Correlación de pares, exposición oculta y riesgo de cartera

Tres posiciones al 1% de riesgo cada una no son un número, son dos. La volatilidad modelada del resultado diario de tal cartera sale, en el cálculo de la sección 7, en 1.53% del capital. La suma de pérdidas cuando las tres salidas de protección se activan a la vez es 3.00%, y una vez añadido el slippage asumido a modo ilustrativo (10% del importe de riesgo en cada pata — un parámetro del ejemplo, no una estimación de mercado) y sin gap — 3.30%; este cálculo no conoce límite superior para esa segunda cifra. El primer número describe la dispersión del resultado bajo negociación continua. El segundo es el importe que sale de la cuenta, y es el que planificas con el capital. Confundir ambos es el error más frecuente en la aritmética de cartera en el mercado de divisas. Cada cálculo que sigue arrastra estas dos magnitudes por separado.

1. Los dos números que la gente llama "riesgo de cartera"

La fórmula clásica de cartera de Markowitz¹ describe la volatilidad combinada modelada, no una pérdida garantizada al operar con una salida de protección. Esa distinción reaparece en la mayoría de los debates sobre correlación, así que se sitúa aquí al principio en lugar de en una nota al pie.

La magnitud que entra en esa fórmula bajo el símbolo σ es la desviación estándar del resultado de la posición — una medida de cuánto se dispersa el resultado diario alrededor de cero. El importe de riesgo en la salida de protección es algo completamente distinto: es un umbral de corte de pérdida, el valor en el que la posición deja de existir. Sustituir uno por otro es un error de categoría, y su efecto actúa en ambas direcciones, las dos peligrosas.

La primera consecuencia concierne a la correlación negativa. La frase "con una correlación de −0.91 las posiciones se neutralizan entre sí, así que tu riesgo efectivo es 0.42% en lugar de 2%" es falsa como descripción de la pérdida. La volatilidad modelada del resultado diario efectivamente cae cerca de cero, pero ambas salidas de protección pueden activarse en la misma sesión — basta con que la cotización se mueva primero en un sentido y luego en el otro, lo cual es el curso ordinario de un día con publicación de datos, no un escenario extremo. La suma de pérdidas sigue siendo entonces 2% más el slippage en ambas patas.

La segunda consecuencia concierne a la correlación positiva. La frase "cinco posiciones al 1% con una correlación de +0.85 da un riesgo efectivo de 4.69%" se lee como "menos del 5%, tengo margen." No hay margen. 4.69% es la desviación estándar del resultado diario bajo el supuesto de que la σ de cada posición es 1% del capital; si las cinco salidas se activan, la pérdida es 5% más slippage en cada una de las cinco patas.

El resto del artículo mantiene esta división: cada cálculo da ambos números uno al lado del otro.

2. La correlación como medición — cuatro parámetros y una ficha descriptiva

La correlación es un número entre −1.00 y +1.00 que describe hasta qué punto dos series se mueven juntas. Sin embargo, el número por sí solo no es un dato hasta que sabes cómo se calculó. Cambiar cualquiera de los cuatro parámetros de medición cambia el resultado lo suficiente como para decidir la conclusión.

• Periodo — desde cuándo hasta cuándo, con la fecha de medición
• Frecuencia de observación — datos diarios, horarios, semanales
• Transformación de la serie — niveles de precio o tasas de rendimiento; y si son rendimientos, simples o logarítmicos
• Número de observaciones — porque el error de estimación depende de él

Una correlación calculada sobre niveles de precio suele ser alta y prácticamente inútil: mide una tendencia compartida, no el comovimiento de los rendimientos. Dos pares en una tendencia larga pueden tener una correlación de niveles de +0.95 mientras sus rendimientos diarios son casi independientes. Para la aritmética de cartera se toman tasas de rendimiento logarítmicas ln(C_t/C_t−1) a partir de cierres tomados a la misma hora.

Una ficha descriptiva de correlación — el mismo par, cuatro conjuntos de parámetros

La ficha A cubre todo el trimestre, la ficha B su último mes — así que describen el mismo par en dos periodos distintos y a dos frecuencias distintas, y devuelven +0.87 y +0.61. La diferencia de 0.26 es un múltiplo del error estándar de ambas estimaciones, así que no se puede explicar por aleatoriedad de muestreo: es la consecuencia de la elección de los parámetros de medición. La ficha C muestra por qué la transformación no es un detalle — en niveles de precio la respuesta es +0.96, un valor del que no se desprende nada sobre el comovimiento de los resultados.

Sin embargo, la ficha B difiere de la ficha A en dos parámetros a la vez, así que el 0.26 no se puede atribuir solo a la frecuencia. Solo la ficha D los separa: el mismo trimestre, la misma transformación, cambiada solo la frecuencia — y la lectura baja de +0.87 a +0.64. La distancia restante hasta el +0.61 de la ficha B es obra de acortar el periodo a un solo mes. La dirección de ese primer cambio tiene una causa simple: en datos horarios, parte del comovimiento se dispersa en horas adyacentes, porque los dos pares no reaccionan a un factor compartido en el mismo minuto. Aquí no cabe una prueba de significación: las fichas A y D describen el mismo trimestre a dos resoluciones, así que no son dos muestras independientes, y la fórmula del error estándar de una diferencia de la sección 3 no se les aplica. Esto es una demostración del cuarto parámetro de forma aislada: con todo lo demás sin cambios, la frecuencia por sí sola desplaza la lectura en una cantidad que decide la conclusión.

La consecuencia práctica es sencilla: si construyes una cartera sobre correlación diaria pero operas en una ventana horaria, estás calculando el riesgo a partir de una magnitud distinta de aquella a la que estás expuesto. Mide en el horizonte durante el cual mantienes la posición.

Cuánto de la lectura es ruido

El error estándar del coeficiente de correlación, suponiendo una distribución normal bivariante y observaciones independientes, es:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

donde n es el número de observaciones de rendimiento. Ambos supuestos se violan en los datos de divisas — las distribuciones tienen colas más gruesas que la normal, y las observaciones son dependientes en el tiempo — así que los valores de abajo son una estimación a la baja: la incertidumbre real es mayor.

De aquí se desprende una conclusión que da la vuelta a una regla de seguimiento popular. El consejo "si la correlación a 30 días se desvía más de 0.25 de la de 90 días, algo ha cambiado en la estructura del mercado" no tiene apoyo en la aritmética. Estás comparando dos estimaciones, no una estimación contra un número conocido, así que lo que rige es el error estándar de la diferencia — y aquí las ventanas tienen longitudes distintas, así que SE_Δ = √(SE₃₀² + SE₉₀²). A ρ ≈ 0.50 eso es √(0.142² + 0.080²) ≈ 0.163, y el umbral de dos errores estándar de la diferencia es de aproximadamente 0.33 — y eso suponiendo muestras disjuntas. Una diferencia de 0.25 queda por debajo del umbral y es indistinguible del ruido. Para que tal diferencia signifique algo necesitas o bien una ventana más larga o bien un umbral claramente más alto — y en cualquier caso obtendrás una señal retrasada.

Una salvedad sobre el propio umbral. La fórmula SE_Δ supone que ambas lecturas provienen de muestras disjuntas, y las ventanas de 30 y 90 sesiones no lo son: la más corta está contenida en la más larga, así que ambas lecturas se calculan en parte a partir de las mismas observaciones y dejan de ser dos evidencias independientes — esto es una medición y un subconjunto de sí misma. No se puede entonces dar un umbral exacto sin estimar la covarianza de ambas lecturas o sin un bootstrap. El valor 0.40 de la tabla anterior describe otro caso distinto: dos lecturas de ventanas disjuntas de la misma longitud, 30 sesiones.

3. La ventana de medición — una elección, no una constante

La tabla de error estándar de la sección anterior muestra solo la mitad del problema. La longitud de la ventana en realidad controla dos errores a la vez, y esos dos errores se mueven en direcciones opuestas. Una ventana corta tiene un error aleatorio grande y poco retraso. Una ventana larga tiene un error aleatorio pequeño y un retraso grande. No hay una ventana que minimice ambos — la elección de la longitud es un compromiso entre error y retraso.

