Relación riesgo-beneficio, tasa de acierto y esperanza matemática: cómo calcular el resultado por operación

Una tasa de acierto del 80% puede coexistir con un resultado negativo. También necesita la ganancia media, la pérdida media y el coste de una operación completada. La esperanza matemática neta los combina, mientras que el umbral de equilibrio da la tasa de acierto necesaria para una media de cero con resultados especificados. Esta lección define p, RR y E para toda la sección. Calculará el desplazamiento del umbral en puntos porcentuales y examinará qué dice una media positiva, por sí sola, sobre un mes, el drawdown o el tamaño de posición. Los ejemplos son ilustrativos: su propio cálculo requiere resultados reales cerrados y una convención de costes coherente. Explicitar las unidades y el denominador permite comparaciones significativas.

1. Tres magnitudes: riesgo-beneficio, tasa de acierto y esperanza matemática

Este es el bloque de referencia de toda la sección del curso. Los artículos 9.2, 9.5, 9.7, 9.8 y 9.11 usan estas tres magnitudes como datos y remiten aquí para sus definiciones. Dos magnitudes que alimentan esas definiciones tienen su propio lugar en este artículo: la composición y medición del coste K_t se resuelven en la sección 5, y la tasa de acierto de equilibrio, con su deducción, en la sección 2.

La unidad de riesgo (R)

La unidad de riesgo es el importe que pierde si el precio alcanza la salida protectora y la orden se ejecuta al precio supuesto. La denotamos R. El resultado de cada operación expresado en R es comparable entre cuentas de distinto tamaño: arriesgar 200 PLN y ganar +460 PLN es +2,3R tanto si el valor neto es de 20.000 como de 200.000 PLN. Cómo se determina el volumen que produce R se describe en 9.5; la base del porcentaje de riesgo, en 9.3. Para una posición individual, el porcentaje usa el valor neto actual antes de abrir. Para los totales de un periodo congelamos el importe fijado al inicio e identificamos el valor neto inicial; una variante capitalizada separada recalcula el porcentaje antes de cada paso. Un porcentaje sin base declarada carece de significado: con pérdidas no realizadas en posiciones abiertas, el mismo «1%» calculado sobre el saldo liquidado y sobre el valor neto actual da dos importes diferentes, y la diferencia aumenta con la pérdida.

La relación riesgo-beneficio (RR)

RR = ZS

Donde Z es la ganancia media de las operaciones ganadoras y S es la pérdida media de las perdedoras, ambas en la misma unidad (moneda de la cuenta o R) y tomadas como valores positivos. La notación «1:2» significa RR = 2 en este curso: la ganancia media duplica la pérdida media. «1:0,7» significa RR = 0,7: la ganancia media es menor que la pérdida media.

La convención que rige todo el artículo: Z y S son magnitudes brutas. Es decir: medidas sobre operaciones cerradas, por tanto realizadas y no planificadas, pero antes de deducir el coste de ejecución. El coste entra por separado como K_t y se resta exactamente una vez (secciones 4 y 5). La convención opuesta — Z y S ya netas de costes, sin un K_t separado— es igualmente coherente, pero nunca deben mezclarse: introducir una cifra después de costes en Z y restar después K_t cuenta el mismo cargo dos veces; con distancias de salida cortas, la diferencia puede superar el diez por ciento de una unidad de riesgo. La primera convención se aplica en todo este artículo, en las tablas y en el ejercicio.

La tasa de acierto (p)

La tasa de acierto p es la proporción de operaciones rentables entre todas las operaciones cerradas, con una convención bruta o neta explícita. Sitúe los resultados exactamente cero en un tercer grupo, p₀; p₊+p₋+p₀=1. Use la fórmula binaria cuando p₀=0. Pagar un coste sobre un resultado de precio cero no lo convierte en una pérdida bruta; el resultado neto sí puede ser negativo.

La esperanza matemática (E)

E_R = p × RR − (1 − p)

El resultado en múltiplos del riesgo asumido por operación, con pérdida media igual a 1 R, ganancia media igual a RR unidades de riesgo y sin grupo de resultados cero. Es una magnitud bruta: según la convención anterior, Z y S no contienen costes, que deben restarse por separado. La versión en moneda de la cuenta y después de costes está en la sección 4.

Tres ejemplos resueltos

La relación riesgo-beneficio y la tasa de acierto deben considerarse juntas. Con 1:2 (RR=2) y p=20%, 0,20×2−0,80=−0,40 R; con p=45%, 0,45×2−0,55=+0,35 R. Con 1:0,7 y p=68%, con ganancia media menor que la pérdida media, 0,68×0,7−0,32=+0,156 R. Una relación inferior a 1 puede tener esperanza matemática positiva, mientras que 1:2 puede tenerla negativa. Un filtro de «nunca por debajo de 1:2» rechaza la primera y admite la segunda.

Tenga presente la naturaleza de esa cifra: las distancias leídas del gráfico al entrar dan la relación planificada. En el cálculo de la esperanza matemática entra la relación realizada, calculada a partir de medias de operaciones cerradas y, según la convención siguiente, antes de deducir el coste de ejecución, porque este entra por separado como K_t. La sección 3 describe la diferencia; su fuente sistemática es la gestión de la posición abierta, descrita en 9.7.

Cómo entran los resultados cero en la media

Con tres grupos, E_gross=p₊Z−p₋S y E_net=p₊Z−p₋S−K_t, donde K_t es el coste medio de todas las operaciones. Ejemplo: cuatro ganancias de +2 R, cuatro pérdidas de −1 R y dos ceros, con coste de 0,1 R por operación. La media bruta es (8−4)/10=0,4 R; la neta, 0,3 R. Eliminar los ceros da una media bruta de 0,5 R sobre ocho operaciones. Para recuperar la media de todas, multiplique por 0,8 y deduzca después el coste completo de 0,1 R. Cambiar el denominador cambia la pregunta.

2. Tasa de acierto de equilibrio: deducción y efecto del coste

La tasa de acierto de equilibrio es aquella en la que la esperanza matemática es cero. La deducción ocupa dos líneas. La condición de esperanza cero en moneda de la cuenta, con el coste medio completo de una operación K_t:

p × Z − (1 − p) × S − K_t = 0

Reordenando:

p* = S + K_tZ + S

Sin costes (K_t = 0) la fórmula se simplifica a p* = S/(Z + S), es decir, dividiendo numerador y denominador entre S, a:

p*_{sin costes} = 11 + RR

Comprobación de unidades: Z, S y K_t usan la misma moneda, por lo que p* es adimensional. Con Z>0, S>0 y 0≤K_t<Z, está en (0,1); con K_t=Z vale 1; con K_t>Z supera 1 y una esperanza positiva es inalcanzable con estos resultados. Comprobación de dirección: un coste mayor eleva numerador y umbral; un Z mayor reduce el umbral.

La tercera columna se calcula con p* = (1 + 0,10)/(RR + 1), tomando la pérdida como 1R y el coste de apertura y cierre de una operación como 0,10R. El coste de 0,10R es un valor ilustrativo: corresponde a una distancia de salida protectora de 20 pips y un coste total de 2 pips. Sustituya su propia cifra de la sección 5.

Dos conclusiones solo se ven en la columna de diferencias. Primera: el coste eleva el umbral más cuanto menor sea la relación. Con una relación de 1:0,5, el mismo coste de 0,10R desplaza el umbral 6,67 puntos porcentuales; con 1:5, 1,67. Segunda: la versión sin costes es siempre demasiado optimista, no por la forma de la relación, sino porque K_t es positivo y todo el aumento del umbral procede de él. La proporcionalidad inversa a (RR + 1) sí indica la magnitud de esa infravaloración: aumenta con objetivos cercanos y disminuye con objetivos lejanos.

La columna de diferencias tiene otra propiedad que conviene recordar antes de la sección 5. El aumento del umbral es exactamente K_t/(Z + S), así que no depende de la tasa de acierto ni de la fidelidad con la que ejecute el plan. Solo depende del coste y de la suma de la ganancia y la pérdida medias. Consecuencia práctica: dos operaciones con relación idéntica pero distinta distancia de salida protectora tienen un aumento distinto del umbral, porque, con un coste fijo en pips, una salida más corta implica un (Z + S) menor expresado en pips. Por tanto, la misma geometría en unidades R no implica el mismo umbral en puntos porcentuales; el cálculo está en la sección 5.

