Parite korelasyonu, gizli maruziyet ve portföy riski

Her biri sermayenin %1'i kadar zarar bütçesi taşıyan üç pozisyon için iki ayrı hesap gerekir. Örnek olarak kullanılan 100.000 PLN'lik hesapta, günlük portföy kâr/zararının standart sapması %1,53'tür. Tüm çıkışların planlanan fiyatlarından gerçekleştiği senaryo %3,00, her tutara %10 kayma eklendiğinde ise %3,30 verir; ayrı komisyonlar ve finansman buna henüz dahil değildir. İlk sayı ortalama çevresindeki dağılımı tanımlar; ikinci sayı belirli bir yürütme senaryosunu bütçeler. İkisi de mümkün olan en yüksek zarar değildir. İkisini de hesaplayacak, pozisyon yönlerinin işaretlerini uygulayacak ve maruziyeti para birimlerine ayıracağız. Ölçüm pencerelerinin ve korelasyon belirsizliğinin sonuçları nasıl etkilediğini, yazılı limitler altında ne kadar kapasite kaldığını da kontrol edeceğiz.

1. İnsanların «portföy riski» dediği iki sayı

Klasik Markowitz portföy formülü¹ şunu tanımlar: modellenmiş birleşik oynaklık; koruyucu çıkışla işlem yaparken oluşacak garantili bir zararı değil. Bu ayrım korelasyonla ilgili tartışmaların çoğunda yeniden karşımıza çıkar; bu nedenle dipnotta değil, en başta yer alır.

σ simgesi, pozisyonun kâr/zararının kendi ortalaması çevresindeki standart sapması anlamına gelir; belirli bir ufuk ve hesap para birimi için ölçülür. Koruyucu çıkışa kadar olan R ise belirli bir gerçekleşme fiyatındaki zararı tanımlar. Emrin etkinleşmesi ne o fiyatı ne de R ile sınırlı bir zararı garanti eder. σ yerine R koymak formülün anlamını değiştirir ve sonucu fazla ya da eksik gösterebilir.

İlk sonuç negatif korelasyonla ilgilidir. «−0,91 korelasyonda pozisyonlar birbirini nötrler; dolayısıyla etkin riskiniz %2 yerine %0,42'dir» cümlesi, zararın tanımı olarak yanlıştır. Günlük sonucun modellenmiş oynaklığı gerçekten sıfıra yaklaşır, ancak iki koruyucu çıkış aynı seansta tetiklenebilir — kurun önce bir yöne, ardından diğer yöne gitmesi yeterlidir; bu, veri açıklanan bir günde olağan bir seyirdir, uç bir senaryo değildir. O zaman zararların toplamı hâlâ %2 artı iki bacaktaki kaymadır.

İkinci sonuç pozitif korelasyonla ilgilidir. «Her biri %1 olan beş pozisyon, +0,85 korelasyonda %4,69 etkin risk verir» cümlesi «%5'ten az, payım var» diye okunur. Böyle bir pay yoktur. %4,69, her pozisyonun σ'sının sermayenin %1'i olduğu varsayımıyla günlük sonucun standart sapmasıdır; beş çıkışın tamamı tetiklenirse zarar %5 artı beş bacağın her birindeki kaymadır.

Makalenin geri kalanı bu ayrıma bağlı kalır: her hesap iki sayıyı yan yana verir.

2. Bir ölçüm olarak korelasyon — dört parametre ve tanım kartı

Aynı katsayı aynı saati gerektirir

Bir eşzamanlama hatası örneği: ardışık dört aralıkta A getirileri [1, −1, 1, −1] iken B bir aralık sonra tepki verir. A'yı bir aralık geciktirilmiş kopyasıyla karşılaştırmak, doğru hizalamadan sonra seriler aynı olsa da ters işaret verir. Gerçek verilerde, daha yüksek korelasyon elde etmek için saati kaydırmayız: ölçümden önce ortak bir zaman dilimi, seans sınırları ve eksik kotasyonlar için bir kural belirleriz. Farklı zamanlarda değerlenen pozisyonların günlük kâr/zararı tek bir tutarlı matris oluşturmaz.

Korelasyon, iki serinin birlikte ne ölçüde hareket ettiğini anlatan −1,00 ile +1,00 arasında bir sayıdır. Ancak tek başına bu sayı, nasıl hesaplandığını bilene kadar bir veri noktası değildir. Dört ölçüm parametresinden herhangi birini değiştirmek, sonucu çıkarımı belirleyecek kadar değiştirir.

• Dönem — ölçüm tarihiyle birlikte, hangi tarihten hangi tarihe
• Gözlem sıklığı — günlük, saatlik, haftalık veriler
• Seri dönüşümü — fiyat düzeyleri mi, getiri oranları mı; getiri ise basit mi, logaritmik mi
• Gözlem sayısı — çünkü tahmin hatası buna bağlıdır

Fiyat düzeyleri üzerinden hesaplanan korelasyon genellikle yüksek ve pratikte yararsızdır: getirilerin birlikte hareketini değil, ortak bir trendi ölçer. Uzun bir trenddeki iki paritenin düzey korelasyonu +0,95 olabilirken günlük getirileri neredeyse bağımsız olabilir. Portföy aritmetiği için, aynı saatte alınmış kapanışlardan logaritmik getiri oranlarını ln(C_t/C_t−1) alırsınız.

Bir korelasyon tanım kartı — aynı parite, dört parametre kümesi

A ve B kartları hem dönemi hem sıklığı değiştirir. Bütün katsayılar, eğitim amacıyla kurgulanmış verilerdir: tarihler, yapılmış bir ölçümü değil, bir ölçüm tasarımını tanımlar. Gerçek seriler ve uygun bir örneklem karşılaştırması olmadan 0,26'lık fark sıklığa, piyasa değişimine veya tesadüfe bağlanamaz. Standart hata satırı yalnızca bağımsız normal gözlemler için bir yaklaşım kullanır.

D kartı, dönemi ve dönüşümü değiştirmeden sıklıkların nasıl karşılaştırılacağını gösterir. Gerçek verilerde günlük ve saatlik gözlemler kısmen aynı fiyat değişimlerinden doğar. Farklar toplulaştırmayı, gecikmeleri, eşzamanlı olmayan kotasyonları veya saat seçimini yansıtabilir; yalnızca bu dört rakam nedeni belirlemez.

Pratik sonuç basittir: portföyü günlük korelasyona göre kurup saatlik bir pencerede işlem yapıyorsanız, riski maruz kaldığınız büyüklükten farklı bir büyüklükle hesaplıyorsunuzdur. Pozisyonu tuttuğunuz ufukta ölçüm yapın.

Ölçümün ne kadarı gürültüdür

İki değişkenli normal dağılım ve bağımsız gözlemler varsayımı altında korelasyon katsayısının standart hatası şöyledir:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

n getiri sayısıdır. Bu yaklaşım, iki değişkenli normal dağılımdan gelen bağımsız gözlemler varsayar. Zamansal bağımlılık, oynaklık kümelenmesi ve farklı bir dağılım belirsizliği değiştirebilir; bu durumlar tabloyu evrensel bir alt tahmine dönüştürmez. Hatanın yönü ve ölçeği verilerle kontrol edilmelidir. Küçük örneklemlerde ve ±1'e yakın katsayılarda Fisher dönüşümü daha kullanışlıdır.

30 seanslık ve 90 seanslık korelasyonların farkı yararlı bir alarm olabilir, ancak 0,25 eşiğinin evrensel bir istatistiksel yorumu yoktur. Katsayıları 0,5'e yakın iki bağımsız örneklem için farkın yaklaşık SE'si √(0,142²+0,080²)≈0,163, bunun iki katı ise 0,33'tür. Bu yardımcı hesap, iç içe pencerelerin karşılaştırmasını sonuçlandırmaz ve farklarını «gürültü» ilan etmeyi haklı çıkarmaz.

İç içe pencereler için Var(r₁−r₂)=Var(r₁)+Var(r₂)−2Cov(r₁,r₂). Kısa örneklem uzun olanın içinde bulunduğundan kovaryans terimi genellikle sıfır olmaz. Değerlendirmede ortak bir model veya örtüşmeyi koruyan zaman bloklu yeniden örnekleme kullanılabilir. Ham veri olmadan burada kesin bir eşik vermiyoruz; tablo, eşit uzunlukta iki ayrı örneklemle ilgilidir.

3. Ölçüm penceresi — sabit değil, bir seçim

Fisher dönüşümüyle kontrol

Model örneği: 29 getiriden oluşan iki bağımsız pencere, iki değişkenli normallik, 0,60 ve 0,85 ölçümleri. z=atanh(r) dönüşümü 0,69315 ve 1,25615 verir. Farkın hatası √(1/26+1/26)=0,27735 olduğundan istatistik (1,25615−0,69315)/0,27735=2,03. Yaklaşık iki taraflı bir testte bu değer 1,96'yı aşar (p≈0,042). Bu, ρ=0,5'te hesaplanan tek bir SE'yi gelişigüzel ölçümlere uygulamanın sonucu neden değiştirebileceğini gösterir. Sonuç örtüşen pencerelere veya zamana bağımlı bir seriye uygulanmaz.¹³

Önceki bölümdeki standart hata tablosu sorunun yalnızca yarısını gösterir. Pencere uzunluğu aslında aynı anda iki hatayı kontrol eder ve bu iki hata zıt yönlerde hareket eder. Kısa pencerenin rastgele hatası büyük, gecikmesi küçüktür. Uzun pencerenin rastgele hatası küçük, gecikmesi büyüktür. İkisini birden en aza indiren bir pencere yoktur — uzunluk seçimi hata ile gecikme arasında bir uzlaşmadır.