El retraso de una ventana móvil

Una ventana móvil de longitud n sesiones es un promedio sobre las últimas n observaciones. Si la relación cambia bruscamente, entonces m sesiones después del cambio la ventana contiene m observaciones del nuevo régimen y n − m del antiguo, así que la lectura es una mezcla de ambos con peso m/n sobre el nuevo. La lectura alcanza el noventa por ciento del nuevo valor tras 0.9 × n sesiones — y eso suponiendo que el cambio fue instantáneo y permanente, que es el caso más favorable para la ventana.

Cuántas sesiones hacen falta para detectar un cambio dado

La pregunta inversa es más práctica: tengo un umbral de decisión y quiero saber qué ventana me permite distinguir una infracción de ese umbral del ruido. La condición es 2 × SE_Δ ≤ Δ, donde Δ es la diferencia que quieres detectar y SE_Δ = √2 × SE es el error estándar de la diferencia entre dos lecturas de ventanas disjuntas de la misma longitud — porque estás comparando dos estimaciones, no una estimación contra un número conocido. El umbral es por tanto 2√2 × SE ≈ 2.83 × SE. Sustituyendo SE = (1 − ρ²)/√(n − 1) para ρ = 0.50, eso es 0.75/√(n − 1):

$$n \geq 1 + \left(\frac{2.121}{\Delta}\right)^2$$

La última fila merece leerse dos veces. Para distinguir con alguna credibilidad una correlación de 0.60 de una de 0.70 hacen falta 451 observaciones — y una ventana tan larga solo registrará un cambio de régimen tras más de un año y medio. No puedes tener ambas cosas a la vez, y cualquier tabla que cite una única ventana "estándar" sin esta salvedad se guarda para sí la mitad de la aritmética.

El procedimiento de selección

La decisión se reduce a cuatro pasos, realizados una vez y registrados junto con el resto de los parámetros.

1. Establece qué diferencia necesitas detectar. No "quiero saber cuál es la correlación", sino "quiero saber si ha cruzado el umbral en el que rechazo una posición." Si el umbral es 0.70 y las lecturas típicas rondan 0.50, entonces Δ = 0.20.
2. Lee la n requerida en la tabla anterior y comprueba si el retraso de tal ventana es aceptable dado tu horizonte de mantenimiento. Con posiciones mantenidas durante días, una ventana de 114 observaciones — más de cinco meses de datos — describe una relación que tiene poco que ver con tu posición.
3. Si el retraso es inaceptable, baja la ambición del umbral, no la longitud de la ventana. Un umbral de 0.70 sobre una ventana de 30 sesiones no es un umbral, es un empate — cuando Δ solo se distingue a partir de 0.40, una lectura de 0.60 y una lectura de 0.85 son la misma información.
4. Trata una ventana corta como una alarma, no como una medición. Una lectura a 30 sesiones que diverge de la larga es motivo para comprobar qué ha cambiado — no es motivo para rechazar o abrir una posición. Pon una regla de rechazo solo sobre una ventana que pase la prueba del paso dos.

4. La matriz de correlación — qué contiene y qué no

Una matriz de correlación es una tabla simétrica en la que cada celda da el coeficiente de un par de series. La diagonal siempre es +1.00. La matriz siguiente cubre ocho pares — siete majors y un cruce (EUR/GBP) — y se calcula sobre rendimientos logarítmicos diarios; los valores son ilustrativos — muestran relaciones estructurales típicas, no una lectura de ninguna ventana concreta.

La última fila no se mide por separado sino que se deriva de las demás, y vale la pena saber por qué. Con volatilidades similares en ambas patas, EUR/GBP ≈ EUR/USD − GBP/USD se cumple de forma aproximada, así que la correlación de EUR/GBP con cualquier tercera serie Z es [ρ(EUR/USD, Z) − ρ(GBP/USD, Z)] / √(2 − 2ρ), donde ρ = 0.87 es la correlación de las dos patas. El denominador es 0.5099 y de ahí salen todos los números de la última fila: +0.25, −0.25, +0.14, +0.20, −0.25, −0.18 y −0.24. Quien escriba valores elegidos con independencia del resto de la matriz acaba con una tabla que no puede provenir de ningún dato — y será el mismo error que describe la sección 12 en el caso más simple del límite inferior de la correlación.

Leer una matriz son dos operaciones, no una. Primero buscas valores absolutos por encima de 0.70 — esos son los candidatos a una relación fuerte. Luego trasladas el signo según las direcciones de las posiciones y miras la correlación de resultados: si es alta y positiva, las posiciones pierden juntas y las tratas como una sola posición con un nocional ampliado; si es alta y negativa, las patas se cancelan entre sí en volatilidad modelada, pero cada una conserva su propio presupuesto de salida y sus propios costes. Largo en EUR/USD y largo en GBP/USD a +0.87 es un tema macro en dos envoltorios. Largo en EUR/USD y largo en USD/CHF a −0.91 es una correlación de resultados de −0.91 — exposición parcialmente neutralizada con dos presupuestos de salida, no diversificación (la aritmética — cartera C en la sección 11).

5. Exposición oculta por divisa — descomponer posiciones en divisas componentes

La matriz de correlación muestra el comovimiento, pero no muestra dónde estás situado en neto. Cada par son dos divisas: compras una y vendes la otra. Con varias posiciones esas divisas empiezan a solaparse y sale una sola exposición concentrada bajo varios nombres. El desglose en divisas componentes (exposición neta por divisa) es la conversión de todas las posiciones abiertas en una exposición neta por divisa, en la divisa de la cuenta.

La regla del signo

Sin separar los signos, la suma trata toda posición como larga y, en una cartera mixta, es errónea por el valor de cada pata en la dirección opuesta. Este es el error oculto más común en este cálculo.

El cálculo sobre tres posiciones

Supuestos (valores ilustrativos). Capital actual 100,000 PLN, medido antes de abrir la primera posición. Riesgo por posición 1.00% del capital actual, es decir, 1,000 PLN. Valores nocionales convertidos a la divisa de la cuenta al precio medio del día de apertura; cómo convertir un nocional a la divisa de la cuenta — la sección de conceptos básicos.

1. Largo EUR/USD, valor nocional 100,000 PLN
2. Largo GBP/USD, valor nocional 120,000 PLN
3. Corto USD/CHF, valor nocional 90,000 PLN

Tres posiciones con tres nombres, una exposición: corto en el dólar por valor de 310,000 PLN, es decir, 3.1 veces el capital. Un fortalecimiento del dólar del 1% cuesta aproximadamente 3,100 PLN, sin importar que en la tabla de la cartera haya tres símbolos distintos.

A veces se usan los lotes como atajo en lugar del valor nocional en la divisa de la cuenta. El atajo funciona solo cuando todas las posiciones están sobre instrumentos de volatilidad similar y valor de pip similar — y un lote de EUR/USD y un lote de GBP/JPY no cumplen esa condición. La diferencia de volatilidad entre instrumentos la absorbe de todos modos la aritmética de cartera a través de σ_i, así que resulta más simple contar en la divisa de la cuenta desde el principio.

6. El desglose en factores de divisa, llevado hasta el final

Las tres posiciones de la sección anterior dieron un resultado obvio, porque las tres tenían el dólar en el mismo lado. Con un conjunto que contiene cruces y posiciones en ambas direcciones, el resultado deja de ser obvio — y es entonces cuando resulta que el cálculo hay que hacerlo de verdad en lugar de estimarlo a ojo.

El conjunto a descomponer

Supuestos (valores ilustrativos). Capital actual 100,000 PLN, medido antes de abrir la primera posición. Riesgo por posición: 0.60% = 600 PLN, cinco posiciones, así que la suma de los importes de riesgo es 3.00% = 3,000 PLN. El límite de concentración es la misma regla de todo el artículo — 3 × el riesgo de una sola posición; el límite es una regla, no un número, así que a 0.60% de riesgo por posición da 1.80%, mientras que a 1.00% daba 3.00%.

Paso 1 — dividir cada posición en dos divisas

La regla del signo de la sección anterior, aplicada mecánicamente: una posición larga da un más a la divisa base y un menos a la divisa cotizada, una corta lo contrario. El valor nocional entra en ambas filas con el mismo tamaño.