El umbral y la esperanza matemática son dos caras de la misma identidad. Restar la condición de cero de la definición de esperanza da E_net = (p - p*) x (Z + S): la esperanza neta es el margen de la tasa de acierto sobre el umbral multiplicado por la suma de la ganancia y la pérdida medias. El margen en puntos porcentuales y la esperanza en moneda contienen la misma información en dos unidades. Comprobación con los datos del ejercicio de la sección 10: (38,00% - 33,24%) x 680 PLN ≈ 32,4 PLN: salvo el redondeo del umbral, la misma cifra que da la fórmula completa (32,40 PLN). Si ambas vías dan resultados distintos, hay un error: normalmente costes contados dos veces o una base porcentual incorrecta.

La tasa de acierto de equilibrio es una identidad aritmética: deriva de la definición de esperanza y es cierta con independencia del mercado, instrumento y horizonte. Lo que no es una identidad es afirmar una tasa de acierto concreta: es una estimación muestral con un error que se trata en la sección 8.

Los costes dependientes del resultado cambian el umbral

Si el coste medio de ganar K_z difiere del coste medio de perder K_s, no trate su media sin ponderar como constante mientras cambia p. E_net=p(Z−K_z)−(1−p)(S+K_s); con denominador positivo, p*=(S+K_s)/(Z+S+K_s−K_z). Los valores ilustrativos Z=300 PLN, S=100 PLN, K_z=10 PLN y K_s=30 PLN dan 130/420=30,95%. Usar un coste de 20 PLN daría el 30%, pero 20 PLN solo es la media correcta con p=50%, no en el umbral buscado. Con p=40%, el coste medio es de 22 PLN y E=38 PLN. Ambas vías de cálculo coinciden.

3. Resultado en unidades de riesgo: planificado, realizado y después del coste de ejecución

El resultado de una operación en unidades de riesgo requiere una sola división:

Resultado en R = resultado de la operación en moneda de la cuentariesgo asignado al entrar (1 R)

Registrar resultados en unidades de riesgo inicial y analizar su distribución es una construcción descrita en la literatura especializada^[1]. Arriesgó 200 USD y cerró con 460 USD de beneficio → +2,3R. Una pérdida completa → -1,0R. Cerrar con una pérdida de 140 USD antes de alcanzar la salida protectora → -0,7R.

Registrar los resultados en R los normaliza respecto al tamaño de la cuenta, pero no respecto al nivel de riesgo. Un resultado de +1,0R arriesgando el 1% del valor neto actual (con 20.000 PLN de valor neto: 200 PLN) y +1,0R con el 10% de la misma base (2.000 PLN) son el mismo número de R y dos decisiones totalmente distintas. Indique juntos el porcentaje y el importe: primero el porcentaje, después el importe en moneda de la cuenta.

Los resultados medios en R y en PLN pueden tener signos opuestos

Como ilustración, la primera operación tiene un presupuesto de 100 PLN y un resultado de +2 R, o +200 PLN; la segunda, un presupuesto de 400 PLN y un resultado de −1 R, o −400 PLN. El resultado unitario medio es +0,5 R, pero el resultado monetario medio es −100 PLN. Multiplicar la R media por el presupuesto de riesgo medio no da, en general, la media en PLN: E[R_i B_i]=E[R_i]E[B_i]+Cov(R_i,B_i). Calcule cada importe con su propio presupuesto. Especifique si la media pondera por igual las operaciones o por el capital comprometido.

Tres capas del mismo resultado

El valor en R puede calcularse sobre tres conjuntos de datos distintos; los materiales educativos suelen citar solo el primero:

• R planificada —de la geometría de la orden antes de entrar. Entrada 1,0850, salida protectora 1,0820, objetivo 1,0910 → relación planificada de 1:2,0
• Resultado realizado respecto a precios medios —antes de costes de ejecución. Cerrar a 1,0885 da +1,17 R por la geometría del precio, en lugar de las +2,0 R previstas; después de costes, quedan +1,06 R en la cuenta. La ganancia media Z usa +1,17 R, porque los costes se deducen por separado como K_t
• Merma por ejecución —la parte del resultado consumida por el diferencial (la diferencia completa entre compra y venta, pagada una vez por apertura y cierre), la comisión en cada una de las dos órdenes y el deslizamiento al activarse la orden protectora. Mida esa merma en sus propias operaciones cerradas; los valores ilustrativos de este artículo no sustituyen una medición

Aquí Z y S se miden a partir del movimiento del precio medio hasta la hora de salida real; diferencial, deslizamiento y comisión se restan por separado. Los precios de ejecución 1,08510 y 1,08843 ya dan 33,3 pips; restar una comisión equivalente a 1,4 pips deja 31,9 pips, o 1,0633 R. Si Z y S proceden directamente de ejecuciones, no reste de nuevo diferencial o deslizamiento. Comisión y financiación permanecen separadas si no están ya incluidas. El objetivo previsto no sustituye al resultado realizado; las medias deben incluir salidas reales, incluidas las anticipadas y las ejecuciones más allá de la barrera.

Valores ilustrativos, sin swap; 1 R = 30 pips. Calcule en pips para evitar desplazamientos por redondeo: 60−25−3,1=31,9 pips, o 31,9/30=+1,063 R, redondeado a +1,06 R. Los costes de ejecución suman 3,1 pips: deslizamiento de 0,3, diferencial de 1,4 y comisión de 1,4. El diferencial entra una vez como diferencia completa de apertura y cierre entre cotizaciones de compra y venta; la comisión por lado se cobra en ambas órdenes (sección 5). Los componentes R redondeados suman 0,010+0,047+0,047=0,104 R, frente al valor exacto 3,1/30=0,1033 R. La diferencia de 0,001 R procede del redondeo de componentes; por eso la cascada usa 0,103 R. Observe la naturaleza de +1,17 R: realizado antes de costes de ejecución, entra en la ganancia media Z con esta convención. +1,06 R es el resultado neto de la cuenta; usarlo en Z y deducir también K_t contaría los costes dos veces. Esta operación ganadora no activó su stop protector, así que aquí no se cobra deslizamiento de salida por stop; la variante de pérdida de la sección 5 lo considera por separado.

El mínimo que debe registrar para poder hacer este cálculo

Para calcular tasa de acierto, ganancia media, pérdida media y coste bastan seis campos por operación: instrumento, riesgo asumido al abrir en moneda de la cuenta, resultado de cierre en esa moneda, coste pagado en ambos lados, si el cierre siguió la regla escrita y fecha. Un estándar completo de diario de trading, con campos de diagnóstico desglosados, pertenece a otra parte del curso y no se desarrolla aquí.

4. Esperanza matemática: deducción, bruta y neta

La esperanza matemática es una media ponderada de dos resultados posibles, con pesos iguales a sus probabilidades. En moneda de la cuenta:

E_bruta = p × Z − (1 − p) × S

Donde p es la tasa de acierto como fracción; Z es la ganancia media de las operaciones ganadoras, medida sobre operaciones cerradas, en moneda de la cuenta, antes de deducir el coste de ejecución; S es la pérdida media de las operaciones perdedoras, en las mismas condiciones y tomada como valor positivo. Al añadir el coste medio completo de apertura y cierre de una operación:

E_neta = p × Z − (1 − p) × S − K_t

Donde K_t es el coste medio completo de apertura y cierre de una operación: el diferencial contado una vez (la diferencia completa entre compra y venta), la comisión contada dos veces (cobrada en cada una de las dos órdenes), el deslizamiento supuesto y, si la posición se mantiene de un día para otro, los puntos swap con signo invertido, porque un abono reduce el coste. Todo en moneda de la cuenta; la composición y medición de K_t se resuelven en la sección 5. Si las pérdidas son exactamente 1R, la fórmula se reduce a la versión en unidades de riesgo: E_R = p x RR - (1 - p), restando el coste por separado como fracción de R.

