.08، مع بقاء نسبة الربح 60%. لا يحدد الحفاظ على المتوسط والتكرار نفسيهما طول السلاسل. وهذا يدحض الزعم بأن كل اعتماد يفاقم نتيجة المحاكاة المستقلة.

توزيع مبني مما حدث بالفعل

لا يعيد سحب بياناتك الخاصة إنتاج سوى النتائج الموجودة فيها. وتناقش حدود النماذج الطبيعية أيضًا القراءة التكميلية^[2]. لا ننسب إلى ذلك الكتاب قياس ذيول سلسلة محددة، ولا نفترض هنا توزيعًا واحدًا لتغير سعر الصرف. قد يحتوي سيناريو منفصل على خسارة أكبر مرات عديدة من المخطط؛ وإذا لم تتضمن العينة مشاهدة كهذه، فلن تولدها المحاكاة أبدًا، حتى مع مليون مسار. لا يستطيع سحب هذا السجل إنتاج نوبة خسارة متطرفة غائبة عنه. ولا يعني ذلك اتجاه خطأ شاملًا لكل كمّي؛ لذا استكمل النتيجة بسيناريو صريح مفقود من العينة. التكملة العملية هي حساب شرطي منفصل: نتيجة بافتراض انتهاء صفقة واحدة من مئتين عند −5 R، وأخرى بافتراض انتهاء واحدة من خمسمئة عند −10 R. لا يقول هذا الحساب إلا مقدار ما يقتطعه حدث واحد كهذا من رأس المال.

افتراض استقرار المعلمات

تأتي نسبة الربح ونسبة العائد إلى المخاطرة المدخلتان في الصيغة من الماضي وتحملان خطأ التقدير الذي نوقش في الفقرة 9. يعاملهما النموذج كثابتتين. إذا تغيرتا مع الزمن، فأعد أيضًا حساب نسخ باستخدام عدة فترات فرعية مختارة صراحة، واذكر معيار الاختيار. قد تسوء نتيجة محددة في فترة فرعية ذات متوسط أقل أو سلاسل خسائر أطول، لكن المعلمات لا يلزم أن تتحرك معًا. هذا تحليل حساسية، وليس إثباتًا أن أسوأ نافذة تاريخية تتنبأ بالمستقبل أفضل. تقييم استمرار عمل مجموعة القواعد من موضوع القسم 8؛ ولا تحسب هذه المقالة إلا نتائج المعلمات المحددة.

المسار المتوسط ليس زمن أول تعافٍ

يبين العمودان A وB في الفقرة 1 متى يبلغ مسار حتمي لمتوسط رأس المال القمة القديمة: بمبلغ ثابت وبمضاعف 1+0.004، على الترتيب. وليسا متوسط زمن أول تعافٍ لحساب واحد ولا وسيطه. يعتمد هذا الزمن على التوزيع والمسار كاملين؛ وقد لا تتعافى بعض المسارات ضمن الأفق. سجّل زمن أول تعافٍ بصورة منفصلة في المحاكاة، وأبلغ عن حصة المسارات التي لم تتعافَ بدلًا من استبعادها من متوسط الزمن.

11. تمرين للتقييم الذاتي

البيانات مختلفة عن كل ما استُخدم أعلاه. احسبها بنفسك قبل النظر إلى الحل.

الحل.

النقطة 1. التراجع من القمة: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0.35، أي −35%. العائد المطلوب: Z = 0.35 / (1 − 0.35) = 0.35 / 0.65 = 0.5385، أي +53.8%. بعملة PLN: ينقص مبلغ 8,400 PLN؛ وحسابه نسبة إلى 15,600 PLN يعطي 8 400 / 15 600 = 53.8%؛ واتفاق الطريقتين يفحص الحساب. هذه زيادة رأس المال المطلوبة من القاع إلى القمة. إذا كانت الحالتان بعد التكاليف، فيجب كسب 8,400 PLN صافية؛ ولا تُضف التكلفة مرة أخرى إلى النسبة نفسها. لا تقول الصيغة كم من النتائج قبل التكاليف ولا كم من الزمن يلزم لتحقيق تلك الزيادة.

النقطة 2. النموذج: إفلاس المقامر، ونسبة 1:1، ومبلغ مخاطرة ثابت، وأفق غير محدود. النسبة: (1 − 0.54)/0.54 = 0.46/0.54 = 0.851852. N تُحسب من حقوق الحساب الحالية إلى عتبة الإفلاس، لأن جزءًا من المسافة قد قُطع بالفعل. العتبة: 24,000 × (1 − 0.40) = PLN 14,400. مبلغ المخاطرة: 1.5% × 24,000 = PLN 360 (ثابت، من رأس المال الابتدائي). المسافة: 15,600 − 14,400 = PLN 1,200.