Paso 2 — sumar por divisa

Comprobación aritmética: la suma de todas las posiciones netas debe ser cero, porque cada posición aporta el mismo importe una vez con más y otra con menos. Aquí: −90,000 + 70,000 + 70,000 − 70,000 + 30,000 − 10,000 = 0. Si no da cero, has invertido un signo o te has dejado una pata en algún sitio.

El resultado es sorprendente, y eso es lo más valioso que tiene. La mayor exposición nocional neta pertenece al dólar canadiense — una divisa que aparece exactamente en uno de los cinco pares. El dólar estadounidense, presente en tres pares, llega solo segundo, empatado con el dólar australiano y el yen, porque las tres posiciones en dólares se cancelan en parte: una corta en el dólar (−80,000) frente a dos largas (+60,000 y +90,000) sale neta en +70,000. La libra, presente en dos pares, tiene la exposición más pequeña de todo el conjunto — 60,000 corto y 50,000 largo se cancelan casi por completo.

Paso 3 — riesgo concentrado, es decir, la segunda tabla

La exposición nocional neta responde a la pregunta del coste de un movimiento en una divisa. La pregunta de la pérdida la responde una magnitud distinta: la suma de los importes de riesgo de aquellas posiciones que pierden cuando una divisa dada se mueve en un sentido. Se calcula por separado para cada una de las dos direcciones, y se toma como concentración el valor mayor.

El mayor riesgo concentrado sale en 1.20% en el dólar y cabe dentro del límite de 1.80%. Nota que las dos tablas señalan divisas distintas como dominantes: en términos nocionales lidera el dólar canadiense con −90%, en términos de riesgo el dólar estadounidense con 1.20%. No hay contradicción, porque miden cosas distintas. La exposición nocional suma importes algebraicamente, así que las posiciones opuestas se cancelan; el riesgo concentrado solo cuenta aquellas posiciones que pierden juntas, así que no hay cancelación. El límite se coloca sobre la segunda tabla.

Paso 4 — la suma de pérdidas

Cinco posiciones a 600 PLN: 3,000 PLN = 3.00% del capital. Con slippage del 10% del importe de riesgo en cada pata: 5 × 660 = 3,300 PLN = 3.30% del capital. El mismo número que con las tres posiciones de la sección anterior — porque la suma de pérdidas depende del presupuesto de riesgo, no de entre cuántas posiciones lo repartas.

7. Exposición combinada de tres posiciones, calculada por completo

La misma cartera de la sección 5, calculada hasta el final. El cálculo lleva ambos números en paralelo, porque solo juntos dicen algo útil.

Entradas

Paso 1 — trasladar el signo

Correlaciones de series de precios de la matriz de la sección 4: EUR/USD y GBP/USD +0.87; EUR/USD y USD/CHF −0.91; GBP/USD y USD/CHF −0.82. Las posiciones 1 y 2 son largas, la posición 3 es corta, así que:

Las tres correlaciones de resultados son positivas y altas. Una cartera que parece mixta en un gráfico — dos posiciones largas y una corta — es en realidad homogénea.

Paso 2 — volatilidad combinada modelada

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Sustituyendo, en porcentajes del capital:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0.25 + 0.49 + 0.16 = 0.90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0.87 × 0.50 × 0.70 = 0.3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0.91 × 0.50 × 0.40 = 0.1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0.82 × 0.70 × 0.40 = 0.2296
2 × (0.3045 + 0.1820 + 0.2296) = 2 × 0.7161 = 1.4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = 1.53% del capital al día = 1,527 PLN

Una comprobación de orden de magnitud: el resultado debe caer entre la mayor desviación individual (0.70%) y la suma de las desviaciones (1.60%, el límite en ρ = +1). Así es. La mitad inferior de esa comprobación se aplica solo cuando las correlaciones de resultados son no negativas — con negativas deja de valer, como muestra la cartera C en la sección 11, donde σ_p = 0.34% queda por debajo de la desviación de una sola posición. Bajo independencia habría salido √0.90 = 0.95% — la relación entre las posiciones eleva la volatilidad modelada en un 61%.

Paso 3 — la suma de pérdidas cuando las salidas se activan a la vez

Este cálculo es independiente y se realiza sumando, no sacando una raíz cuadrada.

El supuesto de una ejecución exactamente al precio de la orden es una simplificación planteada abiertamente en la primera fila; la segunda fila la corrige. El multiplicador de slippage es un parámetro ilustrativo, no una medición de mercado — el slippage real depende del instrumento, el tipo de orden, la hora de sesión y el proveedor de precios, y en ventanas con un colapso brusco de liquidez los eventos descritos en 9.10 superaron tales valores muchas veces; el cálculo del gap no tiene límite superior en este punto. Para ser precisos sobre el estatus de los costes: el importe R se calcula hasta el precio de salida planeado y no contiene el spread, la comisión ni los puntos de swap — esos componentes gravan el resultado por separado (aritmética de costes — 9.6), y el multiplicador g cubre solo la diferencia entre el nivel de la orden y el precio de ejecución.

Paso 4 — los dos números uno al lado del otro

La volatilidad modelada salió más de la mitad de baja que la suma de pérdidas cuando se activan las salidas. Leer 1.53% como "mi riesgo" significaría planificar el capital para menos de la mitad del importe que realmente puede salir de la cuenta en una sola sesión.

Dos posiciones a distintas correlaciones

La fila ρ = 0.00 merece atención aparte, porque en tablas de este tipo suele llevar la etiqueta de "diversificación real." En el mercado de divisas una correlación cercana a cero entre pares que contienen el mismo dólar es una excepción más que un estado alcanzable mediante la selección de instrumentos — y desaparece justo cuando más se necesita. Sin esa salvedad, la fila sugiere un beneficio que no se puede encargar.

Una fórmula simplificada para N posiciones

Para N = 5, σ = 1.00% y ρ = 0.85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = 4.69% del capital al día. A ρ = 0 sería 1% × √5 = 2.24%, a ρ = +1 — 5.00%.

La suma de pérdidas cuando se activan cinco salidas al 1% de riesgo cada una sale en 5.00% con independencia de la correlación, y una vez añadido un 10% de slippage en cada pata — 5.50%. El número 4.69% por tanto no significa "todavía tengo margen hasta el 5%": describe una magnitud completamente distinta y no limita la pérdida en ningún sentido.

Tampoco se pueden concertar correlaciones fuertemente negativas con cinco posiciones, y detrás de eso no hay ninguna decisión del autor. Una matriz de correlación debe ser semidefinida positiva, así que con correlación uniforme por pares la expresión N + N(N−1)ρ no puede caer por debajo de cero; para N = 5 eso da el límite ρ ≥ −0.25. Las relaciones negativas se limitan entre sí a medida que crece el número de instrumentos — eso es una propiedad algebraica de la matriz, no una convención editorial.

8. La mecánica de la activación de salidas correlacionadas

La frase "todas las salidas se activaron en el mismo minuto" aparece regularmente en descripciones de carteras correlacionadas y suele quedar sin ninguna aritmética detrás. Sin embargo, se puede calcular — y solo una vez calculada muestra por qué la suma de pérdidas cuando se activa cada salida a la vez no es un escenario exótico sino una magnitud que hay que planificar.

Tres cosas la componen: un factor común, la distancia de salida expresada en unidades de volatilidad, y la concentración del movimiento dentro de una ventana temporal. Las dos primeras se pueden calcular directamente sobre la cartera de la sección 7.

Paso 1 — un factor reproduce toda la matriz

Las correlaciones de resultados allí salieron en +0.87 (posiciones 1 y 2), +0.91 (1 y 3) y +0.82 (2 y 3). Comprobemos si se pueden explicar mediante un único factor común — la fuerza del dólar — con cargas a, b, c tales que la correlación de dos posiciones sea el producto de sus cargas. El sistema de tres ecuaciones tiene una solución explícita:

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0.87 × 0.91) / 0.82) = √(0.7917 / 0.82) = √0.96549 = 0.983
b = 0.87 / 0.98259 = 0.885
c = 0.91 / 0.98259 = 0.926

Comprobación: el producto b × c = 0.88541 × 0.92613 = 0.8200, y habíamos supuesto 0.82. Concuerda hasta el cuarto decimal. Tres posiciones con tres nombres son, en la aritmética, una sola exposición a un solo factor, con cargas de 0.98, 0.89 y 0.93 — y eso no es una metáfora, sino la solución de un sistema de ecuaciones sobre esos tres números concretos.