La versión general en unidades de riesgo, válida también si la pérdida media difiere de 1R: E_R = (S/R) x [p x RR - (1 - p)] - K_t/R: el corchete de la versión simplificada se multiplica por el cociente S/R. Comprobación numérica: con p = 50%, RR = 2 y S = 1,2R, la ganancia media es Z = RR x S = 2,4R, por lo que E_gross = 0,5 x 2,4 - 0,5 x 1,2 = +0,60R; la versión simplificada daría +0,50R, infravalorando el resultado en 0,1R. La dirección del error depende del signo del corchete: con S > 1R, la versión simplificada infravalora un resultado positivo y suaviza uno negativo; con S < 1R ocurre lo contrario.

Conjunto A: tasa de acierto del 45%, relación 1:2,1

• p = 0,45; Z = 2,1R; S = 1,0R
• E_gross = 0,45 × 2,1 − 0,55 × 1,0 = 0,945 − 0,55 = +0,395 R
• Con coste de 0,083 R (2,5 pips divididos entre 30 pips de distancia de salida): E_net = 0,395 − 0,083 = +0,312 R

Conjunto B: tasa de acierto del 72%, relación 1:0,5

• p = 0,72; Z = 0,6R; S = 1,2R
• E_gross = 0,72 × 0,6 − 0,28 × 1,2 = 0,432 − 0,336 = +0,096 R
• Con el mismo coste de 0,083 R: E_net = 0,096 − 0,083 = +0,013 R

La tasa de acierto de B es 27 puntos porcentuales mayor, pero su esperanza bruta es unas cuatro veces menor. Su pérdida media supera una unidad de riesgo, S=1,2 R, mientras que su ganancia media está por debajo, Z=0,6 R. La tasa de acierto sola no dice nada del signo del resultado. Con coste de 0,10 R en vez de 0,083 R, B pasa a negativo: 0,096−0,10=−0,004 R. Un margen aparentemente conservador puede ser menor que la incertidumbre de los costes medidos.

Escalar a un periodo: por qué aquí no se justifican tres cifras significativas

Para E neta de A=0,3116667 R, suponga 500 PLN fijos, equivalentes al 1% de los 50.000 PLN de valor neto previo al periodo. Mantenga ese importe fijo durante 15 operaciones. La suma esperada es 15×0,3116667×500=PLN 2.337,50, o el 4,675% del valor neto inicial. Las medias se suman sin independencia si cada media declarada por operación sigue siendo aplicable. El cálculo simple siguiente de desviación típica y distribución de la suma requiere independencia.

La desviación típica de una operación de A es √(0,45×2,1²+0,55×1,0²−0,395²)=1,54 R. En 15 operaciones independientes, la desviación de la suma es 1,54×√15=5,97 R, o 5,97 puntos porcentuales del valor neto inicial con 500 PLN fijos, frente a una media neta de +4,675% o bruta de +5,93%. La dispersión supera todo el resultado esperado. Presentar un «+5,93% mensual» sugiere precisión de centésimas de punto para una magnitud cuya desviación típica ronda seis puntos, y además omite los costes porque la cifra es bruta.

La dispersión de la suma crece con la raíz cuadrada del número de operaciones y la esperanza linealmente; a un plazo suficientemente largo, la media comienza a dominar. «Suficientemente largo» no es, sin embargo, una cifra que pueda declararse sin más: lo fija el plan de muestreo, que corresponde a 8.2. La sección 8 muestra qué no dice la media ni siquiera a largo plazo.

Una fracción fija del valor neto actual requiere otro cálculo

Con f=0,01, X independientes e idénticamente distribuidas y 15 pasos, K_15/K_0=∏(1+fX_i). Su multiplicador medio es (1+fE[X])^15. Para A después de un coste fijo de 0,083333 R, el crecimiento es +4,778%, en vez del 4,675% sumado. La varianza del multiplicador es (E[(1+fX)²])^15−(1+fE[X])^30, dando una desviación típica de unos 6,24 puntos porcentuales. Estos cálculos suponen p=0,45 conocido, resultados de +2,016667 R y −1,083333 R y coste fijo; excluyen la incertidumbre de estimación. Con resultados dependientes, las esperanzas de productos no pueden factorizarse en productos de esperanzas.

5. El coste como dato del cálculo

Los costes de una operación entran como una sola cifra, K_t. Aquí se define brevemente cada componente; la sección 2 trata su mecánica y las de elección de bróker, los términos de ejecución y diferencias entre proveedores.

• El diferencial —la diferencia entre precio comprador y vendedor. Es el coste completo de apertura y cierre, pagado una vez por operación: abre al peor de los dos precios cotizados y cierra al peor; la diferencia se ha pagado una vez. Por tanto, el diferencial entra en K_t con multiplicador x1; duplicar la diferencia completa cuenta el mismo coste dos veces.
• Comisión —cargo sobre el volumen, en cuentas con comisión, en ambos lados de la operación.
• Deslizamiento —diferencia entre precio de la orden y precio de ejecución; una vez activada, la orden protectora pasa a ser de mercado y se ejecuta al primer precio disponible.
• Puntos swap —importe cargado al mantener la posición al día siguiente; puede ser positivo o negativo.

K_t = [(s_entrada + s_salida)/2 + G] × V × w + C_{ambos lados} − W_swap

Todos los componentes en la misma unidad: moneda de la cuenta, o pips convertidos a ella. Dividir el resultado entre R da el coste en unidades de riesgo: esa es la cifra restada a la esperanza bruta. Dos puntos de esta fórmula suelen contarse mal y conviene explicarlos por separado.

Multiplicadores y signos. Con resultados brutos a precios medios, el coste del diferencial de apertura y cierre es (s_entry+s_exit)/2 pips. Un diferencial completo es una simplificación cuando los de entrada y salida son iguales. Añadir otro diferencial completo exagera el coste en 0,07 R con D=20 pips y s=1,4. Con diferencial de entrada de 1 y de salida de 5, el coste es, en cambio, 3 pips. G es la diferencia entre ejecución y cotización de referencia del mismo lado, sumada en entrada y salida; no incluye otra vez los semidiferenciales. Calcule la comisión C de ambos lados según la tarifa: duplique una tarifa por lado, no una por apertura y cierre. W_swap es el importe del extracto, positivo para un abono; el signo menos hace que un abono reduzca el coste y un cargo lo aumente. La sección 2 explica la mecánica de devengo; aquí son datos de un cálculo.

Empiece a medir su K_t eligiendo la base del resultado. El beneficio/pérdida de dos ejecuciones reales ya incluye diferencial y deslizamiento; añada solo cargos separados y financiación, salvo que el resultado neto del extracto ya los incluya. No reste los costes de ejecución dos veces. Medir contra precios medios requiere ambos precios de referencia, diferenciales de entrada y salida y ejecuciones. Calcule semidiferenciales y deslizamiento contra el lado apropiado de la cotización; el deslizamiento contra el precio medio ya incluiría el diferencial. Sume los cargos atribuibles a cada operación completada y reste la financiación con abonos positivos. Para costes medios en R, divida el coste de cada operación entre su R antes de promediar; para medias monetarias, promedie importes. Una medición mensual describe ese mes. Los costes cambian con hora, liquidez y duración, por lo que debe registrar periodo y convención de datos.

Un diferencial variable aporta dos semidiferenciales

Con resultados brutos a precios medios, el diferencial de entrada s₁ y el de salida s₂ reducen el resultado de apertura y cierre en (s₁+s₂)/2 pips. Un diferencial completo es una simplificación válida cuando s₁=s₂. Los valores ilustrativos s₁=1 pip y s₂=5 pips dan un coste de 3 pips, ni 1 ni 6. Con w=10 USD/pip/lote y 0,2 lotes, son 6 USD. Los resultados de ambos precios de ejecución ya incluyen esos semidiferenciales.

El coste en unidades de riesgo depende de la distancia de salida protectora

El coste en pips es, en primera aproximación, constante, mientras que la unidad de riesgo crece con la distancia de salida protectora. Se deduce una relación inversa: cuanto más ajustada la salida, mayor la parte de la unidad de riesgo destinada al coste:

Los valores de la tabla son ilustrativos y dependen del instrumento, de la hora del día y del bróker: sustitúyalos por su propia medición de costes antes de utilizarlos en un cálculo. La última columna es K_t/(RR + 1) para RR = 2, es decir, el aumento de la tasa de acierto de equilibrio causado únicamente por el coste, para ambas variantes de costes.

