Корреляция пар, скрытая экспозиция и риск портфеля

Три позиции с бюджетом потерь по 1% капитала каждая требуют двух отдельных расчётов. На условном счёте в 100 000 PLN стандартное отклонение дневного результата портфеля составляет 1,53%. Сценарий исполнения всех выходов по запланированным ценам даёт 3,00%, или 3,30% после добавления проскальзывания в 10% каждой суммы, до отдельных комиссий и финансирования. Первое число описывает разброс относительно среднего; второе задаёт бюджет определённого исполнения. Ни одно не является максимально возможным убытком. Мы рассчитаем оба, применим знаки направлений позиций и разложим экспозицию по валютам. Также проверим влияние окон измерения и неопределённости корреляции на выводы и оставшийся запас в рамках записанных лимитов.

1. Два числа, которые называют «риском портфеля»

Классическая формула портфеля Марковица¹ описывает модельную совокупную волатильность, а не гарантированный убыток при торговле с защитным выходом. Это различие возникает в большинстве споров о корреляции, поэтому стоит здесь в начале, а не в сноске.

Символ σ означает стандартное отклонение прибыли и убытка позиции относительно её среднего за заданный горизонт и в валюте счёта. R до защитного выхода, напротив, описывает убыток при определённой цене исполнения. Активация приказа не гарантирует ни эту цену, ни убыток, ограниченный R. Подстановка R вместо σ меняет смысл формулы и может как завысить, так и занизить результат.

Первое следствие касается отрицательной корреляции. Фраза «при корреляции −0,91 позиции нейтрализуют друг друга, поэтому ваш эффективный риск равен 0,42% вместо 2%» неверна как описание потери. Модельная волатильность дневного результата действительно падает почти до нуля, но оба защитных выхода могут сработать в одной сессии — достаточно, чтобы курс сначала пошёл в одну сторону, затем в другую; это обычный ход дня с публикацией данных, а не экстремальный сценарий. Сумма потерь тогда по-прежнему равна 2% плюс проскальзывание по обеим составляющим.

Второе следствие касается положительной корреляции. Фразу «пять позиций по 1% с корреляцией +0,85 дают эффективный риск 4,69%» читают как «меньше 5%, у меня есть запас». Запаса нет. 4,69% — стандартное отклонение дневного результата при условии, что σ каждой позиции равна 1% капитала; если сработают все пять выходов, убыток составит 5% плюс проскальзывание по каждой из пяти составляющих.

Остальная статья придерживается этого разделения: каждый расчёт даёт оба числа рядом.

2. Корреляция как измерение — четыре параметра и карточка описания

Один и тот же коэффициент требует одних часов

Иллюстрация ошибки синхронизации: в четырёх последовательных интервалах доходности A равны [1, −1, 1, −1], а B реагирует на один интервал позже. Сравнение A с её копией, задержанной на один интервал, даёт противоположный знак, хотя после правильного совмещения ряды идентичны. На реальных данных мы не сдвигаем часы ради более высокой корреляции: до измерения задаём общий часовой пояс, границы сессий и правило для отсутствующих котировок. Дневные результаты позиций, оценённых в разное время, не образуют одной согласованной матрицы.

Корреляция — число от −1,00 до +1,00, описывающее степень совместного движения двух рядов. Однако само число ещё не является полноценным наблюдением, пока неизвестно, как оно рассчитано. Изменение любого из четырёх параметров измерения меняет результат настолько, что может определить вывод.

• Период — от какой до какой даты, с датой измерения
• Частота наблюдений — дневные, часовые, недельные данные
• Преобразование ряда — уровни цен или доходности; если доходности, то простые или логарифмические
• Число наблюдений — поскольку от него зависит ошибка оценки

Корреляция, рассчитанная по уровням цен, обычно высока и практически бесполезна: она измеряет общий тренд, а не совместное движение доходностей. У двух пар в длительном тренде корреляция уровней может равняться +0,95, тогда как дневные доходности почти независимы. Для портфельной арифметики берут логарифмические доходности ln(C_t/C_t−1) по закрытиям в один час.

Карточка описания корреляции — одна пара, четыре набора параметров

В карточках A и B меняются и период, и частота. Все коэффициенты — вымышленные учебные данные: даты описывают план измерения, а не выполненное измерение. Разницу 0,26 нельзя приписать частоте, изменению рынка или случайности без реальных рядов и подходящего сравнения выборок. Строка стандартной ошибки использует лишь приближение для независимых нормальных наблюдений.

Карточка D показывает сравнение частот при неизменных периоде и преобразовании. В реальных данных дневные и часовые отсчёты частично возникают из одних ценовых изменений. Различия могут отражать агрегирование, задержки, несинхронные котировки или отбор часов; сами четыре числа не определяют причину.

Практическое следствие простое: если портфель строится на дневной корреляции, а торговля идёт в часовом окне, риск считается по другой величине, чем та, которой вы подвержены. Измеряйте на горизонте удержания позиции.

Какая часть оценки — шум

Стандартная ошибка коэффициента корреляции при двумерном нормальном распределении и независимых наблюдениях равна:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

n — число доходностей. Приближение предполагает независимые наблюдения из двумерного нормального распределения. Временная зависимость, кластеризация волатильности и иное распределение могут изменить неопределённость; они не превращают таблицу в универсальную нижнюю оценку. Направление и масштаб ошибки требуют проверки на данных. Для малых выборок и коэффициентов около ±1 удобнее преобразование Фишера.

Различие корреляций за 30 и 90 сессий может быть полезным сигналом тревоги, но порог 0,25 не имеет универсального статистического толкования. Для двух независимых выборок с коэффициентами около 0,5 приближённая SE разности равна √(0,142²+0,080²)≈0,163, а её удвоенное значение — 0,33. Этот вспомогательный расчёт не решает вопрос сравнения вложенных окон и не оправдывает объявление их разности «шумом».