Paso 2 — la distancia de salida en unidades de volatilidad

El importe de riesgo y la desviación estándar de la posición dan entre sí una tercera magnitud: a cuántas desviaciones estándar diarias de distancia se sitúa la salida de protección. Llamémosla k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

El mismo importe de riesgo da tres distancias distintas en unidades de volatilidad, porque los instrumentos tienen volatilidades distintas. Eso ya es información útil por sí misma: la posición dos abandonará estadísticamente la cartera con más frecuencia, aunque arriesga exactamente el mismo número de zlotys que las demás.

Paso 3 — el umbral para el factor común

Un movimiento en el factor común de tamaño z (en unidades de su propia desviación estándar) desplaza el resultado de la posición i en aproximadamente a_i × z de sus desviaciones estándar. La salida de protección de la posición i se activará cuando a_i × z ≥ k_i, es decir, cuando:

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Un movimiento del factor de 1.61 desviaciones elimina la posición dos. De 2.04 — la posición dos y la posición uno. De 2.70 — las tres a la vez. El factor en sí se mueve 2.70 desviaciones o más en el 0.35% de las sesiones, pero eso es solo parte de la respuesta: los componentes idiosincrásicos de las posiciones individuales se suman al movimiento común, así que el conjunto completo de salidas puede activarse incluso con un movimiento del factor más débil que 2.70. El cálculo completo da 0.522% de las sesiones.

Paso 4 — lo mismo durante un año, y una comparación con la independencia

En 250 sesiones, la probabilidad de que tal sesión ocurra al menos una vez es 1 − (1 − 0.00522)²⁵⁰ = 1 − 0.271 = 72.95%.

Ahora lo mismo bajo el supuesto de que las tres posiciones son independientes. Cada una tiene entonces su propia probabilidad de alcanzar su salida: 1 − Φ(2.00) = 2.275%, 1 − Φ(1.43) = 7.656% y 1 − Φ(2.50) = 0.621%. Las tres en la misma sesión: el producto de esos tres números, es decir, 0.00108%. En 250 sesiones — 0.27%.

Una razón del orden de 482 es la respuesta numérica a la pregunta de por qué la suma de pérdidas cuando se activa cada salida a la vez hay que planificarla en lugar de dejarla de lado como caso límite. Con una cartera independiente sería un evento más raro que una vez cada varios cientos de años; con esta cartera — dentro del modelo de esta sección — un evento con una probabilidad anual de aproximadamente 73%.

Paso 5 — qué ocurre cuando las distancias de salida son idénticas en unidades de volatilidad

Muchos lectores fijan sus salidas de protección como un múltiplo fijo de la volatilidad del instrumento — todas a 2.00 desviaciones diarias, por ejemplo. Bajo tal configuración los umbrales para el factor común dejan de dispersarse:

z₁ = 2.00 / 0.983 = 2.04 · z₂ = 2.00 / 0.885 = 2.26 · z₃ = 2.00 / 0.926 = 2.16

Un movimiento del factor de 2.26 desviaciones por sí solo ocurre en el 1.19% de las sesiones, pero con umbrales tan cercanos entre sí esa aproximación sobreestima. El cálculo completo da 0.860% por sesión, y en 250 sesiones: 1 − (1 − 0.00860)²⁵⁰ = 1 − 0.115 = 88.46%.

Estandarizar las distancias de salida en unidades de volatilidad — una operación que parece ordenar el riesgo — elevó la probabilidad anual de que las tres salidas se activen a la vez del 72.95% al 88.46%. La razón es sencilla: la dispersión de los umbrales era lo único que mantenía las salidas separadas en el tiempo. Esto no significa que las distancias deban diferenciarse a propósito — significa que estandarizarlas no es una operación neutral en riesgo para la cartera y hay que calcularla junto con todo lo demás.

9. La correlación bajo estrés — lo que este cálculo no cubre

La correlación no tiene ninguna obligación de mantenerse donde estaba en tu prueba histórica. Si construyes el riesgo de cartera sobre correlación histórica, estás construyendo sobre un supuesto de continuidad — y el mercado no garantiza continuidad alguna.

El cambio a veces es brusco y corre en ambas direcciones. Algunas relaciones se estrechan hacia valores extremos, porque los participantes cierran posiciones en la misma dirección y al mismo tiempo; otras se rompen o cambian de signo cuando el evento concierne a una sola divisa. Ambas posibilidades estropean un cálculo construido sobre una lectura de antes del evento, salvo que la primera lo estropea en la dirección de la infravaloración.

Hay un mecanismo más, y no es estadístico. En una reducción forzosa de exposición, la correlación deja de ser una descripción del comovimiento y pasa a ser una consecuencia del flujo: un participante cierra una posición, la cotización se mueve, los siguientes reciben una llamada de margen y cierran lo mismo. En tal secuencia el coeficiente no "sube" — se fuerza⁵.

Ambos eventos de la tabla tienen un único responsable dentro de esta sección del curso, y ahí es donde están sus niveles de precio, horas y fuentes. Solo una cosa cuenta aquí de ellos: en cada uno de ellos la lectura de correlación de antes del evento no sirvió para calcular el riesgo durante el evento. Lo mismo mostró la eliminación del tipo mínimo EUR/CHF por el Banco Nacional Suizo el 15 de enero de 2015⁸ — una descripción completa de ese evento, con niveles de precio y horas, pertenece a 9.10. Durante el fortalecimiento brusco del yen el 3 de enero de 2019, las relaciones entre los cruces del yen se estrecharon en el otro sentido, y los spreads se ampliaron significativamente⁷. Durante la caída brusca de la libra el 7 de octubre de 2016, la activación de órdenes de protección se sumó al movimiento y lo amplificó⁶ — y la divergencia de precios de ejecución entre plataformas fue una característica del evento, no una avería.

Las posiciones correlacionadas tienen una característica más compartida que no se desprende del coeficiente: los niveles de salida de protección de muchos participantes se alinean en lugares similares, así que romper tal nivel en un par puede transmitir el movimiento a un par correlacionado y disparar más salidas — la mecánica de los grupos de órdenes y la estructura de precios se describe en la sección de análisis técnico. Lo que cuenta para la aritmética es la consecuencia: en pares correlacionados las salidas pueden realizarse próximas en el tiempo y a precios peores que en una sola posición, es decir, el slippage de la segunda fila de la tabla del paso 3 es allí un supuesto optimista.

10. Cuánto de este cálculo sobrevive al estrés — las cifras

La sección anterior describió el fenómeno. Calculémoslo ahora, porque solo la aritmética muestra qué parte de la tesis popular sobre la correlación en una crisis es cierta y qué parte desvía la atención hacia la magnitud equivocada.

En una ventana de estrés cambian dos cosas a la vez: las correlaciones se estrechan y las desviaciones estándar suben. Los debates sobre diversificación hablan casi exclusivamente de la primera. Separémoslas y calculemos cada una por su cuenta — primero sobre la cartera de la sección 7, luego sobre la cartera dispersa B de la sección 11.

La cartera concentrada

Las tres posiciones de la sección 7: σ = 0.50% / 0.70% / 0.40%, correlaciones de resultados +0.87 / +0.91 / +0.82, importe de riesgo 1.00% por posición, capital 100,000 PLN. La variante de estrés — valores ilustrativos — supone que las tres correlaciones se estrechan a 0.97 y todas las desviaciones estándar se duplican.

La variante con correlaciones estrechadas solamente. La suma de cuadrados no cambia: 0.90. El término cruzado: 2 × 0.97 × (0.35 + 0.20 + 0.28) = 2 × 0.97 × 0.83 = 1.6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = 1.58%.