Con una distancia de 8 pips y un coste de 1,8 pips, el coste consume el 22,5 % de la unidad de riesgo; con una distancia de 80 pips, el 2,3 %. Por tanto, el mismo par (tasa de acierto, ratio) produce un resultado neto diferente según la distancia de la salida de protección, pese a una geometría idéntica en unidades R. Cómo se determina esa distancia —a partir del punto que invalida la hipótesis, y no de una pérdida aceptable— se explica en 9.4.

Coste fijo, distancia de salida variable: cómo se desplaza el umbral de equilibrio

La tabla anterior muestra la proporción del coste en la unidad de riesgo. Conviene llevar ese mismo cálculo hasta el final, porque cambiar la distancia de la salida de protección modifica dos cosas a la vez, y esas dos cosas actúan en sentidos opuestos. Considere la situación más habitual: el objetivo viene determinado por un nivel establecido en el análisis —el origen de ese nivel se trata en otro lugar del curso—, por lo que su distancia desde la entrada es fija y no depende de dónde sitúe la salida de protección. Denote la distancia al objetivo por T, la distancia a la salida de protección por D, y el coste total de una operación por K, todo ello en pips.

Sustituya estas magnitudes en la fórmula del apartado 2, p* = (S + K_t)/(Z + S). La pérdida media es D, la ganancia media es T, el coste es K —todo en los mismos pips—, de modo que las unidades se cancelan y queda:

p* = D + KT + D

Es la misma fórmula anterior, expresada únicamente mediante magnitudes que tiene en el gráfico antes de entrar. Tome un coste total de 2,4 pips y un objetivo a 60 pips de distancia, y calcule tres distancias de salida:

Valores ilustrativos: un objetivo determinado por un nivel a 60 pips de la entrada y un coste total de 2,4 pips, independiente de la distancia de salida. La columna «umbral con coste» se calcula directamente a partir de (D + K)/(T + D), la columna «umbral sin coste» a partir de D/(T + D); el aumento es su diferencia y equivale a K/(T + D). Una comprobación para D = 30: (30 + 2,4)/(60 + 30) = 32,4/90 = 36,00%, y sin coste 30/90 = 33,33% —una diferencia de 2,67 pp, es decir, 2,4/90. Coincide.

Esta tabla dice más de lo que muestra el ratio por sí solo.

El aumento del umbral causado por el coste disminuye al aumentar la distancia de salida, pero lentamente. Duplicar D de 20 a 40 pips reduce el aumento de 3,00 a 2,40 puntos porcentuales: una quinta parte, no la mitad. La razón está en la fórmula: el aumento equivale a K/(T + D), y el denominador contiene la suma de las distancias al objetivo y a la salida, no solo D. Con un objetivo determinado por un nivel, alejar la salida de protección no diluye el coste ni de lejos tanto como sugeriría la proporción del coste en la unidad de riesgo de la tabla anterior.

El segundo movimiento de esta tabla actúa en sentido contrario y es incomparablemente mayor. Entre D = 20 y D = 40, el umbral con coste sube del 28,00 % al 42,40 %: 14,4 puntos porcentuales, mientras que el componente del coste por sí solo cambia 0,6 puntos. Todo lo demás procede del ratio: con una salida más alejada, el mismo objetivo da un RR menor. Al reunir ambas observaciones se resuelve un malentendido frecuente: el coste no es un argumento para alejar la salida de protección. Alejarla reduce, en efecto, la proporción del coste en la unidad de riesgo, pero al mismo tiempo eleva la tasa de acierto necesaria y, con un objetivo determinado por un nivel, el segundo efecto es más de veinte veces mayor que el primero: 14,4 puntos porcentuales frente a 0,6.

Sin embargo, existe un límite inferior por debajo del cual no caerá el umbral con ninguna configuración de salida. A medida que D se aproxima a cero, la expresión (D + K)/(T + D) tiende a K/T, que en este ejemplo es 2,4/60 = 4,0%. Ese es el límite inferior aritmético de la tasa de acierto de equilibrio con un coste y una distancia al objetivo dados. No es una configuración alcanzable —una distancia de salida nula significa que no hay operación alguna, y el cambio real de la tasa de acierto debe comprobarse por separado—, pero el número en sí resulta útil como comprobación preliminar. Si la relación entre su coste y su distancia al objetivo es elevada, ninguna configuración de salida de protección lo solucionará: con un coste de 2,4 pips y un objetivo a 12 pips, el límite inferior ya es del 20 %, y todo el cálculo parte de ese valor antes de añadir nada más.

Y una salvedad sin la cual toda la tabla induciría a error: cambiar la distancia de salida también puede cambiar la tasa de acierto, y la fórmula no recoge ese efecto, porque la tasa de acierto es un dato de entrada. Los umbrales de las últimas columnas indican cuánta tasa de acierto se necesita, no cuánta habrá. El apartado 6 expone cómo se relacionan ambos parámetros; esa relación solo puede medirse en su propio registro.

Los costes varían a lo largo del tiempo y entre proveedores, e intervienen en este cálculo como variación de K_t. Informe de la esperanza tanto con costes habituales como elevados, y compruebe si estos últimos todavía la dejan en terreno positivo. Si no es así, el margen del conjunto de parámetros es menor que la propia variación de los costes.

El umbral puede quedar fuera del intervalo de tasas de acierto alcanzables

Con K≥0 fijo, p*=(S+K)/(Z+S) sigue teniendo sentido por encima de 1. Un ejemplo ilustrativo con Z=40 PLN, S=100 PLN y K=50 PLN da p*=150/140=107,14 %. Incluso con un 100 % de aciertos se pierden 10 PLN por operación; ninguna tasa de acierto alcanzable produce una esperanza positiva. Con K=Z, p*=1 da exactamente cero si todas las operaciones ganan. Aquí sería erróneo concluir que «se necesita una tasa de acierto elevada».

6. Dos conjuntos de parámetros con una esperanza similar

La esperanza es un solo número, y hay muchas maneras de llegar a él. Las dos variantes siguientes tienen un E_R prácticamente idéntico y distribuciones de resultados completamente diferentes. Sus nombres son descriptivos: la variante de ganancias frecuentes y la variante de grandes ganancias poco frecuentes, para no confundirlas con los conjuntos A y B del apartado 4, que son otro par de parámetros:

Cálculo: las ganancias frecuentes dan 0,70×0,88−0,30×0,88=0,616−0,264=+0,352 R; las ganancias mayores y menos frecuentes dan 0,32×3,22−0,68×1,00=1,0304−0,6800=+0,3504 R. La desviación estándar utiliza √(E[X²]−E[X]²) sobre las mismas distribuciones brutas de dos puntos. Descuente una sola vez el coste fijo ilustrativo de 0,10 R como K_t: las medias netas son 0,352−0,10=+0,252 R y 0,3504−0,10=+0,2504 R. Su diferencia de 0,0016 R persiste después de los costes, de modo que la comparación también se aplica a las medias netas.

Las desviaciones estándar de un resultado individual difieren aproximadamente 2,4 veces. σ por sí sola no ordena los cuantiles de máxima caída ni las longitudes de las rachas perdedoras. Para estas distribuciones concretas, 200.000 trayectorias independientes de 50 pasos dan medianas de caídas acumuladas en R de 2,64 R y 8,56 R, medidas desde un máximo acumulado anterior hasta un mínimo posterior; el artículo 9.8 define la base de una cuenta real. Por separado, la recursión con las tasas de acierto indicadas sobre 200 resultados independientes da probabilidades de al menos ocho pérdidas consecutivas de aproximadamente el 0,9 % y el 96 %. Esas frecuencias se derivan de p, del número de pasos y de los supuestos de dependencia, no solo de σ.