Hareketli pencerenin gecikmesi

Hareketli korelasyon, rejim korelasyonlarının basit ortalaması değildir. İki rejimde ortalamalar ve varyanslar eşitse, karışım yeni rejime m/n ağırlığı verir; dolayısıyla değişimin %90'ına 0,9n gözlem sonra ulaşılır. Yeni rejimde iki varyans da dört kat yüksekse ağırlığı 4m/[4m+(n−m)] olur; m/n=9/13≈0,692 olduğunda %90'a ulaşır. Ortalamaların değişmesi veya iki bacağın ölçeklerinin eşit olmayan biçimde değişmesi, tam karışım kovaryansı hesabını gerektirir. Aşağıdaki tablo yalnızca eşit ortalamaları ve varyansları gösterir.

Yaklaşık bir hata sınırı için gözlem sayısı

Tablo, bir farkın yaklaşık hata genişliğini gösterir; iki bağımsız ölçüm ρ≈0,5 yakınındadır. 2SEΔ≤Δ koşulu aşağıdaki n değerlerini verir. Bu, gücü belirlenmiş bir test tasarımı değildir: örneğin gerçek bir değişimi saptamak için %80 olasılık planlamak, gücü, anlamlılık düzeyini ve hipotezler altındaki katsayıları da gerektirir.

$$n \geq 1 + \left(\frac{2,121}{\Delta}\right)^2$$

451, 0,10'luk bir fark ve ρ≈0,5 yakınındaki yerel bir yaklaşım içindir. Bu, 0,60 ile 0,70'i ayırt etmek için tam olarak 451 gözlem gerektiğini kanıtlamaz. Daha büyük örneklem, süreç istikrarlıyken belirsizliği azaltır; ancak eski ve yeni koşulları karıştırabilir. Bu nedenle pencere seçimi kesinliği, tepki hızını ve ölçülen sonuçların ufkunu birleştirir.

Seçim prosedürü

Karar, bir kez yürütülüp diğer parametrelerle birlikte kaydedilen dört adıma indirgenir.

1. Hangi farkı saptamanız gerektiğini belirleyin. «Korelasyonun ne olduğunu bilmek istiyorum» değil, «Bir pozisyonu reddettiğim eşiği aşıp aşmadığını bilmek istiyorum». Eşik 0,70 ve tipik ölçümler 0,50 civarındaysa Δ = 0,20'dir.
2. Aynı eşzamanlanmış getiriler üzerinde birkaç pencereyi karşılaştırın. Daha uzun pencere, ölçüm istikrarını değerlendirmeye yardımcı olur; daha kısa olan yakın dönemdeki koşulları gösterir. Bir pozisyonu bir gün tutmak, bir günlük riski tahmin etmek için örneklem olarak 114 günlük getiriyi geçersiz kılmaz. Sonuç ufku ile örneklem uzunluğu farklı işlevlere sahiptir.
3. Karar eşiğini istatistiksel anlamlılık iddiasından ayırın. Belirsiz bir ölçüme verilecek tepki yazılıysa 0,70 limiti kısa pencerede bile bir ihtiyat kuralı olabilir. Kısa örneklem her ölçümü piyangoya dönüştürmez; daha geniş bir belirsizlik aralığı gösterilmesini gerektirir.
4. Pencereler arasındaki uyuşmazlığa verilecek tepkiyi belirleyin. Kâr/zarar bağımlılığı daha pozitif olan bir varyantı yeniden hesaplayabilir, maruziyeti azaltabilir veya pozisyonu reddedebilirsiniz. Tetikleyiciyi önceden yazın. Daha sonra kullanılan 180 seans, istatistiğin dayattığı asgari bir sayı değil, örnek bir prosedürün parametresidir.

4. Korelasyon matrisi — içinde olanlar ve olmayanlar

Bütün matrisi neden kontrol ediyoruz

ρ₁₂=1, ρ₁₃=0,82 ve ρ₂₃=0,74 katsayılarının üçü de [−1,1] aralığındadır, ancak bir korelasyon matrisi oluşturamazlar: standartlaştırılmış iki seri aynıysa üçüncüyle korelasyonları da aynı olmalıdır. Bu matrisin en küçük özdeğeri −0,00796'dır. Hesaplama açısından geçerli bir stres varyantı Cstress=(1−λ)C+λJ biçimindedir; burada J'nin bütün girdileri bir ve 0≤λ≤1'dir. Pozitif yarı tanımlı matrislerin karışımı bu özelliği korur. Alıştırmada λ=0,5 kullanılır; bu, piyasa bağımlılığının tahmini değildir.

Korelasyon matrisi, her hücresinde bir seri çiftinin katsayısını veren simetrik bir tablodur. Köşegen her zaman +1,00'dır. Aşağıdaki matris sekiz pariteyi — yedi majör ve bir çaprazı (EUR/GBP) — kapsar ve günlük logaritmik getiriler üzerinden hesaplanır; değerler temsili değerlerdir — belirli bir pencerenin ölçümünü değil, tipik yapısal ilişkileri gösterirler.

Eşzamanlı ve tutarlı kotasyonlarda EUR/GBP=(EUR/USD)/(GBP/USD), tam olarak rlog(EUR/GBP)=rlog(EUR/USD)−rlog(GBP/USD) ilişkisini gerektirir. Z ile korelasyonun [ρ(EUR/USD,Z)−ρ(GBP/USD,Z)]/√(2−2ρ) olması, yalnızca iki bacağın standart sapmalarının eşit olduğu varsayımından çıkar. ρ=0,87 için payda 0,5099'dur ve yuvarlanmış son satır +0,25; −0,25; +0,14; +0,20; −0,25; −0,18; −0,24 olur. Matris iki ondalığa yuvarlanmış bir örnektir. En küçük özdeğeri +0,00443 olduğundan pozitif tanımlı kalır; tam olarak türetilmiş çapraz serisi olan bir matris tekil olurdu. Ayrı tahminler veri tutarlılığını ve pozitif yarı tanımlılığı dikkate almalıdır.

Matris okumak bir değil, iki işlemdir. Önce mutlak değeri 0,70'in üzerinde olanları ararsınız — bunlar güçlü ilişki adaylarıdır. Ardından işareti pozisyon yönlerine uygun biçimde aktarır ve sonuçların korelasyonuna bakarsınız: yüksek ve pozitifse pozisyonlar birlikte kaybeder; bunları toplam nominal değeri olan yoğunlaşmış bir maruziyet olarak ele alırsınız. Yüksek ve negatifse bacaklar modellenmiş oynaklıkta birbirini götürür, ancak her biri kendi çıkış bütçesini ve maliyetlerini korur. +0,87'de uzun EUR/USD ile uzun GBP/USD, iki farklı kılıfta aynı makro temadır. −0,91'de uzun EUR/USD ile uzun USD/CHF için sonuçların korelasyonu −0,91'dir — bu, çeşitlendirme değil, iki çıkış bütçesiyle kısmen nötrlenmiş maruziyettir (aritmetik — 11. bölümdeki C portföyü).

5. Gizli para birimi maruziyeti — pozisyonları bileşen para birimlerine ayırmak

Korelasyon matrisi birlikte hareketi gösterir, ancak net olarak nerede durduğunuzu göstermez. Her parite iki para birimidir: birini alır, diğerini satarsınız. Birkaç pozisyonda bu para birimleri örtüşmeye başlar ve birkaç isim altında tek bir yoğunlaşmış maruziyet ortaya çıkar. Bileşen para birimlerine ayırma (net para birimi maruziyeti), bütün açık pozisyonların her para birimi için net maruziyete hesap para birimi cinsinden çevrilmesidir.

İşaret kuralı

İşaretler ayrılmadığında toplam her pozisyonu uzun sayar ve karma bir portföyde ters yöndeki her bacağın değeri kadar hatalı olur. Bu, söz konusu hesapta en yaygın gizli hatadır.

Üç pozisyon üzerinden hesap

Temsili varsayımlar. Giriş öncesi özkaynak: 100.000 PLN. Pozisyon başına R=1.000 PLN; yani bu tabanın %1'i. Bütün nominal değerleri aynı ana ait tek bir ortak varsayımsal değerleme kuru kümesiyle PLN'ye çevirin. Bunlar tarihsel kotasyonlara dayanmayan model değerleridir; pozisyon defterinde özgün para birimi miktarları da tutulur. Bu değerlemede her işlemin iki tarafı eşit nominal değere sahiptir. Sözleşme dönüşümü — kursun 2. bölümü.

1. Uzun EUR/USD, nominal değer 100.000 PLN
2. Uzun GBP/USD, nominal değer 120.000 PLN
3. Kısa USD/CHF, nominal değer 90.000 PLN

Portföyün USD nominal maruziyeti −310.000 PLN, özkaynağı ise 100.000 PLN'dir. EUR, GBP ve CHF'nin PLN değerleri değişmezken USD'nin PLN değerinde küçük bir %1 artış, doğrusal yaklaşımla portföy değerlemesini 3.100 PLN azaltır. Bu, bütün döviz kurlarının hareketlerine ilişkin bir tahmin değil, açıkça tanımlanmış bir para birimi senaryosudur. Kapatma maliyetleri ve dönüşüm kurlarındaki değişimler ayrı ele alınmalıdır.