La variante con volatilidad duplicada solamente. La fórmula es homogénea de grado uno en σ, así que duplicar todas las desviaciones duplica exactamente el resultado: σ_p = 2 × 1.53% = 3.05%.

La variante con ambos cambios. σ = 1.00 / 1.40 / 0.80. Suma de cuadrados: 1.00 + 1.96 + 0.64 = 3.60. Término cruzado: 2 × 0.97 × (1.40 + 0.80 + 1.12) = 2 × 0.97 × 3.32 = 6.4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = 3.17%.

La cartera dispersa

Cartera B de la sección 11: tres posiciones con σ = 0.80% cada una, correlaciones de resultados +0.35 / +0.20 / +0.10, así que su suma es 0.65. El valor de partida: 0.80% × √(3 + 2 × 0.65) = 0.80% × √4.30 = 1.66%.

Con las tres correlaciones estrechadas a 0.97 la suma pasa a ser 2.91, así que σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = 2.38%. Con la volatilidad duplicada y las correlaciones sin cambios: 2 × 1.66% = 3.32%. Con ambos cambios: 1.60% × 2.9698 = 4.75%.

La comparación

De esta comparación se desprenden tres cosas, ninguna obvia antes de calcularla.

Primero: para una cartera ya concentrada, un estrechamiento de las correlaciones es un efecto de segundo orden. Eleva la volatilidad modelada en un 3.7%, mientras que una subida de la propia volatilidad la eleva en un 100%. Una cartera que se sienta sobre correlaciones del orden de 0.9 ya no tiene nada que perder al pasar a 0.97 — eso ya lo perdió antes, en el momento de la construcción.

Segundo: para la cartera dispersa el estrechamiento cuesta 43.2%, es decir, más de once veces lo que para la concentrada. Bajo estrés desaparece cerca del 97% del beneficio que la dispersión daba en volatilidad modelada: la ventaja sobre la suma de las desviaciones (2.40%) se funde de 0.74 puntos porcentuales bajo condiciones de partida a 0.02 puntos a correlaciones de 0.97.

Tercero: la última columna no se ha movido. La suma de pérdidas cuando se activa cada salida a la vez es 3.30% en cada variante de ambas carteras, porque no depende ni de ρ ni de σ. Todo lo que le ocurre a la correlación bajo estrés concierne a un número que no planifica el capital — y el número que sí lo planifica es constante en esta comparación. Solo cambiará cuando empeore el precio de ejecución, y ese es el único canal por el que el estrés eleva el importe que sale de la cuenta.

Dónde obtener una correlación de estrés

Hay dos rutas honestas y ambas tienen un defecto que hay que nombrar.

Ruta uno: medición condicional. Calcular la correlación solo sobre un subconjunto de las sesiones de mayor volatilidad — el decil peor de días, por ejemplo. El defecto es conocido y medido: un coeficiente calculado sobre un subconjunto seleccionado por volatilidad está sesgado al alza de forma puramente mecánica, porque la propia subida de la varianza eleva la correlación incluso cuando la relación no ha cambiado². Parte del estrechamiento observado es por tanto un artefacto de la selección de la muestra, no un fenómeno.

Ruta dos: sustituir ρ = +1 como límite aritmético. La ventaja: no requiere ninguna estimación en absoluto y da el valor más alto que la fórmula puede generar, es decir, la suma de las desviaciones — para la cartera concentrada 0.50% + 0.70% + 0.40% = 1.60% en condiciones de partida y 3.20% con volatilidad duplicada. El defecto: esto no es una descripción del mercado sino un límite superior del modelo. Algunas relaciones se rompen bajo estrés y algunas cambian de signo, así que ρ = +1 no es una previsión. Es el número por encima del cual esta fórmula no llega — y sobre lo que ocurra más allá de él, no dice nada.

La conclusión práctica: ninguna de esas dos rutas dará un número sobre el que basar un límite — mientras que la suma de pérdidas cuando se activan las salidas es inmune a lo que no sabemos sobre la correlación bajo estrés.

11. Tres carteras calculadas con el mismo método

Tres composiciones, el mismo capital actual de 100,000 PLN y el mismo riesgo del 1.00% (1,000 PLN) por posición. Para que las composiciones se puedan comparar entre sí, cada posición aquí tiene una desviación estándar idéntica σ = 0.80% del capital al día — una simplificación adoptada para la comparación, necesaria para que funcione la fórmula de correlación uniforme por pares. En la sección 7 los mismos instrumentos tenían σ distintas (0.50%, 0.70% y 0.40%), porque diferían tanto en valor nocional como en la volatilidad diaria del propio instrumento; en tu propio cálculo σ se mide por separado para cada posición. Todos los valores ilustrativos. Cada cartera recibe ambos números.

Cartera A — cinco posiciones, una exposición

La correlación media por pares de los resultados, calculada a partir de la matriz de la sección 4 tras trasladar los signos para los diez pares — (0.87 + 0.72 + 0.91 + 0.38 + 0.65 + 0.82 + 0.25 + 0.62 + 0.45 + 0.35) / 10 = 6.02 / 10 — sale en +0.6020. Volatilidad modelada: 0.80% × √(5 + 20 × 0.6020) = 0.80% × √17.04 = 3.30% del capital al día. Suma de pérdidas cuando se activan cinco salidas: 5 × 1,000 = 5,000 PLN = 5.00%, con 10% de slippage por pata — 5.50% = 5,500 PLN. Riesgo concentrado en el dólar: 5.00%, es decir, 5 × el riesgo de una sola posición, frente al límite adoptado de 3 ×. La cartera rompe el límite en dos posiciones, aunque cada una individualmente cumple la regla del "1% por operación".

Cartera B — tres factores

La suma de las correlaciones por pares es 0.65, así que la volatilidad modelada: 0.80% × √(3 + 2 × 0.65) = 0.80% × √4.30 = 0.80% × 2.0736 = 1.66% del capital al día. Suma de pérdidas cuando se activan tres salidas: 3.00%, con slippage 3.30% = 3,300 PLN.

El desglose por divisa: el euro aparece en ambos lados (largo EUR/USD y corto EUR/GBP), así que la exposición nocional neta al euro está cerca de cero, y el riesgo concentrado en cualquier divisa no supera 1.00%, es decir, un importe de riesgo. La cartera cumple el límite con margen de sobra. Vale la pena ver de dónde vino la diferencia: la suma de pérdidas cayó de 5.50% a 3.30% únicamente porque hay tres posiciones en lugar de cinco — la baja correlación redujo la volatilidad modelada, no la suma de pérdidas.

Cartera C — dos posiciones con exposiciones opuestas

Largo EUR/USD y largo USD/CHF, al 1.00% de riesgo cada una. Correlación de precios −0.91, ambas posiciones largas, así que la correlación de resultados es igualmente −0.91.

Volatilidad modelada: 0.80% × √(2 + 2 × (−0.91)) = 0.80% × √0.18 = 0.34% del capital al día. Suma de pérdidas cuando ambas salidas se activan: 2.00%, con slippage 2.20% = 2,200 PLN.

El desglose por divisa es lo más revelador aquí: largo EUR/USD es +EUR y −USD, largo USD/CHF es +USD y −CHF. La exposición al dólar se cancela a cero, dejando una posición larga en euro y una corta en franco — es decir, un largo sintético en EUR/CHF, montado con dos posiciones en lugar de una. El coste está duplicado: dos spreads, dos comisiones y dos cargos de puntos de swap en lugar de un solo conjunto.

La columna de volatilidad modelada y la columna de suma de pérdidas se alinean en el mismo orden, pero en escalas completamente distintas. La cartera C tiene una volatilidad modelada casi diez veces más baja que la cartera A (0.34% frente a 3.30%) y solo dos veces y media más baja en suma de pérdidas (2.20% frente a 5.50%).

12. Número de posiciones y el límite de la diversificación

La pregunta "cuántas posiciones puedo tener a la vez" reaparece en toda conversación sobre carteras y casi siempre recibe una respuesta en forma de un número sin ninguna aritmética detrás. La aritmética existe y da la respuesta en dos partes, porque la pregunta esconde dos situaciones distintas.