Для вложенных окон Var(r₁−r₂)=Var(r₁)+Var(r₂)−2Cov(r₁,r₂). Короткая выборка входит в длинную, поэтому ковариационный член обычно не исчезает. Оценка может использовать совместную модель или повторную выборку временных блоков с сохранением перекрытия. Без исходных данных точный порог здесь не приводится; таблица касается двух непересекающихся выборок равной длины.

3. Окно измерения — выбор, а не константа

Проверка преобразованием Фишера

Модельный пример: два независимых окна по 29 доходностей, двумерная нормальность, оценки 0,60 и 0,85. Преобразование z=atanh(r) даёт 0,69315 и 1,25615. Ошибка разности равна √(1/26+1/26)=0,27735, поэтому статистика (1,25615−0,69315)/0,27735=2,03. В приближённом двустороннем тесте это превышает 1,96 (p≈0,042). Пример показывает, почему применение одной SE, рассчитанной при ρ=0,5, к произвольным оценкам может изменить вывод. Результат не относится к перекрывающимся окнам или временно зависимому ряду.¹³

Таблица стандартных ошибок в предыдущем разделе показывает лишь половину проблемы. Длина окна одновременно управляет двумя ошибками, причём они движутся в противоположных направлениях. Короткое окно имеет большую случайную ошибку и малую задержку. Длинное — малую случайную ошибку и большую задержку. Окна, минимизирующего обе, не существует: выбор длины — компромисс ошибки и задержки.

Задержка скользящего окна

Скользящая корреляция — не просто среднее корреляций режимов. При равных средних и дисперсиях обоих режимов смесь даёт новому режиму вес m/n, поэтому 90% изменения достигаются после 0,9n наблюдений. Если обе дисперсии в новом режиме вчетверо выше, его вес равен 4m/[4m+(n−m)]; он достигает 90% при m/n=9/13≈0,692. Изменение средних или неодинаковое изменение масштабов двух составляющих требует полного расчёта ковариации смеси. Таблица ниже иллюстрирует только равные средние и дисперсии.

Число наблюдений для приближённой границы ошибки

Таблица показывает приближённую ширину ошибки разности двух независимых оценок около ρ≈0,5. Условие 2SEΔ≤Δ даёт следующие n. Это не план теста с заданной мощностью: планирование, например, 80% вероятности обнаружить реальное изменение также требует мощности, уровня значимости и коэффициентов при гипотезах.

$$n \geq 1 + \left(\frac{2,121}{\Delta}\right)^2$$

451 относится к разности 0,10 и локальному приближению при ρ≈0,5. Это не доказывает, что различение 0,60 и 0,70 требует ровно 451 наблюдения. Большая выборка уменьшает неопределённость при стабильном процессе, но может смешать старые и новые условия. Поэтому выбор окна объединяет точность, быстроту реакции и горизонт измеряемых результатов.

Процедура выбора

Решение сводится к четырём шагам, выполняемым один раз и записываемым вместе с остальными параметрами.

1. Определите, какую разность нужно обнаруживать. Не «хочу знать корреляцию», а «хочу знать, пересекла ли она порог, при котором я отклоняю позицию». Если порог 0,70, а обычные оценки около 0,50, то Δ = 0,20.
2. Сравните несколько окон на одних синхронизированных доходностях. Длинное окно помогает оценить устойчивость измерения; короткое показывает недавние условия. Удержание позиции один день не делает 114 дневных доходностей непригодной выборкой для оценки однодневного риска. Горизонт результата и длина выборки выполняют разные функции.
3. Отделите порог решения от утверждения о статистической значимости. Лимит 0,70 может быть предупредительным правилом даже при коротком окне, если записана реакция на неопределённую оценку. Малая выборка не превращает каждое измерение в лотерею; она требует показать более широкий диапазон неопределённости.
4. Установите реакцию на расхождение окон. Можно пересчитать вариант с более положительной зависимостью результатов, сократить экспозицию или отклонить позицию. Запишите условие заранее. Используемые далее 180 сессий — параметр условной процедуры, а не минимум, предписанный статистикой.

4. Матрица корреляций — что в ней есть и чего нет

Зачем проверять всю матрицу

Три коэффициента ρ₁₂=1, ρ₁₃=0,82 и ρ₂₃=0,74 каждый лежат в [−1,1], но не могут образовать матрицу корреляций: если два стандартизированных ряда совпадают, их корреляции с третьим должны быть одинаковыми. Наименьшее собственное значение этой матрицы — −0,00796. Вычислительно допустимый стрессовый вариант: Cstress=(1−λ)C+λJ, где все элементы J равны единице и 0≤λ≤1. Смешивание положительно полуопределённых матриц сохраняет это свойство. В задании λ=0,5; это не прогноз рыночной зависимости.

Матрица корреляций — симметричная таблица, каждая ячейка которой даёт коэффициент для одной пары рядов. Диагональ всегда равна +1,00. Матрица ниже охватывает восемь пар — семь основных и один кросс (EUR/GBP) — и рассчитана по дневным логарифмическим доходностям; значения условные — они показывают типичные структурные связи, а не измерение в конкретном окне.

При одновременных согласованных котировках EUR/GBP=(EUR/USD)/(GBP/USD) влечёт точное равенство rlog(EUR/GBP)=rlog(EUR/USD)−rlog(GBP/USD). Только предположение об одинаковых стандартных отклонениях обеих составляющих даёт корреляцию с Z, равную [ρ(EUR/USD,Z)−ρ(GBP/USD,Z)]/√(2−2ρ). При ρ=0,87 знаменатель равен 0,5099, а округлённая последняя строка — +0,25; −0,25; +0,14; +0,20; −0,25; −0,18; −0,24. Матрица — иллюстрация с округлением до двух знаков. Её наименьшее собственное значение +0,00443, поэтому она остаётся положительно определённой; матрица с точно выведенным кросс-рядом была бы вырожденной. Отдельные оценки должны учитывать согласованность данных и положительную полуопределённость.

