Correlazione fra coppie, esposizione nascosta e rischio di portafoglio

Tre posizioni con un budget di perdita dell'1% del capitale ciascuna richiedono due calcoli separati. Sul conto illustrativo di 100.000 PLN, la deviazione standard del risultato giornaliero di portafoglio è l'1,53%. Lo scenario di tutte le uscite ai prezzi pianificati dà 3,00%, oppure 3,30% aggiungendo slippage pari al 10% di ciascun importo, prima di commissioni e finanziamento separati. Il primo numero descrive la dispersione intorno alla media; il secondo stanzia il budget per un'esecuzione specificata. Nessuno dei due è la perdita massima possibile. Calcoleremo entrambi, applicheremo i segni delle direzioni delle posizioni e scomporremo l'esposizione per valuta. Verificheremo anche come le finestre di misurazione e l'incertezza della correlazione influenzino le conclusioni e quanta capacità rimanga entro i limiti scritti.

1. I due numeri chiamati «rischio di portafoglio»

La classica formula di portafoglio di Markowitz ¹ descrive la volatilità congiunta modellizzata, non una perdita garantita quando si opera con un'uscita protettiva. La distinzione ritorna nella maggior parte delle discussioni sulla correlazione: per questo si trova all'inizio, non in una nota a piè di pagina.

Il simbolo σ indica la deviazione standard del risultato di una posizione intorno alla sua media, su un orizzonte specificato e nella valuta del conto. R fino all'uscita protettiva descrive invece la perdita a un prezzo di esecuzione specificato. L'attivazione dell'ordine non garantisce quel prezzo né una perdita limitata a R. Sostituire σ con R cambia il significato della formula e può sovrastimare o sottostimare il risultato.

La prima conseguenza riguarda la correlazione negativa. La frase «con una correlazione di −0,91 le posizioni si neutralizzano, quindi il rischio effettivo è lo 0,42% anziché il 2%» è falsa come descrizione della perdita. La volatilità modellizzata del risultato giornaliero scende effettivamente vicino a zero, ma entrambe le uscite protettive possono scattare nella stessa sessione: basta che il cambio si muova prima in una direzione e poi nell'altra, un andamento ordinario di una giornata di pubblicazione di dati, non uno scenario estremo. La somma delle perdite resta allora il 2% più slippage su entrambe le componenti.

La seconda conseguenza riguarda la correlazione positiva. La frase «cinque posizioni all'1% con correlazione +0,85 danno un rischio effettivo del 4,69%» viene letta come «meno del 5%, ho margine». Non c'è margine. Il 4,69% è la deviazione standard del risultato giornaliero assumendo che σ di ogni posizione sia l'1% del capitale; se scattano tutte e cinque le uscite, la perdita è il 5% più lo slippage su ciascuna delle cinque componenti.

Il resto dell'articolo mantiene questa separazione: ogni calcolo dà entrambi i numeri affiancati.

2. La correlazione come misurazione: quattro parametri e una scheda descrittiva

Lo stesso coefficiente richiede lo stesso orologio

Esempio di errore di sincronizzazione: in quattro intervalli successivi, i rendimenti di A sono [1, −1, 1, −1], mentre B risponde un intervallo dopo. Confrontare A con una copia ritardata di un intervallo dà il segno opposto, benché le serie siano identiche dopo il corretto allineamento. Con dati reali, non spostiamo l'orologio per ottenere una correlazione maggiore: definiamo prima della misurazione un fuso orario comune, i confini delle sessioni e una regola per le quotazioni mancanti. I risultati giornalieri di posizioni valutate in orari diversi non formano una matrice coerente.

La correlazione è un numero da −1,00 a +1,00 che descrive quanto due serie si muovano insieme. Il numero da solo, però, non è un dato finché non si sa come è stato calcolato. Cambiare uno qualsiasi dei quattro parametri di misurazione modifica il risultato abbastanza da determinare la conclusione.

• Periodo: da quando a quando, con la data di misurazione
• Frequenza delle osservazioni: dati giornalieri, orari, settimanali
• Trasformazione delle serie: livelli dei prezzi o tassi di rendimento; se rendimenti, semplici o logaritmici
• Numero di osservazioni: perché da esso dipende l'errore di stima

Una correlazione calcolata sui livelli dei prezzi è solitamente alta e praticamente inutile: misura una tendenza comune, non il movimento congiunto dei rendimenti. Due coppie in una tendenza prolungata possono avere una correlazione dei livelli di +0,95 mentre i rendimenti giornalieri sono quasi indipendenti. Per l'aritmetica di portafoglio si usano tassi di rendimento logaritmici ln(C_t/C_t−1) di chiusure rilevate alla stessa ora.

Una scheda descrittiva della correlazione: la stessa coppia, quattro insiemi di parametri

Le schede A e B cambiano sia il periodo sia la frequenza. Tutti i coefficienti sono dati didattici inventati: le date descrivono un progetto di misurazione, non una misurazione effettuata. La differenza di 0,26 non può essere attribuita alla frequenza, a un cambiamento del mercato o al caso senza serie effettive e un confronto appropriato fra campioni. La riga dell'errore standard usa soltanto un'approssimazione per osservazioni normali indipendenti.

La scheda D mostra come confrontare le frequenze mantenendo invariati periodo e trasformazione. Nei dati reali, letture giornaliere e orarie derivano in parte dalle stesse variazioni di prezzo. Le differenze possono riflettere aggregazione, ritardi, quotazioni asincrone o selezione degli orari; le quattro cifre da sole non determinano la causa.

La conseguenza pratica è semplice: se costruisce un portafoglio sulla correlazione giornaliera ma opera in una finestra oraria, calcola il rischio da una grandezza diversa da quella cui è esposto. Misuri sull'orizzonte durante il quale mantiene la posizione.

Quanta parte della lettura è rumore

L'errore standard del coefficiente di correlazione, assumendo una distribuzione normale bivariata e osservazioni indipendenti, è:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

n è il numero di rendimenti. L'approssimazione assume osservazioni indipendenti da una distribuzione normale bivariata. Dipendenza temporale, concentrazione della volatilità e una distribuzione diversa possono modificare l'incertezza; non trasformano questa tabella in una stima inferiore universale. Direzione ed entità dell'errore vanno verificate sui dati. Per piccoli campioni e coefficienti vicini a ±1 è più comoda la trasformazione di Fisher.

Una differenza fra correlazioni su 30 e 90 sessioni può essere un allarme utile, ma una soglia di 0,25 non ha un'interpretazione statistica universale. Per due campioni indipendenti con coefficienti vicini a 0,5, il SE approssimativo della differenza è √(0,142²+0,080²)≈0,163, e il doppio è 0,33. Questo calcolo ausiliario non risolve il confronto fra finestre annidate né giustifica dichiararne la differenza «rumore».

Per finestre annidate, Var(r₁−r₂)=Var(r₁)+Var(r₂)−2Cov(r₁,r₂). Il campione più corto appartiene a quello più lungo, quindi il termine di covarianza generalmente non scompare. La valutazione può usare un modello congiunto o un ricampionamento a blocchi temporali che conservi la sovrapposizione. Senza dati grezzi non diamo qui una soglia esatta; la tabella riguarda due campioni disgiunti di uguale lunghezza.

3. La finestra di misurazione: una scelta, non una costante

Verifica con la trasformazione di Fisher

Esempio di modello: due finestre indipendenti di 29 rendimenti, normalità bivariata, letture di 0,60 e 0,85. La trasformazione z=atanh(r) dà 0,69315 e 1,25615. L'errore della differenza è √(1/26+1/26)=0,27735, quindi la statistica (1,25615−0,69315)/0,27735=2,03. In un test bilaterale approssimativo supera 1,96 (p≈0,042). Mostra perché applicare un solo SE calcolato a ρ=0,5 a letture arbitrarie può cambiare la conclusione. Il risultato non si applica a finestre sovrapposte o a una serie con dipendenza temporale.¹³

La tabella dell'errore standard nel paragrafo precedente mostra solo metà del problema. La lunghezza della finestra controlla in realtà due errori contemporaneamente, che si muovono in direzioni opposte. Una finestra corta ha un grande errore casuale e poco ritardo. Una lunga ha un piccolo errore casuale e molto ritardo. Non esiste una finestra che minimizzi entrambi: la scelta della lunghezza è un compromesso fra errore e ritardo.

