Rapporto rendimento/rischio, percentuale di successo e valore atteso: come calcolare il risultato per operazione

Una percentuale di successo dell'80% può coesistere con un risultato negativo. Servono anche il guadagno medio, la perdita media e il costo di un'operazione completa. Il valore atteso netto li combina, mentre la soglia di pareggio indica la percentuale di successo necessaria per una media nulla con risultati specificati. Questa lezione definisce p, RR ed E per l'intera sezione. Calcolerà lo spostamento della soglia in punti percentuali ed esaminerà che cosa dice una media positiva, da sola, su un mese, sul drawdown o sulla dimensione della posizione. Gli esempi sono illustrativi: il Suo calcolo richiede risultati effettivi di operazioni chiuse e un'unica convenzione coerente per i costi. Esplicitare unità e denominatore rende significativi i confronti.

1. Tre grandezze: rapporto rendimento/rischio, percentuale di successo, valore atteso

Questo è il blocco di riferimento per l'intera sezione del corso. Gli articoli 9.2, 9.5, 9.7, 9.8 e 9.11 utilizzano queste tre grandezze come dati di ingresso e rimandano qui per le definizioni. Due grandezze che entrano in tali definizioni hanno una sede specifica in questo articolo: la composizione e la misurazione del costo K_t sono trattate nel paragrafo 5, e la percentuale di successo di pareggio, con la relativa derivazione, nel paragrafo 2.

L'unità di rischio (R)

L'unità di rischio è l'importo che perde se il prezzo raggiunge l'uscita protettiva e l'ordine viene eseguito al prezzo ipotizzato. Lo indichiamo con R. Il risultato di ogni operazione espresso in R è confrontabile tra conti di dimensioni diverse: rischiare 200 PLN e guadagnare +460 PLN equivale a +2,3R sia con un valore netto del conto di 20.000 sia di 200.000 PLN. Come si determina il volume che produce R è descritto in 9.5; la base della percentuale di rischio, in 9.3. Per una singola posizione, la percentuale utilizza il valore netto corrente del conto prima dell'apertura. Per i totali di periodo, manteniamo fisso l'importo stabilito all'inizio e identifichiamo il valore netto iniziale; una variante separata con capitalizzazione ricalcola la percentuale prima di ogni passo. Una percentuale senza una base dichiarata non significa nulla: con una perdita non realizzata sulle posizioni aperte, lo stesso «1%» calcolato sul saldo contabilizzato e sul valore netto corrente del conto dà due importi diversi, e la differenza cresce all'aumentare della perdita.

Il rapporto rendimento/rischio (RR)

RR = ZS

Dove Z è il guadagno medio delle operazioni vincenti e S è la perdita media delle operazioni perdenti, entrambi nella stessa unità (moneta del conto o R) e presi come valori positivi. La notazione «1:2» significa RR = 2 in questo corso: il guadagno medio è doppio della perdita media. La notazione «1:0,7» significa RR = 0,7: il guadagno medio è inferiore alla perdita media.

La convenzione valida in tutto questo articolo: Z e S sono grandezze lorde. Ciò significa: misurate sulle operazioni chiuse, quindi realizzate e non pianificate, ma prima di sottrarre il costo di esecuzione. Il costo entra separatamente nel calcolo, come K_t, e viene sottratto esattamente una volta (paragrafi 4 e 5). La convenzione opposta — Z e S già al netto dei costi, senza un K_t separato— è altrettanto coerente, ma non vanno mai mescolate: inserire una cifra dopo i costi in Z e poi sottrarre K_t conta due volte lo stesso addebito e, con distanze di uscita brevi, ciò può comportare una differenza superiore al dieci per cento di un'unità di rischio. Ovunque in questo articolo, nelle tabelle e nell'esercizio, si applica la prima convenzione.

La percentuale di successo (p)

La percentuale di successo p è la quota di operazioni redditizie tra tutte le operazioni chiuse, con una convenzione esplicita lorda o netta. Inserisca i risultati esattamente nulli in un terzo gruppo, p₀; p₊+p₋+p₀=1. Utilizzi la formula binaria quando p₀=0. Un costo pagato su un risultato di prezzo nullo non trasforma quel risultato lordo in una perdita lorda; il risultato netto può comunque essere negativo.

Il valore atteso (E)

E_R = p × RR − (1 − p)

Il risultato in multipli del rischio assunto per operazione, con una perdita media pari a 1 R, un guadagno medio pari a RR unità di rischio e nessun gruppo di risultati nulli. È una grandezza lorda: secondo la convenzione adottata sopra, Z e S non includono costi, che vanno quindi sottratti separatamente. La versione nella moneta del conto e dopo i costi si trova nel paragrafo 4.

Tre esempi svolti

Rendimento/rischio e percentuale di successo vanno considerati insieme. Con 1:2 (RR=2) e p=20%, 0,20×2−0,80=−0,40 R; con p=45%, 0,45×2−0,55=+0,35 R. Con 1:0,7 e p=68%, e un guadagno medio inferiore alla perdita media, 0,68×0,7−0,32=+0,156 R. Un rapporto inferiore a 1 può avere valore atteso positivo, mentre 1:2 può averlo negativo. Un filtro «mai sotto 1:2» respinge il primo e ammette il secondo.

Faccia attenzione alla natura di quel numero: le distanze lette sul grafico al momento dell'ingresso danno il rapporto pianificato. Nel calcolo del valore atteso entra il rapporto realizzato, calcolato dalle medie delle operazioni chiuse e, secondo la convenzione adottata sotto, prima di sottrarre i costi di esecuzione, perché il costo entra separatamente nel calcolo, come K_t. Il paragrafo 3 descrive la differenza tra i due; la fonte sistematica di tale differenza è la gestione della posizione aperta, descritta in 9.7.

Come entrano nella media i risultati nulli

Con tre gruppi, E_gross=p₊Z−p₋S e E_net=p₊Z−p₋S−K_t, dove K_t è il costo medio su tutte le operazioni. Esempio: quattro guadagni di +2 R, quattro perdite di −1 R e due risultati nulli, con un costo di 0,1 R per operazione. La media lorda è (8−4)/10=0,4 R; la media netta è 0,3 R. Eliminare gli zeri dà una media lorda di 0,5 R su otto operazioni. Per recuperare la media di tutte le operazioni, moltiplichi per 0,8 e poi sottragga l'intero costo di 0,1 R. Cambiare il denominatore cambia la domanda.

2. La percentuale di successo di pareggio: derivazione ed effetto dei costi

La percentuale di successo di pareggio è la percentuale di successo alla quale il valore atteso è zero. La derivazione richiede due righe. La condizione di valore atteso nullo nella moneta del conto, con il costo medio completo di un'operazione K_t:

p × Z − (1 − p) × S − K_t = 0

Riordinando:

p* = S + K_tZ + S

Senza costi (K_t = 0) la formula si semplifica in p* = S/(Z + S), cioè, dividendo numeratore e denominatore per S, in:

p*_{senza costi} = 11 + RR

Controllo delle unità: Z, S e K_t sono espressi nella stessa moneta, quindi p* è adimensionale. Con Z>0, S>0 e 0≤K_t<Z, si trova in (0,1); con K_t=Z è uguale a 1; con K_t>Z supera 1 e un valore atteso positivo è irraggiungibile con questi risultati. Controllo della direzione: un costo maggiore aumenta numeratore e soglia; uno Z maggiore abbassa la soglia.

La terza colonna è calcolata da p* = (1 + 0,10)/(RR + 1), con perdita pari a 1R e costo di apertura e chiusura di un'operazione pari a 0,10R. Il costo di 0,10R è illustrativo: corrisponde a una distanza di uscita protettiva di 20 pips con un costo totale di 2 pips. Sostituisca il Suo numero tratto dal paragrafo 5.

Due conclusioni diventano visibili soltanto nella colonna delle differenze. Primo: il costo alza la soglia tanto più quanto minore è il rapporto. Con un rapporto di 1:0,5, lo stesso costo di 0,10R sposta la soglia di 6,67 punti percentuali; con 1:5, di 1,67. Secondo: la versione senza costi è sempre troppo ottimistica, non per la forma di questa relazione, ma semplicemente perché K_t è positivo e tutto l'aumento della soglia deriva da esso. Ciò che la proporzionalità inversa a (RR + 1) dice è quanto sia grande tale sottostima: cresce con obiettivi vicini e diminuisce con quelli lontani.