Bazen hesap para birimindeki nominal değer yerine kısaltma olarak lot kullanılır. Bu kısaltma, yalnızca bütün pozisyonlar benzer oynaklığa ve benzer pip değerine sahip enstrümanlarda olduğunda işe yarar — EUR/USD'de bir lot ile GBP/JPY'de bir lot bu koşulu sağlamaz. Enstrümanlar arasındaki oynaklık farkı portföy aritmetiğinde zaten σ_i üzerinden hesaba katıldığından baştan hesap para birimiyle hesaplamak daha basittir.

6. Para birimi faktörlerine ayırma işlemini sonuna kadar yürütmek

Önceki bölümdeki üç pozisyon açık bir sonuç verdi; çünkü üçünün de dolar bacağı aynı taraftaydı. Çaprazlar ve iki yönde pozisyonlar içeren bir kümede sonuç artık açık değildir — işte o zaman hesabı göz kararı yapmak yerine gerçekten yürütmek gerektiği ortaya çıkar.

Ayrıştırılacak küme

Varsayımlar (temsili değerler). İlk pozisyon açılmadan önce ölçülen mevcut sermaye 100.000 PLN. Pozisyon başına risk: %0,60 = 600 PLN, beş pozisyon; dolayısıyla risk tutarları toplamı %3,00 = 3.000 PLN. Yoğunlaşma limiti makale boyunca kullanılan aynı kuraldır — tek pozisyon riskinin 3 × değeri; limit bir sayı değil, kuraldır. Bu yüzden pozisyon başına %0,60 riskte %1,80 verirken %1,00 riskte %3,00 vermiştir.

Adım 1 — her pozisyonu iki para birimine ayırmak

Önceki bölümdeki işaret kuralı mekanik biçimde uygulanır: bir uzun pozisyon baz para birimine artı, karşıt para birimine eksi verir; kısa pozisyon bunun tersini yapar. Nominal değer iki satıra da aynı büyüklükte girer.

Adım 2 — para birimi başına toplamak

Aritmetik kontrol: Bütün net pozisyonların toplamı sıfır olmalıdır; çünkü her pozisyon aynı tutarı bir kez artı, bir kez eksiyle ekler. Burada: −90.000 + 70.000 + 70.000 − 70.000 + 30.000 − 10.000 = 0. Sonuç sıfır değilse bir yerde işareti ters çevirmiş veya bir bacağı atlamışsınızdır.

Sonuç şaşırtıcıdır ve en değerli yanı da budur. En büyük net nominal maruziyet, beş paritenin tam olarak yalnızca birinde görünen bir para birimine, Kanada dolarına aittir. Üç paritede yer alan ABD doları, Avustralya doları ve yenle birlikte ancak ikinci sıradadır; çünkü üç dolar pozisyonu kısmen birbirini götürür: dolarda bir kısa (−80.000), iki uzuna (+60.000 ve +90.000) karşı net +70.000 verir. İki paritede görünen sterlin, bütün kümedeki en küçük maruziyete sahiptir — 60.000 kısa ile 50.000 uzun neredeyse tamamen birbirini götürür.

Adım 3 — yoğunlaşmış risk, yani ikinci tablo

Net nominal maruziyet, bir para birimindeki hareketin maliyetini yanıtlar. Zarar sorusunu ise başka bir büyüklük yanıtlar: belirli bir para birimi tek yönde hareket ettiğinde kaybeden pozisyonların risk tutarlarının toplamı. İki yönün her biri için ayrı hesaplanır; büyük olan değer yoğunlaşma olarak alınır.

En büyük yoğunlaşmış risk, dolarda %1,20 olur ve %1,80 limiti içinde kalır. Dikkat edin: iki tablo farklı para birimlerini baskın olarak gösterir: nominal açıdan Kanada doları −%90 ile, risk açısından ABD doları %1,20 ile öndedir. Çelişki yoktur; çünkü farklı şeyleri ölçerler. Nominal maruziyet tutarları cebirsel olarak toplar, bu yüzden zıt pozisyonlar birbirini götürür; yoğunlaşmış risk ise yalnızca birlikte kaybeden pozisyonları sayar, bu yüzden burada götürme olmaz. Limit ikinci tabloya konur.

Adım 4 — zararların toplamı

600 PLN'lik beş pozisyon: 3.000 PLN = sermayenin %3,00'ı. Her bacakta risk tutarının %10'u kadar kaymayla: 5 × 660 = 3.300 PLN = sermayenin %3,30'u. Önceki bölümdeki üç pozisyonla aynı sayı — çünkü zararların toplamı, risk bütçesini kaç pozisyona dağıttığınıza değil, risk bütçesine bağlıdır.

7. Üç pozisyonun birleşik maruziyetinin tam hesabı

Bir pozisyon eklemek neyi değiştirir

100.000 PLN özkaynakla PLN cinsinden örnek: mevcut portföyün günlük σ'sı 1.000 PLN, adayın σ'sı 500 PLN ve tüm portföyle sonuç korelasyonu −0,80. Eklemeden sonra Var=1.000²+500²+2×(−0,80)×1.000×500=450.000 PLN²; dolayısıyla σnew=670,82 PLN. Korelasyon 0 olduğunda aynı aday 1.118,03 PLN verir. Dolayısıyla düşük korelasyon daha düşük oynaklığı garanti etmez; güçlü negatif korelasyon ise bunu sağlayabilir. Her iki varyantta çıkış senaryosu bütçesi adayın R'si ve maliyetleri kadar artar. Bu hesap varyans değişiminden ayrıdır.

5. bölümdeki aynı portföy sonuna kadar hesaplanır. İki sayı paralel yürütülür; çünkü ancak yan yana yararlı bir şey söylerler.

Girdiler

Adım 1 — işareti aktarmak

4. bölümdeki matristen fiyat serisi korelasyonları: EUR/USD ile GBP/USD +0,87; EUR/USD ile USD/CHF −0,91; GBP/USD ile USD/CHF −0,82. 1 ve 2 numaralı pozisyonlar uzun, 3 numaralı kısa; dolayısıyla:

Sonuçların üç korelasyonu da pozitif ve yüksektir. Grafikte karma görünen portföy — iki uzun, bir kısa pozisyon — gerçekte homojendir.

Adım 2 — modellenmiş birleşik oynaklık

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Sermaye yüzdeleriyle yerine koyarsak:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = günde sermayenin %1,53'ü = 1.527 PLN

Büyüklük mertebesi kontrolü: sonuç, en büyük tek standart sapmayla (%0,70) sapmaların toplamı (%1,60; ρ = +1 sınırı) arasında olmalıdır. Nitekim öyledir. Bu kontrolün alt yarısı yalnızca sonuç korelasyonları negatif olmadığında geçerlidir — negatif korelasyonlarda bağlayıcı olmaktan çıkar; 11. bölümdeki C portföyünde σ_p = %0,34'ün tek pozisyonun sapmasının altında kalması bunu gösterir. Bağımsızlıkta √0,90 = %0,95 olurdu — pozisyonlar arasındaki ilişki modellenmiş oynaklığı %61 artırır.

Adım 3 — çıkışlar birlikte tetiklendiğinde zararların toplamı

Bu hesap ayrıdır; karekök alınarak değil, toplamayla yapılır.

Tablodaki bütün tutarlar, gerçek giriş fiyatlarıyla varsayılan çıkış fiyatları arasındaki farktan doğan zararlardır; bu fiyatlara dahil spread yeniden eklenmez. G=%10R ölçülmüş bir değer veya sınır değil, temsili gerçekleşme kötüleşmesidir. Pozisyon başına ayrı 20 PLN komisyon ve finansmanla üç satırdaki net zararlar, aynı 100.000 PLN taban üzerinden 3.060 PLN (%3,06), 3.360 PLN (%3,36) ve 4.260 PLN (%4,26) olur. Tablo çıkış fiyatını bilerek senaryo olarak ele alır: stop, fiyat boşluğunu belirtilen katla sınırlamaz. Maliyet hesabı — 9.6; daha büyük sıçramalar — 9.10.

Adım 4 — iki sayı yan yana

Modellenmiş oynaklık, çıkışlar tetiklendiğinde zarar toplamının yarısından bile düşük çıktı. %1,53'ü «riskim» diye okumak, tek seansta gerçekten hesaptan çıkabilecek tutarın yarısından azına sermaye planlamak olurdu.

Farklı korelasyonlarda iki pozisyon

Sıfıra yakın korelasyon, bu örneklemde doğrusal bağımlılık olmaması demektir; bağımsızlık veya kuyruk koruması değil. Ortak bir para birimi tek başına katsayıyı belirlemez: her bileşenin oynaklığı, dönem ve ufuk önemlidir. Longin ve Solnik hisse senedi piyasalarını inceler; döviz paritelerinin sayısal korelasyonlarını belirlemezler.³

N pozisyon için basitleştirilmiş formül

N = 5, σ = %1,00 ve ρ = 0,85 için: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = günde sermayenin %4,69'u. ρ = 0'da %1 × √5 = %2,24, ρ = +1'de ise %5,00 olurdu.

Her biri %1 risk taşıyan beş çıkış tetiklendiğinde zarar toplamı %5,00 olur; korelasyondan bağımsızdır. Her bacağa %10 kayma eklendiğinde ise %5,50. Bu nedenle %4,69 sayısı «%5'e kadar hâlâ payım var» demek değildir: tamamen farklı bir büyüklüğü tanımlar ve zararı hiçbir yönde sınırlamaz.

