Matemática de las pérdidas: asimetría de recuperación y riesgo de ruina

Un drawdown del 10% requiere un rendimiento del 11,1% para volver al pico anterior. Un drawdown del 50% requiere el 100%. Un drawdown del 90% requiere el 900%. Estos tres números salen de una única fórmula que no necesita ningún dato de mercado, y esa fórmula marca la forma de todo el artículo. La segunda fórmula, riesgo de ruina, dice algo completamente distinto y tiene un estatus completamente distinto: es la salida de un modelo construido sobre una distribución asumida y sobre parámetros estimados a partir de una muestra. Mantener esas dos cosas separadas importa más que cualquier número aislado de los que siguen.

Tres parámetros de entrada alimentan todos los cálculos que siguen. Este artículo no deriva ninguno de ellos — esa es la tarea del artículo 9.6. Aquí entran únicamente como números que tú aportas.

• Tasa de aciertos (p): alimenta la fórmula de la sección 3 y la simulación; el valor ilustrativo usado más abajo es 55%.
• Ratio riesgo-recompensa (RR): fija el tamaño de una ganancia frente a una pérdida en la distribución de la que parte la simulación; ilustrativamente 1:1,5, y deliberadamente 1:1 en las secciones 3 y 11, porque solo a 1:1 se sostiene la fórmula del gambler's ruin.
• Esperanza matemática: el número que se sustituye en el cálculo de riesgo de ruina y en la simulación; ilustrativamente +0,54R bruto y +0,35R tras el coste de ejecución (sección 8).

1. La derivación y la tabla completa de recuperación — de −5% a −90%

El capital tras un drawdown de fracción DD medido desde el pico es K × (1 − DD). Para volver a K, ese importe reducido tiene que crecer la diferencia que falta K × DD, y el rendimiento se calcula a partir de lo que queda tras la pérdida:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K se cancela y desaparece, así que el resultado no depende del tamaño de la cuenta, ni del instrumento, ni del conjunto de reglas. Esto es una identidad aritmética: verdadera por definición, sin ningún dato. Nada más en este artículo tiene ese estatus: el riesgo de ruina y la simulación son salidas de modelos.

Sustituyendo −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, esto es +100%. Para −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, esto es +25%. El artículo 9.1 trae una versión abreviada de esta tabla; la completa está más abajo, con dos columnas que indican cuántas operaciones de una esperanza dada requiere ese rendimiento. Cada una de las tres columnas numéricas tiene una base distinta y no deben mezclarse.

Las tres columnas tienen bases distintas, y decirlo es la única manera de que la tabla no induzca a error. El drawdown se mide desde el pico de la curva de capital. El rendimiento necesario para recuperar se calcula desde el fondo, es decir desde el capital tras la pérdida, por eso −50% requiere +100% y no +50%. Ambas columnas de número de operaciones asumen una esperanza de +0,4% por operación, pero calculada sobre dos bases distintas.
A) Riesgo en efectivo fijo: cada operación aporta en promedio +0,4% del capital inicial (con un inicio de 10.000 PLN, un fijo de 40 PLN por operación), independientemente del estado actual de la cuenta. Fórmula: N = DD / 0,004. Las pérdidas ya están contadas dentro de ese promedio: el valor esperado de la suma de N resultados es N × 0,004 × K0 e iguala exactamente lo que falta DD × K0 en N = DD / 0,004, sin importar cuántas operaciones perdedoras cayeran en esa ejecución. Lo que sí asume el cálculo es que cada operación entrega exactamente el promedio, así que N describe la trayectoria promedio y no la que recorrerá una cuenta concreta; la dispersión en torno a ella se muestra en la sección 6. Esta es una cifra bruta: se omite el coste de esas operaciones, así que el número es una cota inferior.
B) Porcentaje fijo del capital (fixed fractional): la misma esperanza, pero calculada sobre el capital actual, que es menor tras un drawdown. Fórmula: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Más largo que la columna A, porque cada ganancia se calcula sobre una base menor.
Ambas columnas dan un número de operaciones. Convertirlo en tiempo requiere tu propia frecuencia de trading; sigue un ejemplo.

Conversión a tiempo para la columna B, a dos frecuencias. La tabla usa valores ilustrativos; asume que el promedio de +0,4% por operación se mantiene durante todo el periodo de recuperación, cosa que nada garantiza. La columna de operaciones lleva el valor exacto de la fórmula de la columna B (antes de redondear), así que los meses se reproducen directamente: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

La función Z = DD/(1 − DD) es creciente y convexa en todo su dominio de 0 a 1 — no hay en ella ningún umbral en el que "algo cambie". El aumento es continuo: entre −5% y −20% el rendimiento necesario sube de +5,3% a +25%, entre −20% y −50% de +25% a +100%, por encima de −50% de +100% a +900%. Cualquier umbral en el que se decida reducir o detener el trading es una decisión escrita de antemano; la fórmula no sugiere ninguno. De dónde sale ese umbral y cómo escribir la condición de reanudación lo resuelve el artículo 9.8.

Una consecuencia va más allá del tiempo de recuperación por sí solo: un drawdown reduce el capital actual, y el capital actual es precisamente la magnitud que se compara con el umbral de cierre forzoso, calculado sobre todas las posiciones abiertas en la cuenta. Las definiciones y la mecánica de esas magnitudes pertenecen a la sección 2, el efecto de un gap en el precio de ejecución al artículo 9.10.