Dos formas de añadir una posición

Variante uno: añades riesgo. Cada posición nueva tiene su propio importe de riesgo y su propia σ, y el presupuesto crece junto con ella. Entonces tanto la volatilidad modelada como la suma de pérdidas suben con cada posición, y aquí no hay ningún beneficio de diversificación que calcular — solo hay una apuesta más grande.

Variante dos: divides el mismo presupuesto. Tienes una suma de desviaciones fija que quieres repartir entre N posiciones, así que cada una recibe σ = σ_B/N. Sin embargo, dividir la suma de desviaciones no resuelve los importes de riesgo: ΣR es un presupuesto separado y una decisión aparte, así que esta sección adopta explícitamente ambas divisiones a la vez — σ_i = σ_B/N y R_i = R_B/N — porque solo así una comparación de distintas N concierne a la misma apuesta. Esta es la pregunta correcta sobre diversificación y la única con una respuesta sensata. Con σ uniforme por posición y correlación por pares uniforme ρ:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

La última expresión es la clave de toda la sección, porque cuando N tiende a infinito converge a σ_B × √ρ. Con correlación positiva hay por tanto un suelo por debajo del cual no caerá la volatilidad modelada de la cartera, por muchas posiciones que haya — y se sitúa más alto cuanto más alta es la correlación.

Tabla: qué compra la siguiente posición

La fila ρ = 0.75 se lee así: pasar de dos posiciones a veinte baja la volatilidad modelada de 1.871% a 1.746%, es decir, en 0.124 puntos porcentuales. Dieciocho posiciones adicionales, cada una con su propio spread, su propia comisión y su propio riesgo de ejecución, compran un octavo de punto porcentual. El límite hacia el que se dirige es 1.732% — eso es el 93% del valor que la cartera ya tiene con dos posiciones. Todo el posible beneficio de dispersar entre cualquier número de instrumentos, contando desde dos posiciones, llega a esta correlación a 0.139 puntos porcentuales.

Dónde deja de importar el incremento del beneficio

Calculemos qué fracción de todo el posible beneficio de diversificación ya se alcanza en una N dada. El beneficio total es la diferencia entre una posición (2.00%) y el límite; el beneficio alcanzado es la diferencia entre una posición y el valor en N.

El resultado es sorprendentemente estable respecto a la correlación: con cinco posiciones ya tienes cerca de tres cuartas partes de todo lo que puede dar la diversificación, y con diez — cerca de nueve décimas. El resto se reparte entre las posiciones once en adelante, cada una de las cuales cuesta un conjunto completo de spread y comisión y añade una pata más al riesgo de ejecución. Esto no es una recomendación de "tener cinco posiciones" — es una indicación de dónde deja de funcionar el argumento de la diversificación y solo queda el argumento del coste.

El límite inferior de la correlación con N posiciones

El límite de −0.25 para cinco posiciones, citado sin derivación en la sección 7, es un caso especial de una condición general. Con correlación por pares uniforme, la expresión bajo la raíz cuadrada no puede ser negativa, lo que da:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

Violar esa condición no significa una cartera con riesgo negativo — significa que la matriz de correlación dada no puede provenir de ningún dato real. Si tu hoja de cálculo devuelve una correlación uniforme por debajo de −0.25 para cinco instrumentos, no has descubierto una cobertura perfecta; tienes un error en los datos o has calculado las correlaciones en periodos distintos. La conclusión práctica: cuantas más posiciones hay, más cerca de cero tiene que estar la correlación media — el margen para que las exposiciones se cancelen se reduce con cada pata añadida.

La cola que no se reduce con N

La suma de pérdidas cuando se activa cada salida no aparece ni una sola vez en las tablas anteriores, y eso no es un descuido: bajo el segundo de los supuestos adoptados — una suma fija de importes de riesgo ΣR = R_B, repartida a partes iguales — es la misma para dos posiciones que para veinte. Eso no se desprende de la división de σ_B por sí sola; es un supuesto aparte, adoptado explícitamente antes. El slippage calculado como una fracción fija del importe de riesgo entonces suma g × R_B y tampoco cambia.

Lo que sí cambia es otra cosa — el número de patas expuestas a una ejecución atípica en un solo evento. Supón que en una sesión con evento la probabilidad de una ejecución atípica en una sola pata es del 5% (un valor ilustrativo).

Con un factor común, la probabilidad de que una ejecución atípica toque todas las patas a la vez no baja en absoluto con N — se mantiene en la probabilidad del propio evento, porque el evento concierne al factor, no a un instrumento individual. Para cinco posiciones la diferencia frente al supuesto de independencia es de unas 160,000 veces. Con una suma fija ΣR, la parte del slippage proporcional al importe de riesgo es constante; lo que crece con N es lo que un multiplicador proporcional no describe — el número de órdenes expuestas a costes fijos y a ejecuciones desproporcionadas respecto al tamaño: la comisión mínima, el paso de volumen mínimo, un gap contado desde el nivel de cada orden por separado.

Contrastando esto con la tabla anterior: a ρ = 0.75, pasar de cinco posiciones a diez baja la volatilidad modelada de 1.789% a 1.761%, es decir, en 0.028 puntos porcentuales — y al mismo tiempo duplica el número de órdenes que pueden recibir un precio de ejecución empeorado en un solo evento. La decisión sobre la siguiente posición depende por tanto simultáneamente de la reducción marginal de σ_p y del coste de ejecución, no de un solo número para memorizar.

13. Los límites de la diversificación en el mercado de divisas

En el mercado de renta variable la diversificación descansa sobre el número de instrumentos, de los que hay varios miles. En el mercado de divisas, ocho divisas principales dan 28 pares, pero todos son combinaciones de los mismos ocho componentes — y la mayor parte del volumen pasa por el dólar¹². El factor común está por tanto incorporado en la construcción del mercado, no en la selección de instrumentos.

De aquí viene la diferencia entre dos operaciones que parecen idénticas. Añadir un par con baja correlación a los ya abiertos baja la volatilidad modelada de la cartera. No baja la suma de pérdidas cuando se activan las salidas — cada posición añadida eleva esa suma, sin importar cómo se haya elegido¹⁰.

La columna de riesgo concentrado se lee mecánicamente: lo que cuenta es cuántas posiciones pierden cuando la misma divisa se mueve en la misma dirección, no cuántas posiciones hay en la cartera. En la primera composición, cuatro posiciones tienen el dólar en el mismo lado, así que la concentración es 4 × riesgo de posición. En la segunda, el euro aparece en dos pares en el mismo lado — de ahí 2 ×, aunque haya tres posiciones con tres nombres distintos. En la tercera, ninguna divisa se repite ni una sola vez: tres pares repartidos entre seis divisas distintas, así que la concentración baja a 1 × riesgo de posición, es decir, al mínimo alcanzable con cualquier número de posiciones. Esa columna por tanto no premia una dispersión de nombres, solo la ausencia de divisas repetidas.

La tercera composición requiere una corrección que suele quedar fuera del material sobre diversificación. No elimina el dólar como denominador común, porque USD/CAD tiene el dólar en el lado base — una de las tres posiciones sigue reaccionando directamente a la cotización del propio dólar. Eliminar el factor dólar exigiría un conjunto sin un solo par de dólar, por ejemplo EUR/GBP, AUD/NZD y CAD/CHF. Aun así, los cruces comparten otro factor común: en ventanas de retirada brusca del riesgo, ambos brazos de un par de materias primas pierden simultáneamente frente a divisas consideradas refugio. La mecánica de ese flujo pertenece a la sección de análisis intermercado; lo que cuenta aquí es su consecuencia para la aritmética — una correlación calculada en una ventana tranquila infravalora la relación en una ventana de estrés.

La conclusión operativa razonable de esta sección es más corta de lo que suele escribirse. Al seleccionar pares de factores distintos bajas la dispersión del resultado diario y reduces la probabilidad de que un solo evento macro golpee todas las patas a la vez. No te compras con eso el derecho a más posiciones — el límite sigue estando sobre la suma de pérdidas.