Beş pozisyonda güçlü negatif korelasyonlar kurmak da mümkün değildir; bu, yazarın koyduğu bir hüküm değildir. Korelasyon matrisi pozitif yarı tanımlı olmalıdır; bu nedenle bütün çiftlerde eşit korelasyonda N + N(N−1)ρ ifadesi sıfırın altına düşemez. N = 5 için ρ ≥ −0,25 sınırı çıkar. Enstrüman sayısı arttıkça negatif ilişkiler birbirini sınırlar — bu, editoryal bir tercih değil, matrisin cebirsel özelliğidir.

8. Eşiklerin birlikte aşılması ve çıkışların etkinleşmesi

Aşağıda, gün sonu kâr/zararının üç eşiği birlikte aşmasını hesaplıyoruz. Bu model bağımlılığın önemini gösterir; ancak emirlerin gün içinde etkinleşip etkinleşmediğini veya aynı dakikada gerçekleşip gerçekleşmediğini henüz yanıtlamaz. Bunlar fiyat yollarını, etkinleşme ve gerçekleşme kurallarını gerektirir.

Bunu üç unsur oluşturur: ortak faktör, oynaklık birimleriyle ifade edilen çıkış mesafesi ve hareketin bir zaman penceresinde yoğunlaşması. İlk ikisi 7. bölümdeki portföy üzerinde doğrudan hesaplanabilir.

Adım 1 — tek faktör bütün matrisi yeniden üretir

7. bölümdeki matris Xi=aiF+√(1−ai²)εi ile yeniden üretilebilir; F ve üç εi bağımsız standart normal değişkenlerdir. O zaman Corr(Xi,Xj)=aiaj olur. Üç pozitif katsayı için faktör yüklerini hesaplıyoruz. Bu cebirsel ayrıştırma F'yi dolar kuru olarak tanımlamaz; olası istatistiksel yapılardan biridir.

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Kontrol: b×c=0,885413×0,926122=0,820000. Her yük [−1,1] içindedir; dolayısıyla pozisyona özgü bileşenlerin varyansları negatif değildir. Model, her pozisyonda özgül bileşeni korurken üç korelasyonu tam olarak yeniden üretir. Bütün gerçek kâr/zararın tek para biriminden geldiğini kanıtlamaz.

Adım 2 — oynaklık birimleriyle çıkış mesafesi

Pozisyonun risk tutarı ile standart sapması birlikte üçüncü bir büyüklük verir: koruyucu çıkışın kaç günlük standart sapma uzakta olduğu. Buna k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

R eşitken R/σ ikinci pozisyonda en küçüktür. Aynı sıfır ortalamalı model içinde, dönem sonu kâr/zararı eşiği en sık bu pozisyonda aşar. Gerçek çıkış sıklığını değerlendirmek ayrıca fiyat yolunu, maruziyet süresini ve maliyetleri gerektirir.

Adım 3 — ortak faktörün eşiği

εi geçici olarak dışarıda bırakılırsa ortak faktörün aleyhte z standart sapmalık hareketi, pozisyon standart sapması cinsinden ai×z kâr/zarar verir. Ortak bileşenin eşiği z≥ki/ai'dir. Özgül bileşenler geri eklendiğinde bu koşul tek başına toplam kâr/zararın eşiği aşması için ne gerekli ne de yeterlidir.

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Ortak bileşen eşikleri 1,61, 2,04 ve 2,70'tir. En büyüğünün ötesindeki tek taraflı normal kuyruk yaklaşık %0,35'tir; ancak toplam sonuçlar εi içerir. Modelin integrali, %0,5216 olasılığını verir: gün sonundaki üç sonuç da −Ri'nin altına düşer. Bu, gün içinde üç emrin etkinleşmesi olasılığından ayrı olmaya devam eder.

Adım 4 — aynı hesap bir yıl boyunca ve bağımsızlıkla karşılaştırma

Ek olarak dağılımı değişmeyen 250 bağımsız gün varsayıldığında kapanışta en az bir ortak eşik aşımı olasılığı 1−(1−0,005216064)²⁵⁰=%72,95. Bu, art arda stoplardan sonra küçültülen bir portföyü değil, varsayımsal olarak sürdürülen maruziyeti tanımlar.

Aynı eşiklere sahip üç bağımsız normal dönem sonu sonucu için kuyruklar Φ(−2)=%2,275, Φ(−1/0,7)=%7,656 ve Φ(−2,5)=%0,621'dir. Çarpımları %0,0010816, 250 bağımsız günde en az bir aşım olasılığı ise yaklaşık %0,270 olur. Burada dönem sonu sonuçlarının iki modeli karşılaştırılır.

Bu örnekte ortak faktör, bağımsızlığa göre dönem sonu eşik aşımı olasılığını yaklaşık 482 kat artırır. Hesap, bağımlılığı kontrol etmeyi destekler; fakat bütün stop bütçesinin gerçekleşmesi olasılığını belirlemez. Kontrol olarak: sürekli, sürüklenmesiz bir Brown hareketi modelinde −2σ'daki tek bariyere gün bitmeden dokunulma olasılığı 2Φ(−2)=%4,55 iken dönem sonu sonucunun o bariyerin altında bulunma olasılığı %2,275'tir. Yol bariyerin üzerine geri dönebilir; fiyat boşlukları içeren bir piyasa ek varsayımlar gerektirir.

Adım 5 — oynaklık birimleriyle çıkış mesafeleri aynı olduğunda ne olur

Birçok okuyucu koruyucu çıkışlarını enstrüman oynaklığının sabit katı olarak belirler — örneğin hepsini 2,00 günlük sapmaya. Bu ayarda ortak faktör eşikleri birbirinden uzaklaşmayı bırakır:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

Bütün ki=2 olarak ayarlandığında aynı dönem sonu modeli %0,8601 ortak aşım ve 250 bağımsız gün boyunca en az bir aşım için %88,46 olasılık verir. Ortak faktör eşiğinin ötesindeki %1,19 kuyruk bu integralin yerini tutmaz: özgül bileşenleri dışarıda bırakır.

Karşılaştırma iki belirli bariyeri değiştirir: k₂, 1,43'ten 2'ye yükselir; k₃ ise 2,5'ten 2'ye düşer. Modelin birleşik sonucu artar, ancak eşikleri standartlaştırmak her zaman bu etkiyi yaratmaz. Yeni eşikleri ve nominal değerleri yeniden hesaplayın; tek başına «oynaklık birimleriyle eşit mesafeler» risk sorusunu çözmez.

9. Stres altında korelasyon — bu hesabın kapsamadıkları

Korelasyonun tarihsel testinizdeki yerde kalma zorunluluğu yoktur. Portföy riskini tarihsel korelasyon üzerine kuruyorsanız süreklilik varsayımına dayanıyorsunuzdur — piyasa ise hiçbir süreklilik garantisi vermez.

Stres altında bağımlılık sıkılaşabilir, zayıflayabilir veya işaret değiştirebilir. Pozitif σ ölçekleri sabitken sonuçların pozitif korelasyonundaki artış, toplamlarının varyansını artırır; fiyat korelasyonundaki değişimde ise pozisyon işaretleri yine uygulanmalıdır. Zıt yönlü pozisyonları olan portföyde bir fiyat katsayısındaki aynı değişim farklı etki gösterebilir.

Finansmanın aniden kısıtlanması ve benzer maruziyetlerin kapatılması ortak fiyat hareketlerini güçlendirebilir. Brunnermeier, Nagel ve Pedersen bu bağlantıyı faiz farklarına dayanan döviz pozisyonları için açıklar.⁵ Bu, ayrı bir korelasyon türü veya herhangi bir katsayının mutlaka yükseleceğinin kanıtı değil, olası dağılım değişiminin ekonomik mekanizmasıdır.

BIS'in 2016 sterlin raporu ve RBA'nın 2019 yen raporu hızlı hareketleri, zayıf likiditeyi ve gerçekleşme sorunlarını belgeler.⁶⁷ SNB duyurusu 2015 EUR/CHF rejim değişimini doğrular.⁸ Bu kaynaklar ne portföyümüz için katsayı belirler ne de bütün olay öncesi korelasyonların tamamen yararsız olduğunu kanıtlar. Düzeyler, saatler ve yorum sınırları 9.10.

Korelasyonlu hareketle daha kötü gerçekleşme birlikte görülebilir. Dolayısıyla tablodaki %10R kayma yalnızca senaryo parametresidir; onu evrensel olarak iyimser veya temsili sayacak dayanağımız yoktur. Bütçeleme gerçek fiyatlardaki zararı, komisyonları ve finansmanı gerektirir; senaryo sıklığı ise ortak bir fiyat yolu modelini gerektirir.

10. Bu hesabın ne kadarı strese dayanır — sayılar

Önceki bölüm olguyu açıkladı. Şimdi hesaplayalım; çünkü yalnızca aritmetik, krizde korelasyona ilişkin yaygın tezin hangi kısmının doğru olduğunu, hangi kısmının dikkati yanlış büyüklüğe kaydırdığını gösterir.

Aşağıdaki stres varyantı iki varsayılan değişimi ayırır: pozitif sonuç korelasyonlarının artması ve standart sapmaların artması. Her krizde ortaya çıktıklarını iddia etmiyoruz. Bunları 7. bölümdeki portföy ve 11. bölümdeki dağınık B portföyü için ayrı hesaplıyoruz.

Yoğunlaşmış portföy

7. bölümün üç pozisyonu: σ = %0,50 / %0,70 / %0,40, sonuç korelasyonları +0,87 / +0,91 / +0,82, pozisyon başına risk tutarı %1,00, sermaye 100.000 PLN. Stres varyantı — temsili değerler — üç korelasyonun da 0,97'ye yükseldiğini ve bütün standart sapmaların iki katına çıktığını varsayar.