2. Recuperación con un porcentaje fijo del capital

Con un porcentaje fijo del capital actual (1% por operación) el importe en efectivo en riesgo cae junto con la cuenta. La base es el capital actual, medido antes de abrir la posición. El 1% de 10.000 PLN son 100 PLN; tras una racha perdedora, el 1% de 8.500 PLN son ya 85 PLN. La misma regla da dos importes distintos, porque la base cambió.

Funciona en ambas direcciones a la vez. La siguiente pérdida se lleva menos en efectivo, pero la siguiente ganancia también entrega menos, porque se calcula sobre la misma base reducida. Valores ilustrativos, cálculo en PLN, esperanza +0,4R por operación:

La proporción aquí es exacta y se deriva directamente de la definición: el importe de ganancia se encoge al mismo ritmo que el capital. Por eso la columna B en la tabla de la sección 1 da números mayores que la columna A: en un drawdown de −50% son 174 operaciones en lugar de 125, esto es un 39% más. Ambas columnas calculan el mismo porcentaje, solo que sobre una base distinta, y toda la diferencia está ahí.

Ninguna de las dos reglas es mejor que la otra, porque responden a preguntas distintas y tienen consecuencias distintas para el tamaño de posición, lo cual resuelve el artículo 9.5. La elección de la base cambia el número de operaciones necesarias para recuperar, así que citar "cuánto hay que recuperar" sin nombrar la base está incompleto.

3. Riesgo de ruina — la fórmula, sus supuestos y la tabla recalculada

El riesgo de ruina es la probabilidad de que el capital caiga a un umbral dado antes de crecer. Tú eliges el umbral, y hay que citarlo junto con el resultado: en toda esta sección, ruina significa una caída al 50% del capital inicial. Cambiar el umbral cambia el resultado, así que solo se pueden comparar valores calculados para el mismo umbral.

La variante del modelo y la fórmula

El cálculo siguiente es el modelo clásico del gambler's ruin^[1] en su versión de dos resultados: cada operación termina en una ganancia o una pérdida del mismo tamaño (un ratio riesgo-recompensa de 1:1), el importe en efectivo en riesgo es fijo, la tasa de aciertos p es constante, los resultados sucesivos son independientes y el horizonte es infinito.

P_ruina = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — la tasa de aciertos como fracción; edge = 2p − 1 (una tasa de aciertos del 55% da un edge de 0,10). Ambas formas de la fórmula son idénticas: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — el número de unidades de riesgo que separan el capital actual del umbral de ruina. Al inicio, con un riesgo del 2% del capital inicial y un umbral de −50%: N = 50% / 2% = 25. Tras un drawdown la distancia se mide desde el estado actual de la cuenta; hay un ejemplo en el ejercicio (sección 11).
• El resultado es adimensional: no depende ni de la divisa de la cuenta ni del tamaño del capital, porque toda la información sobre el capital está dentro de N.

El modelo exige un importe de riesgo en efectivo fijo. Con un porcentaje fijo del capital actual el importe se encoge junto con la cuenta, así que ninguna N de esta fórmula describe esa trayectoria y hace falta una simulación en su lugar (sección 6).

La tabla — cada celda reproducible a partir de la fórmula anterior

Cómo reproducir cualquier celda. Tasa de aciertos 52%, riesgo 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, esto es 13,52%. Tasa de aciertos 58%, riesgo 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, esto es 19,91%. Los supuestos bajo los que se sostiene esta tabla: ruina definida como una caída al 50% del capital inicial; un ratio riesgo-recompensa de 1:1; un importe de riesgo en efectivo fijo; una tasa de aciertos constante; resultados independientes; coste de ejecución igual a cero; un horizonte infinito.

Cuatro lecturas de la tabla, ninguna de las cuales es una recomendación por sí sola:

• Con una tasa de aciertos del 55% y un riesgo del 1% el riesgo de ruina del modelo es 0,0044%. Parece seguro sobre el papel, pero solo porque el modelo asume un ratio 1:1, una tasa de aciertos constante, sin costes y operaciones independientes. Ninguno de esos supuestos se sostiene estrictamente en trading en vivo. El coste de ejecución y el agrupamiento de pérdidas empujan el resultado real al alza; el error de estimación en la tasa de aciertos y un ratio distinto de 1:1 pueden empujarlo en cualquier dirección, así que hay que comprobar la dirección cada vez por separado.
• La misma tasa de aciertos del 55% con un riesgo del 5% da 13,44%. Un aumento quíntuple del riesgo por operación eleva la probabilidad de ruina del modelo más de tres mil veces, porque N está en el exponente.
• Una tasa de aciertos del 52% con un riesgo del 2% da 13,52%. Esperanza positiva y un riesgo de ruina de aproximadamente uno de cada siete conviven sin problema: son dos magnitudes distintas calculadas a partir de los mismos parámetros.
• La relación tiene la dirección correcta en ambos sentidos: el riesgo de ruina sube con el riesgo por operación y baja al subir la tasa de aciertos. Una celda que invierta esto es un error en la tabla o en la fórmula.