Чтение матрицы — две операции, а не одна. Сначала ищут абсолютные значения выше 0,70: это кандидаты на сильную связь. Затем переносят знак по направлениям позиций и смотрят на корреляцию результатов: если она высокая и положительная, позиции теряют вместе и рассматриваются как концентрированная экспозиция с совокупным номиналом; если высокая и отрицательная, составляющие компенсируются в модельной волатильности, но каждая сохраняет свой бюджет выхода и издержки. Длинные EUR/USD и GBP/USD при +0,87 — одна макротема в двух оболочках. Длинные EUR/USD и USD/CHF при −0,91 дают корреляцию результатов −0,91: частично нейтрализованную экспозицию с двумя бюджетами выхода, а не диверсификацию (арифметика — портфель C в разделе 11).

5. Скрытая валютная экспозиция — разложение позиций по валютам

Матрица корреляций показывает совместное движение, но не чистую позицию. Каждая пара — две валюты: одну вы покупаете, другую продаёте. При нескольких позициях валюты начинают пересекаться, и под разными названиями возникает одна концентрированная экспозиция. Разложение по валютам (чистая валютная экспозиция) — перевод всех открытых позиций в чистую экспозицию по каждой валюте, в валюте счёта.

Правило знаков

Без разделения знаков сумма считает каждую позицию длинной и в смешанном портфеле ошибается на величину каждой противоположно направленной составляющей. Это самая частая скрытая ошибка данного расчёта.

Расчёт для трёх позиций

Условные предпосылки. Текущие средства перед входом: 100 000 PLN. R=1 000 PLN на позицию, то есть 1% этой базы. Переводите все номиналы в PLN по единому набору гипотетических курсов оценки на один момент. Это модельные значения без исторических котировок; реестр позиций сохраняет и исходные валютные единицы. При этой оценке обе стороны сделки имеют равную номинальную стоимость. Пересчёт контракта — раздел 2 курса.

1. Длинная EUR/USD, номинальная стоимость 100 000 PLN
2. Длинная GBP/USD, номинальная стоимость 120 000 PLN
3. Короткая USD/CHF, номинальная стоимость 90 000 PLN

Портфель имеет номинальную экспозицию к USD −310 000 PLN при текущих средствах 100 000 PLN. Небольшой рост стоимости USD в PLN на 1% при неизменной стоимости EUR, GBP и CHF в PLN снижает оценку портфеля на 3 100 PLN в линейном приближении. Это явно заданный валютный сценарий, а не прогноз всех курсовых движений. Издержки закрытия и изменения курсов пересчёта требуют отдельного учёта.

Вместо номинальной стоимости в валюте счёта иногда используют лоты как сокращённую меру. Это работает только для позиций по инструментам с похожей волатильностью и стоимостью пункта; один лот EUR/USD и один лот GBP/JPY этому условию не соответствуют. Разница волатильности инструментов всё равно учитывается портфельной арифметикой через σ_i, поэтому проще с самого начала считать в валюте счёта.

6. Разложение по валютным факторам, доведённое до конца

Три позиции предыдущего раздела дали очевидный результат: во всех трёх доллар был с одной стороны. В наборе с кроссами и позициями в обоих направлениях результат перестаёт быть очевидным; именно тогда выясняется, что расчёт нужно действительно выполнить, а не оценить на глаз.

Набор для разложения

Предпосылки (условные значения). Текущий капитал 100 000 PLN, измеренный до открытия первой позиции. Риск позиции: 0,60% = 600 PLN; позиций пять, поэтому сумма риска 3,00% = 3 000 PLN. Лимит концентрации — то же правило, что во всей статье: 3 × риск отдельной позиции; лимит является правилом, а не числом, поэтому при риске 0,60% на позицию даёт 1,80%, тогда как при 1,00% давал 3,00%.

Шаг 1 — разделить каждую позицию на две валюты

Правило знаков из предыдущего раздела применяется механически: длинная позиция даёт плюс базовой валюте и минус валюте котировки, короткая — наоборот. Номинал входит в обе строки в одинаковом размере.

Шаг 2 — суммировать по валютам

Арифметическая проверка: Сумма всех чистых позиций должна быть нулевой: каждая позиция вносит одну сумму один раз с плюсом и один раз с минусом. Здесь: −90 000 + 70 000 + 70 000 − 70 000 + 30 000 − 10 000 = 0. Если ноль не получается, где-то перевёрнут знак или пропущена составляющая.

Результат неожиданен, и это самое ценное в нём. Самая большая чистая номинальная экспозиция приходится на канадский доллар — валюту, присутствующую ровно в одной из пяти пар. Доллар США, присутствующий в трёх парах, лишь второй, наравне с австралийским долларом и иеной: три долларовые позиции частично компенсируются — одна короткая по доллару (−80 000) против двух длинных (+60 000 и +90 000) даёт чистые +70 000. Стерлинг в двух парах имеет наименьшую экспозицию во всём наборе: 60 000 короткой и 50 000 длинной почти полностью компенсируются.

Шаг 3 — концентрированный риск, то есть вторая таблица

Чистый номинал отвечает на вопрос о стоимости движения валюты. На вопрос об убытке отвечает другая величина: сумма рисков позиций, теряющих при движении определённой валюты в одну сторону. Она считается отдельно для обоих направлений, и концентрацией считается большее значение.

Наибольший концентрированный риск составляет 1,20% по доллару и укладывается в лимит 1,80%. Заметьте: две таблицы указывают разные доминирующие валюты: по номиналу лидирует канадский доллар с −90%, по риску — доллар США с 1,20%. Противоречия нет: они измеряют разное. Номинальная экспозиция суммирует суммы алгебраически, и противоположные позиции компенсируются; концентрированный риск считает только позиции, теряющие вместе, поэтому компенсации нет. Лимит устанавливается по второй таблице.