Il ritardo di una finestra mobile

La correlazione mobile non è semplicemente la media delle correlazioni dei regimi. Con medie e varianze uguali nei due regimi, la miscela assegna al nuovo regime un peso m/n, quindi il 90% del cambiamento è raggiunto dopo 0,9n osservazioni. Se entrambe le varianze nel nuovo regime sono quattro volte maggiori, il suo peso è 4m/[4m+(n−m)]; raggiunge il 90% con m/n=9/13≈0,692. Cambiamenti delle medie o variazioni diseguali delle scale delle due componenti richiedono il calcolo completo della covarianza della miscela. La tabella seguente illustra solo medie e varianze uguali.

Numero di osservazioni per un limite approssimativo dell'errore

La tabella mostra l'ampiezza approssimativa dell'errore di una differenza fra due letture indipendenti vicine a ρ≈0,5. La condizione 2SEΔ≤Δ dà i seguenti n. Non è il progetto di un test con potenza specificata: pianificare, per esempio, una probabilità dell'80% di rilevare un cambiamento reale richiede anche potenza, livello di significatività e coefficienti sotto le ipotesi.

$$n \geq 1 + \left(\frac{2,121}{\Delta}\right)^2$$

451 riguarda una differenza di 0,10 e un'approssimazione locale a ρ≈0,5. Non dimostra che distinguere 0,60 da 0,70 richieda esattamente 451 osservazioni. Un campione più grande riduce l'incertezza in un processo stabile, ma può mescolare condizioni vecchie e nuove. La scelta della finestra combina quindi precisione, reattività e orizzonte dei risultati misurati.

La procedura di selezione

La decisione si riduce a quattro passaggi, eseguiti una volta e registrati insieme agli altri parametri.

1. Stabilire quale differenza occorre rilevare. Non «voglio sapere qual è la correlazione», ma «voglio sapere se ha superato la soglia alla quale rifiuto una posizione». Se la soglia è 0,70 e le letture tipiche sono intorno a 0,50, allora Δ = 0,20.
2. Confrontare più finestre sugli stessi rendimenti sincronizzati. Una finestra più lunga aiuta a valutare la stabilità della lettura; una più corta mostra le condizioni recenti. Mantenere una posizione per un giorno non esclude 114 rendimenti giornalieri come campione per stimare il rischio di un giorno. Orizzonte del risultato e lunghezza del campione hanno funzioni diverse.
3. Separare la soglia decisionale dall'affermazione di significatività. Un limite di 0,70 può essere una regola prudenziale anche con una finestra corta, purché sia scritta la risposta a una lettura incerta. Un campione corto non trasforma ogni misurazione in una lotteria: richiede di mostrare un intervallo d'incertezza più ampio.
4. Definire una risposta al disaccordo fra finestre. Può ricalcolare una variante con maggiore dipendenza positiva dei risultati, ridurre l'esposizione o rifiutare una posizione. Scriva in anticipo la condizione di attivazione. Le 180 sessioni usate più avanti sono un parametro di una procedura illustrativa, non un minimo imposto dalla statistica.

4. La matrice di correlazione: cosa contiene e cosa no

Perché verifichiamo l'intera matrice

I tre coefficienti ρ₁₂=1, ρ₁₃=0,82 e ρ₂₃=0,74 appartengono ciascuno a [−1,1], ma non possono formare una matrice di correlazione: se due serie standardizzate sono identiche, devono avere la stessa correlazione con la terza. Il più piccolo autovalore di questa matrice è −0,00796. Una variante di stress computazionalmente valida è Cstress=(1−λ)C+λJ, dove ogni elemento di J è uno e 0≤λ≤1. Mescolare matrici semidefinite positive conserva questa proprietà. L'esercizio usa λ=0,5; non è una previsione della dipendenza del mercato.

Una matrice di correlazione è una tabella simmetrica in cui ogni cella dà il coefficiente per una coppia di serie. La diagonale è sempre +1,00. La matrice seguente copre otto coppie, sette principali e un cross (EUR/GBP), ed è calcolata su rendimenti logaritmici giornalieri; i valori sono illustrativi: mostrano relazioni strutturali tipiche, non una lettura da una finestra specifica.

Con quotazioni simultanee e coerenti, EUR/GBP=(EUR/USD)/(GBP/USD) implica esattamente rlog(EUR/GBP)=rlog(EUR/USD)−rlog(GBP/USD). Solo assumendo deviazioni standard uguali per entrambe le componenti si ottiene una correlazione con Z di [ρ(EUR/USD,Z)−ρ(GBP/USD,Z)]/√(2−2ρ). A ρ=0,87 il denominatore è 0,5099 e l'ultima riga arrotondata è +0,25; −0,25; +0,14; +0,20; −0,25; −0,18; −0,24. La matrice è un'illustrazione arrotondata a due decimali. Il più piccolo autovalore è +0,00443, quindi rimane definita positiva; una matrice con una serie cross derivata esattamente sarebbe singolare. Stime separate devono considerare coerenza dei dati e semidefinitezza positiva.

Leggere una matrice richiede due operazioni, non una. Prima si cercano valori assoluti superiori a 0,70: sono i candidati a una relazione forte. Poi si trasferisce il segno in base alle direzioni delle posizioni e si guarda la correlazione dei risultati: se è alta e positiva, le posizioni perdono insieme e vengono trattate come esposizione concentrata con un nozionale aggregato; se è alta e negativa, le componenti si compensano nella volatilità modellizzata, ma ciascuna mantiene il proprio budget di uscita e i propri costi. Acquistare EUR/USD e acquistare GBP/USD a +0,87 è un unico tema macro in due involucri. Acquistare EUR/USD e acquistare USD/CHF a −0,91 dà una correlazione dei risultati di −0,91: un'esposizione parzialmente neutralizzata con due budget di uscita, non diversificazione (il calcolo è nel portafoglio C del paragrafo 11).

5. Esposizione valutaria nascosta: scomporre le posizioni nelle valute componenti

La matrice di correlazione mostra il movimento congiunto, ma non la posizione netta. Ogni coppia contiene due valute: una si compra e l'altra si vende. Con più posizioni quelle valute iniziano a sovrapporsi e compare un'esposizione concentrata sotto vari nomi. La scomposizione nelle valute componenti (esposizione valutaria netta) converte tutte le posizioni aperte in un'esposizione netta per valuta, nella valuta del conto.

La regola del segno

Senza separare i segni, la somma tratta ogni posizione come lunga e, in un portafoglio misto, sbaglia per il valore di ogni componente nella direzione opposta. È l'errore nascosto più comune in questo calcolo.

Il calcolo su tre posizioni

Ipotesi illustrative. Valore netto del conto prima dell'ingresso: 100.000 PLN. R=1.000 PLN per posizione, l'1% di quella base. Converta tutti i nozionali in PLN a un unico insieme comune di tassi ipotetici di valutazione dello stesso istante. Sono valori di modello, senza quotazioni storiche; il registro delle posizioni conserva anche le unità monetarie originarie. Entrambi i lati di ogni transazione hanno uguale nozionale a quella valutazione. Conversione dei contratti: sezione 2 del corso.

1. Acquisto EUR/USD, nozionale di 100.000 PLN
2. Acquisto GBP/USD, nozionale di 120.000 PLN
3. Vendita USD/CHF, nozionale di 90.000 PLN

Il portafoglio ha un'esposizione nozionale USD di −310.000 PLN con un valore netto del conto di 100.000 PLN. Un piccolo aumento dell'1% del valore di USD in PLN, con valori di EUR, GBP e CHF in PLN invariati, ne riduce la valutazione di 3.100 PLN con un'approssimazione lineare. È uno scenario valutario esplicito, non una previsione di tutti i movimenti dei cambi. Costi di chiusura e variazioni dei tassi di conversione richiedono un trattamento separato.

Talvolta si usano i lotti come scorciatoia al posto del nozionale nella valuta del conto. Funziona solo se tutte le posizioni riguardano strumenti con volatilità e valore del pip simili; un lotto di EUR/USD e uno di GBP/JPY non soddisfano questa condizione. La differenza di volatilità fra strumenti è comunque assorbita dall'aritmetica di portafoglio attraverso σ_i, quindi è più semplice contare nella valuta del conto fin dall'inizio.