El cálculo para dos niveles de riesgo con el resto de parámetros sin cambios

Parámetros compartidos, valores ilustrativos: tasa de aciertos 55%, ratio riesgo-recompensa 1:1, umbral de ruina −50% del capital inicial, riesgo calculado como porcentaje del capital inicial y congelado en un importe en efectivo fijo.

• Riesgo del 1% por operación. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Vía logaritmos: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, así que Pruina = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Riesgo del 2% por operación. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, así que Pruina = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• La diferencia: duplicar el riesgo por operación eleva el riesgo de ruina del modelo 151 veces, con la tasa de aciertos sin cambios y el ratio riesgo-recompensa sin cambios. La esperanza en unidades R no cambia en absoluto.

Los supuestos detrás de este cálculo y la dirección en que falla cada uno: un ratio 1:1 (con cualquier otro ratio la fórmula no se sostiene, sección 4); un importe de riesgo en efectivo fijo (con un porcentaje fijo, la ruina entendida como vaciar la cuenta es inalcanzable, y el umbral hay que definirlo como una caída por debajo de un nivel, que es una magnitud distinta con una interpretación distinta); una tasa de aciertos constante (estimada a partir de una muestra y con error, sección 9); independencia de resultados (violada por el agrupamiento de volatilidad, que alarga las rachas perdedoras); coste de ejecución cero (baja la esperanza y sube el riesgo de ruina, sección 8); un horizonte infinito (sobre un horizonte finito el resultado es menor). La dirección no es común a todas las violaciones: el coste de ejecución y la dependencia entre resultados empujan el riesgo real por encima de la cifra del modelo, un horizonte finito lo reduce, y el error de estimación en la tasa de aciertos y un ratio distinto de 1:1 pueden mover el resultado en cualquier dirección, por lo que la dirección se declara por separado para cada supuesto y no debe asumirse en conjunto.

Una comprobación de la fórmula. Los valores de la tabla se compararon con una simulación independiente de camino aleatorio sobre unidades enteras (50.000 ejecuciones, barrera en cero unidades): para una tasa de aciertos del 52% y N = 25 la simulación dio 13,30% frente a 13,52% de la fórmula, para 58% y N = 5 produjo 19,74% frente a 19,91%, y para 60% y N = 5 es 13,27% frente a 13,17%. Las discrepancias caen dentro del error muestral del propio sorteo.

4. Riesgo de ruina con un ratio distinto de 1:1

La fórmula de la sección 3 describe una apuesta en la que la ganancia y la pérdida tienen el mismo tamaño. Un conjunto de reglas con una tasa de aciertos del 38% y un ratio 1:3 no cumple esa condición, y sustituir su tasa de aciertos en la fórmula 1:1 da un edge de 2 × 0,38 − 1 = −0,24 y la conclusión "la ruina es segura" — mientras que la esperanza de ese conjunto de reglas es 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52R. La fórmula no está equivocada aquí; se está usando fuera del rango en el que significa algo.

Existe una aproximación basada en la fracción de Kelly, en la que f* ocupa el lugar del edge:

Pruina ≈ ((1 − f*) / (1 + f*))N, donde f* = p − (1 − p)/RR

El estatus de esta fórmula. Es una aproximación propia, construida por analogía con la fórmula de la sección 3: f* sustituye al edge 2p − 1. La fórmula de la sección 3 tiene una solución formal en la literatura^[1]; esta aproximación no tiene ninguna, así que léela como una heurística. Se sostiene bajo los mismos supuestos que el cálculo de la sección 3 (un importe de riesgo en efectivo fijo, una tasa de aciertos constante, resultados independientes, un horizonte infinito), y N se le aporta por separado, porque no se deriva de f*. La N = 10 usada más abajo corresponde a un riesgo del 5% del capital inicial con un umbral de ruina del −50% del capital inicial (50%/5% = 10). Operar una posición igual a f* misma, esto es el 25% del capital, daría N = 2 con el mismo umbral y un cálculo en una escala completamente distinta.

La aproximación tiene dos puntos débiles a la vez. El primero concierne a sus entradas: a ratio constante, f* es una función lineal de la tasa de aciertos, mientras que su dependencia del ratio riesgo-recompensa es no lineal (cóncava), y ambos parámetros son estimaciones muestrales cuyos errores a veces están correlacionados, así que hay que comprobar su deterioro conjunto. Con una tasa de aciertos del 55% y un ratio 1:1,5 la fracción de Kelly es 0,25; tras bajar la tasa de aciertos 3 puntos porcentuales y el ratio 0,3 (a 52% y 1:1,2) ya es 0,12. El tamaño de f*, su derivación y una prueba de sensibilidad de la propia fracción de Kelly pertenecen al artículo 9.5; aquí ambos números entran como entradas y lo único que importa es qué le hacen al ratio dentro de la aproximación. Ese ratio sube de 0,75/1,25 = 0,60 a 0,88/1,12 = 0,786, así que con N = 10 (riesgo del 5% del capital inicial, umbral de ruina −50%) el riesgo de ruina aproximado sube de 0,60% a 8,97%, cerca de quince veces por un único error de estimación, no remotamente extremo. La segunda debilidad: la sustitución deja de ser precisa exactamente donde el ratio es fuertemente asimétrico. Con ambas debilidades, f* sigue siendo aquí un parámetro que alimenta una aproximación de riesgo de ruina, no el tema.