La esperanza no basta para describir un conjunto de parámetros. Comparar dos variantes requiere un segundo número: la dispersión de los resultados, que se traduce en caídas del valor neto actual de la cuenta. La medición de la caída con dos definiciones, y la fijación del umbral a partir del cual deja de ser coherente con los parámetros, se describen en 9.8; la distribución de las trayectorias posibles con parámetros dados, en 9.2.

La última columna es una estimación puntual, positiva siempre que la diferencia indicada sea positiva. Si Z, S y los costes se consideran conocidos, un intervalo aproximado de la tasa de acierto también permite evaluar el signo poblacional: si incluye el umbral, ese criterio no establece una esperanza poblacional positiva. Comparar el margen con aproximadamente dos errores estándar es una forma abreviada de aplicar una aproximación normal del 95 %; no cambia el signo del margen calculado. Los apartados 8 y 10 explican los supuestos.

Se trata de una heurística educativa, no de una referencia del sector. Las filas solo muestran cómo surgen la esperanza y el margen sobre el umbral a partir de un par de números; no dicen que una determinada tasa de acierto «acompañe» a un ratio concreto ni que alguna fila sea un objetivo. No considere típicos los números de la tabla: son un esquema que debe sustituirse por valores de su propio registro.

La tasa de acierto y el ratio no son dos mandos independientes

La tabla compara pares arbitrarios de p y RR. Cambiar una regla de salida puede modificar ambos parámetros, la pérdida media y los costes. No suponga una tasa de acierto constante después de mover un objetivo o un stop. Tampoco es matemáticamente inevitable que disminuya: algunos cambios afectan al tamaño de las ganancias sin trasladar resultados de un grupo a otro. Compare ambas variantes medidas; la fórmula no proporciona la dirección del cambio.

Ambos números son el producto de una misma regla de salida. La tasa de acierto es la proporción de operaciones cerradas con resultado positivo; el ratio es el cociente de las medias de dos grupos. Pero qué operación termina en cada grupo y cuál será la media de cada uno lo decide el mismo conjunto de niveles: dónde se sitúan la salida de protección y el objetivo. Mover cualquiera de ellos traslada algunas operaciones entre los grupos y cambia ambas medias al mismo tiempo. No suponga que mejorar el ratio deja inalteradas la tasa de acierto y la pérdida media. En una muestra concreta, el ratio también puede cambiar sin que disminuya la tasa de acierto; lo determina la distribución de resultados, no solo la dirección del ajuste del nivel.

Las tres operaciones que se realizan con mayor frecuencia y la dirección en que cada una empuja ambos números a la vez:

• Alejar el objetivo sin modificar el stop. Con las mismas entradas y trayectorias, un stop fijo y ejecuciones en los niveles especificados, esto aumenta el T/D previsto. Alcanzar un objetivo más lejano antes que el stop es un subconjunto de alcanzar uno más cercano, por lo que la tasa de acierto de este modelo no puede aumentar, aunque sí puede mantenerse igual. No es una predicción universal para medias observadas con otras salidas o ejecuciones. Mantener D tampoco garantiza costes fijos: un período de tenencia más largo puede modificar la financiación, el diferencial de salida y el deslizamiento.
• Acercar el stop sin modificar el objetivo. El mismo modelo aumenta el T/D previsto, mientras que la probabilidad de alcanzar el objetivo antes que el stop no puede aumentar. No tiene por qué disminuir estrictamente: el nuevo nivel puede no cambiar ningún resultado en una muestra concreta. Un coste fijo en pips pasa a representar una proporción mayor del D más pequeño, pero los costes reales y las medias de los grupos requieren un nuevo cálculo. Con otras reglas de salida, T/D por sí solo no permite recuperar los resultados medios.
• La gestión de la posición abierta—mover el stop a la entrada, aplicar un stop dinámico o cerrar una parte— puede modificar la tasa de acierto, la ganancia media y la pérdida media en distintas direcciones, según la regla y la trayectoria del precio. 9.7 ofrece ese cálculo por separado.

Cuando cambian ambos números, un ratio mayor por sí solo no permite establecer si ha mejorado el resultado. La pregunta que sí tiene respuesta es: cuánto puede caer, como máximo, la tasa de acierto para que el cambio siga mereciendo la pena. Eso es aritmética, y además breve.

Exprese la esperanza en unidades de riesgo para hacer explícita la relación. Al reorganizar E_R = p × RR − (1 − p) se obtiene:

E_R = p × (RR + 1) − 1

Esta comparación supone una pérdida media de 1 R en ambas variantes y el mismo R monetario tras redimensionar la posición. Por tanto, la esperanza bruta es p×(RR+1)−1; la esperanza neta también resta el coste en unidades de riesgo. El cambio de salida mejora el resultado exactamente cuando el aumento de ese producto supera el aumento del coste.

p₂ × (RR₂ + 1) − k₂ > p₁ × (RR₁ + 1) − k₁

donde k es el coste en unidades de riesgo, calculado por separado para cada variante: cuando cambia la distancia de salida, también cambia este coste.

Primer caso: alejar el objetivo sin modificar el stop. Si k permanece igual, se cancela. La condición pasa a ser p_2 > p_1×(RR_1+1)/(RR_2+1). Pasar de 1:1 a 1:2 con p=50 % inicial da p_2 > 0,50×2/3=33,3%. Con exactamente un 33⅓ %, la esperanza es igual; solo una tasa de acierto superior la mejora con un coste inalterado. Por debajo de ese límite, alejar el objetivo empeora el cálculo pese a un ratio aparentemente mejor y a un umbral de equilibrio bruto que ha bajado del 50 % al 33,3 %.

Segundo caso: acercar el stop sin modificar el objetivo. Aquí k aumenta, lo que hace más exigente la condición. Objetivo a 60 pips, coste total de 2,4 pips, stop reducido de 30 a 20 pips y p=45 % inicial. Primero: RR_1=2,0, k_1=2,4/30=0,080 R, E_1=0,45×3−1−0,080=+0,270 R. Segundo: RR_2=3,0, k_2=2,4/20=0,120 R. La tasa de acierto que iguala la esperanza es p_2=(0,45×3−0,080+0,120)/4=1,390/4=34,75%; en efecto, 0,3475×4−1−0,120=+0,270 R. Acercar de 30 a 20 pips mejora el resultado únicamente si la caída de la tasa de acierto es inferior a 10,25 puntos porcentuales.

Ninguna fórmula determina si caerá menos: solo una medición en su propio registro. El resultado de esta comparación es una estimación sujeta a error y, con un número habitual de operaciones cerradas, normalmente no puede resolverse una diferencia de ese orden. Por eso, antes de enfrentar dos variantes, consulte 8.2: allí se explica con qué muestra y con cuántas operaciones puede medirse siquiera una diferencia así.

7. Un ratio fijo como regla: qué rompe en el cálculo

La regla «nunca entre en una operación con un ratio peor que 1:2» parece segura porque se refiere a un número fácil de comprobar antes de entrar. Sin embargo, desde el punto de vista aritmético, altera más cosas de las que ordena.

Invierte la dirección de dependencia entre las magnitudes

La distancia de la salida de protección se deriva del punto que invalida la hipótesis, y no al contrario; eso se establece en 9.4. Una regla de ratio fijo invierte ese orden: fija el objetivo como múltiplo de la distancia de la salida de protección, de modo que el ratio deja de ser un resultado del cálculo y se convierte en un supuesto.

Descarta conjuntos con esperanza positiva

Con 1:1,22 y p=62 %, la esperanza bruta es 0,62×1,22−0,38=+0,376 R; el umbral de equilibrio con un coste de 0,10 R es 1,10/2,22=49,5%. El margen es de 12,5 puntos porcentuales. Una regla que rechace todo lo inferior a 1:2 elimina esta configuración positiva pese a tener un margen mayor que 1:2 con p=38 %: 0,38×2−0,62=+0,14 R bruto, solo 1,3 puntos por encima del umbral del 36,7 % ajustado por costes.