Yalnızca korelasyonların sıkılaştığı varyant. Kareler toplamı değişmez: 0,90. Çapraz terim: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = %1,58.

Yalnızca oynaklığın iki katına çıktığı varyant. Formül σ bakımından birinci dereceden homojendir; bu nedenle bütün sapmaları iki katına çıkarmak sonucu tam olarak iki katına çıkarır: σ_p = 2 × %1,53 = %3,05.

İki değişimin birlikte olduğu varyant. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Kareler toplamı: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Çapraz terim: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = %3,17.

Dağınık portföy

11. bölümdeki B portföyü: her biri σ = %0,80 olan üç pozisyon, sonuç korelasyonları +0,35 / +0,20 / +0,10; toplamları 0,65. Başlangıç değeri: %0,80 × √(3 + 2 × 0,65) = %0,80 × √4,30 = %1,66.

Üç korelasyon da 0,97'ye sıkılaştığında toplam 2,91 olur; dolayısıyla σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = %2,38. Oynaklık iki katına çıkarılıp korelasyonlar aynı tutulduğunda: 2 × %1,66 = %3,32. İki değişim birlikte: %1,60 × 2,9698 = %4,75.

Karşılaştırma

Bu karşılaştırmadan üç sonuç çıkar; hiçbiri hesap yapılmadan önce açık değildir.

Birincisi: zaten yoğunlaşmış bir portföyde korelasyonların sıkılaşması, ikincil bir etkidir. Modellenmiş oynaklığı %3,7 artırırken oynaklığın kendisindeki artış onu %100 artırır. Korelasyonları yaklaşık 0,9 düzeyinde olan portföyün bunların 0,97'ye gitmesinden kaybedeceği bir şey kalmamıştır — bunu daha önce, kurulurken kaybetmiştir.

İkincisi: dağınık portföyde sıkılaşmanın maliyeti %43,2'dir; yoğunlaşmış portföydekinden on bir kattan fazladır. Stres altında, dağınıklığın modellenmiş oynaklıkta sağladığı yararın yaklaşık %97'si kaybolur: sapmalar toplamına (%2,40) göre avantaj, başlangıç koşullarındaki 0,74 yüzde puandan korelasyonlar 0,97 olduğunda 0,02 puana erir.

Son sütun aynı R değerlerini ve aynı gerçekleşme çarpanını varsaydığımız için sabit kalır. Daha yüksek σ ve bağımlılık yine de zararların sıklığını ve birlikte görülmesini değiştirebilir; koşullu %3,30 senaryosunun büyüklüğü değişmese bile. Daha kötü gerçekleşme tutarı artırır, ancak stresin hesap riskini etkilemesinin tek kanalı değildir.

Stres korelasyonu nereden alınır

İki dürüst yol vardır ve ikisinin de açıkça belirtilmesi gereken bir kusuru vardır.

Koşullu ölçüm. Bağımlılık, örneğin yüksek oynaklık ölçütüyle açıkça seçilmiş stres seanslarında ölçülebilir. Örneklem seçimi incelenen dağılımı değiştirir. Forbes ve Rigobon, belirli bir model altında ortak şok varyansıyla korelasyonun arttığını gösterir;² bu, her oynaklık filtresinin her korelasyonu yukarı yanlı yaptığını kanıtlamaz. Seçim ölçütünü, N'yi ve yöntemi belirtin; küçük alt örneklem genellikle geniş belirsizlik aralığı gerektirir.

İkinci yol: aritmetik sınır olarak ρ = +1 koymak. Avantajı: hiç tahmin gerektirmez ve formülün üretebileceği en yüksek değeri, yani sapmalar toplamını verir — yoğunlaşmış portföy için başlangıç koşullarında %0,50 + %0,70 + %0,40 = %1,60, oynaklık iki katına çıktığında %3,20. Kusuru: bu, piyasanın tanımı değil, modelin üst sınırıdır. Bazı ilişkiler stres altında çözülür, bazıları işaret değiştirir; dolayısıyla ρ = +1 bir tahmin değildir. Formülün üzerine çıkmadığı sayıdır — onun ötesinde olup bitenler hakkında ise hiçbir şey söylemez.

Anlamları ve varsayımları açıkça belirtilirse oynaklık ölçüleri ayrı model limitleri olabilir. Çıkış senaryosu bütçesi tahmin edilmiş korelasyona doğrudan bağlı değildir; ancak gerçekleşme fiyatlarına, maliyetlere ve portföy bileşimine bağlıdır. Pratik kontrolde iki limit türü de kullanılabilir.

11. Aynı yöntemle hesaplanan üç portföy

Üç bileşim, aynı 100.000 PLN mevcut sermaye ve pozisyon başına aynı %1,00 (1.000 PLN) risk. Bileşimler birbiriyle karşılaştırılabilsin diye burada her pozisyonun standart sapması aynı: günlük σ = sermayenin %0,80'i — karşılaştırma için benimsenmiş bu basitleştirme, bütün çiftlerde eşit korelasyon formülünün çalışması için gereklidir. 7. bölümde aynı enstrümanların σ'sı farklıydı (%0,50, %0,70 ve %0,40); çünkü hem nominal değerleri hem de enstrümanın kendi günlük oynaklığı farklıydı. Kendi hesabınızda σ her pozisyon için ayrı ölçülür. Bütün değerler temsilidir. Her portföy için iki sayı da verilir.

A portföyü — beş pozisyon, tek maruziyet

On çiftin tamamı için işaretler aktarıldıktan sonra 4. bölümdeki matristen hesaplanan ortalama çiftli sonuç korelasyonu — (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10 — +0,6020 olur. Modellenmiş oynaklık: %0,80 × √(5 + 20 × 0,6020) = %0,80 × √17,04 = günde sermayenin %3,30'u. Beş çıkış tetiklendiğinde zarar toplamı: 5 × 1.000 = 5.000 PLN = %5,00; bacak başına %10 kaymayla — %5,50 = 5.500 PLN. Dolarda yoğunlaşmış risk: %5,00, yani tek pozisyon riskinin 5 × değeri; benimsenen 3 × limitine karşı. Portföy limiti iki pozisyonla aşar; her biri tek başına «işlem başına %1» kuralına uysa bile.

B portföyü — üç faktör

Çiftli korelasyonların toplamı 0,65'tir; dolayısıyla modellenmiş oynaklık: %0,80 × √(3 + 2 × 0,65) = %0,80 × √4,30 = %0,80 × 2,0736 = günde sermayenin %1,66'sı. Üç çıkış tetiklendiğinde zarar toplamı: %3,00; kaymayla %3,30 = 3.300 PLN.

Euro iki pozisyonun zıt taraflarında yer alır. Ancak sıfır net maruziyet, eşit R tutarlarını değil, eşit EUR nominal tutarlarını gerektirir. Bu varyant, iki bacakta aynı ortak an itibarıyla 100.000 PLN olarak değerlenmiş aynı EUR nominal tutarını varsayar; AUD/JPY'nin nominal değeri 80.000 PLN'dir. O zaman net EUR=0; kalan maruziyetler USD−100.000, GBP+100.000, AUD+80.000 ve JPY−80.000 PLN'dir. Tek yönde yoğunlaşmış stop bütçesi 1.000 PLN'yi aşmaz. Toplam zararların %5,50'den %3,30'a düşmesi eşit R bütçelerinin sayısının azalmasından gelir; σ değişimi ise ölçeklerden ve bağımlılıktan gelir.

C portföyü — zıt maruziyetli iki pozisyon

Uzun EUR/USD ile uzun USD/CHF; her birinde %1,00 risk. Fiyat korelasyonu −0,91, iki pozisyon da uzun; dolayısıyla sonuç korelasyonu da −0,91'dir.

Modellenmiş oynaklık: %0,80 × √(2 + 2 × (−0,91)) = %0,80 × √0,18 = günde sermayenin %0,34'ü. İki çıkış da tetiklendiğinde zarar toplamı: %2,00; kaymayla %2,20 = 2.200 PLN.

USD nominal tutarları yalnızca eşleştirildiğinde tam olarak birbirini götürür. Temsili EUR/USD=1,10 ve USD/CHF=0,90 kurlarında uzun 100.000 EUR pozisyon, 110.000 USD satar. İkincisi tam olarak 110.000 USD alıp 99.000 CHF satmalıdır. Geriye +100.000 EUR ve −99.000 CHF kalır; bu, 0,99'dan uzun EUR/CHF'ye eşdeğerdir. İkinci bacağın farklı nominal tutarı USD maruziyeti bırakır. İki enstrümanın iki maliyet tarifesi vardır; toplam ücret daha yüksek olabilir, ancak tek başına pozisyon sayısı PLN maliyetlerinin ikiye katlandığını kanıtlamaz.

Modellenmiş oynaklık ve zarar toplamı sütunları aynı sırayı izler, ancak ölçekleri tamamen farklıdır. C portföyünün modellenmiş oynaklığı A portföyünden neredeyse on kat düşüktür (%0,34'e karşı %3,30); zarar toplamı ise yalnızca iki buçuk kat düşüktür (%2,20'ye karşı %5,50).

12. Pozisyon sayısı ve çeşitlendirmenin sınırı

«Aynı anda kaç pozisyonum olabilir?» sorusu portföylerle ilgili her konuşmada döner ve neredeyse her zaman arkasında aritmetik olmayan bir sayıyla yanıtlanır. Aritmetik vardır ve yanıtı iki bölümde verir; çünkü soru iki farklı durumu gizler.