Una respuesta más honesta viene de la simulación. La tabla siguiente procede de una simulación realizada para este artículo: 40.000 ejecuciones de como máximo 500 operaciones, un resultado de dos valores con una tasa de aciertos y un ratio dados, un porcentaje fijo del capital actual, ruina definida como una caída al 50% del capital inicial (la ejecución se detiene en ese punto), coste de ejecución igual a cero. Todos los valores son ilustrativos. Tú aportas p y RR como entradas y nada en ellos describe el mercado.

Simulación propia: 40.000 ejecuciones de como máximo 500 operaciones, un porcentaje fijo del capital actual, umbral de ruina −50% del capital inicial, coste de ejecución omitido, resultados independientes, una distribución de dos puntos (ganancia +RR, pérdida −1R). Una ejecución termina en la primera caída al umbral de ruina o tras 500 operaciones; los percentiles de drawdown máximo también cubren las ejecuciones detenidas. El percentil 95 del drawdown máximo no es el peor caso — más allá de ese intervalo el cálculo no acota la pérdida en absoluto. La esperanza de la segunda columna se calcula en bruto; la versión tras el coste de ejecución está en la sección 8. Con cualquier distribución de resultados distinta de la de dos puntos, la misma p y RR dan drawdowns distintos.

La tabla muestra algo que la fórmula de la sección 3 no muestra. Con un riesgo del 1% y del 2% por operación, la ruina entendida como reducir a la mitad es, en un horizonte de 500 operaciones, prácticamente inalcanzable para los cuatro conjuntos de parámetros; lo que los separa entonces es la distribución de drawdowns. La ruina vuelve a entrar en juego solo con un riesgo del 5%, y lo hace independientemente de lo alta que sea la esperanza: el conjunto con la esperanza más alta (+0,76R) tiene un riesgo de ruina mayor con un riesgo del 5% que el conjunto con +0,34R, porque una sola pérdida se lleva el mismo porcentaje de su capital y tiene más pérdidas.

La probabilidad de encontrar una racha de k pérdidas dentro de N operaciones es una pregunta distinta con una respuesta distinta de (1 − p)k, y el cálculo para una tasa de aciertos y una longitud de secuencia dadas lo lleva a cabo el artículo 9.1; el artículo 9.3 usa ya una longitud de racha asumida como entrada, al derivar un límite de riesgo.

5. El orden de los resultados — el mismo conjunto, dos ejecuciones

La sección 8 deja una promesa por resolver aquí: el orden de los resultados importa para la trayectoria, aunque no importa para el punto final. Esa frase se puede comprobar con aritmética sobre diez números.

El conjunto de resultados es idéntico en ambas ejecuciones — cuatro ganancias (+2R, +2R, +1,5R, +1,5R) y seis pérdidas de −1R cada una, en conjunto +1R sobre diez operaciones, esto es una esperanza de +0,10R. La regla de dimensionamiento de posición: un porcentaje fijo del capital actual, 1% por operación. Capital inicial 100 unidades; el resultado es adimensional, así que el número de unidades no importa. El límite adoptado de antemano: un drawdown del −5% desde el pico.

Drawdown medido desde el pico de la curva de capital, tras cada operación. Capital tras una operación: K × (1 + 0,01 × R). Redondeo en la tabla a tres decimales; el cálculo en sí se realiza sin redondeos intermedios.

El punto final es idéntico hasta el decimal: 100,912 en ambas ejecuciones, esto es +0,912%. Esa coincidencia tiene una causa puramente aritmética. El capital final con un porcentaje fijo es el producto K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), y la multiplicación es conmutativa — el orden de los factores no cambia el producto. Con un importe de riesgo en efectivo fijo se sostiene lo mismo, solo que por la conmutatividad de la suma.

Todo lo demás difiere. El drawdown máximo es 3,94% en la ejecución A y 5,85% en la ejecución B, la mitad más otra vez sobre los mismos diez resultados. El límite de −5% se supera en la ejecución B en la sexta operación, y en la ejecución A no se supera ni una sola vez. Si el límite dispara una detención del trading, entonces sobre el mismo conjunto de resultados una ejecución termina en la décima operación en +0,912%, y la otra se corta en la sexta en −5,85% — y las cuatro ganancias que están en el conjunto nunca se realizan.

La conclusión práctica tiene dos capas. La esperanza describe el punto final y no dice nada sobre la trayectoria: dos ejecuciones con esperanza idéntica pueden tener drawdowns completamente distintos. Un drawdown medido sobre una secuencia histórica es por tanto una realización entre toda una familia de posibles; para ver toda la familia de trayectorias posibles, el orden hay que aleatorizarlo — y de eso trata la siguiente sección.

6. Simular la distribución de resultados — qué se sortea y qué no dice el resultado

Un test histórico muestra una secuencia: la que ocurrió. Una simulación Monte Carlo construye una distribución de trayectorias posibles a partir del mismo material, y por el camino hay que mantener separadas dos operaciones que a menudo se describen con una sola palabra. Una permutación reordena exactamente el mismo conjunto de resultados: la composición y el punto final se mantienen, solo cambia la trayectoria; esto es una prueba de riesgo de secuencia pura, realizada a mano en la sección 5. El muestreo con reemplazo trata la muestra como una distribución de la que se extraen nuevas listas: omite algunas observaciones y duplica otras, así que también cambia la composición y el punto final de cada ejecución. El procedimiento de la sección 7 usa muestreo con reemplazo.