6. La scomposizione in fattori valutari, svolta fino alla fine

Le tre posizioni del paragrafo precedente davano un risultato ovvio perché avevano tutte il dollaro dallo stesso lato. Con un insieme di cross e posizioni in entrambe le direzioni, il risultato smette di essere ovvio: è allora che si scopre di dover eseguire davvero il calcolo, anziché stimarlo a occhio.

L'insieme da scomporre

Ipotesi (valori illustrativi). Capitale attuale di 100.000 PLN, misurato prima dell'apertura della prima posizione. Rischio per posizione: 0,60% = 600 PLN; cinque posizioni, quindi la somma degli importi a rischio è 3,00% = 3.000 PLN. Il limite di concentrazione è la stessa regola di tutto l'articolo: 3 × il rischio di una posizione singola; il limite è una regola, non un numero: con rischio per posizione dello 0,60% dà l'1,80%, mentre all'1,00% dava il 3,00%.

Passaggio 1: dividere ogni posizione in due valute

La regola del segno del paragrafo precedente, applicata meccanicamente: una posizione lunga dà un segno positivo alla valuta base e negativo alla valuta quotata; una corta fa l'opposto. Il nozionale entra nelle due righe con lo stesso importo.

Passaggio 2: sommare per valuta

Verifica aritmetica: la somma di tutte le posizioni nette deve essere zero, perché ogni posizione contribuisce con lo stesso importo una volta con un più e una volta con un meno. Qui: −90.000 + 70.000 + 70.000 − 70.000 + 30.000 − 10.000 = 0. Se non dà zero, ha invertito un segno o omesso una componente.

Il risultato sorprende, ed è proprio questo il suo maggior valore. La più grande esposizione nozionale netta appartiene al dollaro canadese, una valuta presente esattamente in una delle cinque coppie. Il dollaro statunitense, presente in tre coppie, arriva solo secondo, a pari merito con dollaro australiano e yen, perché le tre posizioni in dollari si compensano in parte: una corta sul dollaro (−80.000) contro due lunghe (+60.000 e +90.000) dà un netto di +70.000. La sterlina, presente in due coppie, ha l'esposizione minore dell'intero insieme: 60.000 corti e 50.000 lunghi si compensano quasi completamente.

Passaggio 3: il rischio concentrato, ossia la seconda tabella

L'esposizione nozionale netta risponde alla domanda sul costo di un movimento di una valuta. Alla domanda sulla perdita risponde una grandezza diversa: la somma degli importi a rischio delle posizioni che perdono quando una determinata valuta si muove in una direzione. Si calcola separatamente per ciascuna delle due direzioni e si prende il valore maggiore come concentrazione.

Il rischio concentrato maggiore è l'1,20% sul dollaro e rientra nel limite dell'1,80%. Osservi che le due tabelle indicano valute dominanti diverse: in termini nozionali prevale il dollaro canadese a −90%, in termini di rischio il dollaro statunitense all'1,20%. Non c'è contraddizione, perché misurano cose diverse. L'esposizione nozionale somma algebricamente gli importi, quindi le posizioni opposte si compensano; il rischio concentrato conta solo quelle che perdono insieme, senza compensazione. Il limite si applica alla seconda tabella.

Passaggio 4: la somma delle perdite

Cinque posizioni da 600 PLN: 3.000 PLN = 3,00% del capitale. Con slippage del 10% dell'importo a rischio su ciascuna componente: 5 × 660 = 3.300 PLN = 3,30% del capitale. Lo stesso numero delle tre posizioni del paragrafo precedente, perché la somma delle perdite dipende dal budget di rischio, non dal numero di posizioni fra cui lo si ripartisce.

7. Esposizione congiunta di tre posizioni, calcolata per intero

Che cosa cambia aggiungendo una posizione

Esempio in PLN, con valore netto del conto di 100.000 PLN: il portafoglio esistente ha σ giornaliera=1.000 PLN, la candidata σ=500 PLN e la correlazione del suo risultato con l'intero portafoglio è −0,80. Dopo l'aggiunta, Var=1.000²+500²+2×(−0,80)×1.000×500=450.000 PLN², quindi σnuova=670,82 PLN. A correlazione 0, la stessa candidata dà 1.118,03 PLN. Una correlazione bassa non garantisce dunque una volatilità minore, mentre una fortemente negativa può produrla. In entrambe le varianti il budget dello scenario di uscita aumenta di R e dei costi della candidata. Quel calcolo è separato dalla variazione della varianza.

Lo stesso portafoglio del paragrafo 5, calcolato fino alla fine. Il calcolo porta avanti entrambi i numeri in parallelo, perché solo affiancati dicono qualcosa di utile.

Dati in ingresso

Passaggio 1: trasferire il segno

Correlazioni delle serie di prezzi dalla matrice del paragrafo 4: EUR/USD e GBP/USD +0,87; EUR/USD e USD/CHF −0,91; GBP/USD e USD/CHF −0,82. Le posizioni 1 e 2 sono lunghe, la posizione 3 è corta, quindi:

Tutte e tre le correlazioni dei risultati sono positive e alte. Un portafoglio che sembra misto sul grafico, due posizioni lunghe e una corta, è in realtà omogeneo.

Passaggio 2: volatilità congiunta modellizzata

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Sostituendo, in percentuale del capitale:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = 1,53% del capitale al giorno = 1.527 PLN

Verifica dell'ordine di grandezza: il risultato deve stare fra la più grande deviazione individuale (0,70%) e la somma delle deviazioni (1,60%, limite a ρ = +1). È così. La metà inferiore della verifica vale solo quando le correlazioni dei risultati sono non negative: con correlazioni negative smette di essere vincolante, come mostra il portafoglio C del paragrafo 11, in cui σ_p = 0,34% è inferiore alla deviazione di una posizione singola. In caso d'indipendenza sarebbe stato √0,90 = 0,95%: la relazione fra posizioni aumenta la volatilità modellizzata del 61%.

Passaggio 3: la somma delle perdite quando le uscite scattano insieme

Questo calcolo è separato e si esegue sommando, non estraendo una radice quadrata.

Tutti gli importi della tabella sono perdite dovute alla differenza fra prezzi effettivi di ingresso e prezzi ipotizzati di uscita; lo spread compreso in quei prezzi non si aggiunge di nuovo. G=10%R è un peggioramento illustrativo dell'esecuzione, non una misurazione o un limite. Con commissioni e finanziamento separati di 20 PLN per posizione, le perdite nette delle tre righe sono 3.060 PLN (3,06%), 3.360 PLN (3,36%) e 4.260 PLN (4,26%) sulla stessa base di 100.000 PLN. La tabella tratta deliberatamente il prezzo di uscita come scenario: uno stop non limita un gap al multiplo specificato. Calcolo dei costi: 9.6; salti maggiori: 9.10.

Passaggio 4: i due numeri affiancati

La volatilità modellizzata è risultata inferiore alla metà della somma delle perdite quando scattano le uscite. Leggere l'1,53% come «il mio rischio» significherebbe pianificare capitale per meno della metà dell'importo che può davvero uscire dal conto in una sola sessione.

Due posizioni a correlazioni diverse

Una correlazione vicina a zero significa assenza di dipendenza lineare in quel campione, non indipendenza o protezione nelle code. Una valuta comune da sola non determina il coefficiente: contano volatilità, periodo e orizzonte di ogni componente. Longin e Solnik studiano i mercati azionari; non stabiliscono correlazioni numeriche fra coppie valutarie.³

Una formula semplificata per N posizioni

Per N = 5, σ = 1,00% e ρ = 0,85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = 4,69% del capitale al giorno. A ρ = 0 sarebbe 1% × √5 = 2,24%; a ρ = +1, 5,00%.

La somma delle perdite quando scattano cinque uscite con rischio dell'1% ciascuna è 5,00% indipendentemente dalla correlazione e, aggiungendo il 10% di slippage a ciascuna componente, 5,50%. Il 4,69% non significa quindi «ho ancora margine fino al 5%»: descrive una grandezza completamente diversa e non limita la perdita in alcuna direzione.

Non si possono nemmeno disporre arbitrariamente correlazioni fortemente negative con cinque posizioni, e non è una decisione dell'autore. Una matrice di correlazione deve essere semidefinita positiva, quindi con correlazione uniforme fra coppie l'espressione N + N(N−1)ρ non può essere negativa; per N = 5 ciò dà il limite ρ ≥ −0,25. Le relazioni negative si limitano a vicenda all'aumentare del numero di strumenti: è una proprietà algebrica della matrice, non una convenzione editoriale.