La colonna delle differenze ha un'altra proprietà da ricordare prima del paragrafo 5. L'aumento della soglia è esattamente uguale a K_t/(Z + S): quindi non dipende né dalla percentuale di successo né dalla fedeltà con cui esegue il piano. Dipende soltanto dal costo e dalla somma del guadagno medio e della perdita media. La conseguenza pratica: due operazioni con rapporto identico ma distanze di uscita protettiva diverse hanno un aumento della soglia diverso, perché, con il costo fisso in pips, un'uscita più vicina significa un (Z + S) più piccolo espresso in pips. La stessa geometria in unità R non implica quindi la stessa soglia in punti percentuali; l'aritmetica è nel paragrafo 5.

La soglia e il valore atteso sono due facce della stessa identità. Sottraendo la condizione di zero dalla definizione del valore atteso si ottiene E_net = (p - p*) x (Z + S): il valore atteso netto è il margine della percentuale di successo sopra la soglia moltiplicato per la somma del guadagno medio e della perdita media. Il margine in punti percentuali e il valore atteso in moneta contengono quindi la stessa informazione in due unità. Una verifica con i dati dell'esercizio del paragrafo 10: (38,00% - 33,24%) x 680 PLN ≈ 32,4 PLN: salvo l'arrotondamento della soglia, è lo stesso numero della formula completa (32,40 PLN). Se le due vie danno risultati diversi, c'è un errore nel calcolo: più spesso un costo contato due volte oppure la base percentuale sbagliata.

La percentuale di successo di pareggio è un'identità aritmetica: deriva dalla definizione del valore atteso ed è vera indipendentemente dal mercato, dallo strumento e dall'orizzonte. Ciò che non è un'identità è l'affermazione che la Sua percentuale di successo abbia un determinato valore: quella è una stima da un campione, soggetta a un errore trattato nel paragrafo 8.

I costi dipendenti dall'esito modificano la soglia

Se il costo medio dei guadagni K_z differisce dal costo medio delle perdite K_s, non tratti la loro media non ponderata come costante mentre varia p. E_net=p(Z−K_z)−(1−p)(S+K_s); con un denominatore positivo, p*=(S+K_s)/(Z+S+K_s−K_z). L'esempio illustrativo Z=300 PLN, S=100 PLN, K_z=10 PLN, K_s=30 PLN dà 130/420=30,95%. Usare un costo di 20 PLN darebbe il 30%, ma 20 PLN è la media corretta soltanto con p=50%, non alla soglia cercata. Con p=40%, il costo medio è 22 PLN ed E=38 PLN. Le due vie di calcolo concordano.

3. Il risultato in unità di rischio: pianificato, realizzato, dopo i costi di esecuzione

Il risultato di un'operazione in unità di rischio richiede una sola divisione:

Risultato in R = risultato dell'operazione nella moneta del contorischio assegnato all'ingresso (1 R)

Registrare il risultato in unità di rischio iniziale e analizzare la distribuzione di tali risultati è un'impostazione descritta nella letteratura sull'argomento^[1]. Ha rischiato 200 USD e chiuso con un guadagno di 460 USD → +2,3R. Una perdita completa → -1,0R. Chiudere con una perdita di 140 USD prima che il prezzo raggiunga l'uscita protettiva → -0,7R.

Registrare i risultati in R li normalizza rispetto alla dimensione del conto, ma non rispetto al livello di rischio. Un risultato di +1,0R rischiando l'1% del valore netto corrente del conto (con un valore netto di 20.000 PLN: 200 PLN) e +1,0R rischiando il 10% della stessa base (2.000 PLN) sono lo stesso numero di R e due decisioni completamente diverse. Indichi insieme percentuale e importo: prima la percentuale, poi l'importo nella moneta del conto.

I risultati medi in R e in PLN possono avere segni opposti

A titolo illustrativo, la prima operazione ha un budget di 100 PLN e un risultato di +2 R, cioè +200 PLN; la seconda ha un budget di 400 PLN e un risultato di −1 R, cioè −400 PLN. Il risultato medio unitario è +0,5 R, ma quello monetario è −100 PLN. Moltiplicare la media in R per il budget medio di rischio non dà in generale la media in PLN: E[R_i B_i]=E[R_i]E[B_i]+Cov(R_i,B_i). Calcoli ogni importo con il suo budget. Specifichi se la media attribuisce lo stesso peso alle operazioni oppure le pondera per il capitale impegnato.

Tre livelli dello stesso risultato

Il valore in R può essere calcolato su tre insiemi di dati diversi, e i materiali didattici citano spesso soltanto il primo:

• R pianificato: dalla geometria dell'ordine prima dell'ingresso. Ingresso 1,0850, uscita protettiva 1,0820, obiettivo 1,0910 → rapporto pianificato di 1:2,0
• Risultato realizzato rispetto ai prezzi medi —prima dei costi di esecuzione. Chiudere a 1,0885 dà +1,17 R dalla geometria dei prezzi anziché i +2,0 R pianificati; dopo i costi di esecuzione, sul conto rimangono +1,06 R. Il guadagno medio Z utilizza +1,17 R, perché i costi vengono sottratti separatamente come K_t
• Erosione da esecuzione: la parte del risultato assorbita dallo spread (l'intera differenza tra denaro e lettera, pagata una volta per apertura e chiusura), dalla commissione addebitata su ciascuno dei due ordini e dallo slippage all'attivazione dell'ordine protettivo. Misuri l'entità di questa erosione sulle Sue operazioni chiuse; i valori illustrativi di questo articolo non sostituiscono una misurazione

Qui Z e S sono misurati dai movimenti del prezzo medio fino al momento dell'uscita effettiva; spread, slippage e commissione vengono sottratti separatamente. I prezzi di esecuzione 1,08510 e 1,08843 danno già 33,3 pips; sottraendo una commissione equivalente a 1,4 pips restano 31,9 pips, cioè 1,0633 R. Se Z e S provengono direttamente dalle esecuzioni, non sottragga di nuovo spread e slippage. Commissione e finanziamento restano separati se non sono già inclusi. L'obiettivo pianificato non può sostituire il risultato realizzato; le medie devono comprendere le uscite effettive, incluse quelle anticipate e le esecuzioni oltre la barriera.

Valori illustrativi, senza swap; 1 R = 30 pips. Calcoli in pips per evitare differenze da arrotondamento: 60−25−3,1=31,9 pip, cioè 31,9/30=+1,063 R, arrotondato a +1,06 R. I costi di esecuzione ammontano a 3,1 pips: slippage 0,3, spread 1,4 e commissione 1,4. Lo spread entra una volta come intera differenza tra quotazioni di acquisto e vendita per apertura e chiusura; la commissione per lato si addebita su entrambi gli ordini (paragrafo 5). I componenti arrotondati in R sono 0,010+0,047+0,047=0,104 R, contro il valore esatto 3,1/30=0,1033 R. La differenza di 0,001 R deriva dall'arrotondamento dei componenti, quindi il diagramma a cascata usa 0,103 R. Noti la natura di +1,17 R: realizzato prima dei costi di esecuzione, entra nel guadagno medio Z secondo questa convenzione. +1,06 R è il risultato netto del conto; utilizzarlo in Z e allo stesso tempo sottrarre K_t conterebbe due volte i costi. Questa operazione redditizia non ha attivato il suo stop protettivo, quindi qui non si addebita slippage di uscita allo stop; la variante in perdita del paragrafo 5 lo considera separatamente.

Il minimo da registrare perché questo calcolo sia possibile

Per calcolare la percentuale di successo, il guadagno medio, la perdita media e il costo bastano sei campi per operazione: strumento, rischio assunto all'apertura nella moneta del conto, risultato di chiusura nella moneta del conto, costo pagato su entrambi i lati, conformità della chiusura alla regola scritta e data. Uno standard completo del diario operativo, con campi diagnostici distinti, appartiene a un'altra parte del corso e non viene sviluppato qui.