Qué se sortea exactamente: un único resultado de operación expresado en unidades R, ya sea de la distribución empírica construida a partir de tus propios registros (muestreo con reemplazo) o de una distribución de dos puntos fijada por una tasa de aciertos y un ratio riesgo-recompensa. El supuesto de independencia: cada extracción es independiente de la anterior, lo cual se viola en trading en vivo, porque la volatilidad se agrupa y las rachas perdedoras a veces son más largas que en el modelo. El número de repeticiones: cuantas más haya, más estables son los percentiles; en las simulaciones de este artículo: 50.000 ejecuciones en la comprobación de la fórmula de la sección 3, 40.000 en la sección 4, 30.000 en la sección 8, y ocho trayectorias de ejemplo en el gráfico de más abajo; el número se cita junto al resultado cada vez.

Se leen cuatro magnitudes de la distribución:

• El drawdown máximo mediano: el drawdown por encima del cual cae la mitad de las ejecuciones. No es ni una previsión ni un límite.
• El percentil 95 del drawdown máximo. No es el peor escenario. Es el peor escenario que este modelo todavía es capaz de imaginar. Más allá de ese intervalo el cálculo no acota la pérdida en absoluto, y los eventos con un gap de precio los describe el artículo 9.10.
• Riesgo de ruina: la fracción de ejecuciones en las que el capital cayó a un umbral dado. Una magnitud que depende del umbral: sin un umbral declarado carece de sentido.
• La dispersión del resultado final, esto es el intervalo que contiene una fracción dada de ejecuciones con los parámetros sin cambios. No responde a la pregunta de cuán grande será el beneficio.

La dispersión se ensancha con cada operación, porque la desviación estándar de la suma de resultados crece con la raíz cuadrada de su número, mientras que la suma misma crece linealmente. Un horizonte más largo por tanto ensancha el abanico de trayectorias posibles y aumenta la probabilidad de encontrar un drawdown profundo por el camino. El conocimiento de los parámetros es un asunto distinto: una muestra independiente más larga estrecha el error de estimación de la media como 1/√n (sección 9), y las dos direcciones no están en conflicto, porque responden a dos preguntas distintas.

Aquí hay que mantener separados dos números que es fácil confundir, porque ambos son un "número de operaciones". La longitud de una única ejecución en la simulación es una elección de horizonte: 500 operaciones es la pregunta "qué puede pasar en 500 operaciones". El tamaño de tu propia muestra es el número de operaciones a partir del cual se construye la distribución de entrada, y solo eso decide con qué precisión conoces los parámetros. Extraer 500 resultados de un fondo de cien no crea información nueva: el intervalo de confianza de la esperanza se mantiene el que se deriva de cien observaciones (sección 9).

7. La simulación paso a paso

Ejecutar la simulación no necesita nada más que una lista de tus propios resultados en unidades R y una herramienta capaz de sortear al azar. Una hoja de cálculo basta para unos cientos de ejecuciones; más allá de eso, un script corto es más cómodo.

a) Entradas

La simulación es tan buena como la lista que le metas. Para cada operación cerrada necesitas un resultado en unidades R, calculado tras costes: R = (resultado en la divisa de la cuenta tras comisión, puntos swap y slippage) / (el importe de riesgo planeado al entrar). El denominador es el riesgo planeado, no el riesgo realizado, para que una pérdida que terminó con slippage dé un resultado peor que −1,00R y eso se vea reflejado en la distribución. Un resultado positivo es una ganancia neta calculada en las mismas unidades.

b) El procedimiento

1. Construye una lista de resultados en unidades R a partir de tus propios registros, uno por cada operación cerrada.
2. Sortea con reemplazo. Fija la longitud de una única ejecución en el horizonte que estás preguntando. Si preguntas por la distribución de drawdowns sobre la muestra que ya tienes, fíjala igual al tamaño de tu propia muestra; el intervalo de confianza de los parámetros no se estrecha porque sortees más.
3. Recalcula el capital tras cada operación sorteada según tu propia regla de dimensionamiento de posición: con un porcentaje fijo K ← K × (1 + r × R), con un importe en efectivo fijo K ← K + importe × R.
4. Repite las veces suficientes para que los percentiles dejen de cambiar entre ejecuciones, normalmente de unas pocas a unas pocas decenas de miles de ejecuciones.
5. Lee la mediana y el percentil 95 del drawdown máximo, la fracción de ejecuciones por debajo del umbral de ruina y la dispersión del resultado final. Anota todos los supuestos junto a ellos; un mes después, solo ellos te permitirán reconstruir de dónde salieron los números.

c) Qué dice exactamente cada uno de esos números

Deliberadamente no hay ningún umbral de aceptabilidad en esa tabla. "Riesgo de ruina por debajo del 1%" es una elección, no un resultado, y la elección depende de qué porcentaje de capital puedes permitirte sacar de circulación y durante cuánto tiempo. Escribir ese umbral junto con la condición de detención y reanudación pertenece al artículo 9.8.

d) El script

Sustituye el array de resultados por tus propios valores en unidades R. El script funciona en dos modos: sobre resultados ya calculados tras costes, o sobre resultados brutos con el coste añadido como un parámetro aleatorio.

import numpy as np

def simulate(results_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             results_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Distribución de resultados a partir de un muestreo con reemplazo sobre tu propia lista de resultados en R.