8. Violazioni congiunte delle soglie e attivazione delle uscite

Di seguito calcoliamo le violazioni congiunte di tre soglie da parte del risultato a fine giornata. Il modello mostra l'importanza della dipendenza, ma non risponde ancora se gli ordini si siano attivati durante il giorno o siano stati eseguiti nello stesso minuto. Servono traiettorie dei prezzi e regole di attivazione ed esecuzione.

Tre elementi lo compongono: un fattore comune, la distanza di uscita espressa in unità di volatilità e la concentrazione del movimento in una finestra temporale. I primi due si possono calcolare direttamente sul portafoglio del paragrafo 7.

Passaggio 1: un fattore riproduce l'intera matrice

La matrice del paragrafo 7 si può riprodurre con Xi=aiF+√(1−ai²)εi, dove F e i tre εi sono variabili normali standard indipendenti. Allora Corr(Xi,Xj)=aiaj. Calcoliamo i carichi per i tre coefficienti positivi. Questa scomposizione algebrica non identifica F con il cambio del dollaro; è una possibile costruzione statistica.

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Verifica: b×c=0,885413×0,926122=0,820000. Ogni carico è in [−1,1], quindi le varianze delle componenti idiosincratiche sono non negative. Il modello riproduce esattamente le tre correlazioni conservando una componente idiosincratica in ogni posizione. Non prova che tutto il risultato effettivo derivi da un'unica valuta.

Passaggio 2: la distanza di uscita in unità di volatilità

L'importo a rischio e la deviazione standard della posizione producono fra loro una terza grandezza: a quante deviazioni standard giornaliere dall'ingresso si trova l'uscita protettiva. La chiamiamo k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

A parità di R, R/σ è minore per la seconda posizione. All'interno dello stesso modello a media zero, il suo risultato terminale viola la soglia più spesso. Valutare la frequenza effettiva delle uscite richiede inoltre la traiettoria dei prezzi, il tempo di esposizione e i costi.

Passaggio 3: la soglia per il fattore comune

Omettendo temporaneamente εi, un movimento avverso del fattore comune di z deviazioni standard dà un risultato di ai×z deviazioni standard della posizione. La soglia della componente comune è z≥ki/ai. Una volta reinserite le componenti idiosincratiche, questa condizione da sola non è necessaria né sufficiente affinché il risultato totale violi la soglia.

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Le soglie della componente comune sono 1,61, 2,04 e 2,70. La coda normale unilaterale oltre la maggiore è circa lo 0,35%, ma i risultati totali contengono εi. Integrando il modello si ottiene una 0,5216% probabilità che tutti e tre i risultati di fine giornata scendano sotto −Ri. Questa resta distinta dalla probabilità di tre attivazioni intragiornaliere degli ordini.

Passaggio 4: lo stesso su un anno e il confronto con l'indipendenza

Con l'ulteriore ipotesi di 250 giorni indipendenti con distribuzione invariata, la probabilità di almeno una violazione congiunta alla chiusura è 1−(1−0,005216064)²⁵⁰=72,95%. Descrive un'esposizione mantenuta ipoteticamente, non un portafoglio ridotto dopo stop successivi.

Per tre risultati terminali normali indipendenti con le stesse soglie, le code sono Φ(−2)=2,275%, Φ(−1/0,7)=7,656% e Φ(−2,5)=0,621%. Il loro prodotto è 0,0010816%, e la probabilità di almeno una violazione in 250 giorni indipendenti è circa 0,270%. Si confrontano due modelli di risultati terminali.

In questo esempio il fattore comune aumenta di circa 482 volte la probabilità di violazione terminale rispetto all'indipendenza. Il calcolo giustifica la verifica della dipendenza, ma non determina la probabilità di realizzare l'intero budget degli stop. Come controllo: in un modello browniano continuo senza deriva, una singola barriera a −2σ è toccata prima di fine giornata con probabilità 2Φ(−2)=4,55%, mentre il risultato terminale è sotto la barriera con probabilità 2,275%. La traiettoria può tornare sopra la barriera; un mercato con gap richiede ulteriori ipotesi.

Passaggio 5: cosa succede con distanze di uscita identiche in unità di volatilità

Molti lettori collocano le uscite protettive a un multiplo fisso della volatilità dello strumento, per esempio tutte a 2,00 deviazioni giornaliere. Con questa impostazione, le soglie del fattore comune smettono di essere così distanti:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

Impostando tutti i ki=2, lo stesso modello terminale dà 0,8601% di violazioni congiunte e, su 250 giorni indipendenti, una probabilità del 88,46% che se ne verifichi almeno una. La coda dell'1,19% oltre la soglia del fattore comune non sostituisce quell'integrale: omette le componenti idiosincratiche.

Il confronto cambia due barriere specifiche: k₂ sale da 1,43 a 2 e k₃ scende da 2,5 a 2. Il risultato congiunto del modello aumenta, ma uniformare le soglie non ha sempre questo effetto. Ricalcoli nuove soglie e nozionali: «distanze uguali in unità di volatilità» da sole non risolvono la questione del rischio.

9. Correlazione sotto stress: ciò che questo calcolo non copre

La correlazione non è obbligata a rimanere dove si trovava nel test storico. Costruire il rischio di portafoglio sulla correlazione storica significa basarsi su un'ipotesi di continuità, e il mercato non garantisce continuità.

Sotto stress, la dipendenza può stringersi, indebolirsi o cambiare segno. A scale σ positive e fisse, un aumento della correlazione positiva dei risultati aumenta la varianza della loro somma; una variazione della correlazione dei prezzi richiede comunque di applicare i segni delle posizioni. In un portafoglio con direzioni opposte, lo stesso cambiamento di un coefficiente dei prezzi può agire diversamente.

Una brusca restrizione del finanziamento e la chiusura di esposizioni simili possono rafforzare i movimenti comuni dei prezzi. Brunnermeier, Nagel e Pedersen descrivono questo legame per posizioni valutarie basate sui differenziali dei tassi d'interesse.⁵ È un meccanismo economico per un possibile cambiamento della distribuzione, non un tipo separato di correlazione né la prova che un qualsiasi coefficiente debba salire.

I rapporti BRI sulla sterlina nel 2016 e RBA sullo yen nel 2019 documentano movimenti rapidi, scarsa liquidità e problemi di esecuzione.⁶⁷ Il comunicato BNS conferma il cambio di regime EUR/CHF del 2015.⁸ Queste fonti non stabiliscono coefficienti per il nostro portafoglio né provano che ogni correlazione precedente all'evento fosse del tutto inutile. Livelli, orari e limiti d'interpretazione sono discussi in 9.10.

Movimento correlato ed esecuzione peggiore possono verificarsi insieme. Lo slippage del 10%R della tabella è quindi solo un parametro di scenario; non abbiamo basi per definirlo universalmente ottimistico o rappresentativo. Pianificare il budget richiede perdite ai prezzi effettivi, commissioni e finanziamento; la frequenza dello scenario richiede un modello congiunto delle traiettorie dei prezzi.

10. Quanto di questo calcolo resiste allo stress: i numeri

Il paragrafo precedente ha descritto il fenomeno. Ora calcoliamolo, perché solo l'aritmetica mostra quale parte della tesi diffusa sulla correlazione in crisi sia vera e quale sposti l'attenzione sulla grandezza sbagliata.

La variante di stress seguente separa due cambiamenti ipotizzati: un aumento delle correlazioni positive dei risultati e uno delle deviazioni standard. Non affermiamo che avvengano in ogni crisi. Li calcoliamo separatamente per il portafoglio del paragrafo 7 e il portafoglio diversificato B del paragrafo 11.

Il portafoglio concentrato

Le tre posizioni del paragrafo 7: σ = 0,50% / 0,70% / 0,40%, correlazioni dei risultati +0,87 / +0,91 / +0,82, importo a rischio 1,00% per posizione, capitale 100.000 PLN. La variante di stress, con valori illustrativi, assume che tutte e tre le correlazioni salgano a 0,97 e tutte le deviazioni standard raddoppino.

La variante con il solo aumento delle correlazioni. La somma dei quadrati è invariata: 0,90. Il termine incrociato: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = 1,58%.