4. Valore atteso: derivazione, lordo e netto

Il valore atteso è una media ponderata di due risultati possibili, con pesi uguali alle probabilità. Nella moneta del conto:

E_lordo = p × Z − (1 − p) × S

Dove p è la percentuale di successo espressa come frazione; Z è il guadagno medio delle operazioni vincenti, misurato sulle operazioni chiuse, nella moneta del conto, prima di sottrarre il costo di esecuzione; S è la perdita media delle operazioni perdenti, alle stesse condizioni, presa come valore positivo. Aggiungendo il costo medio completo di apertura e chiusura di un'operazione:

E_netto = p × Z − (1 − p) × S − K_t

Dove K_t è il costo medio completo di apertura e chiusura di un'operazione: lo spread contato una volta (è l'intera differenza tra denaro e lettera), la commissione contata due volte (addebitata su ciascuno dei due ordini), lo slippage ipotizzato e, quando la posizione viene mantenuta durante la notte, i punti swap con segno invertito, perché un accredito riduce il costo. Tutto nella moneta del conto; la composizione e la misurazione di K_t sono trattate nel paragrafo 5. Se le perdite sono esattamente di 1R, la formula si riduce alla versione in unità di rischio: E_R = p x RR - (1 - p), con il costo sottratto separatamente come frazione di R.

La versione generale in unità di rischio, valida anche quando la perdita media differisce da 1R: E_R = (S/R) x [p x RR - (1 - p)] - K_t/R: la parentesi della versione semplificata viene moltiplicata per il rapporto S/R. Una verifica numerica: con p = 50%, RR = 2 e S = 1,2R, il guadagno medio è Z = RR x S = 2,4R, quindi E_gross = 0,5 x 2,4 - 0,5 x 1,2 = +0,60R; la versione semplificata darebbe +0,50R, sottostimando il risultato di 0,1R. La direzione dell'errore dipende dal segno della parentesi: con S > 1R, la versione semplificata sottostima un risultato positivo e attenua uno negativo; con S < 1R avviene il contrario.

Insieme A: percentuale di successo 45%, rapporto 1:2,1

• p = 0,45; Z = 2,1R; S = 1,0R
• E_gross = 0,45 × 2,1 − 0,55 × 1,0 = 0,945 − 0,55 = +0,395 R
• Con un costo di 0,083 R (2,5 pips divisi per una distanza di uscita di 30 pips): E_net = 0,395 − 0,083 = +0,312 R

Insieme B: percentuale di successo 72%, rapporto 1:0,5

• p = 0,72; Z = 0,6R; S = 1,2R
• E_gross = 0,72 × 0,6 − 0,28 × 1,2 = 0,432 − 0,336 = +0,096 R
• Con lo stesso costo di 0,083 R: E_net = 0,096 − 0,083 = +0,013 R

La percentuale di successo del modello B è superiore di 27 punti percentuali, ma il suo valore atteso lordo è circa quattro volte inferiore. La sua perdita media supera un'unità di rischio, S=1,2 R, mentre il guadagno medio è inferiore, Z=0,6 R. La sola percentuale di successo non dice nulla sul segno del risultato. Con un costo di 0,10 R anziché 0,083 R, B diventa negativo: 0,096−0,10=−0,004 R. Un margine apparentemente prudente può essere più stretto dell'incertezza sui costi misurati.

Passare a un periodo: perché qui tre cifre significative non sono giustificate

Per l'E netto di A pari a 0,3116667 R, ipotizzi un importo fisso di 500 PLN, uguale all'1% del valore netto del conto di 50.000 PLN prima del periodo. Mantenga questo importo fisso per 15 operazioni. La somma attesa è 15×0,3116667×500=PLN 2.337,50, cioè il 4,675% del valore netto iniziale del conto. Le medie si sommano senza indipendenza purché ogni media dichiarata delle operazioni resti applicabile. Il semplice calcolo della deviazione standard e della distribuzione della somma seguente richiede indipendenza.

La deviazione standard di A per una singola operazione è √(0,45×2,1²+0,55×1,0²−0,395²)=1,54 R. Su 15 operazioni indipendenti, la deviazione della somma è 1,54×√15=5,97 R, cioè 5,97 punti percentuali del valore netto iniziale con un importo fisso di 500 PLN, contro una media di +4,675% netti o +5,93% lordi. La dispersione supera l'intero risultato atteso. Presentare un «+5,93%» mensile suggerisce una precisione al centesimo di punto per una grandezza la cui deviazione tipica è circa sei punti e omette anche i costi, perché la cifra è lorda.

La dispersione della somma cresce con la radice quadrata del numero di operazioni, mentre il valore atteso cresce linearmente, quindi su una serie sufficientemente lunga la media comincia a prevalere. «Sufficientemente lunga», però, non è un numero che si possa semplicemente dichiarare: lo stabilisce il piano di campionamento, che appartiene a 8.2. Che cosa la media non dica neppure su una serie lunga è mostrato nel paragrafo 8.

Una frazione fissa del valore netto corrente del conto richiede un calcolo diverso

Con f=0,01, X indipendenti e identicamente distribuiti e 15 passi, K_15/K_0=∏(1+fX_i). Il suo moltiplicatore medio è (1+fE[X])^15. Per A dopo un costo fisso di 0,083333 R, la crescita è +4,778%, anziché il 4,675% ottenuto per somma. La varianza del moltiplicatore è (E[(1+fX)²])^15−(1+fE[X])^30, dando una deviazione standard di circa 6,24 punti percentuali. Questi calcoli ipotizzano p=0,45 noto, risultati di +2,016667 R e −1,083333 R e un costo fisso; escludono l'incertezza di stima. Con risultati dipendenti, i prodotti attesi non possono essere scomposti in prodotti dei valori attesi.

5. Il costo come dato di ingresso del calcolo

I costi di un'operazione entrano come un solo numero, K_t. Qui viene definito brevemente ogni componente; la sezione 2 ne tratta il funzionamento e le sezioni sulla scelta del broker descrivono le condizioni di esecuzione e le differenze tra fornitori.

• Lo spread: la differenza tra denaro e lettera. È il costo completo di apertura e chiusura, pagato una volta per operazione: apre la posizione al peggiore dei due prezzi quotati e la chiude al peggiore dei due, e la loro differenza è stata pagata una volta. Lo spread entra quindi in K_t con un moltiplicatore x1; moltiplicare l'intera differenza per due conta lo stesso costo due volte.
• Commissione: una tariffa sul volume, addebitata sui conti a commissione su entrambi i lati dell'operazione.
• Slippage: la differenza tra il prezzo dell'ordine e quello di esecuzione; una volta attivato, un ordine protettivo diventa un ordine a mercato e viene eseguito al primo prezzo disponibile.
• Punti swap: l'importo addebitato quando una posizione viene mantenuta al giorno successivo; può essere positivo o negativo.

K_t = [(s_ingresso + s_uscita)/2 + G] × V × w + C_{entrambi i lati} − W_swap

Tutti i componenti nella stessa unità: nella moneta del conto, oppure in pips convertiti nella moneta del conto. Il risultato diviso per R dà il costo espresso in unità di rischio, ed è il numero sottratto dal valore atteso lordo. Due punti di questa formula sono spesso conteggiati male e meritano entrambi una spiegazione separata.

Moltiplicatori e segni. Con risultati lordi a prezzi medi, il costo dello spread di apertura e chiusura è (s_entry+s_exit)/2 pips. Un intero spread è una scorciatoia quando gli spread d'ingresso e d'uscita sono uguali. Aggiungere un altro spread intero sovrastima allora il costo di 0,07 R con D=20 pips e s=1,4. Con spread d'ingresso 1 e d'uscita 5, il costo è invece 3 pips. Lo slippage G è la differenza tra l'esecuzione e la sua appropriata quotazione di riferimento sullo stesso lato, sommata su ingresso e uscita; non comprende nuovamente i mezzi spread. Calcoli la commissione C su entrambi i lati dalla tariffa: raddoppi una tariffa per lato, non una per apertura e chiusura. W_swap è l'importo nell'estratto conto, positivo per un accredito; il segno meno della formula fa sì che un accredito riduca il costo e un addebito lo aumenti. La sezione 2 spiega il meccanismo dei ratei; qui sono dati di ingresso di un solo calcolo.

Cominci a misurare il Suo K_t scegliendo la base del risultato. Il P/L da due esecuzioni reali comprende già spread e slippage; aggiunga soltanto commissioni separate e finanziamento, a meno che il risultato netto dell'estratto conto non li includa già. Non sottragga due volte i costi di esecuzione. Misurare rispetto ai prezzi medi richiede entrambi i prezzi di riferimento, gli spread d'ingresso e d'uscita e le esecuzioni. Calcoli i due mezzi spread e lo slippage rispetto al lato appropriato della quotazione; lo slippage rispetto al prezzo medio includerebbe già lo spread. Sommi gli oneri attribuibili a ogni operazione completa e sottragga il finanziamento con accrediti positivi. Per i costi medi in R, divida il costo di ogni operazione per la sua R prima di fare la media; per le medie monetarie, faccia la media degli importi. Una misurazione mensile descrive quel mese. I costi cambiano con l'ora, la liquidità e il periodo di detenzione, quindi registri il periodo campionario e la convenzione dei dati.