Modifica la tasa de acierto y el coste sin tocar el nivel de invalidación

Si un ratio rígido se obtiene acercando el stop en vez de alejando el objetivo, la distancia se reduce con independencia del nivel de invalidación. El coste relativo aumenta (apartado 5); en el escenario ilustrativo, el stop más cercano también reduce la tasa de acierto. Cambiar una distancia de 50 pips y un objetivo de 60 pips (1:1,2) por una distancia de 30 con el mismo objetivo (1:2), mientras p cae del 58 % al 35 %, cambia la esperanza bruta de 0,58×1,2−0,42=+0,276 R a 0,35×2−0,65=+0,050 R. La proporción del coste aumenta de 0,036 a 0,060 R: los mismos 1,8 pips ilustrativos de la primera tabla del apartado 5 se dividen entre 50 o 30. La segunda variante tiene un valor neto negativo, −0,010 R.

8. Lo que la esperanza no dice

La esperanza es la media de un gran número de repeticiones con parámetros inalterados. La lista siguiente expone las preguntas a las que no responde: cada una tiene su propia medida y su propio artículo responsable en esta sección del curso.

La dispersión de un resultado individual y la incertidumbre de la propia media son dos números distintos

Distinga dos magnitudes completamente diferentes. La desviación estándar de un resultado individual describe la dispersión de los resultados alrededor de la media y no disminuye con el número de operaciones. El error estándar de la estimación de la media describe con qué precisión conoce la propia esperanza y disminuye como 1/√N. Mezclarlos conduce a frases en las que se supone que una media positiva garantiza una trayectoria.

SE = s√N

Para A de dos puntos, σ=3,1√(0,45×0,55)=1,54223 R. Un intervalo normal ilustrativo para 100 observaciones independientes utilizando esta σ es, en bruto, 0,395±1,96×σ/10, es decir, de +0,0927 a +0,6973 R. Descontar un coste fijo de 0,083333 R da de +0,0094 a +0,6139 R, excluyendo cero. Sustituir σ por una s muestral igual y un multiplicador t₉₉≈1,984 da un límite inferior de aproximadamente +0,0057 R.⁶ El límite inferior positivo es sensible a la dispersión y al coste supuestos, pero su proximidad a cero no invierte su signo.

La dispersión dentro de los grupos puede modificar el intervalo

La varianza completa de los resultados es p v_z+(1−p)v_s+p(1−p)(Z+S)². La σ=1,54223 R de dos puntos de A solo incluye el último término. Si ambos grupos tienen, de forma ilustrativa, una desviación estándar de 0,8 R, la σ completa pasa a ser √(1,54223²+0,8²)=1,73737 R. El mismo intervalo normal neto de 100 resultados tiene ahora un límite inferior de aproximadamente −0,0289 R, sin cambiar p, Z ni S. Un intervalo derivado de las medias de los grupos no debe presentarse como si utilizara la desviación real de la muestra completa.

La media no describe la secuencia que observará

Una esperanza de +0,395 R no es un resultado individual. En este ejemplo de dos puntos, A da +2,1 R o −1,0 R, sin nada intermedio; la media describe su promedio. La suma tiene su propia distribución: las ganancias k en N operaciones siguen una distribución binomial, y el resultado total es k×2,1−(N−k)×1,0=3,1k−N. Por tanto, obtener beneficios exige k>N/3,1. En 20 operaciones, se necesitan al menos siete ganancias; la probabilidad de obtener menos es del 13,0 %.

Este cálculo binomial utiliza p=0,45, un valor bruto de Z=2,1 R, S=1,0 R y resultados sucesivos independientes. Los registros reales no tienen por qué cumplir la independencia; la covarianza modifica la varianza de la suma, pero su signo por sí solo no determina la probabilidad de cruzar un umbral de pérdida concreto. Calcule esa probabilidad con un modelo completo de dependencia. Los valores son ilustrativos. Con un coste de 0,083333 R, k>20×1,083333/3,1≈6,989 sigue exigiendo siete ganancias; la probabilidad de pérdida permanece en el 12,9934 %. Los costes no cambian el número de ganancias necesario en esta rejilla discreta. Con un coste de 0,10 R, se necesitan ocho ganancias y aumenta la probabilidad de pérdida.

Un período de 20 operaciones con pérdidas tiene una probabilidad aproximada del 13 % en este modelo especificado. Un mes negativo es una observación, pero por sí solo no demuestra un deterioro de los parámetros. El límite de actuación fijado de antemano en el artículo 9.8 puede detener la negociación al alcanzar una caída elegida. Alcanzarlo no prueba ni la pérdida de la ventaja ni el fallo del modelo: la regla tiene riesgos de falsa alarma y de falta de detección. El artículo 8.2 evalúa reglas y datos.

Los parámetros cambian con el tiempo, y el intervalo no cubre ese cambio

El intervalo calculado anteriormente describe la incertidumbre de una estimación en la muestra que tiene: no dice nada sobre si los parámetros seguirán siendo los mismos en el futuro. La tasa de acierto y el ratio son propiedades de un conjunto de reglas al enfrentarse a un período concreto del mercado; un cambio de volatilidad, liquidez o coste los modifica sin previo aviso. Por tanto, un intervalo estrecho y positivo solo significa que los datos disponibles son coherentes con una media positiva durante el período del que proceden: la no estacionariedad de los parámetros es una cuestión aparte que ningún intervalo puede resolver.

El remuestreo de una muestra también permite evaluar la incertidumbre de la media.⁴ Este método tiene supuestos, tratados en el artículo 9.2. Aquí distinguimos el resultado medio, la dispersión de los resultados individuales y el error estándar de la media. El artículo 8.2 aborda la selección de la muestra, el momento de su cierre y la comparación de reglas; cambiar el número de operaciones del denominador no basta si los datos se eligieron después de observar los resultados.

La trayectoria del valor neto actual de la cuenta y la supervivencia a una racha requieren un cálculo aparte

Las dos variantes del apartado 6 tienen medias similares, pero distribuciones completas de resultados diferentes. Para el horizonte especificado, calculamos distintas medianas de caída y frecuencias de rachas. Una diferencia de 2,4 veces en la desviación estándar, por sí sola, no determina la probabilidad de cruzar un umbral arbitrario. El riesgo de ruina no puede deducirse únicamente de la esperanza. Requiere la distribución de resultados y su dependencia, la regla del importe arriesgado, el horizonte y la barrera. 9.2 ^[3] ofrece la fórmula, la variante del modelo y ejemplos resueltos. La media y la dispersión son datos de entrada, pero por sí solas no reconstruyen la cola ni el orden.

El resultado de un año tiene un intervalo, no un solo número

Anualizar la esperanza proporciona el centro de una distribución, no un intervalo. Considere p=37 % y 1:2 medidos con resultados ya netos de costes. Esto invierte la convención del apartado 1, pero es válido si K_t no se descuenta de nuevo: E_net=0,37×2−0,63=+0,11 R; desviación de un resultado individual de 1,45 R. Con un importe fijo de 500 PLN por operación, el 1 % de un valor neto inicial de la cuenta de 50.000 PLN, durante 144 operaciones anuales:

• valor esperado de la suma: 144 x 0,11 x 1% = +15,8% del valor neto de la cuenta, es decir, aproximadamente 7.900 PLN (sin capitalización);
• desviación estándar de la suma: 1,45 x √144 x 1% = ±17,4 puntos porcentuales;
• intervalo central aproximado del 90 % mediante una aproximación normal: del −12,8 % al +44,4 %;
• Probabilidades exactas de los sucesos: pérdida del 15,92 % (k≤47), cero del 4,62 % (k=48) y resultado no positivo del 20,54 % (k≤48), suponiendo resultados independientes y p=0,37 constante.

Límite del cálculo. Sumamos o multiplicamos los 144 resultados especificados sin detenernos anticipadamente. Un importe fijo de 500 PLN hace que la suma extrema de 144 pérdidas sea de −72.000 PLN, superior al valor neto inicial de la cuenta de 50.000 PLN. Esto describe la distribución de la suma de resultados, no la solvencia ni la supervivencia de una cuenta real. Modele por separado la barrera del valor neto de la cuenta y las trayectorias detenidas; véase 9.2.