    SUPUESTOS que asume este código y no comprueba:
      - los resultados sucesivos son independientes (violado en trading en vivo);
      - los parámetros son constantes durante todo el horizonte;
      - la distribución de resultados futuros es la misma que la distribución de la muestra.

    length=None  -> longitud de ejecución igual al tamaño de tu propia muestra.
       Fijar una ejecución más larga pregunta por un horizonte distinto,
       NO estrecha el intervalo de confianza de los parámetros.

    results_already_net=True  -> la lista está tras costes, el código no añade nada.
    results_already_net=False -> el código resta el coste como un parámetro aleatorio.
       No uses ambos a la vez - contarías el coste dos veces.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # la semilla fija la reproducibilidad del sorteo
    results_R = np.asarray(results_R, dtype=float)
    if length is None:
        length = len(results_R)

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # el resultado es adimensional
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(results_R, size=length, replace=True)

        for r in sample:
            if not results_already_net:
                cost = abs(rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                r = r - cost

            capital *= (1 + risk * r)     # porcentaje fijo del capital actual
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "risk of ruin": ruins / repetitions,
        "median max. drawdown": float(np.median(max_drawdowns)),
        "95th percentile max. drawdown": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "run length": length,
        "sample size": len(results_R),
    }

# Valores sintéticos (un ejemplo ejecutable) - sustitúyelos por tus propios resultados
# en unidades R, tras costes, uno por cada operación cerrada:
my_results = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_results, risk=0.01))

El resultado es adimensional: el capital inicial se toma como 1, así que los drawdowns y el umbral de ruina son fracciones del capital inicial sin importar la divisa de la cuenta. La línea capital *= (1 + risk * r) corresponde a un porcentaje fijo del capital actual; para un importe de riesgo en efectivo fijo, sustitúyela por una suma. El coste por defecto de 0,06R es un valor ilustrativo y con una distancia de salida protectora corta a veces es varias veces mayor; cómo entra en el cálculo se muestra en la sección 8. La lista my_results tiene veinte valores puramente para que el código se pueda ejecutar; con una muestra de ese tamaño el intervalo de confianza de la esperanza es más ancho que la propia esperanza.

8. El coste de ejecución como parámetro de entrada

La esperanza es lo que entra en la fórmula de riesgo de ruina y en la simulación. Si entra en su versión bruta, el resultado también es bruto, y la diferencia no es cosmética, porque el coste carga sobre cada operación por separado, las perdedoras incluidas. Este artículo no describe de dónde salen esos componentes ni de qué dependen: eso lo hace la sección 2, mientras que las condiciones de ejecución en los brokers las cubren las secciones 11–13. Aquí el coste es un único número de entrada y lo único que importa es qué le hace al cálculo.

El mismo coste en pips se lleva una fracción mayor de R cuanto más cerca esté la salida protectora de la entrada; el tamaño de posición y la distancia de salida los resuelve el artículo 9.5. Más abajo, el coste entra ya como un número acabado en unidades R.

La conversión: el mismo conjunto de parámetros bruto y neto

Entradas, valores ilustrativos: una posición en un par mayor, distancia de salida protectora 50 pips, posición mantenida cuatro noches, riesgo planeado 1R. Los componentes del coste, cada uno declarado por separado:

• el spread completo del round turn — la diferencia entre el bid a la entrada y el ask a la salida, 4 pips frente a una distancia de 50 pips: −0,08R. El spread se salda exactamente una vez; dividirlo en "entrada" y "salida" a valor completo contaría el mismo coste dos veces
• slippage asumido: −0,03R
• puntos swap por cuatro noches: −0,08R
• total: −0,19R por operación, sin importar si termina en ganancia o en pérdida

El efecto sobre una única operación: una ganancia bruta de +1,80R da +1,61R neto, y una pérdida bruta de −1,00R da −1,19R neto. El coste carga sobre ambos lados en la misma dirección.

El efecto sobre la esperanza con una tasa de aciertos del 55%:

• bruto: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540R
• neto: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350R
• diferencia: −0,19R, esto es una caída del 35,2% en la esperanza bruta — exactamente el coste unitario, porque un coste añadido a cada operación reduce la esperanza en toda su magnitud.

El efecto sobre la distribución de resultados — simulación propia, 30.000 ejecuciones de como máximo 500 operaciones (una ejecución detenida en la primera caída al umbral), un porcentaje fijo del capital actual, umbral de ruina −50%:

La misma tasa de aciertos, el mismo ratio riesgo-recompensa, la misma regla de dimensionamiento de posición; la única diferencia es el coste añadido. El drawdown máximo mediano sube un 38% con un riesgo del 1% (de 7,9% a 10,9%) y un 36% con el 2%; el percentil 95 sube un 44% y un 39%, y más allá de ese percentil la pérdida no está acotada por este cálculo. El riesgo de ruina en este horizonte se mantiene por debajo de la centésima parte de un punto porcentual en ambas variantes, por lo que el efecto del coste solo es visible en la distribución de drawdowns. Valores ilustrativos; los percentiles también cubren ejecuciones detenidas en el umbral de ruina, y si se viola el supuesto de independencia los drawdowns son más profundos.