Uno spread variabile contribuisce con due mezzi spread

Con risultati lordi a prezzi medi, lo spread d'ingresso s₁ e quello d'uscita s₂ riducono il risultato di apertura e chiusura di (s₁+s₂)/2 pips. Un intero spread è una scorciatoia valida quando s₁=s₂. Gli esempi illustrativi s₁=1 pip e s₂=5 pips danno un costo di 3 pips, né 1 né 6. Con w=10 USD/pip/lotto e 0,2 lotti, sono 6 USD. I risultati dai due prezzi di esecuzione comprendono già questi mezzi spread.

Il costo in unità di rischio dipende dalla distanza dell'uscita protettiva

Il costo espresso in pips è, in prima approssimazione, costante, mentre l'unità di rischio cresce con la distanza dell'uscita protettiva. Ne segue una relazione inversa: più vicina è l'uscita, maggiore è la quota dell'unità di rischio assorbita dal costo:

I valori della tabella sono illustrativi e dipendono dallo strumento, dall'ora del giorno e dal broker: li sostituisca con una Sua misurazione dei costi prima di usarli in un calcolo. L'ultima colonna è K_t/(RR + 1) per RR = 2, cioè l'aumento della percentuale di successo di pareggio causato dal solo costo, per entrambe le varianti di costo.

Con una distanza di 8 pips e un costo di 1,8 pips, il costo assorbe il 22,5% dell'unità di rischio; con una distanza di 80 pips, il 2,3%. La stessa coppia (percentuale di successo, rapporto) dà quindi un risultato netto diverso a seconda della distanza dell'uscita protettiva, nonostante una geometria identica in unità R. Come si determina la distanza stessa, dal punto di invalidazione dell'ipotesi e non da una perdita accettabile, è descritto in 9.4.

Costo fisso, distanza di uscita variabile: come si sposta la soglia di pareggio

La tabella sopra mostra la quota del costo nell'unità di rischio. Vale la pena portare lo stesso calcolo fino in fondo, perché cambiare la distanza dell'uscita protettiva modifica due cose contemporaneamente, e le due agiscono in direzioni opposte. Consideri la situazione più comune: l'obiettivo è fissato da un livello stabilito nell'analisi —da dove provenga tale livello viene trattato altrove nel corso—, quindi la sua distanza dall'ingresso è fissa e non dipende da dove colloca l'uscita protettiva. Indichi la distanza dell'obiettivo con T, la distanza dell'uscita protettiva con D e il costo totale di un'operazione con K, tutto in pips.

Li sostituisca nella formula del paragrafo 2, p* = (S + K_t)/(Z + S). La perdita media è D, il guadagno medio è T, il costo è K: tutto negli stessi pips, quindi le unità si semplificano e rimane:

p* = D + KT + D

È la stessa formula sopra, espressa soltanto in grandezze che ha sul grafico prima di entrare. Prenda un costo totale di 2,4 pips e un obiettivo distante 60 pips, e calcoli tre distanze di uscita:

Valori illustrativi: un obiettivo fissato da un livello a 60 pips dall'ingresso, un costo totale di 2,4 pips indipendente dalla distanza di uscita. La colonna «soglia con costi» è calcolata direttamente da (D + K)/(T + D), quella «soglia senza costi» da D/(T + D); l'aumento è la loro differenza ed è uguale a K/(T + D). Una verifica per D = 30: (30 + 2,4)/(60 + 30) = 32,4/90 = 36,00% e, senza costi, 30/90 = 33,33%: una differenza di 2,67 pp, cioè 2,4/90. Concorda.

Questa tabella dice più di quanto mostri il solo rapporto.

L'aumento della soglia causato dal costo diminuisce al crescere della distanza di uscita, ma lentamente. Raddoppiare D da 20 a 40 pips riduce l'aumento da 3,00 a 2,40 punti percentuali: di un quinto, non della metà. La ragione è nella formula: l'aumento è uguale a K/(T + D) e il denominatore contiene la somma delle distanze dell'obiettivo e dell'uscita, non soltanto D. Con un obiettivo fissato da un livello, allontanare l'uscita protettiva diluisce il costo molto meno di quanto suggerirebbe la quota del costo nell'unità di rischio della tabella precedente.

Il secondo movimento in questa tabella va nella direzione opposta ed è incomparabilmente maggiore. Tra D = 20 e D = 40 la soglia con costi sale dal 28,00% al 42,40%: di 14,4 punti percentuali, mentre la sola componente di costo cambia di 0,6 punti. Tutto il resto deriva dal rapporto: con un'uscita più lontana, lo stesso obiettivo dà un RR minore. Unire entrambe le osservazioni risolve un frequente equivoco: il costo non è un motivo per allontanare l'uscita protettiva. Allontanarla riduce effettivamente la quota del costo nell'unità di rischio, ma aumenta contemporaneamente la percentuale di successo richiesta e, con un obiettivo fissato da un livello, il secondo effetto è oltre venti volte più forte del primo: 14,4 punti percentuali contro 0,6.

Esiste però un limite inferiore sotto il quale la soglia non scenderà con nessuna impostazione dell'uscita. Quando D scende verso zero, l'espressione (D + K)/(T + D) tende a K/T, che in questo esempio è 2,4/60 = 4,0%. È il limite inferiore aritmetico della percentuale di successo di pareggio con un costo e una distanza dell'obiettivo dati. Non è una configurazione raggiungibile —una distanza di uscita nulla significa nessuna operazione, e il cambiamento effettivo della percentuale di successo va verificato separatamente—, ma il numero stesso è utile come controllo preliminare. Se il rapporto tra costo e distanza dell'obiettivo è elevato, nessuna impostazione dell'uscita protettiva lo risolverà: con un costo di 2,4 pips e un obiettivo distante 12 pips, il limite inferiore è già il 20%, e l'intero calcolo parte da quel valore prima di aggiungere altro.

E una precisazione senza la quale tutta la tabella sarebbe fuorviante: cambiare la distanza di uscita può cambiare anche la percentuale di successo e la formula non lo coglie, perché la percentuale di successo è un suo dato di ingresso. Le soglie nelle ultime colonne dicono quale percentuale di successo sia richiesta, non quale si realizzerà. Il paragrafo 6 illustra come sono collegati i due parametri; questa relazione può essere misurata soltanto sul proprio registro.

I costi variano nel tempo e tra fornitori, entrando in questo calcolo come variazione di K_t. Riporti il valore atteso sia con costi tipici sia con costi elevati, verificando se con questi ultimi rimanga positivo. Se non è così, il margine dell'insieme di parametri è più stretto della variazione dei costi stessi.

La soglia può trovarsi al di fuori dell'intervallo raggiungibile della percentuale di successo

Con K≥0 fisso, p*=(S+K)/(Z+S) resta significativo sopra 1. L'esempio illustrativo Z=40 PLN, S=100 PLN, K=50 PLN dà p*=150/140=107,14%. Anche con il 100% di successi si perdono 10 PLN per operazione; nessuna percentuale di successo raggiungibile dà valore atteso positivo. Con K=Z, p*=1 dà esattamente zero quando tutte le operazioni vincono. «Serve una percentuale di successo elevata» sarebbe qui una conclusione sbagliata.

6. Due insiemi di parametri con valore atteso simile

Il valore atteso è un solo numero e ci sono molti modi per arrivarci. Le due varianti sotto hanno un E_R praticamente identico e distribuzioni dei risultati completamente diverse. I nomi sono descrittivi: la variante con guadagni frequenti e la variante con grandi guadagni rari, per non confonderle con gli insiemi A e B del paragrafo 4, che sono una coppia di parametri diversa:

Calcolo: i guadagni frequenti danno 0,70×0,88−0,30×0,88=0,616−0,264=+0,352 R; i guadagni più grandi e meno frequenti danno 0,32×3,22−0,68×1,00=1,0304−0,6800=+0,3504 R. La deviazione standard utilizza √(E[X²]−E[X]²) sulle stesse distribuzioni lorde a due punti. Sottragga una sola volta il costo fisso illustrativo di 0,10 R come K_t: le medie nette sono 0,352−0,10=+0,252 R e 0,3504−0,10=+0,2504 R. La loro differenza di 0,0016 R rimane dopo i costi, quindi il confronto vale anche per le medie nette.