Pozisyon eklemenin iki yolu

Birinci varyant: risk eklemek. Her yeni pozisyonun kendi risk tutarı ve σ'sı vardır; bütçe bunlarla birlikte büyür. Pozitif çıkış bütçeleri toplamı yeni R kadar artar. Model varyansı ise σn²+2Cov(P,Xn) kadar değişir; burada P mevcut portföy kâr/zararıdır. Kovaryans yeterince negatifse daha fazla bacağa rağmen azalabilir. Bunu toplam R artışından ayrı hesaplayın.

İkinci varyant: aynı bütçeyi bölmek. Dağıtmak istediğiniz sabit bir sapmalar toplamınız vardır; bunu N pozisyona bölersiniz; böylece her birine σ = σ_B/N düşer. Ancak sapmalar toplamını bölmek risk tutarlarını belirlemez: ΣR ayrı bir bütçe ve ayrı bir karardır. Dolayısıyla bu bölüm açıkça iki bölmeyi aynı anda benimser — σ_i = σ_B/N ve R_i = R_B/N — çünkü ancak o zaman farklı N'lerin karşılaştırması aynı bahsi ilgilendirir. Çeşitlendirmeyle ilgili doğru soru ve anlamlı yanıtı olan tek soru budur. Pozisyon başına tekdüze σ ve bütün çiftlerde tekdüze korelasyon ρ ile:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

Son ifade bütün bölümün anahtarıdır; çünkü N sonsuza giderken şu değere yakınsar: σ_B × √ρ. Dolayısıyla pozitif korelasyonda, pozisyon sayısı ne olursa olsun, portföyün modellenmiş oynaklığının altına düşmeyeceği bir taban vardır — korelasyon ne kadar yüksekse bu taban da o kadar yüksektir.

Tablo: sıradaki pozisyon ne kazandırır

ρ = 0,75 satırı şöyle okunur: iki pozisyondan yirmiye geçiş, modellenmiş oynaklığı %1,871'den %1,746'ya düşürür; yani 0,124 yüzde puan. Her birinin kendi spreadi, komisyonu ve gerçekleşme riski olan on sekiz ek pozisyon, yüzde puanın sekizde birini kazandırır. Yöneldiği sınır %1,732'dir — portföyün iki pozisyonda zaten sahip olduğu değerin %93'ü. İki pozisyondan başlayarak hesaplandığında herhangi bir sayıda enstrümana dağılmanın bütün olası yararı bu korelasyonda 0,139 yüzde puandır.

Ek yararın nerede önemsizleştiği

Çeşitlendirmenin bütün olası yararının ne kadarına belirli bir N. Toplam yarar tek pozisyon (%2,00) ile sınır arasındaki farktır; elde edilen yarar ise tek pozisyon ile aşağıdaki pozisyon sayısındaki değer arasındaki farktır: N.

Sonuç, korelasyona göre şaşırtıcı ölçüde istikrarlıdır: beş pozisyonda çeşitlendirmenin verebileceği her şeyin yaklaşık dörtte üçüne, on pozisyonda yaklaşık onda dokuzuna zaten sahipsiniz. Geri kalan, on birinci ve sonraki pozisyonlara dağılır; her biri tam spread ve komisyon maliyeti taşır ve gerçekleşme riskine bir bacak daha ekler. Bu, «beş pozisyonunuz olsun» önerisi değildir — çeşitlendirme gerekçesinin nerede işlevini kaybettiğini ve geriye yalnızca maliyet gerekçesinin kaldığını gösterir.

N pozisyonda korelasyonun alt sınırı

7. bölümde türetilmeden verilen beş pozisyon için −0,25 sınırı, genel koşulun özel durumudur. Çiftli korelasyon tekdüzeyse karekök içindeki ifade negatif olamaz; buradan:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

ρ≥−1/(N−1) koşulu, mümkün olan en düşük tekdüze korelasyonu sınırlar. Toplamın varyansı negatif olamayacağından eşit ölçeklerde bütün korelasyonların ortalamasına da uygulanır. Pozisyon eklendikçe gerçek ortalamanın sıfıra yaklaşmasını gerektirmez: yüksek ve pozitif kalabilir. Tutarsız dönemler veya eksik verilerin çift bazında silinmesi, pozitif yarı tanımlılığı ihlal eden matris yaratabilir.

N ile küçülmeyen kuyruk

Bütün çıkışlar tetiklendiğinde zarar toplamı yukarıdaki tablolarda bir kez bile görünmez; bu bir unutkanlık değildir. Benimsenen ikinci varsayım — eşit bölünmüş sabit risk tutarları toplamı ΣR = R_B — altında iki pozisyonda da yirmi pozisyonda da aynıdır. Bu, yalnızca σ_B 'nin bölünmesinden çıkmaz; yukarıda açıkça benimsenmiş ayrı bir varsayımdır. Risk tutarının sabit oranı olarak hesaplanan kayma da g × R_B olarak toplanır ve aynı şekilde değişmez.

Değişen başka bir şeydir — tek bir olayda olağandışı gerçekleşmeye maruz kalan bacakların sayısı. Olaylı bir seansta tek bacakta olağandışı gerçekleşme olasılığının %5 olduğunu varsayalım (temsili değer).

%5 sütunu, tamamen ortak bir olay göstergesi varsayar: 0,05 olasılıkla her bacak olağandışı gerçekleşir; aksi halde hiçbiri gerçekleşmez. Beş bağımsız gösterge için çarpım 0,05⁵=%0,00003125'tir; oran 160.000 olur. Tek başına ortak faktör bu rakamı belirlemez. Sabit ΣR altında R ile orantılı maliyetler sabit kalır; daha fazla emir asgari ücretleri artırabilir ve gerçekleşme senaryoları her düzey için ayrı hesaplanmalıdır.

Bunu önceki tabloyla karşılaştıralım: ρ = 0,75'te beş pozisyondan ona geçmek modellenmiş oynaklığı %1,789'dan %1,761'e, yani 0,028 yüzde puan düşürür — aynı anda tek olayda kötüleşmiş fiyattan gerçekleşebilecek emir sayısını ikiye katlar. Dolayısıyla sıradaki pozisyon kararı, ezberlenecek tek sayıya değil, hem σ_p 'deki marjinal azalmaya hem de gerçekleşme maliyetine bağlıdır.

13. Döviz piyasasında çeşitlendirmenin sınırları

Hisse piyasasında çeşitlendirme, sayısı birkaç bin olan enstrümanlara dayanır. Döviz piyasasında sekiz ana para birimi 28 parite verir; ancak hepsi aynı sekiz bileşenin kombinasyonudur ve cironun çoğu dolar üzerinden geçer¹². Dolayısıyla ortak faktör enstrüman seçiminde değil, piyasanın yapısında yerleşiktir.

Düşük korelasyonlu pozisyon eklemek, oynaklığı eşit ölçekli alternatif bir pozisyona göre azaltabilir; ancak mevcut portföyün σ'sını düşürmek zorunda değildir. Belirleyici terim σnew²+2Cov(portfolio,new)'dur. Diğer bütün büyüklükler sabit tutulursa her pozitif yeni R, toplam çıkış senaryosu bütçesini artırır.

Yoğunlaşmış risk sütunu mekanik okunur: önemli olan portföyde kaç pozisyon olduğu değil, aynı para birimi aynı yönde hareket ettiğinde kaç pozisyonun kaybettiğidir. İlk bileşimde dört pozisyonun dolar tarafı aynıdır; yoğunlaşma bu nedenle pozisyon riskinin 4 × değeridir. İkincide euro iki paritede aynı tarafta görünür — üç farklı isim taşıyan üç pozisyon olsa da sonuç 2 ×'tir. Üçüncüde hiçbir para birimi bir kez bile tekrarlanmaz: üç parite altı farklı para birimine dağılır; yoğunlaşma pozisyon riskinin 1 × değerine, yani herhangi bir pozisyon sayısında erişilebilen asgariye iner. Dolayısıyla bu sütun isimlerin dağılmasını değil, para birimlerinin tekrarlanmamasını ödüllendirir.

Üçüncü bileşim, çeşitlendirme anlatımlarında sık atlanan bir düzeltme gerektirir. Doları ortak payda olmaktan çıkarmaz; çünkü USD/CAD'nin baz para birimi USD'dir — üç pozisyondan biri hâlâ doğrudan USD'nin kendisine tepki verir. EUR/GBP, AUD/NZD ve CAD/CHF gibi USD paritesi içermeyen küme, doğrudan dolar bacaklarını kaldırır. Tutarlı değerlemeler ve uygun hacimler kullanılarak dolar pariteleri içeren bir portföyde de işaretli net USD nominal tutarları nötrlenebilir. Bu iki yapıdan hiçbiri tek başına dolaylı USD etkisini veya ortak makro faktörleri kaldırmaz. Çaprazlar başka faktörleri paylaşabilir: sert riskten kaçışta emtia para birimi bacaklarının ikisi de güvenli liman sayılan para birimlerine karşı kaybedebilir. Mekanizma kursun 7. bölümünde ele alınır; burada önemli olan muhasebesel sonucudur — sakin penceredeki korelasyon stres penceresindeki bağımlılığı belirlemez. Belirtilen seriler için farkın yönünü ve büyüklüğünü ölçün, ardından pozisyon işaretlerini hesaba katın.

Bu bölümün yararlı operasyonel sonucu kısadır. Farklı faktörlerin yönlendirdiği pariteleri seçmek günlük sonuç dağılımını veya seçilmiş senaryodaki ortak zararı azaltabilir. Bunu ilgili portföyün ölçekleri, işaretleri ve bağımlılığıyla kontrol edin; yalnızca farklı simgeler listesi yararı göstermez. Bu, daha fazla pozisyonu haklı çıkarmaz — limit hâlâ zararların toplamına uygulanır.