La variante con la sola volatilità raddoppiata. La formula è omogenea di grado uno in σ, quindi raddoppiare tutte le deviazioni raddoppia esattamente il risultato: σ_p = 2 × 1,53% = 3,05%.

La variante con entrambi i cambiamenti. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Somma dei quadrati: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Termine incrociato: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = 3,17%.

Il portafoglio diversificato

Portafoglio B del paragrafo 11: tre posizioni con σ = 0,80% ciascuna e correlazioni dei risultati +0,35 / +0,20 / +0,10, la cui somma è 0,65. Valore iniziale: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 1,66%.

Con tutte e tre le correlazioni aumentate a 0,97, la somma diventa 2,91, quindi σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = 2,38%. Con volatilità raddoppiata e correlazioni invariate: 2 × 1,66% = 3,32%. Con entrambi i cambiamenti: 1,60% × 2,9698 = 4,75%.

Il confronto

Dal confronto seguono tre cose, nessuna ovvia prima del calcolo.

Primo: per un portafoglio già concentrato, l'aumento delle correlazioni è un effetto di secondo ordine. Aumenta la volatilità modellizzata del 3,7%, mentre l'aumento della volatilità stessa la aumenta del 100%. Un portafoglio con correlazioni dell'ordine di 0,9 non ha più nulla da perdere dal loro passaggio a 0,97: lo ha perso prima, al momento della costruzione.

Secondo: per il portafoglio diversificato l'aumento costa il 43,2%, cioè oltre undici volte quanto costa a quello concentrato. Sotto stress scompare circa il 97% del beneficio che la diversificazione dava alla volatilità modellizzata: il vantaggio rispetto alla somma delle deviazioni (2,40%) si scioglie da 0,74 punti percentuali nelle condizioni iniziali a 0,02 punti con correlazioni di 0,97.

L'ultima colonna rimane costante perché assumiamo gli stessi R e lo stesso moltiplicatore di esecuzione. σ e dipendenza maggiori possono tuttavia cambiare la frequenza e la concomitanza delle perdite anche se l'importo dello scenario condizionato del 3,30% non cambia. Un'esecuzione peggiore ne aumenta l'importo, ma non è l'unico canale attraverso cui lo stress influisce sul rischio del conto.

Dove ottenere una correlazione di stress

Esistono due strade oneste ed entrambe hanno un difetto da dichiarare.

Misurazione condizionata. La dipendenza si può misurare su sessioni di stress selezionate esplicitamente, per esempio in base all'alta volatilità. La selezione del campione cambia la distribuzione esaminata. Forbes e Rigobon mostrano una correlazione crescente con la varianza dello shock comune sotto un particolare modello;² ciò non dimostra che ogni filtro di volatilità distorca verso l'alto qualsiasi correlazione. Indichi criterio di selezione, N e metodo; un sottocampione piccolo richiede generalmente un ampio intervallo d'incertezza.

Seconda strada: sostituire ρ = +1 come limite aritmetico. Il vantaggio: non richiede alcuna stima e dà il valore massimo generabile dalla formula, ossia la somma delle deviazioni: per il portafoglio concentrato, 0,50% + 0,70% + 0,40% = 1,60% nelle condizioni iniziali e 3,20% con volatilità raddoppiata. Il difetto: non descrive il mercato, ma un limite superiore del modello. Alcune relazioni si interrompono sotto stress e altre cambiano segno, quindi ρ = +1 non è una previsione. È il numero oltre cui questa formula non arriva, e non dice nulla su ciò che avviene al di là.

Le misure di volatilità possono essere limiti separati del modello se significati e ipotesi sono espliciti. Il budget dello scenario di uscita non dipende direttamente dalla correlazione stimata, ma dipende da prezzi di esecuzione, costi e composizione del portafoglio. Il controllo pratico può usare entrambi i tipi di limite.

11. Tre portafogli calcolati con lo stesso metodo

Tre composizioni, lo stesso capitale attuale di 100.000 PLN e lo stesso rischio dell'1,00% (1.000 PLN) per posizione. Per confrontare le composizioni fra loro, ogni posizione ha qui una deviazione standard identica σ = 0,80% del capitale al giorno: una semplificazione adottata per il confronto, necessaria al funzionamento della formula di correlazione uniforme fra coppie. Nel paragrafo 7 gli stessi strumenti avevano σ diverse (0,50%, 0,70% e 0,40%) perché differivano sia per nozionale sia per volatilità giornaliera dello strumento; nel proprio calcolo σ si misura separatamente per ogni posizione. Tutti i valori sono illustrativi. A ogni portafoglio spettano entrambi i numeri.

Portafoglio A: cinque posizioni, un'esposizione

La correlazione media dei risultati fra coppie, calcolata dalla matrice del paragrafo 4 dopo aver trasferito i segni per tutte e dieci le coppie, (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10, è +0,6020. Volatilità modellizzata: 0,80% × √(5 + 20 × 0,6020) = 0,80% × √17,04 = 3,30% del capitale al giorno. Somma delle perdite quando scattano cinque uscite: 5 × 1.000 = 5.000 PLN = 5,00%; con slippage del 10% per componente, 5,50% = 5.500 PLN. Rischio concentrato sul dollaro: 5,00%, cioè 5 × il rischio di una posizione singola, contro il limite adottato di 3 ×. Il portafoglio supera il limite di due posizioni, benché ciascuna rispetti individualmente la regola «1% per operazione».

Portafoglio B: tre fattori

La somma delle correlazioni fra coppie è 0,65, quindi la volatilità modellizzata è 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 0,80% × 2,0736 = 1,66% del capitale al giorno. Somma delle perdite quando scattano tre uscite: 3,00%; con slippage, 3,30% = 3.300 PLN.

L'euro compare sui lati opposti di due posizioni. L'esposizione netta zero richiede però nozionali EUR uguali, non importi R uguali. Questa variante assume lo stesso nozionale EUR valutato 100.000 PLN per entrambe le componenti in un unico istante comune; AUD/JPY ha un nozionale di 80.000 PLN. Allora EUR netto=0 e le esposizioni residue sono USD−100.000, GBP+100.000, AUD+80.000 e JPY−80.000 PLN. Il budget degli stop concentrato in una direzione non supera 1.000 PLN. Il calo delle perdite sommate dal 5,50% al 3,30% deriva da meno budget R uguali; il cambiamento di σ deriva da scale e dipendenza.

Portafoglio C: due posizioni con esposizioni opposte

Acquisto EUR/USD e acquisto USD/CHF, ciascuno con rischio dell'1,00%. Correlazione dei prezzi −0,91, entrambe le posizioni lunghe, quindi anche la correlazione dei risultati è −0,91.

Volatilità modellizzata: 0,80% × √(2 + 2 × (−0,91)) = 0,80% × √0,18 = 0,34% del capitale al giorno. Somma delle perdite quando scattano entrambe le uscite: 2,00%; con slippage, 2,20% = 2.200 PLN.

I nozionali USD si compensano esattamente solo se corrispondono. A EUR/USD=1,10 e USD/CHF=0,90 illustrativi, una posizione lunga di 100.000 EUR vende 110.000 USD. La seconda deve comprare precisamente 110.000 USD e vendere 99.000 CHF. Restano +100.000 EUR e −99.000 CHF, equivalenti a un acquisto EUR/CHF a 0,99. Un nozionale diverso della seconda componente lascia esposizione USD. Due strumenti hanno due specifiche dei costi; gli oneri totali possono essere maggiori, ma il numero di posizioni da solo non dimostra costi raddoppiati in PLN.

La colonna della volatilità modellizzata e quella della somma delle perdite seguono lo stesso ordine, ma su scale del tutto diverse. Il portafoglio C ha una volatilità modellizzata quasi dieci volte inferiore al portafoglio A (0,34% contro 3,30%) e una somma delle perdite solo due volte e mezzo inferiore (2,20% contro 5,50%).

12. Numero di posizioni e limite della diversificazione

La domanda «quante posizioni posso avere contemporaneamente» ritorna in ogni conversazione sui portafogli e riceve quasi sempre un numero senza aritmetica a sostegno. L'aritmetica esiste e risponde in due parti, perché la domanda nasconde due situazioni diverse.