Шаг 4 — сумма потерь

Пять позиций по 600 PLN: 3 000 PLN = 3,00% капитала. С проскальзыванием 10% суммы риска на каждой составляющей: 5 × 660 = 3 300 PLN = 3,30% капитала. То же число, что у трёх позиций в предыдущем разделе: сумма потерь зависит от бюджета риска, а не от числа позиций, между которыми он распределён.

7. Совокупная экспозиция трёх позиций: полный расчёт

Что меняет добавление одной позиции

Иллюстрация в PLN при текущих средствах 100 000 PLN: у существующего портфеля дневная σ=1 000 PLN, у кандидата σ=500 PLN, а корреляция его результата со всем портфелем −0,80. После добавления Var=1 000²+500²+2×(−0,80)×1 000×500=450 000 PLN², поэтому σnew=670,82 PLN. При корреляции 0 тот же кандидат даёт 1 118,03 PLN. Низкая корреляция поэтому не гарантирует меньшую волатильность, тогда как сильно отрицательная может её обеспечить. В обоих вариантах бюджет сценария выхода увеличивается на R кандидата и издержки. Этот расчёт отделён от изменения дисперсии.

Тот же портфель, что в разделе 5, рассчитан до конца. Оба числа ведутся параллельно: полезный смысл возникает лишь при их сопоставлении.

Входные данные

Шаг 1 — перенос знака

Корреляции ценовых рядов из матрицы раздела 4: EUR/USD и GBP/USD +0,87; EUR/USD и USD/CHF −0,91; GBP/USD и USD/CHF −0,82. Позиции 1 и 2 длинные, позиция 3 короткая, поэтому:

Все три корреляции результатов положительные и высокие. Портфель, выглядящий на графике смешанным — две длинные позиции и одна короткая, — на деле однороден.

Шаг 2 — модельная совокупная волатильность

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Подстановка в процентах капитала:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = 1,53% капитала в день = 1 527 PLN

Проверка порядка величины: результат должен быть между наибольшим отдельным отклонением (0,70%) и суммой отклонений (1,60%, граница при ρ = +1). Так и есть. Нижняя часть этой проверки применима только при неотрицательных корреляциях результатов — при отрицательных она перестаёт ограничивать, как показывает портфель C в разделе 11, где σ_p = 0,34% ниже отклонения одной позиции. При независимости получилось бы √0,90 = 0,95%: связь позиций повышает модельную волатильность на 61%.

Шаг 3 — сумма потерь при совместном срабатывании выходов

Этот расчёт отдельный: применяется сложение, а не извлечение квадратного корня.

Все суммы таблицы — убытки от разницы фактических цен входа и предполагаемых цен выхода; включённый в эти цены спред повторно не прибавляется. G=10%R — условное ухудшение исполнения, а не измерение или граница. При отдельных комиссии и финансировании 20 PLN на позицию чистые потери в трёх строках составляют 3 060 PLN (3,06%), 3 360 PLN (3,36%) и 4 260 PLN (4,26%) от той же базы 100 000 PLN. Таблица намеренно рассматривает цену выхода как сценарий: стоп не ограничивает гэп указанной кратностью. Расчёт издержек — 9.6; более крупные скачки — 9.10.

Шаг 4 — два числа рядом

Модельная волатильность оказалась более чем вдвое ниже суммы потерь при срабатывании выходов. Чтение 1,53% как «мой риск» означало бы планировать капитал на сумму менее половины того, что действительно может уйти со счёта за одну сессию.

Две позиции при разных корреляциях

Корреляция около нуля означает отсутствие линейной зависимости в этой выборке, а не независимость или защиту от хвостовых событий. Общая валюта сама по себе не определяет коэффициент: важны волатильность каждой составляющей, период и горизонт. Лонгин и Солник исследуют фондовые рынки, а не устанавливают численные корреляции валютных пар.³

Упрощённая формула для N позиций

При N = 5, σ = 1,00% и ρ = 0,85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = 4,69% капитала в день. При ρ = 0 получилось бы 1% × √5 = 2,24%, при ρ = +1 — 5,00%.

Сумма потерь при срабатывании пяти выходов с риском 1% каждый составляет 5,00% независимо от корреляции, а после добавления 10% проскальзывания на каждой составляющей — 5,50%. Поэтому 4,69% не означает «у меня ещё есть запас до 5%»: это совершенно другая величина, не ограничивающая убыток ни в одном направлении.

Сильно отрицательные корреляции при пяти позициях также не удастся устроить, и это не авторское постановление. Матрица корреляций должна быть положительно полуопределённой, поэтому при одинаковой попарной корреляции выражение N + N(N−1)ρ не может быть отрицательным; для N = 5 отсюда граница ρ ≥ −0,25. При росте числа инструментов отрицательные связи ограничивают друг друга — это алгебраическое свойство матрицы, а не редакционное соглашение.

8. Совместное пересечение порогов и активация выходов

Ниже рассчитывается совместное пересечение трёх порогов результатом на конец дня. Модель показывает важность зависимости, но ещё не отвечает, активировались ли приказы в течение дня и исполнились ли в одну минуту. Для этого нужны траектории цен, правила активации и исполнения.

Расчёт образуют три элемента: общий фактор, расстояние до выхода в единицах волатильности и концентрация движения в окне времени. Первые два можно непосредственно вычислить для портфеля раздела 7.

Шаг 1 — один фактор воспроизводит всю матрицу

Матрица раздела 7 воспроизводится как Xi=aiF+√(1−ai²)εi, где F и три εi — независимые стандартные нормальные переменные. Тогда Corr(Xi,Xj)=aiaj. Рассчитываем нагрузки для трёх положительных коэффициентов. Это алгебраическое разложение не отождествляет F с курсом доллара; это одна из возможных статистических конструкций.