Le deviazioni standard di un singolo risultato differiscono di circa 2,4 volte. La sola σ non ordina i quantili del massimo drawdown o le lunghezze delle serie di perdite. Per queste specifiche distribuzioni, 200.000 traiettorie indipendenti di 50 passi danno mediane dei drawdown cumulati in R di 2,64 R e 8,56 R, misurati da un precedente massimo cumulato a un minimo successivo; l'articolo 9.8 definisce la base del conto reale. Separatamente, la ricorsione alle percentuali di successo indicate su 200 risultati indipendenti dà probabilità di almeno otto perdite consecutive intorno allo 0,9% e al 96%. Queste frequenze derivano da p, dal numero di passi e dalle ipotesi di dipendenza, non dalla sola σ.

Il valore atteso non basta a descrivere un insieme di parametri. Confrontare due varianti richiede un secondo numero: la dispersione dei risultati, che si traduce in drawdown del valore netto del conto. La misurazione del drawdown con due definizioni e la fissazione della soglia oltre la quale non è più coerente con i parametri sono descritte in 9.8; la distribuzione delle traiettorie possibili con parametri dati, in 9.2.

L'ultima colonna è una stima puntuale, positiva ogni volta che la differenza dichiarata è positiva. Se Z, S e costi sono considerati noti, un intervallo approssimativo della percentuale di successo può anche valutare il segno nella popolazione: se comprende la soglia, tale criterio non dimostra un valore atteso positivo nella popolazione. Confrontare il margine con circa due errori standard è una scorciatoia per un'approssimazione normale al 95%; non cambia il segno del margine calcolato. I paragrafi 8 e 10 spiegano le ipotesi.

È un criterio euristico didattico, non un riferimento del settore. Le righe mostrano soltanto come valore atteso e margine sopra la soglia derivino da una coppia di numeri: non dicono che una determinata percentuale di successo «accompagni» un certo rapporto o che una riga sia un obiettivo. Non consideri tipici i numeri della tabella: sono uno schema da sostituire con i valori del Suo registro.

La percentuale di successo e il rapporto non sono due manopole indipendenti

La tabella confronta coppie arbitrarie di p e RR. Cambiare una regola di uscita può modificare entrambi, la perdita media e i costi. Non ipotizzi una percentuale di successo costante dopo aver spostato obiettivo o stop. Nemmeno un calo è matematicamente inevitabile: alcuni cambiamenti modificano l'entità dei guadagni senza spostare risultati tra gruppi. Confronti entrambe le varianti misurate; la formula non fornisce la direzione del cambiamento.

Entrambi i numeri sono il prodotto di un'unica regola di uscita. La percentuale di successo è la quota di operazioni chiuse in positivo; il rapporto è il quoziente delle medie di due gruppi. Ma a decidere quale operazione finisca in ciascun gruppo e quale sarà la sua media è lo stesso insieme di livelli: dove si trovano l'uscita protettiva e l'obiettivo. Spostare uno dei due trasferisce alcune operazioni tra i gruppi e cambia contemporaneamente entrambe le medie. Non ipotizzi che migliorare il rapporto lasci invariate percentuale di successo e perdita media. In un campione specifico, il rapporto può cambiare anche senza una percentuale di successo inferiore; lo determina la distribuzione dei risultati, non la sola direzione dell'aggiustamento del livello.

Le tre operazioni eseguite più spesso e la direzione in cui ciascuna spinge contemporaneamente entrambi i numeri:

• Allontanare l'obiettivo senza modificare lo stop. Con gli stessi ingressi e traiettorie, uno stop fisso ed esecuzioni ai livelli specificati, aumenta il T/D pianificato. Raggiungere un obiettivo più lontano prima dello stop è un sottoinsieme del raggiungerne uno più vicino, quindi la percentuale di successo di questo modello non può aumentare, ma può restare uguale. Non è una previsione universale per medie osservate con uscite o esecuzioni diverse. Un D invariato non garantisce nemmeno costi fissi: una detenzione più lunga può modificare finanziamento, spread d'uscita e slippage.
• Avvicinare lo stop senza modificare l'obiettivo. Lo stesso modello aumenta il T/D pianificato, mentre la probabilità di raggiungere l'obiettivo prima dello stop non può aumentare. Non deve necessariamente diminuire in senso stretto: in un campione specifico, il nuovo livello potrebbe non cambiare nessun risultato. Un costo fisso in pips diventa una quota maggiore del D più piccolo, ma costi effettivi e medie dei gruppi richiedono un nuovo calcolo. Con altre regole di uscita, il solo T/D non ricostruisce i risultati medi.
• La gestione della posizione aperta—spostare lo stop all'ingresso, usare un'uscita dinamica o chiudere una parte— può modificare percentuale di successo, guadagno medio e perdita media in direzioni diverse, a seconda della regola e della traiettoria del prezzo. 9.7 fornisce quel calcolo separato.

Quando cambiano entrambi i numeri, un rapporto maggiore da solo non stabilisce se il risultato sia migliorato. La domanda che ha una risposta è: al massimo di quanto può scendere la percentuale di successo perché il cambiamento convenga ancora. È aritmetica, e anche breve.

Esprima il valore atteso in unità di rischio per rendere esplicita la relazione. Riordinando E_R = p × RR − (1 − p) si ottiene:

E_R = p × (RR + 1) − 1

Questo confronto ipotizza una perdita media di 1 R in entrambe le varianti e lo stesso R monetario dopo il ridimensionamento. Il valore atteso lordo è quindi p×(RR+1)−1; il valore atteso netto sottrae anche il costo in unità di rischio. Il cambiamento dell'uscita migliora il risultato esattamente quando l'aumento di tale prodotto supera l'aumento del costo.

p₂ × (RR₂ + 1) − k₂ > p₁ × (RR₁ + 1) − k₁

dove k è il costo in unità di rischio, calcolato separatamente per ogni variante: quando cambia la distanza di uscita, cambia anch'esso.

Primo caso: allontanare l'obiettivo senza modificare lo stop. Se k rimane uguale, si elimina. La condizione diventa p_2 > p_1×(RR_1+1)/(RR_2+1). Passare da 1:1 a 1:2 con p=50% iniziale dà p_2 > 0,50×2/3=33,3%. Esattamente al 33⅓%, il valore atteso è uguale; solo una percentuale di successo superiore lo migliora a costi invariati. Sotto questo limite, allontanare l'obiettivo peggiora il calcolo nonostante un rapporto dall'aspetto migliore e una soglia lorda di pareggio scesa dal 50% al 33,3%.

Secondo caso: avvicinare lo stop senza modificare l'obiettivo. Qui k aumenta, rendendo più severa la condizione. Obiettivo a 60 pips, costo totale di 2,4 pips, stop ridotto da 30 a 20 pips, p=45% iniziale. Prima: RR_1=2,0, k_1=2,4/30=0,080 R, E_1=0,45×3−1−0,080=+0,270 R. Seconda: RR_2=3,0, k_2=2,4/20=0,120 R. La percentuale di successo che uguaglia il valore atteso è p_2=(0,45×3−0,080+0,120)/4=1,390/4=34,75%; infatti 0,3475×4−1−0,120=+0,270 R. Avvicinare da 30 a 20 pips migliora il risultato solo se il calo della percentuale di successo è inferiore a 10,25 punti percentuali.

Se scenderà di meno non lo stabilisce nessuna formula, ma soltanto la misurazione sul proprio registro. Il risultato di tale confronto è una stima soggetta a errore e, con un numero tipico di operazioni chiuse, una differenza di quell'ordine solitamente non è distinguibile. Prima di confrontare due varianti, consulti quindi 8.2: chiarisce su quale campione e con quante operazioni sia possibile misurare una simile differenza.

7. Un rapporto fisso come regola: che cosa altera nel calcolo

La regola «non entrare mai con un rapporto peggiore di 1:2» sembra sicura, perché riguarda un numero facile da verificare prima dell'ingresso. Aritmeticamente, però, altera più di quanto metta in ordine.

Inverte la direzione della dipendenza tra le grandezze

La distanza dell'uscita protettiva deriva dal punto di invalidazione dell'ipotesi, non il contrario: questo è stabilito in 9.4. Una regola di rapporto fisso inverte l'ordine: stabilisce l'obiettivo come multiplo della distanza dell'uscita protettiva, quindi il rapporto smette di essere un risultato del calcolo e ne diventa un'ipotesi.