Due modi di aggiungere una posizione

Prima variante: aggiungere rischio. Ogni nuova posizione ha il proprio importo a rischio e σ, e il budget cresce con essa. La somma dei budget positivi di uscita aumenta del nuovo R. La varianza del modello cambia invece di σn²+2Cov(P,Xn), dove P è il risultato del portafoglio esistente. Con covarianza abbastanza negativa può diminuire nonostante più componenti. Lo calcoli separatamente dall'aumento di R totale.

Seconda variante: dividere lo stesso budget. Ha una somma fissa delle deviazioni da ripartire su N posizioni, quindi ciascuna riceve σ = σ_B/N. Dividere la somma delle deviazioni non determina però gli importi a rischio: ΣR è un budget separato e una decisione separata. Il paragrafo adotta quindi esplicitamente entrambe le divisioni insieme: σ_i = σ_B/N e R_i = R_B/N, perché solo così il confronto fra N diversi riguarda la stessa scommessa. È la domanda appropriata sulla diversificazione e l'unica con una risposta sensata. Con σ uniforme per posizione e correlazione ρ uniforme fra coppie:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

L'ultima espressione è la chiave dell'intero paragrafo, perché quando N tende all'infinito converge a σ_B × √ρ. Con correlazione positiva esiste dunque un livello minimo sotto cui la volatilità modellizzata del portafoglio non scenderà, per quante posizioni vi siano; ed è tanto più alto quanto maggiore è la correlazione.

Tabella: cosa offre la posizione successiva

La riga ρ = 0,75 si legge così: passare da due a venti posizioni abbassa la volatilità modellizzata dall'1,871% all'1,746%, cioè di 0,124 punti percentuali. Diciotto posizioni aggiuntive, ciascuna con spread, commissione e rischio di esecuzione propri, comprano un ottavo di punto percentuale. Il limite verso cui si procede è l'1,732%, cioè il 93% del valore che il portafoglio ha già con due posizioni. L'intero beneficio possibile della dispersione su qualsiasi numero di strumenti, contando da due posizioni, a questa correlazione è 0,139 punti percentuali.

Dove il beneficio aggiuntivo smette di contare

Calcoliamo quale frazione dell'intero beneficio possibile della diversificazione sia già raggiunta a un dato N. Il beneficio totale è la differenza fra una posizione (2,00%) e il limite; quello raggiunto è la differenza fra una posizione e il valore a N.

Il risultato è sorprendentemente stabile rispetto alla correlazione: con cinque posizioni si ha già circa tre quarti di tutto ciò che la diversificazione può dare, e con dieci circa nove decimi. Il resto è diviso fra la posizione undici e quelle successive; ciascuna costa un insieme completo di spread e commissione e aggiunge una componente al rischio di esecuzione. Non è una raccomandazione di «avere cinque posizioni», ma un'indicazione di dove l'argomento della diversificazione smette di funzionare e rimane solo quello dei costi.

Il limite inferiore della correlazione con N posizioni

Il limite di −0,25 per cinque posizioni, citato senza derivazione nel paragrafo 7, è un caso speciale di una condizione generale. Con correlazione uniforme fra coppie, l'espressione sotto la radice non può essere negativa, da cui:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

La condizione ρ≥−1/(N−1) limita la correlazione uniforme più bassa possibile. A scale uguali vale anche per la media di tutte le correlazioni, perché la varianza della somma non può essere negativa. Non richiede che la media effettiva si avvicini a zero aggiungendo posizioni: può rimanere alta e positiva. Periodi incoerenti o eliminare i dati mancanti a coppie possono creare una matrice che viola la semidefinitezza positiva.

La coda che non si riduce con N

La somma delle perdite quando scattano tutte le uscite non compare neanche una volta nelle tabelle sopra, e non è una svista: con la seconda ipotesi adottata, una somma fissa degli importi a rischio ΣR = R_B ripartita in parti uguali, è la stessa per due posizioni e per venti. Non deriva dalla sola divisione di σ_B; è un'ipotesi separata, adottata esplicitamente sopra. Lo slippage calcolato come frazione fissa dell'importo a rischio si somma allora a g × R_B e non cambia a sua volta.

A cambiare è altro: il numero di componenti esposte a un'esecuzione atipica in un singolo evento. Assuma che in una sessione con un evento la probabilità di esecuzione atipica su una singola componente sia il 5% (valore illustrativo).

La colonna del 5% assume un indicatore di evento perfettamente condiviso: con probabilità 0,05 ogni componente ha un'esecuzione insolita; altrimenti nessuna. Per cinque indicatori indipendenti, il prodotto è 0,05⁵=0,00003125%, dando un rapporto di 160.000. Un fattore comune da solo non stabilisce questa cifra. Con ΣR fisso, i costi proporzionali a R rimangono fissi; più ordini possono aumentare le commissioni minime e gli scenari di esecuzione vanno calcolati separatamente per ogni livello.

Confrontando con la tabella precedente: a ρ = 0,75 passare da cinque a dieci posizioni abbassa la volatilità modellizzata dall'1,789% all'1,761%, cioè di 0,028 punti percentuali, e contemporaneamente raddoppia il numero di ordini che possono ricevere un prezzo di esecuzione peggiore in un solo evento. La decisione sulla posizione successiva dipende quindi insieme dalla riduzione marginale di σ_p e dal costo di esecuzione, non da un numero da memorizzare.

13. I limiti della diversificazione sul mercato valutario

Nel mercato azionario la diversificazione poggia sul numero di strumenti, diverse migliaia. Sul mercato valutario otto valute principali danno 28 coppie, ma tutte sono combinazioni delle stesse otto componenti, e la maggior parte degli scambi passa dal dollaro¹². Il fattore comune è quindi incorporato nella costruzione del mercato, non nella selezione degli strumenti.

Aggiungere una posizione poco correlata può ridurre la volatilità rispetto a una posizione alternativa di uguale scala, ma non necessariamente abbassa σ del portafoglio esistente. Il termine decisivo è σnuova²+2Cov(portafoglio,nuova). Ogni nuovo R positivo aumenta il budget sommato dello scenario di uscita mantenendo fisse tutte le altre grandezze.

La colonna del rischio concentrato si legge meccanicamente: conta quante posizioni perdono quando la stessa valuta si muove nella stessa direzione, non quante posizioni ci sono nel portafoglio. Nella prima composizione quattro posizioni hanno il dollaro dallo stesso lato, quindi la concentrazione è 4 × il rischio per posizione. Nella seconda l'euro compare in due coppie dallo stesso lato, quindi 2 ×, benché vi siano tre posizioni con tre nomi diversi. Nella terza nessuna valuta si ripete: tre coppie sono ripartite fra sei valute diverse, quindi la concentrazione scende a 1 × il rischio per posizione, il minimo raggiungibile con qualsiasi numero di posizioni. Questa colonna non premia quindi una dispersione di nomi, ma l'assenza di valute ripetute.

La terza composizione richiede una correzione spesso omessa nei materiali sulla diversificazione. Non elimina il dollaro come denominatore comune, perché USD/CAD ha USD come valuta base: una delle tre posizioni risponde ancora direttamente a USD stesso. Un insieme senza coppie USD, come EUR/GBP, AUD/NZD e CAD/CHF, elimina le componenti dirette in dollari. È possibile neutralizzare i nozionali netti USD con segno anche in un portafoglio contenente coppie col dollaro, usando valutazioni coerenti e volumi adatti. Nessuna costruzione elimina da sola l'influenza indiretta di USD o i fattori macro comuni. I cross possono condividere altri fattori: durante una forte avversione al rischio, entrambe le componenti di valute legate alle materie prime possono perdere contro quelle considerate rifugio. Il meccanismo appartiene alla sezione 7 del corso; qui conta la conseguenza contabile: la correlazione in una finestra tranquilla non determina la dipendenza nella finestra di stress. Misuri direzione ed entità della differenza per le serie specificate, poi tenga conto dei segni delle posizioni.

La conclusione operativa utile del paragrafo è breve. Scegliere coppie guidate da fattori diversi può ridurre la dispersione del risultato giornaliero o la perdita congiunta in uno scenario scelto. Lo verifichi con scale, segni e dipendenza del portafoglio specifico; una lista di simboli diversi da sola non dimostra un beneficio. Questo non giustifica più posizioni: il limite si applica ancora alla somma delle perdite.