14. Una cartera de reglas — varios conjuntos de reglas funcionando a la vez

Todo lo anterior concernía a una cartera de pares. La misma exposición oculta aparece un nivel más arriba cuando ejecutas varias reglas de entrada simultáneamente. Cada una tiene sus propios parámetros y su propio historial, pero la aritmética de riesgo no se puede ejecutar por separado para cada una: las posiciones aterrizan en una cuenta, bloquean un solo fondo de margen y están sujetas a un solo cierre forzoso.

Hay tres asuntos que resolver y todos se registran de antemano.

Un límite compartido

El presupuesto de riesgo es uno y pertenece a la cuenta, no a la regla. Se define como la suma de los importes de riesgo de todas las posiciones abiertas a la vez, sin importar qué regla las abrió — es decir, la misma magnitud que calcula el paso 3 en la sección 7. Una regla que "tiene su propio 3%" en la práctica eleva el presupuesto de la cuenta en su 3% en lugar de compartirlo.

Repartir el presupuesto entre reglas

Supuestos (valores ilustrativos). Capital actual 100,000 PLN. Presupuesto de riesgo de cartera: 4.00% = 4,000 PLN. Repartido entre dos reglas a mitades: R1 — 2.00% = 2,000 PLN, R2 — 2.00% = 2,000 PLN. Riesgo por posición única en ambas reglas: 1.00% = 1,000 PLN, así que cada regla puede tener como máximo dos posiciones a la vez. Límite de riesgo concentrado en una divisa: 3 × riesgo de posición = 3.00% = 3,000 PLN.

El paso cuatro muestra para qué existe ese límite. La señal se rechaza aunque el presupuesto de la regla R2 lo permita y el presupuesto de toda la cartera también lo permita — lo que ata es el límite de concentración por divisa, porque las cuatro posiciones pierden cuando el dólar se fortalece. Sin ese límite, R1 y R2 juntas habrían construido una sola apuesta al dólar por valor de 4.00%, cada una cumpliendo plenamente sus propias reglas.

El estado final son tres posiciones al 1.00%, es decir, exactamente la cartera calculada en la sección 7: volatilidad modelada 1.53% del capital al día, suma de pérdidas cuando se activa cada salida 3.00%, y una vez añadido el slippage y sin gap — 3.30% = 3,300 PLN. El 1.00% libre del presupuesto de R2 se mantiene libre hasta que se cierre una de las posiciones en dólar o aparezca una señal sobre otro factor.

Dos señales a la vez sobre instrumentos relacionados

El caso más difícil: ambas reglas dan una señal en el mismo momento, sobre instrumentos que, una vez descompuestos en divisas componentes, apuntan en el mismo sentido. Ejemplo: R1 señala largo GBP/USD, R2 señala corto EUR/GBP. Los nombres son distintos, pero corto EUR/GBP es una posición larga en libra — ambas señales aumentan lo mismo.

Supón que la concentración en libra ya es 2.00% (dos posiciones anteriores al 1.00% con la libra en el mismo lado) y el límite es 3.00%. Espacio libre: 1.00%. Dos señales al 1.00% suman 2.00% juntas y rompen el límite.

Las dos primeras variantes dan una suma de pérdidas idéntica y difieren solo en la dispersión: dos posiciones de medio tamaño tienen una volatilidad modelada no más alta que una completa — más baja según cuánto se quede la correlación de sus resultados por debajo de +1 — pero dos conjuntos de costes en lugar de uno. La tercera variante — es decir, ninguna resolución en absoluto — eleva la suma de pérdidas en un tercio y lo hace sin ninguna decisión, puramente por una coincidencia en el tiempo.

15. Una tabla de decisión para rechazar una posición

La sección anterior mostró un caso de una señal rechazada — el paso cuatro, en el que el límite de concentración ató antes que el presupuesto. Generalicémoslo en un conjunto de pruebas con condiciones numéricas, para que la decisión no requiera juzgar la situación.

Las pruebas se ejecutan en orden, antes de abrir la posición, sobre magnitudes calculadas tras su adición hipotética. Cada prueba tiene no solo una respuesta "sí/no" sino también un espacio libre — el importe de riesgo que todavía cabe. El espacio libre importa más que la propia respuesta, porque determina si la posición se puede dejar entrar con un tamaño recortado.

Qué prueba ata — las cifras

Estado de partida. Capital actual 100,000 PLN. Tres posiciones abiertas de la sección 7 al 1.00% de riesgo cada una, todas cortas en el dólar, así que ΣR = 3.00% = 3,000 PLN y el riesgo concentrado en el dólar S_USD = 3.00%. Presupuesto de cartera B = 4.00%. Drawdown diario aceptable DD = 3.50% — un valor ilustrativo; de dónde sale el límite diario y cuál es su base se resuelven en 9.3, y la propia medición del drawdown bajo dos definiciones, junto con la condición de parada, en 9.8. Slippage g = 10%. Límite de concentración: 3 × R = 3 × 1.00% = 3.00%.

El candidato. Largo AUD/USD, riesgo R_n = 1.00% = 1,000 PLN. La correlación de resultados con la primera posición es +0.72 — ambas posiciones son largas, así que el signo de la matriz de la sección 4 se mantiene tal cual. El candidato también está corto en el dólar, como las tres posiciones abiertas. Hay que hacer una salvedad antes del cálculo: la lectura de +0.72 proviene de una ventana de 90 sesiones, es decir, de 89 observaciones de rendimiento, y por tanto no cumple la condición de ventana fijada en T3. Este artículo no tiene una lectura de una ventana tan larga, y añadir una equivaldría a inventar un dato, así que T3 funciona a continuación como ilustración del procedimiento, no como una prueba que se supera — en los términos de la sección 3 es una alarma, no una medición decisiva. Esto no tiene efecto sobre el resultado del cálculo: el candidato es rechazado por T2 con un espacio libre igual a cero, sea cual sea el valor de cualquier correlación.

Dos pruebas atan de forma independiente entre sí, y la primera de ellas es la que ata — concentración por divisa, con espacio libre igual a cero. Aunque el límite de concentración fuera más laxo, la prueba de drawdown solo dejaría entrar una posición de aproximadamente 0.182% del capital en riesgo, es decir, 182 PLN. A un paso de volumen típico, tal posición o no es ejecutable o es tan pequeña que su efecto en el resultado no compensa el coste de abrirla. La conclusión honesta es pasar, no subir el límite.

Vale la pena detenerse por separado en T1: el presupuesto de cartera pasó. De haber sido la única prueba, la cuarta posición habría entrado sin obstáculo y la cartera habría tenido un 4.00% de riesgo concentrado en una divisa y una suma de pérdidas del 4.40% frente a un drawdown aceptable del 3.50%. Un presupuesto de riesgo no basta como única regla de cartera — es la más débil de las cuatro pruebas, porque no sabe nada sobre las relaciones entre posiciones.

16. Cinco errores en la aritmética de cartera

Error 1: leer la salida de la fórmula de cartera como un importe de pérdida

El más grave y el más común. El resultado σ_p = 4.69% para cinco posiciones al 1% de riesgo cada una a veces se describe como "riesgo efectivo del 4.69%, es decir, menos del 5% — tengo margen." No hay margen: 4.69% es la desviación estándar del resultado diario con σ = 1% por posición, y la suma de pérdidas cuando se activan cinco salidas sale en 5.00% más slippage en cada pata. La prueba diagnóstica dura una frase: si la magnitud que sustituiste por σ es el importe en el que cierras la posición, sustituiste lo equivocado.

Error 2: una cartera construida exclusivamente con pares de dólar

Cuatro pares XXX/USD en el mismo lado son una sola exposición. Esto no es cuestión de selección — el dólar está en un lado en la abrumadora mayoría del volumen del mercado de divisas¹², así que un par de dólar siempre lleva el factor dólar. La solución no es buscar pares "no correlacionados", porque entre los majors prácticamente no existen; la solución es un límite de riesgo concentrado en una divisa y menos posiciones.