Por tanto, «un resultado anual de alrededor del 10–14 %» describe la variación de una estimación puntual, no el intervalo de resultados posibles. Con estos parámetros, el intervalo relevante es un orden de magnitud mayor —57 puntos porcentuales en vez de cuatro— e incluye valores negativos. Un año con pérdidas no demuestra que los parámetros sean incorrectos: tiene una probabilidad aproximada del 15,92 % en el modelo de importe fijo con esos datos exactos. Otro 4,62 % es exactamente cero; juntos suman el 20,54 %.

El mismo año con capitalización sobre el valor neto actual de la cuenta

Con un riesgo del 1 % del valor neto actual de la cuenta antes de cada operación, el valor neto final después de k ganancias en 144 pasos es K_0×1,02^k×0,99^(144−k). Un año positivo exige k>−144 ln(0,99)/[ln(1,02)−ln(0,99)]≈48,4792, por tanto, al menos 49 ganancias. Hay pérdida con k≤48, con una probabilidad del 20,54 %; el cero exacto tiene una probabilidad del 0 % porque el umbral no es entero. El tamaño fijo daba cero con 48 ganancias; la capitalización da aproximadamente −1,420 %. La probabilidad de un año positivo es la misma, aproximadamente el 79,46 %, pero la de pérdida es diferente. La media del crecimiento con capitalización es 1,0011^144−1=17,153%; la mediana con k=53 es del 14,449 %. No traslade automáticamente el orden entre media y mediana a cualquier distribución.

Unas pocas operaciones pueden explicar la mayor parte del resultado

Un conjunto con resultados de +8R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R tiene una media de (8 - 6)/7 = +0,29R. Elimine una operación y la media será -6/6 = -1,00R. La esperanza calculada sobre una muestra en la que más de la mitad de la suma procede de una sola observación es una estimación con un intervalo muy amplio; eso solo se hace visible al calcular la proporción de los resultados más elevados en la suma, no al mirar la media. Indique, junto a la media, la mediana y la proporción del cinco por ciento de ganancias más elevadas en la suma de ganancias.

La media funciona con múltiples resultados, pero no reconstruye la cola

La identidad de la media no exige dos resultados fijos. Si Z y S son las medias reales de los grupos y no hay ceros, E=pZ−(1−p)S sigue siendo válida con resultados de múltiples tamaños. Solo se supone una distribución de dos puntos al calcular la varianza a partir de p, Z y S o las probabilidades binomiales de series. Sustituir los grupos por sus medias elimina la dispersión dentro de ellos, por lo que la varianza simplificada no supera la de los datos completos. No describe toda la cola izquierda.

Un modelo en el que «las pérdidas siempre equivalen a 1 R» limita sus propios resultados especificados, no la ejecución real. Las pérdidas por huecos de cotización dependen de las ejecuciones, que un nivel de stop no garantiza; 9.10 las explica y calcula. Sustituir una pérdida de −1 R por una de −6 R entre las mismas 100 operaciones reduce su media en (−6+1)/100=−0,05 R. Esto queda fuera del modelo de dos resultados fijos; vuelva a calcular las medias reales de los grupos y el modelo de colas antes de reutilizarlo. El artículo 9.8 define la caída desde un máximo.

Para su propio cálculo, se desprende una regla que puede aplicar de inmediato: calcule la pérdida media S sobre todas las operaciones perdedoras cerradas, incluidas las que superaron 1R, e indique la mayor pérdida individual de la muestra junto a ella. Si S es de 1,0R y la mayor pérdida individual es de 4,2R, la media en sí sigue siendo correcta, pero la cola izquierda de la distribución, que determina la caída desde un máximo, queda fuera de este cálculo y necesita un registro propio.

Las demás medidas son transformaciones de los mismos tres números

El factor de beneficio es una transformación de los mismos tres números^[2]:

PF = p × Z(1 − p) × S

Para el A bruto especificado, PF=(0,45×2,1)/(0,55×1)=1,7182; para B, PF=(0,72×0,6)/(0,28×1,2)=1,2857. Son cálculos del modelo, no registros medidos. Con un coste fijo de 0,083333 R, A da resultados netos de +2,016667 y −1,083333 R; por tanto, PF_net=(0,45×2,016667)/(0,55×1,083333)=1,5231. El PF bruto no sustituye la esperanza neta. PF<1 significa que las pérdidas totales superan las ganancias totales con la misma convención. La precisión del PF empírico requiere resultados completos y el número de operaciones; el intervalo de una media no puede trasladarse directamente a este ratio no lineal.

Del mismo modo, el ratio realizado (la ganancia media dividida por la pérdida media en operaciones cerradas) es el mismo RR, solo que calculado sobre resultados y no sobre la geometría de las órdenes. La diferencia entre el ratio previsto y el realizado es la misma magnitud que analiza el apartado 3.

En una cartera, la media se suma; la dispersión no

La esperanza de varias posiciones abiertas a la vez es la suma de sus esperanzas: la aditividad de la media no depende de la interdependencia de los resultados. La dispersión del resultado conjunto no es aditiva y depende de la intensidad con que las posiciones se muevan juntas. Otra magnitud es el presupuesto de pérdidas si todas las salidas de protección se ejecutan a la vez: la suma de los importes arriesgados en la moneda de la cuenta, incrementada por peores ejecuciones. Esos dos números responden a dos preguntas diferentes y ninguno sustituye al otro. La aritmética de la volatilidad de una cartera, la descomposición de posiciones en sus monedas componentes y la exposición oculta a una moneda común se abordan en 9.9; aquí basta concluir que el número de instrumentos no es una medida de diversificación.

9. Los errores de interpretación más habituales

Error 1: juzgar únicamente por la tasa de acierto

«Tasa de acierto del 68 %: el sistema es bueno». Si la ganancia media es de 0,5 R y la pérdida media de 1,3 R, 0,68×0,5−0,32×1,3=0,34−0,416=−0,076 R. La tasa de acierto es del 68 %, pero la esperanza es negativa porque la pérdida media supera una unidad de riesgo y la ganancia media no la alcanza. Ni la tasa de acierto ni el ratio por sí solos determinan el signo.

Error 2: sustituir los valores realizados por los previstos

En la fórmula entran las medias de las operaciones cerradas, calculadas antes de descontar el coste de ejecución: el coste entra por separado, como K_t, y se resta una sola vez. Un ratio obtenido de la geometría de la orden es una magnitud prevista; lo que lo separa del realizado es la desviación de ejecución y la desviación respecto a la regla de salida, cuya dirección y tamaño solo revela el registro de operaciones. La aritmética con valores previstos da un resultado que no aparece en el extracto; véase el apartado 3.

Error 3: esperanza sin coste

Un valor indicado sin K_t es una magnitud bruta y no sirve para tomar decisiones. Con una distancia corta de salida de protección, el coste alcanza decenas de puntos porcentuales de una unidad de riesgo (apartado 5) y, en conjuntos con un margen estrecho, determina el signo del resultado.

Error 4: confundir la probabilidad de un bloque con la de encontrar una racha

La expresión (1 - p)^k se refiere a un bloque señalado de antemano. La probabilidad de encontrar una racha así en cualquier lugar de N operaciones es mucho mayor y se aproxima a la certeza con unos cientos de operaciones: los bloques se solapan, por lo que no deben contarse como sucesos disjuntos. Con una tasa de acierto del 32 % y 200 operaciones, una racha de al menos ocho pérdidas consecutivas tiene una probabilidad aproximada del 96 %, aunque 0,68⁸ es del 4,6 %; ambos números suponen que los resultados sucesivos son independientes, lo cual es una simplificación.

Error 5: tratar la media como una descripción de la trayectoria

Una esperanza positiva no significa que el resultado sea cuestión de tiempo. Describe el centro de la distribución con parámetros inalterados; la dispersión alrededor de ese centro se describe mediante la desviación estándar, y la incertidumbre del propio centro, mediante el error estándar. Son tres números distintos y tres afirmaciones distintas.

Error 6: calcular una sola esperanza para datos heterogéneos

Una media conjunta entre instrumentos, horarios y reglas de entrada es una media ponderada de magnitudes que pueden tener signos distintos. Un total de +0,18 R puede combinar subconjuntos de +0,39 y −0,15 R. Calcule por separado los subconjuntos que pueda controlar de forma independiente. La división reduce cada N, pero también puede reducir cada s. Vuelva a calcular s_i/√N_i, tenga en cuenta la dependencia y registre si la división se eligió después de examinar los resultados. Un N menor, por sí solo, no garantiza un intervalo más amplio para todos los subconjuntos.