9. Cuántas operaciones respaldan una estimación de parámetro

La tasa de aciertos y el ratio riesgo-recompensa que introduces en la fórmula de la sección 3 son estimaciones muestrales y llevan error. La semianchura del intervalo de confianza del 95% para la esperanza es 1,96 × σ / √n, donde σ es la desviación estándar de un único resultado en unidades R y n el número de observaciones. Más abajo, con σ = 1,5R, un valor adoptado ilustrativamente:

El cálculo: 1,96 × 1,5 / √n. Para n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Con una desviación estándar mayor que 1,5R (y un conjunto de reglas con un ratio 1:3 y muchas pérdidas pequeñas la tiene) los mismos intervalos exigen muestras correspondientemente mayores. La fórmula asume observaciones independientes y descansa en la aproximación normal para la media (el teorema central del límite), así que con muestras pequeñas y distribuciones de resultados fuertemente sesgadas el intervalo es solo indicativo, y σ = 1,5R es un valor adoptado ilustrativamente. Con resultados dependientes el número efectivo de observaciones es menor que el número de operaciones, y el intervalo real es más ancho.

La fila con cuatrocientas operaciones hay que leerla con cuidado. La significancia es una relación entre el tamaño de un efecto, su error y un nivel adoptado; el número de operaciones por sí solo no la determina. Con una semianchura de ±0,15R, una estimación de +0,10R da un intervalo de −0,05R a +0,25R, que cubre el cero: tal resultado tras cuatrocientas operaciones no es distinguible de la ausencia total de edge. Para que una esperanza del orden de +0,10R deje de cubrir el cero con σ = 1,5R, necesitas n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 observaciones. La misma tabla para +0,40R tiene un aspecto completamente distinto: ahí, cien bastan.

La respuesta a "cuántas operaciones" es por tanto: depende de qué tan grande sea el efecto que quieres distinguir de cero y de cuán dispersos son tus resultados. Cualquier umbral citado sin esos dos números, sea cien, doscientas o quinientas, es una costumbre y no el resultado de un cálculo.

10. Lo que este cálculo no dice

Una fórmula usada fuera de su rango

Sustituir una tasa de aciertos en la fórmula 1:1 cuando el ratio es 1:3 da un resultado sin sentido: con una tasa de aciertos del 35% el edge sale como 2 × 0,35 − 1 = −0,30 y la conclusión es "la ruina es segura", mientras que la esperanza de ese conjunto de reglas es 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40R. La fórmula en sí sigue siendo correcta: simplemente se aplicó a una apuesta que no describe; el rango de aplicabilidad pertenece a una fórmula tanto como su lado derecho.

Esperanza sustituida en su versión bruta

El coste de ejecución carga sobre cada operación, las perdedoras incluidas, así que reduce la esperanza exactamente en su propia magnitud — en el ejemplo de la sección 8 en 0,19R, esto es en el 35,2% del valor bruto. Un riesgo de ruina calculado sobre una cifra bruta es una cota inferior.

El supuesto de que los resultados son independientes

El muestreo con reemplazo asume que el resultado de la siguiente operación no depende de la anterior. El agrupamiento de volatilidad es una propiedad documentada de las series financieras, observada también en los tipos de cambio; su tratamiento en modelo lo introdujo Engle^[4]. A nivel de los resultados de un conjunto de reglas, esto se traduce en rachas perdedoras más largas que en un modelo independiente, aunque la fuerza de ese efecto hay que comprobarla en tu propia serie. La dirección del error es inequívoca: una simulación con sorteos independientes subestima la probabilidad de rachas largas y la profundidad de los drawdowns. Cómo tener en cuenta la dependencia lo cubre el bloque para lectores avanzados al final del artículo.

Una distribución construida a partir de lo que ya ha pasado

Sortear de tu propia muestra reproduce solo los resultados que están en ella. Las distribuciones de cambios en el tipo de cambio tienen colas más gruesas que la normal^[2], y un único evento puede producir una pérdida muchas veces mayor que la planeada; si la muestra no contiene ni una sola observación así, la simulación nunca generará una, ni siquiera en un millón de ejecuciones. Trata el resultado de sortear una muestra despojada de observaciones extremas como una estimación optimista en la cola de la distribución. El complemento práctico es un cálculo condicional aparte: calcula el resultado asumiendo que una operación de cada doscientas termina en −5R, y otro asumiendo que una de cada quinientas termina en −10R. El resultado de tal cálculo solo dice cuánto se lleva del capital un evento así.

El supuesto de que los parámetros son estables

La tasa de aciertos y el ratio riesgo-recompensa que se introducen en la fórmula vienen del pasado y llevan el error de estimación de la sección 9. El modelo los trata como constantes. Si cambian con el tiempo, entonces un resultado calculado sobre el promedio de todo el periodo es menos cauteloso que uno calculado sobre el peor subperiodo, y es el segundo número el que dice más sobre el riesgo. Juzgar si un conjunto de reglas todavía funciona pertenece a la sección 8; este artículo solo calcula las consecuencias de los parámetros que tú aportas.