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Проверка: b×c=0,885413×0,926122=0,820000. Все нагрузки лежат в [−1,1], поэтому дисперсии специфических компонентов неотрицательны. Модель точно воспроизводит три корреляции, сохраняя специфический компонент каждой позиции. Она не доказывает, что весь фактический результат происходит от одной валюты.

Шаг 2 — расстояние до выхода в единицах волатильности

Сумма риска и стандартное отклонение позиции вместе дают третью величину: на сколько дневных стандартных отклонений удалён защитный выход. Обозначим её k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

При равном R отношение R/σ наименьшее у второй позиции. В этой же модели с нулевым средним её конечный результат чаще всего пересекает порог. Оценка реальной частоты выходов дополнительно требует траектории цены, времени экспозиции и издержек.

Шаг 3 — порог общего фактора

Если временно исключить εi, неблагоприятное движение общего фактора на z стандартных отклонений даёт результат ai×z в стандартных отклонениях позиции. Порог общего компонента z≥ki/ai. После возвращения специфических компонентов это условие само по себе не является ни необходимым, ни достаточным для пересечения порога полным результатом.

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Пороги общего компонента равны 1,61, 2,04 и 2,70. Односторонний нормальный хвост за наибольшим составляет около 0,35%, но полные результаты содержат εi. Интегрирование модели даёт 0,5216% вероятности того, что все три результата на конец дня окажутся ниже −Ri. Это по-прежнему отличается от вероятности трёх внутридневных активаций приказов.

Шаг 4 — то же за год и сравнение с независимостью

При дополнительном предположении о 250 независимых днях с неизменным распределением вероятность хотя бы одного совместного пересечения на закрытии равна 1−(1−0,005216064)²⁵⁰=72,95%. Это описывает гипотетически сохраняемую экспозицию, а не портфель, уменьшаемый после последовательных стопов.

Для трёх независимых нормальных конечных результатов с теми же порогами хвосты равны Φ(−2)=2,275%, Φ(−1/0,7)=7,656% и Φ(−2,5)=0,621%. Их произведение составляет 0,0010816%, а вероятность хотя бы одного пересечения за 250 независимых дней — около 0,270%. Сравниваются две модели конечных результатов.

В этом примере общий фактор повышает вероятность конечного пересечения примерно в 482 раза относительно независимости. Расчёт обосновывает проверку зависимости, но не определяет вероятность реализации всего стоп-бюджета. Для проверки: в непрерывной модели броуновского движения без сноса одиночный барьер −2σ затрагивается до конца дня с вероятностью 2Φ(−2)=4,55%, тогда как вероятность конечного результата ниже барьера равна 2,275%. Траектория может вернуться выше барьера; рынок с гэпами требует дополнительных предположений.

Шаг 5 — что происходит при одинаковых расстояниях до выхода в единицах волатильности

Многие читатели задают защитные выходы как фиксированное кратное волатильности инструмента — например, все на 2,00 дневных отклонениях. При такой настройке пороги общего фактора перестают расходиться:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

После установки всех ki=2 та же модель конечных результатов даёт 0,8601% совместных пересечений и за 250 независимых дней 88,46% вероятности хотя бы одного. Хвост 1,19% за порогом общего фактора не заменяет интеграл: он исключает специфические компоненты.

Сравнение меняет два конкретных барьера: k₂ растёт с 1,43 до 2, а k₃ снижается с 2,5 до 2. Совокупный результат модели увеличивается, но стандартизация порогов не всегда даёт такой эффект. Пересчитайте новые пороги и номиналы: одних «равных расстояний в единицах волатильности» недостаточно для ответа о риске.

9. Корреляция при стрессе — чего не охватывает этот расчёт

Корреляция не обязана оставаться на уровне исторического теста. Строя риск портфеля на исторической корреляции, вы опираетесь на предположение о непрерывности, а рынок её не гарантирует.

При стрессе зависимость может усиливаться, ослабевать или менять знак. При фиксированных положительных масштабах σ рост положительной корреляции результатов повышает дисперсию их суммы; изменение ценовой корреляции по-прежнему требует применения знаков позиций. В портфеле с противоположными направлениями одно изменение ценового коэффициента может действовать иначе.

Резкое ограничение финансирования и закрытие похожих экспозиций могут усилить общие ценовые движения. Бруннермайер, Нагель и Педерсен описывают эту связь для валютных позиций на разнице процентных ставок.⁵ Это экономический механизм возможного изменения распределения, а не отдельный вид корреляции и не доказательство обязательного роста любого коэффициента.

Отчёт BIS о стерлинге в 2016 и отчёт RBA об иене в 2019 документируют быстрые движения, слабую ликвидность и проблемы исполнения.⁶⁷ Сообщение SNB подтверждает смену режима EUR/CHF в 2015.⁸ Эти источники не устанавливают коэффициенты нашего портфеля и не доказывают полную бесполезность всех корреляций до события. Уровни, время и пределы интерпретации рассмотрены в 9.10.

Коррелированное движение и худшее исполнение могут возникать вместе. Поэтому проскальзывание 10%R из таблицы — лишь параметр сценария; нет оснований считать его универсально оптимистичным или типичным. Бюджет требует убытка по фактическим ценам, комиссий и финансирования; частота сценария — совместной модели ценовых траекторий.

10. Какая часть расчёта выдерживает стресс — числа

Предыдущий раздел описал явление. Теперь рассчитаем его: только арифметика показывает, какая часть популярного тезиса о кризисной корреляции верна, а какая переводит внимание на неверную величину.

Стрессовый вариант ниже разделяет два предполагаемых изменения: рост положительной корреляции результатов и рост стандартных отклонений. Мы не утверждаем, что они происходят в каждом кризисе. Считаем их отдельно для портфеля раздела 7 и рассредоточенного портфеля B из раздела 11.