• مخاطرة 1.5%: N=⌈1200/360⌉=4. أول حالة يمكن بلوغها عند العتبة أو دونها: 14,160 PLN؛ (0.46/0.54)^4=0.526570، أي 52.66%.
• مخاطرة 3%: R=720 PLN، N=⌈1200/720⌉=2; (0.46/0.54)^2=0.725652، أي 72.57%. تزيد مضاعفة مبلغ المخاطرة النتيجة بمقدار 19.91 نقطة مئوية، أي نحو 1.38 ضعفًا.
• عند البداية، مع R=360 PLN، تبلغ المسافة 9,600 PLN، لذا N=⌈9600/360⌉=27 وتكون النتيجة 1.32%. أدى الوصول إلى 15,600 PLN إلى زيادة المخاطرة الشرطية من الحالة الحالية نحو أربعين ضعفًا. يعمل الأس بالطريقة نفسها عند كل N؛ وما تغير هو المسافة إلى الحاجز.

النقطة 3. تفترض النتيجة عوائد ±R، ومبلغ مخاطرة ثابتًا، ونسبة ربح ثابتة p=0.54، واستقلالًا، وتكاليف صفرية وأفقًا غير محدود. يبلغ الانحراف المعياري النظري لهذا التوزيع σ=√(1−0.08²)=0.9968 R، وليس 1.5 R. يعطي التقريب الطبيعي لعدم يقين المتوسط عند 100 مشاهدة نصف عرض يقارب 0.195 R؛ وهو يصف عدم يقين p الذي أُهمل في نتيجة الإفلاس أعلاه. تسوء حالة المسار نفسه عند تكلفة إضافية غير سالبة، بينما يقلل الأفق المحدود فرص الإفلاس. وقد يعمل الاعتماد وتغير المعلمات في أي من الاتجاهين. عند p≤0.5 في نموذج ±R هذا، يساوي احتمال الإفلاس على الأفق غير المحدود 1، رغم أن متوسط زمن بلوغ الحاجز قد يكون غير محدود عند p=0.5.

النقطة 4 ليس لها حل واحد. المخطط نفسه: عتبة إفلاسك بالعملة → المسافة من رأس المال الحالي → القسمة على مبلغ مخاطرتك النقدي الثابت → التقريب إلى الأعلى إلى الحاجز الممكن بلوغه → N → ((1 − p)/p)N. دوّن النتيجة مع قائمة الافتراضات من النقطة 3؛ فهذه القائمة جزء من الإجابة.

12. خمسة أرقام يجب أن تكون قد حسبتها

يتطلب كل منها ذكر أساسه وافتراضاته؛ وبهما فقط يمكن مقارنته بأي شيء:

1. القيمة المتوقعة بعد تكلفة التنفيذ، بوحدات R وبعملة الحساب، مع بيان مكونات التكلفة. تقدم المقالة 9.6 التعريف والاشتقاق.
2. العائد اللازم للتعافي من تراجعك المعتاد وأعمق تراجع لك حتى الآن، من المتطابقة Z = DD/(1 − DD)، محسوبًا من القاع.
3. احتمال الإفلاس عند مخاطرتك لكل صفقة، مع ذكر عتبة الإفلاس ونسخة النموذج وقائمة الافتراضات. من دون هذه الأمور الثلاثة لا يعني الرقم شيئًا.
4. الوسيط والمئين 95 للتراجع الأقصى من محاكاة تستخدم نتائجك الخاصة. ليس الثاني أسوأ حالة؛ ولا يصف وحده عمق بقية التوزيع. وتُحدد حدود النموذج بصورة منفصلة.
5. نصف عرض فاصل الثقة لقيمتك المتوقعة عند عدد صفقاتك. يبقى المتوسط تقديرًا حتى حين يستبعد الفاصل الصفر. ويبين الفاصل الذي يغطي الصفر، بالإضافة إلى ذلك، أن العينة لا تستطيع تحت هذه الافتراضات تمييز متوسط موجب عن متوسط صفري أو سالب. ينتقل عدم يقين المعلمات إلى الحسابات التي تعتمد على توزيع النتائج؛ أما العائد اللازم لتعويض هبوط محدد فهو بحد ذاته متطابقة حسابية.

تصف الأرقام الخمسة نتائج المعلمات التي تزودها بنفسك. لا يحكم أي منها على ما إذا كانت لمجموعة قواعدك أفضلية (فهذا السؤال من موضوع القسم 8)، ولا يحوّل أي منها مجموعة ذات قيمة متوقعة سالبة إلى مجموعة رابحة.

تعكس المقالة التالية (9.3) اتجاه هذا الحساب: فبدلًا من حساب احتمال الإفلاس لنسبة معينة، تشتق النسبة المسموح بها من تراجع معين وطول مفترض لسلسلة خسائر.

التشغيلات الأكثر لا تعوّض عينة أكبر

للمحاكاة خطآن. يأتي الأول من سحب M من المسارات عند معلمات ثابتة؛ والثاني من تقدير تلك المعلمات باستخدام n من النتائج الفعلية. يمكن لـ M=100,000 عند n=20 أن يعيد إنتاج توزيع غير مؤكد لعشرين مشاهدة بدقة عالية جدًا. لفصلهما، احسب عدة سيناريوهات إدخال وكرر السحب ببذور مختلفة داخل كل منها. لا تصف التغيرات بين السيناريوهات بأنها خطأ مونت كارلو.