14. Un portafoglio di regole: più insiemi di regole contemporaneamente

Tutto quanto precede riguarda un portafoglio di coppie. La stessa esposizione nascosta compare un livello sopra quando si applicano più regole d'ingresso simultaneamente. Ognuna ha parametri e storia propri, ma l'aritmetica del rischio non si può svolgere separatamente per ciascuna: le posizioni arrivano su un conto, bloccano un unico insieme di margine e sono soggette a una sola chiusura forzata.

Ci sono tre questioni da risolvere e tutte vengono registrate in anticipo.

Un limite condiviso

Il budget di rischio è unico e appartiene al conto, non alla regola. Si definisce come la somma degli importi a rischio di tutte le posizioni aperte nello stesso momento, indipendentemente dalla regola che le ha aperte: la stessa grandezza calcolata nel passaggio 3 del paragrafo 7. Una regola che «ha il proprio 3%» aumenta in pratica il budget del conto del suo 3%, anziché condividerlo.

Dividere il budget fra le regole

Ipotesi (valori illustrativi). Capitale attuale 100.000 PLN. Budget di rischio del portafoglio: 4,00% = 4.000 PLN. Diviso a metà fra due regole: R1, 2,00% = 2.000 PLN; R2, 2,00% = 2.000 PLN. Rischio per singola posizione in entrambe: 1,00% = 1.000 PLN, quindi ciascuna regola può avere al massimo due posizioni contemporaneamente. Limite del rischio concentrato in una valuta: 3 × rischio per posizione = 3,00% = 3.000 PLN.

Il quarto passaggio mostra a cosa serve il limite. Il segnale è rifiutato benché lo consentano sia il budget della regola R2 sia quello dell'intero portafoglio: è vincolante il limite di concentrazione valutaria, perché tutte e quattro le posizioni perdono quando il dollaro si rafforza. Senza quel limite, R1 e R2 avrebbero costruito insieme un'unica scommessa sul dollaro del 4,00%, ciascuna rispettando pienamente le proprie regole.

Lo stato finale è di tre posizioni all'1,00%, esattamente il portafoglio calcolato nel paragrafo 7: volatilità modellizzata dell'1,53% del capitale al giorno, somma delle perdite quando scattano tutte le uscite 3,00% e, aggiungendo slippage senza gap, 3,30% = 3.300 PLN. L'1,00% libero del budget R2 rimane libero finché una posizione in dollari non si chiude o compare un segnale su un altro fattore.

Due segnali contemporanei su strumenti collegati

Il caso più difficile: entrambe le regole danno un segnale nello stesso momento, su strumenti che, scomposti nelle valute componenti, puntano nella stessa direzione. Esempio: R1 segnala acquisto GBP/USD, R2 segnala vendita EUR/GBP. I nomi sono diversi, ma vendere EUR/GBP è una posizione lunga sulla sterlina: entrambi i segnali aumentano la stessa cosa.

Assuma che la concentrazione sulla sterlina sia già il 2,00% (due posizioni precedenti all'1,00% con la sterlina dallo stesso lato) e il limite sia il 3,00%. Spazio libero: 1,00%. Due segnali all'1,00% insieme danno il 2,00% e superano il limite.

Dividere un budget in due metà dà σ non superiore a quella di una posizione intera solo con rapporti σ/R uguali per entrambe le candidate e la stessa base. Allora σmetà=σintera√[(1+ρ)/2]. Due ordini possono generare commissioni minime, ma una tariffa proporzionale al nozionale non deve necessariamente raddoppiare. La variante senza una regola per i conflitti aumenta R dal 3% al 4% e lo scenario di slippage dal 3,3% al 4,4%.

15. Una tabella decisionale per rifiutare una posizione

Il limite giornaliero ha capacità residua

Esempio: valore netto del conto a inizio giornata 100.000 PLN, limite di perdita giornaliera 3.500 PLN, perdite nette già chiuse 400 PLN. La capacità residua è 3.100 PLN. Se R attuale=2.500 PLN e si assume un'esecuzione aggiuntiva comune del 10%R, allora (2.500+Rn)×1,10≤3.100, quindi Rn≤318,18 PLN. Ignorare le perdite precedenti consentirebbe 681,82 PLN. Se le perdite aperte contengono già il movimento dall'ingresso al prezzo attuale, calcoli solo l'ulteriore perdita dal valore netto attuale del conto allo scenario di uscita; altrimenti la stessa perdita è sottratta due volte.

Il paragrafo precedente mostrava un caso di rifiuto di un segnale, il quarto passaggio, in cui il limite di concentrazione era vincolante prima del budget. Generalizziamolo in un insieme di test con condizioni numeriche, affinché la decisione non richieda una valutazione della situazione.

I test si eseguono in ordine, prima dell'apertura, su grandezze calcolate dopo l'aggiunta ipotetica della posizione. Ogni test ha non solo una risposta sì/no, ma anche uno spazio libero: l'importo a rischio che rientra ancora. Lo spazio libero conta più della risposta stessa perché determina se la posizione può essere ammessa con dimensione ridotta.

Quale test diventa vincolante: i numeri

Stato iniziale. Capitale attuale 100.000 PLN. Tre posizioni aperte dal paragrafo 7 con rischio dell'1,00% ciascuna, tutte corte sul dollaro, quindi ΣR = 3,00% = 3.000 PLN e rischio concentrato sul dollaro S_USD = 3,00%. Budget del portafoglio B = 4,00%. Drawdown giornaliero accettabile DD = 3,50%, valore illustrativo; origine e base del limite giornaliero sono stabilite in 9.3, e la misurazione del drawdown nelle due definizioni, con la condizione di arresto, in 9.8. Slippage g = 10%. Limite di concentrazione: 3 × R = 3 × 1,00% = 3,00%.

La candidata. Acquisto AUD/USD, rischio R_n = 1,00% = 1.000 PLN. La correlazione dei risultati con la prima posizione è +0,72: entrambe le posizioni sono lunghe, quindi il segno della matrice del paragrafo 4 rimane invariato. Anche la candidata è corta sul dollaro, come tutte e tre le posizioni aperte. Prima del calcolo occorre una riserva: la lettura +0,72 viene da una finestra di 90 sessioni, cioè da 89 osservazioni di rendimenti, e pertanto non soddisfa la condizione della finestra stabilita in T3. L'articolo non contiene una lettura da una finestra così lunga e aggiungerla significherebbe inventare un dato; quindi T3 opera sotto come illustrazione della procedura, non come test superato: nei termini del paragrafo 3 è un allarme, non una misurazione decisiva. Non cambia l'esito del calcolo: T2 rifiuta la candidata con spazio libero zero, qualunque sia la correlazione.

La candidata non rientra nel limite di concentrazione USD: la capacità residua è zero. Indipendentemente, T4 lascia 181,82 PLN di R aggiuntivo. Stabilire se l'importo sia eseguibile richiede prezzo d'ingresso, distanza di uscita, costi, volume minimo e incremento di volume. Senza questi dati non possiamo determinare se la posizione sia troppo piccola; qui il test di concentrazione la rifiuta già.

Vale la pena soffermarsi su T1: il budget del portafoglio è stato rispettato. Se fosse stato l'unico test, la quarta posizione sarebbe entrata senza ostacoli e il portafoglio avrebbe avuto il 4,00% di rischio concentrato su una valuta e una somma delle perdite del 4,40% contro un drawdown accettabile del 3,50%. Un budget di rischio non basta come unica regola del portafoglio: è il più debole dei quattro test, perché non sa nulla delle relazioni fra posizioni.

16. Cinque errori nell'aritmetica di portafoglio

Errore 1: leggere il risultato della formula di portafoglio come importo di perdita

Il più grave e comune. Il risultato σ_p = 4,69% per cinque posizioni all'1% di rischio ciascuna è talvolta descritto come «rischio effettivo del 4,69%, quindi meno del 5%: ho margine». Non c'è margine: il 4,69% è la deviazione standard del risultato giornaliero a σ = 1% per posizione, e la somma delle perdite quando scattano cinque uscite è 5,00% più slippage su ciascuna componente. Il test diagnostico è una frase: se la grandezza sostituita a σ è l'importo al quale chiude la posizione, ha sostituito la grandezza sbagliata.

Errore 2: un portafoglio costruito soltanto con coppie col dollaro

Quattro posizioni XXX/USD nella stessa direzione condividono un'esposizione corta al dollaro. Le altre valute e le scale dei risultati possono differire, quindi non sono letteralmente una sola posizione. Il ruolo del dollaro negli scambi è documentato,¹² ma non dimostra una correlazione specifica per ogni coppia. Il limite di concentrazione e il calcolo della dipendenza si completano.