11. Ejercicio de autoevaluación

Los datos son distintos de todo lo usado más arriba. Resuélvelo tú mismo antes de mirar la solución.

Solución.

Punto 1. Drawdown medido desde el pico: (24.000 − 15.600) / 24.000 = 8.400 / 24.000 = 0,35, esto es −35%. Rendimiento necesario: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, esto es +53,8%. En divisa: faltan 8.400 PLN, calculado sobre 15.600 PLN, lo que da 8.400 / 15.600 = 53,8%; la coincidencia de ambas vías es una comprobación de la aritmética. El valor es bruto: no cubre el coste de las operaciones necesarias para recuperar, ni el tiempo.

Punto 2. El modelo: gambler's ruin, un ratio 1:1, un importe de riesgo en efectivo fijo, un horizonte infinito. El ratio: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N se mide desde el capital actual hasta el umbral de ruina, porque parte de la distancia al umbral ya se ha recorrido. El umbral: 24.000 × (1 − 0,40) = 14.400 PLN. El importe de riesgo: 1,5% × 24.000 = 360 PLN (fijo, sobre el capital inicial). La distancia: 15.600 − 14.400 = 1.200 PLN.

• Riesgo 1,5%: N = 1.200 / 360 = 3,33, redondeado hacia abajo a 3 unidades enteras. 0,8518523 = 0,6181, esto es 61,8%. Redondear N hacia abajo sobreestima el resultado, así que es la elección cautelosa; el umbral en realidad se traspasa solo tras la cuarta pérdida neta (15.600 − 4 × 360 = 14.160 < 14.400), y 0,8518524 = 52,7%; ambos números se leen junto con el método con que se calculó N, por eso el método hay que declararlo.
• Riesgo 3%: el importe es 720 PLN, N = 1.200 / 720 = 1,67 → 1. 0,8518521 = 85,2% (con la barrera alcanzada en la segunda pérdida: 0,8518522 = 72,6%).
• Dos conclusiones. Duplicar el riesgo eleva el resultado de 61,8% a solo 85,2%, esto es 1,38 veces, porque con una N de unas pocas unidades el exponente deja de comportarse como un exponente. Y la segunda: el mismo cálculo realizado al inicio (N = 9.600 / 360 = 26,67 → 26) da 1,55% — el drawdown del punto 1 elevó el riesgo de ruina del modelo aproximadamente cuarenta veces. Tras un drawdown profundo, el riesgo de ruina deja de ser un número decorativo.

Punto 3. El resultado se sostiene bajo: un ratio riesgo-recompensa igual a 1:1 (con cualquier otro la fórmula no se aplica, y la dirección del cambio depende de su valor); un importe de riesgo en efectivo fijo (con un porcentaje fijo hace falta una simulación); una tasa de aciertos constante (54% es una estimación muestral; con cien observaciones y una desviación estándar de 1,5R el intervalo de confianza de la esperanza tiene una semianchura de ±0,29R, así que contiene tanto un conjunto de reglas positivo como uno negativo, y el error de estimación actúa en ambas direcciones); independencia de resultados (el agrupamiento de pérdidas alarga las rachas y eleva el riesgo frente al modelo); coste de ejecución cero (el coste siempre eleva el riesgo frente al modelo); un horizonte infinito (uno finito reduce el resultado). Si la esperanza resultara ser negativa, ambos números del punto 2 pierden su sentido, porque el riesgo de ruina es entonces 1 y el tamaño de posición solo afecta a cuántas operaciones se tarda en llegar.

El punto 4 no tiene una única solución. El esquema es el mismo: tu propio umbral de ruina en divisa → la distancia desde el capital actual → división por tu propio importe de riesgo → N → ((1 − p)/p)N. Anota el resultado junto con la lista de supuestos del punto 3: esa lista es parte de la respuesta.

12. Cinco números que debes tener calculados

Cada uno de ellos exige que se declaren su base y sus supuestos; solo con eso se puede comparar con algo:

1. Esperanza tras el coste de ejecución, en unidades R y en la divisa de la cuenta, con la composición del coste declarada. La definición y la derivación las da el artículo 9.6.
2. El rendimiento necesario para recuperar tu drawdown típico y tu drawdown más profundo hasta la fecha, a partir de la identidad Z = DD/(1 − DD), calculado desde el fondo.
3. Riesgo de ruina a tu riesgo por operación, con el umbral de ruina, la variante del modelo y la lista de supuestos declarados. Sin esas tres cosas el número no significa nada.
4. La mediana y el percentil 95 del drawdown máximo de una simulación sobre tus propios resultados. El segundo de ellos no es el peor caso — es el límite más allá del cual el cálculo calla.
5. La semianchura del intervalo de confianza de tu esperanza a tu número de operaciones. Si el intervalo cubre el cero, los cuatro números anteriores se calculan sobre un parámetro que no conoces.

Los cinco describen las consecuencias de parámetros que tú mismo aportas. Ninguno de ellos determina si tu conjunto de reglas tiene edge (esa pregunta pertenece a la sección 8), y ninguno de ellos convierte un conjunto con esperanza negativa en uno rentable.

El próximo artículo (9.3) invierte la dirección de este cálculo: en lugar de calcular el riesgo de ruina para un porcentaje dado, deriva el porcentaje permitido a partir de un drawdown dado y una longitud de racha perdedora asumida.