Error 3: apoyarse en una correlación de antes de un cambio de régimen

Una lectura de antes de dos reuniones de bancos centrales describe un mercado distinto. Encima aparece un problema de medición: un coeficiente calculado en una ventana de volatilidad elevada está sesgado al alza — parte del salto observado en la correlación es un artefacto de la propia subida de la varianza, no un cambio en la relación². La consecuencia práctica es contraria a la intuición: un salto de correlación en una ventana de crisis hay que leerlo con cuidado en ambos sentidos, no solo como confirmación de la tesis de la convergencia hacia la unidad.

Error 4: tratar una correlación negativa como una cobertura

A una correlación de resultados de −0.91, la volatilidad modelada de dos posiciones baja a 0.34% (cartera C en la sección 11) y esto a veces se describe como "riesgo efectivo del 0.34% en lugar de 2%." Esa frase mezcla dos magnitudes. La dispersión del resultado diario efectivamente baja; la suma de pérdidas cuando ambas salidas se activan no cambia en absoluto y sale en 2.00% más slippage. Lo que sí baja es la esperanza matemática, porque el coste está duplicado. Una posición opuesta en un instrumento relacionado baja la volatilidad modelada pero deja dos presupuestos de salida y añade un segundo conjunto de costes.

Error 5: sin límite por divisa, y confundir correlación con causalidad

Ambos hábitos llevan al mismo sitio. Sin un límite de concentración, seis posiciones "al 1%" suman una apuesta de 6% — cada una individualmente conforme a la regla, todas juntas no. El segundo hábito es añadir una posición con el argumento de que "como EUR/USD subió, GBP/USD también lo hará, porque la correlación es +0.87." El coeficiente describe un factor común, no una secuencia: ambos pares reaccionan a la cotización del dólar, pero la libra tiene sus propios factores, que hoy pueden separar esa relación. Un límite de concentración cierra ambos hábitos, porque no pide una justificación — pide un número.

17. Ejercicio de autocomprobación

La cartera es distinta de todas las calculadas antes, pero los tres coeficientes de correlación provienen de la matriz de la sección 4 — compruébalos allí antes de empezar. Calcúlalo tú mismo primero, luego compara con la solución.

Solución

a) Trasladar el signo. Las posiciones 1 y 2 son ambas largas, así que el signo se mantiene: +0.92. La posición 3 es corta y 1 y 2 son largas, así que en ambos casos el signo se invierte: +0.68 y +0.60. Las tres correlaciones de resultados son positivas — largo AUD/USD, largo NZD/USD y corto USD/CAD son tres posiciones cortas en el dólar.

b) Volatilidad combinada modelada.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0.36 + 0.3025 + 0.2025 = 0.8650
0.92 × 0.60 × 0.55 = 0.3036
0.68 × 0.60 × 0.45 = 0.1836
0.60 × 0.55 × 0.45 = 0.1485
2 × (0.3036 + 0.1836 + 0.1485) = 2 × 0.6357 = 1.2714

σ_p = √(0.8650 + 1.2714) = √2.1364 = 1.46% del capital al día, es decir, 0.0146 × 60,000 = 876 PLN. Del valor sin redondear (1.4616%) obtienes 877 PLN — la diferencia de un zloty viene puramente del redondeo del porcentaje y no es un error en ninguna de las dos rutas.

Comprobación: el resultado cae entre la mayor desviación individual (0.60%) y la suma de las desviaciones (1.60%) — la mitad inferior de esa comprobación se aplica solo porque las tres correlaciones de resultados salieron positivas; con negativas deja de valer, como muestra la cartera C en la sección 11. Bajo independencia habría salido √0.8650 = 0.93% — la relación eleva la volatilidad modelada en un 57%.

c) La suma de pérdidas cuando se activa cada salida. Sin slippage: 3 × 750 = 2,250 PLN = 3.75% del capital. El slippage del 8% del importe de riesgo es 60 PLN por pata, es decir, 180 PLN en total: 2,250 + 180 = 2,430 PLN = 4.05% del capital.

d) Riesgo concentrado en el dólar. Las tres posiciones pierden cuando el dólar se fortalece, así que el riesgo concentrado sale en 3 × 1.25% = 3.75% del capital = 2,250 PLN. El límite: 3 × 1.25% = 3.75%. La cartera está justo en el límite — una cuarta posición con exposición al dólar en el mismo lado ya no cabe, por buena que sea su regla de entrada.

e) La base para planificar el capital es el número del punto (c): 4.05%. La volatilidad modelada del 1.46% describe la dispersión del resultado diario bajo negociación continua y es un 64% más baja que el importe que realmente saldrá de la cuenta si las tres salidas se activan en la misma sesión.

f) La segunda ventana de medición. Los coeficientes a 30 sesiones +0.78 / +0.54 / +0.46 dan un término cruzado de 2 × 0.5171 = 1.0341 y σ_p = √(0.8650 + 1.0341) = √1.8991 = 1.38%, es decir, 827 PLN. La misma cartera, medida en dos ventanas, tiene por tanto una volatilidad modelada de 877 PLN o 827 PLN — la diferencia viene puramente de la elección de la ventana. ¿Cambiaron realmente los coeficientes? Los errores estándar calculados por separado: para la ventana de 90 sesiones 0.016 / 0.057 / 0.068, para la ventana de 30 sesiones 0.074 / 0.134 / 0.149; los umbrales de dos errores estándar de la diferencia — suponiendo muestras disjuntas, lo cual solo se cumple parcialmente aquí porque la ventana más corta está contenida en la más larga — salen en 0.15 / 0.29 / 0.33, y las diferencias entre las lecturas son tres veces 0.14. Ninguna supera el umbral: a partir de estas muestras no se puede determinar si la relación cambió en absoluto. Un límite superior indicativo de sensibilidad: desplazar los tres coeficientes de 90 sesiones al alza en 0.14 (con tope en 1.00) da ρ = 1.00 / 0.82 / 0.74 y σ_p = √(0.8650 + 1.4691) = √2.3341 = 1.53%, es decir, 917 PLN — un rango de 827 PLN a 917 PLN alrededor de una estimación puntual de 877 PLN. La respuesta al punto (e) no cambia ni un paso: la suma de pérdidas se mantiene en 4.05% en cada variante, porque no depende de la correlación en absoluto. Esa es la ventaja del número que planifica el capital — no hereda la incertidumbre de la medición.

18. Qué se desprende de todo esto

Todo el contenido de este artículo cabe en dos números y una frontera entre ellos. La volatilidad combinada modelada responde a la pregunta de cuánto se dispersa el resultado diario de la cartera — y sirve para comparar composiciones de cartera entre sí. La suma de pérdidas cuando se activa cada salida de protección a la vez, aumentada por el slippage y un gap en cada pata, responde a la pregunta de cuánto sale de la cuenta — y es el número con el que planificas el capital y los límites. El primer número depende de la correlación. El segundo no depende de ella en absoluto.

Las cuatro acciones que se desprenden toman la forma de aritmética más que de consejo. Descompón tus posiciones en divisas componentes con el signo correcto y calcula la exposición neta a cada divisa en la divisa de la cuenta — sin eso no sabes cuántas apuestas mantienes. Calcula el riesgo concentrado en cada divisa como la suma de los importes de riesgo de las posiciones que pierden cuando esa divisa se mueve en un sentido, y compáralo con un límite registrado de antemano. Registra los cuatro parámetros de medición y la fecha junto a cada coeficiente de correlación, porque sin ellos la lectura no es reproducible ni comparable. Traslada el signo desde las direcciones de las posiciones antes de sustituir nada en la fórmula.

También vale la pena saber qué no te dará este cálculo. No te dirá cuánto estás arriesgando realmente — porque una correlación calculada históricamente no dice eso, y la sección 9 muestra por qué. Te dirá algo más estrecho: cuánto sale de la cuenta si todas tus hipótesis fallan en la misma sesión — en un escenario con el slippage asumido y sin gap; con gap, más, y este cálculo no conoce límite superior. Si ese número supera el drawdown que puedes sostener, reduces el número de posiciones o el importe de riesgo en cada una — porque esos son los dos únicos parámetros que lo cambian.

En el próximo artículo retomamos lo que ocurre por debajo del borde inferior de este cálculo: la mecánica de un gap, la pérdida cuando el salto es mayor que la distancia de salida, y los límites de las medidas que intentan describir la cola de la distribución.