Концентрированный портфель

Три позиции раздела 7: σ = 0,50% / 0,70% / 0,40%, корреляции результатов +0,87 / +0,91 / +0,82, риск 1,00% на позицию, капитал 100 000 PLN. Стрессовый вариант — условные значения — предполагает усиление всех трёх корреляций до 0,97 и удвоение всех стандартных отклонений.

Вариант только с усилением корреляций. Сумма квадратов не меняется: 0,90. Перекрёстный член: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = 1,58%.

Вариант только с удвоением волатильности. Формула однородна первой степени по σ, поэтому удвоение всех отклонений ровно удваивает результат: σ_p = 2 × 1,53% = 3,05%.

Вариант с обоими изменениями. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Сумма квадратов: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Перекрёстный член: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = 3,17%.

Рассредоточенный портфель

Портфель B из раздела 11: три позиции с σ = 0,80% каждая, корреляции результатов +0,35 / +0,20 / +0,10, сумма 0,65. Исходное значение: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 1,66%.

При усилении всех трёх корреляций до 0,97 сумма становится 2,91, поэтому σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = 2,38%. При удвоении волатильности с неизменными корреляциями: 2 × 1,66% = 3,32%. При обоих изменениях: 1,60% × 2,9698 = 4,75%.

Сравнение

Из сравнения следуют три вывода, неочевидные до расчёта.

Во-первых: для уже концентрированного портфеля усиление корреляций — эффект второго порядка. Оно повышает модельную волатильность на 3,7%, тогда как рост самой волатильности — на 100%. Портфелю с корреляциями порядка 0,9 уже нечего терять от их перехода к 0,97: он потерял это раньше, в момент построения.

Во-вторых: для рассредоточенного портфеля усиление стоит 43,2%, более чем в одиннадцать раз больше, чем для концентрированного. При стрессе исчезает около 97% выигрыша в модельной волатильности от рассредоточения: преимущество перед суммой отклонений (2,40%) тает с 0,74 процентного пункта в исходных условиях до 0,02 пункта при корреляциях 0,97.

Последний столбец постоянен, потому что предполагаются те же R и множитель исполнения. Тем не менее более высокие σ и зависимость могут менять частоту и совместное наступление потерь, даже при неизменном размере условного сценария 3,30%. Худшее исполнение повышает его сумму, но это не единственный канал воздействия стресса на риск счёта.

Откуда взять стрессовую корреляцию

Есть два добросовестных пути, и у каждого — недостаток, который нужно назвать.

Условное измерение. Зависимость можно измерять по явно отобранным стрессовым сессиям, например с высокой волатильностью. Отбор выборки меняет исследуемое распределение. Форбс и Ригобон показывают рост корреляции с дисперсией общего шока в определённой модели;² это не доказывает, что любой фильтр волатильности смещает любую корреляцию вверх. Укажите критерий отбора, N и метод; малой подвыборке обычно нужен широкий диапазон неопределённости.

Второй путь: подстановка ρ = +1 как арифметической границы. Преимущество: оценка вообще не требуется, а результат — наибольшее значение формулы, сумма отклонений; у концентрированного портфеля 0,50% + 0,70% + 0,40% = 1,60% в исходных условиях и 3,20% при удвоенной волатильности. Недостаток: это не описание рынка, а верхняя граница модели. Одни связи при стрессе распадаются, другие меняют знак, поэтому ρ = +1 — не прогноз. Это число, выше которого формула не поднимается; о происходящем за ним она не говорит ничего.

Показатели волатильности могут служить отдельными модельными лимитами, если явно определены их смысл и предпосылки. Бюджет сценария выхода не зависит напрямую от оценённой корреляции, но зависит от цен исполнения, издержек и состава портфеля. Практический контроль может использовать оба вида лимита.

11. Три портфеля, рассчитанные одним методом

Три состава, одинаковый текущий капитал 100 000 PLN и одинаковый риск 1,00% (1 000 PLN) на позицию. Для сравнения составов каждая позиция здесь имеет одинаковое стандартное отклонение σ = 0,80% капитала в день — упрощение для сравнения, необходимое формуле одинаковой попарной корреляции. В разделе 7 те же инструменты имели разные σ (0,50%, 0,70% и 0,40%): различались и номиналы, и дневная волатильность самих инструментов. В собственном расчёте σ измеряется отдельно по каждой позиции. Все значения условные. Каждый портфель получает оба числа.

Портфель A — пять позиций, одна экспозиция

Средняя попарная корреляция результатов из матрицы раздела 4 после переноса знаков для всех десяти пар — (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10 — составляет +0,6020. Модельная волатильность: 0,80% × √(5 + 20 × 0,6020) = 0,80% × √17,04 = 3,30% капитала в день. Сумма потерь при срабатывании пяти выходов: 5 × 1 000 = 5 000 PLN = 5,00%, при 10% проскальзывания по каждой составляющей — 5,50% = 5 500 PLN. Риск, сосредоточенный на долларе: 5,00%, то есть 5 × риск отдельной позиции против принятого лимита 3 ×. Портфель нарушает лимит на две позиции, хотя каждая по отдельности соответствует правилу «1% на сделку».

Портфель B — три фактора

Сумма попарных корреляций равна 0,65, поэтому модельная волатильность: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 0,80% × 2,0736 = 1,66% капитала в день. Сумма потерь при срабатывании трёх выходов: 3,00%, с проскальзыванием 3,30% = 3 300 PLN.

Евро находится на противоположных сторонах двух позиций. Однако нулевая чистая экспозиция требует одинаковых номиналов EUR, а не одинаковых R. Этот вариант предполагает один номинал EUR, оценённый в 100 000 PLN для обеих составляющих в один общий момент; номинал AUD/JPY — 80 000 PLN. Тогда чистый EUR=0, а оставшиеся экспозиции — USD−100 000, GBP+100 000, AUD+80 000 и JPY−80 000 PLN. Концентрированный стоп-бюджет одного направления не превышает 1 000 PLN. Снижение суммы потерь с 5,50% до 3,30% связано с меньшим числом равных бюджетов R; изменение σ — с масштабами и зависимостью.