14. Bir kural portföyü — aynı anda çalışan birkaç kural kümesi

Yukarıdaki her şey bir parite portföyüyle ilgiliydi. Aynı gizli maruziyet, bir üst düzeyde, birkaç giriş kuralını aynı anda çalıştırdığınızda ortaya çıkar. Her birinin kendi parametreleri ve geçmişi vardır; ancak risk aritmetiği her biri için ayrı yürütülemez: pozisyonlar tek hesaba gelir, tek teminat havuzunu bloke eder ve tek zorunlu kapatmaya tabidir.

Karara bağlanacak üç konu vardır ve hepsi önceden kaydedilir.

Ortak limit

Risk bütçesi tektir ve kurala değil, hesaba aittir. Şöyle tanımlanır: aynı anda açık bütün pozisyonların risk tutarları toplamı; hangi kuralın açtığından bağımsızdır — yani 7. bölümün 3. adımında hesaplanan aynı büyüklük. «Kendine ait %3'ü olan» bir kural, pratikte hesabın bütçesini paylaşmak yerine ona kendi %3'ünü ekler.

Bütçeyi kurallar arasında bölmek

Varsayımlar (temsili değerler). Mevcut sermaye 100.000 PLN. Portföy risk bütçesi: %4,00 = 4.000 PLN. İki kurala yarı yarıya bölünmüş: R1 — %2,00 = 2.000 PLN, R2 — %2,00 = 2.000 PLN. İki kuralda da tek pozisyon riski: %1,00 = 1.000 PLN; bu nedenle her kural aynı anda en fazla iki pozisyon tutabilir. Tek para biriminde yoğunlaşmış risk limiti: pozisyon riskinin 3 × değeri = %3,00 = 3.000 PLN.

Dördüncü adım bu limitin neden var olduğunu gösterir. Sinyal, R2 kuralının bütçesi de bütün portföy bütçesi de izin verdiği halde reddedilir — bağlayıcı olan para birimi yoğunlaşma limitidir; çünkü dolar güçlendiğinde dört pozisyonun hepsi kaybeder. Bu limit olmadan R1 ve R2 birlikte %4,00 değerinde tek dolar bahsi kurardı; her biri kendi kurallarına tamamen uyduğu halde.

Son durumda %1,00 riskli üç pozisyon vardır; yani 7. bölümde hesaplanan portföyün aynısı: günde sermayenin %1,53'ü modellenmiş oynaklık, her çıkış tetiklendiğinde zarar toplamı %3,00, kayma eklenip fiyat boşluğu olmadığında ise — %3,30 = 3.300 PLN. R2 bütçesinin boşta kalan %1,00'ı, dolar pozisyonlarından biri kapanana veya başka faktörde sinyal çıkana kadar boş kalır.

İlişkili enstrümanlarda aynı anda iki sinyal

Daha zor durum: iki kural aynı anda, bileşen para birimlerine ayrıldığında aynı yöne işaret eden enstrümanlarda sinyal verir. Örnek: R1'in sinyali uzun GBP/USD, R2'nin sinyali kısa EUR/GBP. İsimler farklıdır, ancak kısa EUR/GBP sterlinde uzun pozisyondur — iki sinyal de aynı şeyi artırır.

Sterlinde yoğunlaşmanın zaten %2,00 (sterlinin aynı tarafta olduğu, her biri %1,00 riskli önceki iki pozisyon), limitin ise %3,00 olduğunu varsayın. Boş alan: %1,00. Her biri %1,00 olan iki sinyal toplam %2,00 eder ve limiti aşar.

Tek bütçeyi iki yarıya bölmek, σ'yı tam büyüklükteki tek pozisyondan daha yüksek yapmaz; ancak iki adayın σ/R oranları eşitse ve aynı taban kullanılıyorsa. O zaman σhalves=σfull√[(1+ρ)/2]. İki emir asgari ücret doğurabilir, ancak nominal değerle orantılı ücret iki katına çıkmak zorunda değildir. Çakışma kuralı olmayan varyant R'yi %3'ten %4'e, kayma senaryosunu %3,3'ten %4,4'e yükseltir.

15. Bir pozisyonu reddetmek için karar tablosu

Günlük limitte kalan kapasite vardır

Örnek: gün başı özkaynak 100.000 PLN, günlük zarar limiti 3.500 PLN, kapanmış net zararlar 400 PLN. Kalan kapasite 3.100 PLN. Mevcut R=2.500 PLN ve ortak ek gerçekleşme %10R varsayılırsa (2.500+Rn)×1,10≤3.100; dolayısıyla Rn≤318,18 PLN. Önceki zararları yok saymak 681,82 PLN'ye izin verirdi. Açık zararlar zaten girişten mevcut fiyata hareketi içeriyorsa yalnızca mevcut özkaynaktan çıkış senaryosuna kadar olan ek zararı hesaplayın; aksi halde aynı zarar iki kez düşülür.

Önceki bölüm, yoğunlaşma limitinin bütçeden önce bağlayıcı olduğu dördüncü adımda bir sinyal reddi örneği gösterdi. Bunu, karar durum değerlendirmesi gerektirmesin diye sayısal koşulları olan testler kümesine genelleştirelim.

Testler, pozisyon açılmadan önce sırayla, varsayımsal olarak eklendikten sonra hesaplanan büyüklükler üzerinde yapılır. Her testin yalnızca «evet/hayır» yanıtı değil, aynı zamanda boş alanı vardır — hâlâ sığan risk tutarı. Boş alan yanıtın kendisinden önemlidir; çünkü pozisyonun küçültülmüş büyüklükte kabul edilip edilemeyeceğini belirler.

Hangi test bağlayıcı — sayılar

Başlangıç durumu. Mevcut sermaye 100.000 PLN. 7. bölümden, her biri %1,00 riskli üç açık pozisyon; hepsi dolarda kısa. Dolayısıyla ΣR = %3,00 = 3.000 PLN ve dolarda yoğunlaşmış risk S_USD = %3,00. Portföy bütçesi B = %4,00. Kabul edilebilir günlük düşüş DD = %3,50 — temsili bir değer; günlük limitin nereden geldiği ve hangi tabana dayandığı 9.3 içinde; düşüşün iki farklı tanımla ölçülmesi ve durdurma koşulu ise 9.8 içinde ele alınır. Kayma g = %10. Yoğunlaşma limiti: 3 × R = 3 × %1,00 = %3,00.

Aday. Uzun AUD/USD, risk R_n = %1,00 = 1.000 PLN. İlk pozisyonla sonuç korelasyonu +0,72 — iki pozisyon da uzun olduğundan 4. bölüm matrisinin işareti aynı kalır. Aday da açık üç pozisyon gibi dolarda kısadır. Hesaptan önce bir çekince belirtilmelidir: +0,72 ölçümü 90 seanslık pencereden, yani 89 getiri gözleminden gelir ve bu nedenle T3'te belirlenen pencere koşulunu sağlamaz. Bu makalede o kadar uzun pencereden ölçüm yoktur; bir tane eklemek veri uydurmak olur. Dolayısıyla aşağıda T3, geçilen bir test olarak değil, prosedürün gösterimi olarak çalışır — 3. bölümün terimleriyle belirleyici ölçüm değil, alarmdır. Bu, hesabın sonucunu etkilemez: korelasyon ne çıkarsa çıksın, T2 adayı boş alan sıfırken reddeder.

Aday USD yoğunlaşma limitine sığmaz: kalan kapasite sıfırdır. Bağımsız olarak T4, 181,82 PLN ek R bırakır. Bu tutarla işlem yapılıp yapılamayacağı giriş fiyatını, çıkış mesafesini, maliyetleri, asgari hacmi ve hacim adımını gerektirir. Bu girdiler olmadan pozisyonun fazla küçük olup olmadığını belirleyemeyiz; burada yoğunlaşma testi zaten reddeder.

T1 üzerinde ayrıca durmak gerekir: portföy bütçesi geçti. Tek test o olsaydı dördüncü pozisyon engellenmeden kabul edilir; portföyün tek para biriminde yoğunlaşmış riski %4,00, zarar toplamı ise kabul edilebilir %3,50 düşüşe karşı %4,40 olurdu. Risk bütçesi tek başına portföy kuralı olarak yeterli değildir — dört testin en zayıfıdır; çünkü pozisyonlar arasındaki ilişkiler hakkında hiçbir şey bilmez.

16. Portföy aritmetiğinde beş hata

Hata 1: portföy formülünün sonucunu zarar tutarı diye okumak

En ağır ve en yaygın hata. Her biri %1 riskli beş pozisyon için σ_p = %4,69 sonucu bazen «%4,69 etkin risk, yani %5'ten az — payım var» diye tanımlanır. Böyle bir pay yoktur: %4,69, pozisyon başına σ = %1 iken günlük sonucun standart sapmasıdır; beş çıkış tetiklendiğinde zarar toplamı %5,00 artı her bacaktaki kaymadır. Tanı testi tek cümledir: σ yerine koyduğunuz büyüklük pozisyonu kapattığınız tutarsa yanlış şeyi yerine koymuşsunuzdur.