Esclude insiemi con valore atteso positivo

Con 1:1,22 e p=62%, il valore atteso lordo è 0,62×1,22−0,38=+0,376 R; il pareggio con costo di 0,10 R è 1,10/2,22=49,5%. Il margine è 12,5 punti percentuali. Una regola che rifiuta tutto ciò che è sotto 1:2 elimina questa configurazione positiva nonostante il suo margine maggiore di quello di 1:2 con p=38%: 0,38×2−0,62=+0,14 R lordi, appena 1,3 punti sopra la soglia del 36,7% corretta per i costi.

Modifica percentuale di successo e costo senza toccare il livello di invalidazione

Se un rapporto rigido viene ottenuto avvicinando lo stop anziché allontanando l'obiettivo, la distanza si riduce indipendentemente dal livello di invalidazione. Il costo relativo aumenta (paragrafo 5); nello scenario illustrativo, lo stop più vicino riduce anche la percentuale di successo. Passare da distanza 50 e obiettivo 60 pips (1:1,2) a distanza 30 con lo stesso obiettivo (1:2), mentre p scende dal 58% al 35%, cambia il valore atteso lordo da 0,58×1,2−0,42=+0,276 R a 0,35×2−0,65=+0,050 R. La quota del costo aumenta da 0,036 a 0,060 R: gli stessi 1,8 pips illustrativi della prima tabella del paragrafo 5 vengono divisi per 50 oppure 30. La seconda variante è negativa al netto, −0,010 R.

8. Che cosa non dice il valore atteso

Il valore atteso è la media di un gran numero di ripetizioni a parametri invariati. L'elenco seguente presenta le domande a cui non risponde: ciascuna ha la propria misura e il proprio articolo di riferimento in questa sezione del corso.

La dispersione di un singolo risultato e l'incertezza della media stessa sono due numeri diversi

Distingua due grandezze completamente diverse. La deviazione standard di un singolo risultato descrive la dispersione dei risultati attorno alla media e non diminuisce con il numero di operazioni. L'errore standard della stima della media descrive con quanta precisione conosce il valore atteso stesso e diminuisce come 1/√N. Confonderli produce frasi in cui una media positiva dovrebbe garantire una traiettoria.

SE = s√N

Per A a due punti, σ=3,1√(0,45×0,55)=1,54223 R. Un intervallo normale illustrativo per 100 osservazioni indipendenti, usando questa σ, è al lordo 0,395±1,96×σ/10, cioè da +0,0927 a +0,6973 R. Sottrarre un costo fisso di 0,083333 R dà da +0,0094 a +0,6139 R, escludendo zero. Sostituire σ con una s campionaria uguale e il moltiplicatore t₉₉≈1,984 dà un limite inferiore di circa +0,0057 R.⁶ Il limite inferiore positivo è sensibile alla dispersione e al costo ipotizzati, ma la vicinanza a zero non ne inverte il segno.

La dispersione interna ai gruppi può modificare l'intervallo

La varianza completa dei risultati è p v_z+(1−p)v_s+p(1−p)(Z+S)². La σ=1,54223 R di A a due punti comprende soltanto l'ultimo termine. Se entrambi i gruppi hanno illustrativamente una deviazione standard di 0,8 R, la σ completa diventa √(1,54223²+0,8²)=1,73737 R. Lo stesso intervallo normale netto su 100 risultati ha ora un limite inferiore di circa −0,0289 R, senza modificare p, Z o S. Un intervallo derivato dalle medie dei gruppi non va presentato come se usasse la deviazione effettiva del campione completo.

La media non descrive la sequenza che osserverà

Il valore atteso di +0,395 R non è un singolo risultato. In questo esempio a due punti, A dà +2,1 R oppure −1,0 R, senza valori intermedi; la media ne descrive il risultato medio. La somma ha una distribuzione propria: i successi k in N operazioni sono binomiali e il risultato totale è k×2,1−(N−k)×1,0=3,1k−N. L'utile richiede quindi k>N/3,1. Su 20 operazioni servono almeno sette successi; la probabilità di averne meno è il 13,0%.

Questo calcolo binomiale usa p=0,45, un valore lordo di Z=2,1 R, S=1,0 R e risultati successivi indipendenti. I registri reali non devono necessariamente rispettare l'indipendenza; la covarianza modifica la varianza della somma, ma il suo segno da solo non determina la probabilità di superare una particolare soglia di perdita. Calcoli tale probabilità in un modello completo di dipendenza. I valori sono illustrativi. Con costo 0,083333 R, k>20×1,083333/3,1≈6,989 richiede ancora sette successi; la probabilità di perdita resta 12,9934%. I costi non cambiano il numero di successi richiesto su questa griglia discreta. Con costo 0,10 R servono otto successi e la probabilità di perdita aumenta.

Un periodo di 20 operazioni in perdita ha circa il 13% di probabilità in questo modello specificato. Un mese negativo è un'osservazione, ma da solo non dimostra un deterioramento dei parametri. Il limite di intervento prestabilito dell'articolo 9.8 può fermare l'operatività a un drawdown scelto. Raggiungerlo non dimostra né la perdita del vantaggio né il fallimento del modello: la regola presenta rischi di falso allarme e mancata rilevazione. L'articolo 8.2 valuta regole e dati.

I parametri cambiano nel tempo e l'intervallo non copre tale cambiamento

L'intervallo calcolato sopra descrive l'incertezza di una stima sul campione disponibile: non dice se i parametri resteranno uguali in futuro. Percentuale di successo e rapporto sono proprietà di un insieme di regole confrontato con un particolare periodo del mercato; un cambiamento di volatilità, liquidità o costo li modifica senza preavviso. Un intervallo stretto e positivo significa quindi soltanto che i dati disponibili sono coerenti con una media positiva nel periodo da cui provengono: la non stazionarietà dei parametri è una questione separata che nessun intervallo può risolvere.

Ricampionare un campione può valutare anche l'incertezza della media.⁴ Questo metodo ha ipotesi discusse in 9.2. Qui distinguiamo risultato medio, dispersione del singolo risultato ed errore standard della media. L'articolo 8.2 tratta la selezione del campione, il momento di chiusura e il confronto tra regole; cambiare il numero di operazioni al denominatore non basta se i dati sono stati scelti dopo aver osservato i risultati.

La traiettoria del valore netto del conto e la sopravvivenza a una serie richiedono un calcolo separato

Le due varianti del paragrafo 6 hanno medie simili ma distribuzioni complete dei risultati diverse. Per l'orizzonte specificato abbiamo calcolato mediane del drawdown e frequenze delle serie diverse. Una differenza di 2,4 volte nella deviazione standard, da sola, non determina la probabilità di superare una soglia arbitraria. Il rischio di rovina non si ricava dal solo valore atteso. Richiede distribuzione e dipendenza dei risultati, regola dell'importo rischiato, orizzonte e barriera. 9.2 ^[3] fornisce la formula, la variante del modello e gli esempi svolti. Media e dispersione sono dati di ingresso, ma da sole non ricostruiscono la coda o l'ordine.

Il risultato di un anno ha un intervallo, non un unico numero

Annualizzare il valore atteso dà il centro di una distribuzione, non un intervallo. Consideri p=37% e 1:2 misurati da risultati già al netto dei costi. Ciò inverte la convenzione del paragrafo 1, ma è valido se K_t non viene sottratto nuovamente: E_net=0,37×2−0,63=+0,11 R; deviazione del singolo risultato 1,45 R. Con 500 PLN fissi per operazione, l'1% del valore netto iniziale del conto di 50.000 PLN, su 144 operazioni annuali:

• valore atteso della somma: 144 x 0,11 x 1% = +15,8% del valore netto del conto, cioè circa 7.900 PLN (senza capitalizzazione);
• deviazione standard della somma: 1,45 x √144 x 1% = ±17,4 punti percentuali;
• intervallo centrale approssimativo del 90% da un'approssimazione normale: da −12,8% a +44,4%;
• Probabilità esatte degli eventi: perdita 15,92% (k≤47), zero 4,62% (k=48) e risultato non positivo 20,54% (k≤48), ipotizzando risultati indipendenti e p=0,37 costante.