Портфель C — две позиции с противоположными экспозициями

Длинные EUR/USD и USD/CHF с риском 1,00% каждая. Ценовая корреляция −0,91, обе позиции длинные, поэтому корреляция результатов тоже −0,91.

Модельная волатильность: 0,80% × √(2 + 2 × (−0,91)) = 0,80% × √0,18 = 0,34% капитала в день. Сумма потерь при срабатывании обоих выходов: 2,00%, с проскальзыванием 2,20% = 2 200 PLN.

Номиналы USD компенсируются точно лишь при согласованном размере. При условных EUR/USD=1,10 и USD/CHF=0,90 длинная позиция на 100 000 EUR продаёт 110 000 USD. Вторая должна купить ровно 110 000 USD и продать 99 000 CHF. Остаются +100 000 EUR и −99 000 CHF, что равно длинной EUR/CHF по 0,99. Иной номинал второй составляющей оставляет экспозицию USD. У двух инструментов две спецификации издержек; совокупные платежи могут быть выше, но одно число позиций не доказывает удвоения издержек в PLN.

Столбцы модельной волатильности и суммы потерь идут в одном порядке, но в совершенно разных масштабах. У портфеля C модельная волатильность почти в десять раз ниже, чем у A (0,34% против 3,30%), а сумма потерь — лишь в два с половиной раза (2,20% против 5,50%).

12. Число позиций и предел диверсификации

Вопрос «сколько позиций можно держать одновременно» возникает в каждом разговоре о портфелях и почти всегда получает число без арифметического обоснования. Арифметика существует и отвечает в двух частях: за вопросом скрываются две ситуации.

Два способа добавить позицию

Первый вариант: добавить риск. У каждой новой позиции свои R и σ, и бюджет растёт вместе с ней. Сумма положительных бюджетов выхода увеличивается на новый R. Модельная дисперсия меняется на σn²+2Cov(P,Xn), где P — результат существующего портфеля. При достаточно отрицательной ковариации она может снизиться, несмотря на большее число составляющих. Считайте это отдельно от роста общего R.

Второй вариант: разделить прежний бюджет. У вас фиксированная сумма отклонений для распределения по N позициям, поэтому каждая получает σ = σ_B/N. Но деление суммы отклонений не определяет суммы риска: ΣR — отдельный бюджет и отдельное решение, поэтому раздел явно принимает оба деления одновременно — σ_i = σ_B/N и R_i = R_B/N — лишь тогда сравнение разных N касается одной ставки. Это правильный вопрос о диверсификации, единственный с осмысленным ответом. При одинаковой σ позиций и одинаковой попарной корреляции ρ:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

Последнее выражение — ключ ко всему разделу: когда N стремится к бесконечности, оно сходится к σ_B × √ρ. Поэтому при положительной корреляции существует нижний уровень модельной волатильности портфеля, ниже которого она не опустится при любом числе позиций; чем выше корреляция, тем выше этот уровень.

Таблица: что даёт следующая позиция

Строка ρ = 0,75 читается так: переход с двух позиций к двадцати снижает модельную волатильность с 1,871% до 1,746%, то есть на 0,124 процентного пункта. Восемнадцать дополнительных позиций, каждая со своим спредом, комиссией и риском исполнения, покупают одну восьмую процентного пункта. Предел — 1,732%, то есть 93% значения, уже достигнутого с двумя позициями. Весь возможный выигрыш от любого числа инструментов, начиная с двух позиций, при такой корреляции составляет 0,139 процентного пункта.

Где прирост выигрыша перестаёт иметь значение

Вычислим, какая доля всего возможного выигрыша диверсификации уже достигнута при данном N. Полный выигрыш — разница между одной позицией (2,00%) и пределом; достигнутый — между одной позицией и значением при N.

Результат неожиданно устойчив к корреляции: при пяти позициях уже достигнуто около трёх четвертей всего, что может дать диверсификация, при десяти — около девяти десятых. Остальное распределяется между одиннадцатой и последующими позициями, каждая из которых требует полного спреда и комиссии и добавляет одну составляющую риска исполнения. Это не рекомендация «держать пять позиций», а указание, где довод диверсификации перестаёт работать и остаётся только довод издержек.

Нижняя граница корреляции при N позициях

Указанная без вывода в разделе 7 граница −0,25 для пяти позиций — частный случай общего условия. При одинаковой попарной корреляции подкоренное выражение не может быть отрицательным, откуда:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

Условие ρ≥−1/(N−1) ограничивает наименьшую допустимую одинаковую корреляцию. При равных масштабах оно также относится к среднему всех корреляций: дисперсия суммы не может быть отрицательной. Оно не требует, чтобы реальное среднее стремилось к нулю с добавлением позиций: оно может оставаться высоким и положительным. Несогласованные периоды или попарное удаление пропущенных данных могут создать матрицу, нарушающую положительную полуопределённость.

Хвост, который не сокращается с N

Сумма потерь при срабатывании всех выходов ни разу не появляется в таблицах выше; это не упущение. При втором принятом предположении — фиксированной сумме рисков ΣR = R_B, разделённой поровну, — она одинакова для двух и двадцати позиций. Это не следует из одного деления σ_B; это отдельное предположение, явно принятое выше. Проскальзывание как фиксированная доля суммы риска тогда суммируется в g × R_B и тоже не меняется.

Меняется другое — число составляющих, подверженных нетипичному исполнению в одном событии. Предположим, в сессии с событием вероятность нетипичного исполнения одной составляющей равна 5% (условное значение).