Errore 3: affidarsi a una correlazione precedente a un cambio di regime

La lettura precedente all'evento descrive quel campione. Una variazione della varianza dello shock comune può aumentare la correlazione senza cambiare i parametri della relazione fra strumenti, come discutono Forbes e Rigobon.² Un'altra struttura degli shock può dare una direzione diversa. Verifichi periodo, scale e criterio di selezione prima di chiamare un salto del coefficiente cambiamento della dipendenza.

Errore 4: trattare una correlazione negativa come copertura

Con correlazione dei risultati −0,91, la volatilità del modello di due posizioni scende allo 0,34% (portafoglio C del paragrafo 11), talvolta descritto come «rischio effettivo dello 0,34% anziché del 2%». Questo mescola due grandezze. La dispersione del risultato giornaliero scende davvero; la perdita sommata se avvengono entrambe le uscite rimane invariata, al 2,00% più slippage. Entrambe le componenti generano costi separati; la somma non è necessariamente il doppio del costo di una componente, perché contano volumi e specifiche. A parità di risultati lordi, un costo aggiuntivo positivo abbassa il valore atteso netto. In questo specifico portafoglio C, la deviazione standard scende allo 0,34%; in generale aggiungere una posizione opposta riduce la varianza solo se σn²+2Cov(P,Xn)<0. I due budget di uscita restano uno scenario separato.

Errore 5: nessun limite per valuta e confondere correlazione e causalità

Entrambe le abitudini portano allo stesso punto. Senza limite di concentrazione, sei posizioni «all'1%» danno una scommessa del 6%: ciascuna conforme alla regola singolarmente, tutte insieme no. La seconda abitudine è aggiungere una posizione perché «se EUR/USD è salito, salirà anche GBP/USD, perché la correlazione è +0,87». Il coefficiente descrive un fattore comune, non una sequenza: entrambe le coppie reagiscono al cambio del dollaro, ma la sterlina ha fattori propri che proprio oggi possono separare la relazione. Un limite di concentrazione chiude entrambe le abitudini perché non chiede una giustificazione: chiede un numero.

17. Esercizio di autoverifica

Il portafoglio è diverso da tutti quelli calcolati sopra, ma i tre coefficienti di correlazione provengono dalla matrice del paragrafo 4: li controlli lì prima di iniziare. Calcoli prima da solo, poi confronti con la soluzione.

Soluzione

a) Trasferimento del segno. Le posizioni 1 e 2 sono entrambe lunghe, quindi il segno rimane: +0,92. La posizione 3 è corta e 1 e 2 sono lunghe, quindi in entrambi i casi il segno si inverte: +0,68 e +0,60. Tutte e tre le correlazioni dei risultati sono positive: acquistare AUD/USD, acquistare NZD/USD e vendere USD/CAD significa avere tre posizioni corte sul dollaro.

b) Volatilità congiunta modellizzata.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σp=√2,1364=1,461643% del valore netto del conto. In PLN: 0,01461643×60.000=876,99 PLN≈877 PLN. La conversione usa la cifra non arrotondata; l'1,46% visualizzato migliora la leggibilità, non costituisce un nuovo dato di calcolo.

Verifica: il risultato cade fra la maggiore deviazione individuale (0,60%) e la somma delle deviazioni (1,60%); la metà inferiore della verifica vale soltanto perché tutte e tre le correlazioni dei risultati sono positive. Con correlazioni negative smette di essere vincolante, come mostra il portafoglio C del paragrafo 11. In caso d'indipendenza sarebbe stato √0,8650 = 0,93%: la relazione aumenta la volatilità modellizzata del 57%.

c) La somma delle perdite quando scattano tutte le uscite. Senza slippage: 3 × 750 = 2.250 PLN = 3,75% del capitale. Lo slippage dell'8% dell'importo a rischio è 60 PLN per componente, ossia 180 PLN totali: 2.250 + 180 = 2.430 PLN = 4,05% del capitale.

d) Rischio concentrato sul dollaro. Tutte e tre le posizioni perdono quando il dollaro si rafforza, quindi il rischio concentrato è 3 × 1,25% = 3,75% del capitale = 2.250 PLN. Il limite: 3 × 1,25% = 3,75%. Il portafoglio è esattamente sul confine: una quarta posizione con esposizione al dollaro dallo stesso lato non rientra più, per quanto valida sia la sua regola d'ingresso.

e) La base per pianificare il capitale è il numero del punto (c): 4,05%. La volatilità modellizzata dell'1,46% descrive la dispersione del risultato giornaliero per l'orizzonte e la distribuzione ipotizzati ed è 64% inferiore all'importo che uscirà davvero dal conto se tutte e tre le uscite scattano nella stessa sessione.

f) Seconda finestra e stress. Per +0,78/+0,54/+0,46, il termine misto è 2×(0,2574+0,1458+0,11385)=1,0341, quindi σp=√1,8991=1,378079%, ossia 826,85 PLN≈827 PLN. È una variazione di 50,14 PLN, circa −5,72% rispetto al risultato della finestra lunga. SE(r)≈(1−r²)/√(N−1) per N=89 dà 0,0164; 0,0573; 0,0682; per N=29, 0,0740; 0,1339; 0,1490. Le differenze puntuali di r sono 0,14; 0,14; 0,14, ma confrontarle con quei sei SE non è un test di significatività. La finestra corta è annidata in quella lunga: Var(rL−rS)=Var(rL)+Var(rS)−2Cov(rL,rS). Mancano l'ultima covarianza e le serie complete, quindi non diamo né p né un intervallo della differenza. Anche l'approssimazione del SE richiede le ipotesi del paragrafo 2. La variante di stress coerente Cstress=0,5C+0,5J dà i coefficienti 0,96/0,84/0,80, Var=0,5×2,1364+0,5×1,60²=2,3482 e σp=1,532384%, ossia 919,43 PLN. La matrice è definita positiva (autovalore minimo 0,03697). Lo scenario degli stop comprensivo di slippage resta 2.430 PLN prima dei costi separati se R ed esecuzione non cambiano. È un confronto fra tre ipotesi, non un intervallo di confidenza.

18. Le conclusioni

L'intero contenuto dell'articolo sta in due numeri e un confine fra loro. La volatilità congiunta modellizzata risponde a quanto si disperde il risultato giornaliero del portafoglio e serve a confrontare fra loro le composizioni. La somma delle perdite quando tutte le uscite protettive scattano insieme, aumentata da slippage e un gap su ciascuna componente, risponde a quanto esce dal conto: è il numero su cui si pianificano capitale e limiti. Il primo dipende dalla correlazione. Il secondo non ne dipende affatto.

Le quattro azioni seguenti prendono la forma di aritmetica, non di consigli. Scomponga le posizioni nelle valute componenti con il segno corretto e calcoli l'esposizione netta a ciascuna nella valuta del conto: altrimenti non sa quante scommesse detiene. Calcoli il rischio concentrato su ogni valuta come somma degli importi a rischio delle posizioni che perdono quando quella valuta si muove in una direzione, e lo confronti con un limite registrato in anticipo. Registri i quattro parametri di misurazione e la data accanto a ogni coefficiente di correlazione, perché senza di essi la lettura non è riproducibile né confrontabile. Trasferisca il segno dalle direzioni delle posizioni prima di sostituire qualsiasi valore nella formula.

È utile sapere anche cosa non fornirà questo calcolo. Non dirà quanto si sta rischiando davvero, perché una correlazione calcolata storicamente non lo dice e il paragrafo 9 spiega perché. Dirà qualcosa di più circoscritto: quanto esce dal conto se tutte le ipotesi falliscono nella stessa sessione, in uno scenario con lo slippage assunto e nessun gap; con un gap, di più, e il calcolo non conosce limite superiore. Se il numero supera il drawdown sostenibile, riduca il numero di posizioni o l'importo a rischio di ciascuna: sono gli unici due parametri che lo cambiano.

Nel prossimo articolo affrontiamo cosa accade sotto il limite inferiore del calcolo: la meccanica di un gap, la perdita quando il salto supera la distanza di uscita e i limiti delle misure che cercano di descrivere la coda della distribuzione.