Limite del calcolo. Sommiamo o moltiplichiamo tutti i 144 risultati specificati senza arresto anticipato. Un importo fisso di 500 PLN porta la somma estrema di 144 perdite a −72.000 PLN, superiore al valore netto iniziale del conto di 50.000 PLN. Questo descrive la distribuzione della somma dei risultati, non la solvibilità o la sopravvivenza di un conto reale. Modelli separatamente la barriera del valore netto del conto e le traiettorie interrotte; veda 9.2.

«Un risultato annuale intorno al 10–14%» descrive quindi la variazione di una stima puntuale, non l'intervallo dei risultati possibili. Con questi parametri, l'intervallo rilevante è più ampio di un ordine di grandezza —57 punti percentuali anziché quattro— e comprende risultati negativi. Un anno in perdita non dimostra parametri errati: ha circa il 15,92% di probabilità nel modello a importo fisso con quegli esatti dati di ingresso. Un altro 4,62% è esattamente zero; insieme danno il 20,54%.

Lo stesso anno con capitalizzazione sul valore netto corrente del conto

Con rischio dell'1% del valore netto corrente prima di ogni operazione, il valore netto finale dopo k successi in 144 passi è K_0×1,02^k×0,99^(144−k). Un anno positivo richiede k>−144 ln(0,99)/[ln(1,02)−ln(0,99)]≈48,4792, quindi almeno 49 successi. Si ha perdita con k≤48, con probabilità del 20,54%; lo zero esatto ha probabilità dello 0% perché la soglia non è intera. Il dimensionamento fisso dava zero con 48 successi; la capitalizzazione dà circa −1,420%. La probabilità di un anno positivo è la stessa, circa il 79,46%, ma la probabilità di perdita differisce. La crescita media con capitalizzazione è 1,0011^144−1=17,153%; la mediana con k=53 è il 14,449%. Non trasferisca automaticamente l'ordinamento media–mediana a tutte le distribuzioni.

Poche operazioni possono spiegare gran parte del risultato

Un insieme con risultati +8R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R ha una media di (8 - 6)/7 = +0,29R. Tolga un'operazione e la media è -6/6 = -1,00R. Il valore atteso calcolato su un campione in cui più della metà della somma proviene da un'unica osservazione è una stima con un intervallo molto ampio: ciò diventa visibile solo calcolando la quota dei risultati maggiori nella somma, non osservando la media. Accanto alla media, riporti la mediana e la quota del cinque per cento dei guadagni più elevati nella somma dei guadagni.

La media funziona con risultati multipli, ma non ricostruisce la coda

L'identità della media non richiede due risultati fissi. Se Z e S sono le medie effettive dei gruppi e non ci sono zeri, E=pZ−(1−p)S resta valida con risultati di molte dimensioni. Una distribuzione a due punti è ipotizzata solo nel calcolo della varianza da p, Z e S o delle probabilità binomiali delle serie. Sostituire i gruppi con le loro medie elimina la dispersione interna ai gruppi, quindi la varianza semplificata non è maggiore di quella dei dati completi. Non descrive l'intera coda sinistra.

Un modello «le perdite sono sempre pari a 1 R» limita i propri risultati specificati, non l'esecuzione effettiva. Le perdite da gap dipendono dalle esecuzioni, che un livello di stop non garantisce; 9.10 le spiega e le calcola. Sostituire una perdita di −1 R con −6 R tra le stesse 100 operazioni ne riduce la media di (−6+1)/100=−0,05 R. Ciò esula dal modello a due risultati fissi; ricalcoli le medie effettive dei gruppi e il modello della coda prima di riutilizzarlo. L'articolo 9.8 definisce il drawdown.

Per il Suo calcolo ne segue una regola applicabile subito: calcoli la perdita media S su tutte le operazioni perdenti chiuse, comprese quelle che hanno superato 1R, e riporti la maggiore perdita singola del campione accanto a essa. Se S è 1,0R e la maggiore perdita singola è 4,2R, la media stessa resta corretta, ma la coda sinistra della distribuzione, che determina il drawdown, si trova fuori da questo calcolo e necessita di una registrazione propria.

Le altre misure sono trasformazioni degli stessi tre numeri

Il fattore di profitto è una trasformazione degli stessi tre numeri^[2]:

PF = p × Z(1 − p) × S

Per A lordo specificato, PF=(0,45×2,1)/(0,55×1)=1,7182; per B, PF=(0,72×0,6)/(0,28×1,2)=1,2857. Sono calcoli di modello, non registri misurati. Con costo fisso di 0,083333 R, A produce +2,016667 e −1,083333 R netti, quindi PF_net=(0,45×2,016667)/(0,55×1,083333)=1,5231. Il PF lordo non sostituisce il valore atteso netto. PF<1 significa che le perdite totali superano i guadagni totali secondo la stessa convenzione. La precisione del PF empirico richiede risultati completi e numero di operazioni; l'intervallo di una media non si trasferisce direttamente a questo rapporto non lineare.

Analogamente, il rapporto realizzato (guadagno medio diviso per perdita media sulle operazioni chiuse) è lo stesso RR, calcolato però sui risultati anziché sulla geometria degli ordini. La differenza tra rapporto pianificato e realizzato è la stessa grandezza discussa nel paragrafo 3.

In un portafoglio la media si somma, la dispersione no

Il valore atteso di più posizioni aperte contemporaneamente è la somma dei loro valori attesi: l'additività della media non dipende dall'interdipendenza dei risultati. La dispersione del risultato combinato non è additiva e dipende da quanto le posizioni si muovono insieme. Una grandezza separata è il budget di perdita se tutte le uscite protettive vengono eseguite contemporaneamente: la somma degli importi rischiati nella moneta del conto, aumentata dalle esecuzioni peggiori. Questi due numeri rispondono a due domande diverse e nessuno sostituisce l'altro. L'aritmetica della volatilità di portafoglio, la scomposizione delle posizioni nelle valute componenti e l'esposizione nascosta a una valuta comune sono trattate in 9.9; qui basta concludere che il numero di strumenti non misura la diversificazione.

9. Gli errori di interpretazione più comuni

Errore 1: giudicare dalla sola percentuale di successo

«Percentuale di successo 68%: il sistema è valido». Se il guadagno medio è 0,5 R e la perdita media 1,3 R, 0,68×0,5−0,32×1,3=0,34−0,416=−0,076 R. La percentuale di successo è 68%, ma il valore atteso è negativo perché la perdita media supera un'unità di rischio e il guadagno medio è inferiore. Né la percentuale di successo né il rapporto da soli determinano il segno.

Errore 2: sostituire i valori realizzati con quelli pianificati

Nella formula entrano medie delle operazioni chiuse, calcolate prima di sottrarre il costo di esecuzione: il costo entra separatamente, come K_t, e viene sottratto una sola volta. Un rapporto letto dalla geometria dell'ordine è una grandezza pianificata; ciò che lo separa dal realizzato è la deviazione di esecuzione e quella dalla regola di uscita, la cui direzione ed entità sono rivelate soltanto dal registro delle operazioni. L'aritmetica sui valori pianificati dà un risultato che non compare nell'estratto conto: veda il paragrafo 3.

Errore 3: valore atteso senza costi

Un valore indicato senza K_t è una grandezza lorda e non è adatto alle decisioni. Con una distanza breve dell'uscita protettiva, il costo raggiunge decine di punti percentuali di un'unità di rischio (paragrafo 5) e, per insiemi dal margine stretto, determina il segno del risultato.

Errore 4: confondere la probabilità di un blocco con quella di incontrare una serie

L'espressione (1 - p)^k si riferisce a un blocco indicato in anticipo. La probabilità di incontrare una serie simile in un punto qualsiasi di N operazioni è molto maggiore e si avvicina alla certezza con poche centinaia di operazioni: i blocchi si sovrappongono, quindi non vanno contati come eventi disgiunti. Con una percentuale di successo del 32% e 200 operazioni, una serie di almeno otto perdite consecutive si verifica con circa il 96% di probabilità, anche se 0,68⁸ è 4,6%: entrambi i numeri ipotizzano risultati successivi indipendenti, il che è una semplificazione.

Errore 5: trattare la media come descrizione della traiettoria

Un valore atteso positivo non significa che il risultato sia questione di tempo. Descrive il centro della distribuzione a parametri invariati; la dispersione attorno a quel centro è descritta dalla deviazione standard e l'incertezza del centro stesso dall'errore standard. Sono tre numeri diversi e tre affermazioni diverse.