Hata 2: yalnızca dolar paritelerinden kurulu portföy

Aynı yöndeki dört XXX/USD pozisyonu dolarda kısa maruziyeti paylaşır. Diğer para birimleri ve sonuç ölçekleri farklı olabilir; bu nedenle kelimesi kelimesine tek pozisyon değildirler. Doların işlem hacmindeki rolü belgelenmiştir,¹² ancak bu, her parite için belirli korelasyonu kanıtlamaz. Yoğunlaşma limitiyle bağımlılık hesabı birbirini tamamlar.

Hata 3: rejim değişiminden önceki korelasyona güvenmek

Olay öncesi ölçüm o örneklemi tanımlar. Forbes ve Rigobon'un tartıştığı gibi ortak şok varyansındaki değişim, enstrümanlar arasındaki ilişki parametrelerini değiştirmeden korelasyonu artırabilir.² Başka bir şok yapısı farklı yön verebilir. Katsayı sıçramasını bağımlılık değişimi saymadan önce dönemi, ölçekleri ve seçim ölçütünü kontrol edin.

Hata 4: negatif korelasyonu korunma saymak

−0,91 kâr/zarar korelasyonunda iki pozisyonun model oynaklığı %0,34'e düşer (11. bölümde C portföyü); bu bazen «%2 yerine %0,34 etkin risk» diye anlatılır. Bu iki büyüklüğü karıştırır. Günlük kâr/zarar dağılımı gerçekten daralır; iki çıkış da gerçekleşirse toplam zarar değişmez; %2,00 artı kaymadır. İki bacağın ayrı maliyetleri vardır; hacimler ve sözleşme özellikleri önemli olduğundan toplamları tek bacak maliyetinin tam iki katı olmak zorunda değildir. Aynı brüt sonuçlarda pozitif ek maliyet net beklenen değeri düşürür. Bu özel C portföyünde standart sapma %0,34'e düşer; genel olarak karşıt pozisyon eklemek varyansı ancak σn²+2Cov(P,Xn)<0 ise düşürür. İki çıkış bütçesi ayrı bir senaryo olarak kalır.

Hata 5: para birimi başına limit koymamak ve korelasyonu nedensellikle karıştırmak

İki alışkanlık da aynı yere götürür. Yoğunlaşma limiti olmadan «%1'lik» altı pozisyon toplam %6 değerinde tek bahis oluşturur — her biri tek başına kurala uyar, hepsi birlikte uymaz. İkinci alışkanlık «EUR/USD yükseldiğine göre GBP/USD de yükselecek, çünkü korelasyon +0,87» gerekçesiyle pozisyon eklemektir. Katsayı bir sıralamayı değil, ortak faktörü tanımlar: iki parite dolar kuruna tepki verir, ancak sterlinin bugün bu ilişkiyi ayırabilecek kendi faktörleri vardır. Yoğunlaşma limiti iki alışkanlığı da durdurur; çünkü gerekçe değil, sayı ister.

17. Öz değerlendirme alıştırması

Portföy yukarıda hesaplananların hepsinden farklıdır, ancak üç korelasyon katsayısı 4. bölüm matrisinden gelir — başlamadan önce orada kontrol edin. Önce kendiniz hesaplayın, ardından çözümle karşılaştırın.

Çözüm

a) İşareti aktarmak. 1 ve 2 numaralı pozisyonlar da uzun; işaret aynı kalır: +0,92. 3 numaralı pozisyon kısa, 1 ve 2 uzun olduğundan iki durumda da işaret ters döner: +0,68 ve +0,60. Üç sonuç korelasyonu da pozitiftir — uzun AUD/USD, uzun NZD/USD ve kısa USD/CAD, dolarda kısa üç pozisyondur.

b) Modellenmiş birleşik oynaklık.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σp=√2,1364=özkaynağın %1,461643'ü. PLN cinsinden: 0,01461643×60.000=876,99 PLN≈877 PLN. Dönüşüm yuvarlanmamış rakamla yapılır; gösterilen %1,46 yeni hesap girdisi olmak yerine okunabilirliği artırır.

Kontrol: sonuç, en büyük tek sapma (%0,60) ile sapmalar toplamı (%1,60) arasındadır — bu kontrolün alt yarısı yalnızca üç sonuç korelasyonu da pozitif çıktığı için geçerlidir; negatif olanlarda bağlayıcılığı kalkar, 11. bölümdeki C portföyü gibi. Bağımsızlıkta √0,8650 = %0,93 olurdu — ilişki modellenmiş oynaklığı %57 artırır.

c) Bütün çıkışlar tetiklendiğinde zarar toplamı. Kayma olmadan: 3 × 750 = 2.250 PLN = sermayenin %3,75'i. Risk tutarının %8'i kadar kayma bacak başına 60 PLN, toplamda 180 PLN'dir: 2.250 + 180 = 2.430 PLN = sermayenin %4,05'i.

d) Dolarda yoğunlaşmış risk. Dolar güçlendiğinde üç pozisyon da kaybeder; yoğunlaşmış risk bu nedenle 3 × %1,25 = sermayenin %3,75'i = 2.250 PLN. Limit: 3 × %1,25 = %3,75. Portföy tam sınırdadır — dolara aynı taraftan maruz kalan dördüncü pozisyon, giriş kuralı ne kadar iyi olursa olsun artık sığmaz.

e) Sermaye planlamasının temeli (c) maddesindeki sayıdır: %4,05. %1,46 modellenmiş oynaklık, varsayılan ufuk ve sonuç dağılımında günlük sonucun yayılımını tanımlar ve %64 üç çıkış aynı seansta tetiklenirse hesaptan gerçekten çıkacak tutardan düşüktür.

f) İkinci pencere ve stres. +0,78/+0,54/+0,46 için karma terim 2×(0,2574+0,1458+0,11385)=1,0341; dolayısıyla σp=√1,8991=%1,378079; yani 826,85 PLN≈827 PLN. Bu, 50,14 PLN değişimdir; uzun pencere sonucuna göre yaklaşık −%5,72. N=89 için SE(r)≈(1−r²)/√(N−1) şu değerleri verir: 0,0164; 0,0573; 0,0682; N=29 için ise 0,0740; 0,1339; 0,1490. r'deki nokta farkları 0,14; 0,14; 0,14'tür; ancak bunları bu altı SE ile karşılaştırmak bir anlamlılık testi değildir. Kısa pencere uzun olanın içindedir: Var(rL−rS)=Var(rL)+Var(rS)−2Cov(rL,rS). Son kovaryans ve tam seriler elimizde olmadığından ne p ne de fark aralığı veriyoruz. SE yaklaşımı ayrıca 2. bölümün varsayımlarını gerektirir. Tutarlı stres varyantı Cstress=0,5C+0,5J şu katsayıları verir: 0,96/0,84/0,80, Var=0,5×2,1364+0,5×1,60²=2,3482 ve σp=%1,532384; yani 919,43 PLN. Matris pozitif tanımlıdır (en küçük özdeğer 0,03697). R ve gerçekleşme değişmiyorsa kayma dahil stop senaryosu ayrı maliyetlerden önce 2.430 PLN kalır. Bu üç varsayımın karşılaştırmasıdır; güven aralığı değildir.

18. Bütün bunlardan çıkan sonuçlar

Bu makalenin bütün içeriği iki sayı ve aralarındaki tek sınırda toplanır. Modellenmiş birleşik oynaklık, portföyün günlük sonucunun ne kadar geniş dağıldığı sorusunu yanıtlar ve portföy bileşimlerini birbiriyle karşılaştırmaya yarar. Bütün koruyucu çıkışlar aynı anda tetiklendiğinde zararların toplamı, her bacakta kayma ve fiyat boşluğu eklenerek, hesaptan ne kadar para gittiğini yanıtlar — sermayeyi ve limitleri buna göre planlarsınız. İlk sayı korelasyona bağlıdır. İkincisi ona hiç bağlı değildir.

Buradan çıkan dört eylem tavsiye değil, aritmetik biçimindedir. Pozisyonlarınızı bileşen para birimlerine ayırın; doğru işaretle, her para birimindeki net maruziyeti hesap para birimi cinsinden hesaplayın — bu olmadan kaç bahis tuttuğunuzu bilemezsiniz. Her para biriminde yoğunlaşmış riski hesaplayın; o para birimi tek yönde hareket ettiğinde kaybeden pozisyonların risk tutarları toplamı olarak bulun ve önceden kaydedilmiş limitle karşılaştırın. Her korelasyon katsayısının yanına dört ölçüm parametresini ve tarihi kaydedin; çünkü bunlar olmadan ölçüm ne tekrarlanabilir ne de karşılaştırılabilirdir. İşareti pozisyon yönlerinden aktarın; formülde herhangi bir şeyi yerine koymadan önce.

Bu hesabın size ne vermeyeceğini bilmek de gerekir. Gerçekte ne kadar risk aldığınızı söylemez — tarihsel olarak hesaplanmış korelasyon bunu söylemez; 9. bölüm nedenini gösterir. Daha dar bir şeyi söyler: varsayılan kaymayla ve fiyat boşluğu olmadan, bütün hipotezleriniz aynı seansta geçersiz çıkarsa hesaptan ne kadar para gider; boşlukla daha fazlası gider ve bu hesap üst sınır tanımaz. Bu sayı dayanabileceğiniz düşüşü aşıyorsa pozisyon sayısını veya her birindeki risk tutarını azaltırsınız — çünkü onu değiştiren yalnızca bu iki parametredir.

Bir sonraki makalede bu hesabın alt sınırının altında olanları ele alıyoruz: fiyat boşluğunun mekaniği, sıçrama çıkış mesafesinden büyük olduğunda zarar ve dağılım kuyruğunu tanımlamaya çalışan ölçülerin sınırları.