Error 7: sumar esperanzas sin comprobar la exposición

La esperanza es aditiva; la dispersión no. Cinco posiciones con la misma exposición a una moneda, cada una con el 1 % del valor neto actual de la cuenta (con un valor neto de 25.000 PLN: 250 PLN cada una), no son cinco apuestas independientes. La aritmética se explica en 9.9.

Error 8: confundir una identidad con el resultado de un modelo

La fórmula de la esperanza y la del umbral de equilibrio son identidades aritméticas: verdaderas por definición, sin dato alguno. El riesgo de ruina, la simulación de la distribución de resultados y los intervalos de confianza son resultados de modelos, construidos sobre una distribución supuesta, un supuesto de independencia y parámetros estimados a partir de una muestra. Compruebe qué supuestos del modelo elegido están justificados para la muestra. No presumimos que se incumplan todos los supuestos. La dirección del efecto de incumplir uno depende de la distribución concreta, la dependencia y el suceso calculado. Un titular que prometa certeza solo puede encabezar el primer grupo.

10. Ejercicio de autoevaluación

La tarea. Calcule en este orden: (1) el importe del riesgo R en PLN; (2) el ratio beneficio/riesgo; (3) la esperanza bruta y neta, en PLN y en unidades de riesgo; (4) la tasa de acierto de equilibrio sin coste y con coste, y la diferencia en puntos porcentuales; (5) el margen de la tasa de acierto sobre el umbral; (6) el valor esperado de la suma de 18 operaciones, en PLN y como porcentaje del valor neto de la cuenta; (7) la desviación estándar de esa suma; (8) el error estándar de la esperanza neta y su intervalo del 95 %. Anote sus propios resultados antes de leer la solución. Después, repita todo el cálculo con sus propios números del registro.

Solución modelo

1. Importe del riesgo. R = PLN 25.000 × 0,008 = PLN 200. Aquí equivale a la pérdida media S, por lo que la unidad de riesgo y la pérdida media coinciden, lo cual simplifica la conversión a R. En general, no tienen por qué coincidir.

2. El ratio beneficio/riesgo. RR = Z/S = 480/200 = 2,40, es decir, 1:2,4 en la notación de este curso.

3. Esperanza. Bruta:

E_bruta = 0,38 × 480 PLN − 0,62 × 200 PLN = 182,40 − 124,00 = +58,40 PLN

Neta, después de restar el coste completo de una operación:

E_neta = 58,40 PLN − 26,00 PLN = +32,40 PLN

En unidades de riesgo, divida entre R=200 PLN: bruta 58,40/200=+0,292 R; neta 32,40/200=+0,162 R. Comprobación: 0,38×2,40−0,62=0,912−0,620=+0,292 R, que coincide con el resultado bruto monetario. El coste es 26/200=0,130 R; 0,292−0,130=0,162 R, que coincide con el neto.

4. La tasa de acierto de equilibrio. Sin coste:

p*_{sin costes} = 200/(480 + 200) = 0,2941 = 29,41%

Con coste:

p* = (200 + 26)/(480 + 200) = 226/680 = 0,3324 = 33,24%

La diferencia: +3,82 puntos porcentuales. Una comprobación: el coste dividido entre la suma (Z + S), es decir, 26/680 = 0,0382 —el mismo número, lo que confirma que el aumento del umbral depende únicamente del coste y de la suma Z + S.

5. El margen sobre el umbral. 38,00% - 33,24% = +4,76 puntos porcentuales. Un cambio de perspectiva: si el coste subiera de 26 PLN a 58 PLN, el umbral aumentaría hasta 258/680 = 37,94% y el margen desaparecería casi por completo. Por tanto, aquí la sensibilidad del resultado al coste es elevada.

6. Suma esperada de 18 operaciones. 18×PLN 32,40=+PLN 583,20, es decir, 583,20/25.000=+2,33% del valor neto actual de la cuenta. Importe neto, suponiendo un riesgo fijo de 200 PLN por operación y un coste fijo de 26 PLN. La aditividad de las medias no exige independencia; el posterior cálculo simple de la desviación de la suma sí.

7. La desviación estándar de la suma. Para una operación individual (sobre valores brutos):

s = √(0,38 × 480² + 0,62 × 200² − 58,40²) = 330,06 PLN

Para la suma de 18 operaciones: 330,06 x √18 = 1.400,34 PLN, es decir, 5,60 puntos porcentuales del valor neto inicial de la cuenta frente a un valor esperado de +2,33 %. La dispersión es más del doble de la media: un mes cerrado con pérdidas forma parte de la trayectoria ordinaria con estos parámetros y no es, por sí solo, motivo para cambiar nada.

8. Error estándar de la esperanza neta. Con un coste fijo, la desviación de un resultado neto individual equivale a la desviación bruta: restar 26 PLN de cada operación desplaza la distribución sin cambiar su dispersión. SE=330,06/√150=PLN 26,95, es decir, 0,135 R. El intervalo del 95 % es 32,40±1,96×26,95: de −20,4 PLN a +85,2 por operación, o de −0,102 a +0,426 R. Incluye cero.

Lo que el ejercicio no demuestra. La tasa de acierto del 38 % procede de 150 operaciones: SE=√(0,38×0,62/150)=3,96 puntos porcentuales, con un intervalo aproximado del 95 % del 30,2 % al 45,8 %. Su límite inferior está por debajo del umbral de equilibrio del 33,24 %. El criterio del apartado 11 compara el margen con 1,96 errores estándar, el multiplicador para un nivel de confianza del 95 %, redondeado a dos en el apartado 11 y en sus tablas. Aquí, 1,96×3,96=7,76 puntos, frente a un margen de 4,76: 4,76/3,96=1,20 errores estándar, por debajo de 1,96. Este criterio considera conocidas la ganancia media, la pérdida media y el coste, aunque proceden de la misma muestra. El intervalo del punto 8, con un nivel del 95 %, para la esperanza neta es más completo; también incluye cero y lleva a la misma conclusión. «Margen de +4,76 pp» es una estimación puntual cuyo intervalo incluye valores negativos, por lo que este criterio no determina el signo de la media poblacional. El propio margen de +4,76 pp sigue siendo una estimación puntual positiva. No resuelto no significa negativo; estos datos no distinguen un sistema positivo de otro con media cero. El artículo 8.2 explica cómo diseñar una medición capaz de hacerlo.

11. Lo que debe tener calculado antes de entrar

Tres números, cada uno con su base y su unidad indicadas expresamente:

1. El ratio beneficio/riesgo de esta operación concreta —a partir de las distancias al nivel de invalidación y al objetivo, con la salvedad de que es un valor previsto
2. La esperanza de su conjunto de parámetros después de costes —calculada sobre operaciones cerradas, indicada en R y en la moneda de la cuenta, junto con el número de operaciones en que se basa
3. El margen de la tasa de acierto sobre el umbral ajustado por costes en puntos porcentuales, junto con el error estándar de la tasa de acierto. Un margen positivo inferior a aproximadamente dos errores estándar sigue siendo una estimación positiva. Con una aproximación normal del 95 % y Z, S y coste conocidos, el intervalo incluye el umbral, por lo que el criterio no establece una esperanza poblacional positiva. El artículo 8.2 trata la evaluación de la ventaja, las pruebas y el muestreo; aquí interpreta la incertidumbre de su estimación.

El tamaño de la posición que se deriva de estos números se determina en 9.5; los límites dentro de los que debe encajar, en 9.3.

La esperanza describe una operación promediada sobre muchas repeticiones. Lo que haga con una posición después de abrirla cambia las tres magnitudes que alimentan este cálculo —la tasa de acierto, la ganancia media y la pérdida media— y, por tanto, requiere un cálculo propio. Lo aborda el artículo 9.7: mover al punto de equilibrio, la salida dinámica y el escalado, cada uno con la dirección en que modifica los tres parámetros a la vez.