Errore 6: calcolare un solo valore atteso su dati eterogenei

Una media combinata tra strumenti, orari e regole di ingresso è una media ponderata di grandezze che possono avere segni diversi. Un totale di +0,18 R può combinare sottoinsiemi +0,39 e −0,15 R. Calcoli separatamente i sottoinsiemi che può controllare in modo indipendente. La suddivisione riduce ogni N, ma può anche ridurre ogni s. Ricalcoli s_i/√N_i, consideri la dipendenza e registri se la suddivisione è stata scelta dopo aver esaminato i risultati. Un N minore da solo non garantisce un intervallo più ampio per tutti i sottoinsiemi.

Errore 7: sommare valori attesi senza controllare l'esposizione

Il valore atteso è additivo; la dispersione no. Cinque posizioni con la stessa esposizione valutaria, ciascuna pari all'1% del valore netto corrente del conto (con valore netto di 25.000 PLN: 250 PLN ciascuna), non sono cinque scommesse indipendenti. L'aritmetica è in 9.9.

Errore 8: confondere un'identità con il risultato di un modello

La formula del valore atteso e quella del pareggio sono identità aritmetiche: vere per definizione, senza alcun dato. Il rischio di rovina, la simulazione della distribuzione dei risultati e gli intervalli di confidenza sono risultati di modelli, costruiti su una distribuzione ipotizzata, un'ipotesi di indipendenza e parametri stimati da un campione. Verifichi quali ipotesi del modello scelto siano giustificate per il campione. Non presumiamo che ogni ipotesi sia violata. La direzione dell'effetto della violazione di un'ipotesi dipende dalla distribuzione specifica, dalla dipendenza e dall'evento calcolato. Un titolo che promette certezza può essere posto soltanto sopra il primo gruppo.

10. Esercizio di autovalutazione

Il compito. Calcoli nell'ordine: (1) l'importo di rischio R in PLN; (2) il rapporto rendimento/rischio; (3) il valore atteso lordo e netto, in PLN e in unità di rischio; (4) la percentuale di successo di pareggio senza e con costi e la differenza in punti percentuali; (5) il margine della percentuale di successo sopra la soglia; (6) il valore atteso della somma di 18 operazioni in PLN e come percentuale del valore netto del conto; (7) la deviazione standard di tale somma; (8) l'errore standard del valore atteso netto e il suo intervallo al 95%. Scriva i Suoi risultati prima di leggere la soluzione. Ripeta poi l'intero calcolo con i Suoi numeri del registro.

Soluzione svolta

1. Importo di rischio. R = PLN 25.000 × 0,008 = PLN 200. Qui è uguale alla perdita media S, quindi unità di rischio e perdita media coincidono, semplificando la conversione in R. In generale non devono necessariamente coincidere.

2. Il rapporto rendimento/rischio. RR = Z/S = 480/200 = 2,40, cioè 1:2,4 nella notazione di questo corso.

3. Valore atteso. Lordo:

E_lordo = 0,38 × 480 PLN − 0,62 × 200 PLN = 182,40 − 124,00 = +58,40 PLN

Netto, dopo aver sottratto il costo completo di un'operazione:

E_netto = 58,40 PLN − 26,00 PLN = +32,40 PLN

In unità di rischio, divida per R=200 PLN: lordo 58,40/200=+0,292 R; netto 32,40/200=+0,162 R. Verifica: 0,38×2,40−0,62=0,912−0,620=+0,292 R, che coincide con il risultato monetario lordo. Il costo è 26/200=0,130 R; 0,292−0,130=0,162 R, che coincide con il netto.

4. La percentuale di successo di pareggio. Senza costi:

p*_{senza costi} = 200/(480 + 200) = 0,2941 = 29,41%

Con costi:

p* = (200 + 26)/(480 + 200) = 226/680 = 0,3324 = 33,24%

La differenza: +3,82 punti percentuali. Una verifica: costo diviso per la somma (Z + S), cioè 26/680 = 0,0382: lo stesso numero, che conferma come l'aumento della soglia dipenda soltanto dal costo e dalla somma Z + S.

5. Il margine sopra la soglia. 38,00% - 33,24% = +4,76 punti percentuali. Un cambio di prospettiva: se il costo salisse da 26 PLN a 58 PLN, la soglia salirebbe a 258/680 = 37,94% e il margine scomparirebbe quasi del tutto. Qui la sensibilità del risultato al costo è quindi elevata.

6. Somma attesa di 18 operazioni. 18×PLN 32,40=+PLN 583,20, cioè 583,20/25.000=+2,33% del valore netto corrente del conto. Importo netto, ipotizzando un rischio fisso di 200 PLN per operazione e un costo fisso di 26 PLN. L'additività delle medie non richiede indipendenza; il successivo calcolo semplice della deviazione della somma sì.

7. La deviazione standard della somma. Per una singola operazione (sui valori lordi):

s = √(0,38 × 480² + 0,62 × 200² − 58,40²) = 330,06 PLN

Per la somma di 18 operazioni: 330,06 x √18 = 1.400,34 PLN, cioè 5,60 punti percentuali del valore netto iniziale del conto contro un valore atteso di +2,33%. La dispersione è più del doppio della media: un mese chiuso in perdita rientra nella traiettoria ordinaria con questi parametri e non è di per sé motivo per cambiare qualcosa.

8. Errore standard del valore atteso netto. Con un costo fisso, la deviazione del singolo risultato netto è uguale a quella lorda: sottrarre 26 PLN da ogni operazione sposta la distribuzione senza modificarne la dispersione. SE=330,06/√150=PLN 26,95, cioè 0,135 R. L'intervallo al 95% è 32,40±1,96×26,95: da −20,4 PLN a +85,2 per operazione, oppure da −0,102 a +0,426 R. Comprende zero.

Che cosa non dimostra l'esercizio. La percentuale di successo del 38% proviene da 150 operazioni: SE=√(0,38×0,62/150)=3,96 punti percentuali, con un intervallo approssimativo al 95% del 30,2%–45,8%. Il suo limite inferiore è sotto il pareggio del 33,24%. Il criterio del paragrafo 11 confronta il margine con 1,96 errori standard, il moltiplicatore per la confidenza al 95%, arrotondato a due nel paragrafo 11 e nelle sue tabelle. Qui 1,96×3,96=7,76 punti, contro un margine di 4,76: 4,76/3,96=1,20 errori standard, sotto 1,96. Questo criterio tratta guadagno medio, perdita media e costo come noti, benché provengano dallo stesso campione. L'intervallo del punto 8 al 95% per il valore atteso netto è più completo; comprende anch'esso zero e porta alla stessa conclusione. «Margine +4,76 pp» è una stima puntuale il cui intervallo comprende valori negativi, quindi questo criterio non decide il segno della media nella popolazione. Il margine +4,76 pp stesso resta una stima puntuale positiva. Non risolto non significa negativo; questi dati non distinguono un sistema positivo da uno a media nulla. L'articolo 8.2 spiega come progettare una misurazione capace di farlo.

11. Che cosa deve aver calcolato prima di entrare

Tre numeri, ciascuno con base e unità dichiarate esplicitamente:

1. Il rapporto rendimento/rischio di questa specifica operazione: dalle distanze al livello di invalidazione e all'obiettivo, con la precisazione che è un valore pianificato
2. Il valore atteso del Suo insieme di parametri dopo i costi: calcolato sulle operazioni chiuse, indicato in R e nella moneta del conto, con il numero di operazioni su cui si basa
3. Il margine della percentuale di successo sopra la soglia corretta per i costi, in punti percentuali, accanto all'errore standard della percentuale di successo. Un margine positivo inferiore a circa due errori standard resta una stima positiva. Con un'approssimazione normale al 95% e Z, S e costo noti, l'intervallo comprende la soglia, quindi il criterio non dimostra un valore atteso positivo nella popolazione. L'articolo 8.2 tratta valutazione del vantaggio, verifica e campionamento; qui legge l'incertezza della Sua stima.

La dimensione della posizione che deriva da questi numeri si determina in 9.5; i limiti entro cui deve rientrare, in 9.3.

Il valore atteso descrive una singola operazione mediata su molte ripetizioni. Che cosa fa con una posizione dopo l'apertura modifica tutte e tre le grandezze che alimentano questo calcolo —percentuale di successo, guadagno medio e perdita media— e richiede quindi un calcolo proprio. Se ne occupa l'articolo 9.7: spostamento al pareggio, uscita dinamica e ridimensionamento, ciascuno con la direzione in cui modifica contemporaneamente tutti e tre i parametri.