Столбец 5% предполагает полностью общий индикатор события: с вероятностью 0,05 необычное исполнение возникает у каждой составляющей, иначе ни у одной. Для пяти независимых индикаторов произведение равно 0,05⁵=0,00003125%, что даёт отношение 160 000. Один общий фактор ещё не устанавливает эту величину. При фиксированной ΣR пропорциональные R издержки неизменны; большее число приказов может повысить минимальные платежи, а сценарии исполнения нужно считать отдельно для каждого уровня.

Сравним с предыдущей таблицей: при ρ = 0,75 переход от пяти позиций к десяти снижает модельную волатильность с 1,789% до 1,761%, то есть на 0,028 процентного пункта, одновременно удваивая число приказов, способных получить худшую цену исполнения в одном событии. Поэтому решение о следующей позиции зависит одновременно от предельного снижения σ_p и издержек исполнения, а не от одного числа для запоминания.

13. Пределы диверсификации на валютном рынке

На фондовом рынке диверсификация опирается на число инструментов, которых несколько тысяч. На валютном восемь основных валют дают 28 пар, но все они — сочетания тех же восьми компонентов, а большая часть оборота проходит через доллар¹². Общий фактор поэтому встроен в устройство рынка, а не в выбор инструментов.

Добавление низкокоррелированной позиции может снизить волатильность по сравнению с альтернативной позицией равного масштаба, но не обязательно снизит σ существующего портфеля. Решающий член — σnew²+2Cov(portfolio,new). Каждый положительный новый R увеличивает совокупный бюджет сценария выхода при прочих неизменных величинах.

Столбец концентрированного риска читается механически: важно, сколько позиций теряют при движении одной и той же валюты в одном направлении, а не число позиций портфеля. В первом составе доллар у четырёх позиций с одной стороны, поэтому концентрация равна 4 × риск позиции. Во втором евро находится в двух парах с одной стороны, отсюда 2 ×, хотя позиций три и названия разные. В третьем ни одна валюта не повторяется: три пары распределены по шести валютам, поэтому концентрация падает до 1 × риск позиции, минимума при любом числе позиций. Столбец вознаграждает не разнообразие названий, а отсутствие повторяющихся валют.

Третий состав требует поправки, часто упускаемой в материалах о диверсификации. Он не устраняет доллар как общий знаменатель: у USD/CAD базовая валюта USD, и одна из трёх позиций всё ещё напрямую реагирует на сам доллар. Набор без долларовых пар, например EUR/GBP, AUD/NZD и CAD/CHF, убирает прямые долларовые составляющие. Чистые номиналы USD с учётом знаков можно также нейтрализовать в портфеле с долларовыми парами, используя согласованные оценки и подходящие объёмы. Ни одна конструкция сама по себе не устраняет косвенное влияние USD или общие макрофакторы. У кроссов могут быть другие общие факторы: при резком избегании риска обе составляющие сырьевых валют могут терять к валютам, считающимся убежищами. Механизм относится к разделу 7 курса; здесь важно его учётное следствие: корреляция спокойного окна не определяет зависимость стрессового. Измерьте направление и размер различия для заданных рядов, затем учтите знаки позиций.

Полезный рабочий вывод раздела краток. Выбор пар с разными движущими факторами может уменьшить разброс дневного результата или совместный убыток в выбранном сценарии. Проверьте это по масштабам, знакам и зависимости конкретного портфеля; одних разных символов недостаточно, чтобы показать выигрыш. Это не оправдание большего числа позиций — лимит по-прежнему применяется к сумме потерь.

14. Портфель правил — несколько наборов правил одновременно

Всё выше касалось портфеля пар. Та же скрытая экспозиция возникает уровнем выше, когда одновременно используются несколько правил входа. У каждого свои параметры и история, но риск нельзя считать отдельно по каждому: позиции попадают на один счёт, занимают общий маржинальный пул и подлежат единому принудительному закрытию.

Нужно решить три вопроса, все заранее записываются.

Общий лимит

Бюджет риска один и принадлежит счёту, а не правилу. Он определяется как сумма рисков всех одновременно открытых позиций независимо от открывшего их правила — та же величина, что считается в шаге 3 раздела 7. Правило со «своими 3%» на практике добавляет свои 3% к бюджету счёта, а не делит его.

Распределение бюджета между правилами

Предпосылки (условные значения). Текущий капитал 100 000 PLN. Бюджет риска портфеля: 4,00% = 4 000 PLN. Разделён пополам между двумя правилами: R1 — 2,00% = 2 000 PLN, R2 — 2,00% = 2 000 PLN. Риск одной позиции у обоих: 1,00% = 1 000 PLN, поэтому каждое правило может держать не более двух позиций одновременно. Лимит риска на одну валюту: 3 × риск позиции = 3,00% = 3 000 PLN.

Четвёртый шаг показывает назначение лимита. Сигнал отклоняется, хотя его допускают и бюджет R2, и бюджет всего портфеля; ограничивает валютная концентрация, поскольку все четыре позиции теряют при укреплении доллара. Без этого лимита R1 и R2 вместе создали бы ставку на доллар величиной 4,00%, каждое — полностью по собственным правилам.

В итоге три позиции по 1,00% — точно портфель раздела 7: модельная волатильность 1,53% капитала в день, сумма потерь при всех выходах 3,00%, а с проскальзыванием и без гэпа — 3,30% = 3 300 PLN. Свободные 1,00% бюджета R2 остаются свободными до закрытия одной долларовой позиции или сигнала по другому фактору.

Два одновременных сигнала на связанных инструментах

Более сложный случай: оба правила дают сигнал в один момент на инструментах, которые после валютного разложения направлены одинаково. Пример: R1 даёт сигнал на длинную GBP/USD, R2 — на короткую EUR/GBP. Названия различны, но короткая EUR/GBP — длинная позиция в стерлинге; оба сигнала увеличивают одно и то же.

Пусть концентрация на стерлинге уже 2,00% (две прежние позиции по 1,00% со стерлингом на одной стороне), а лимит 3,00%. Свободно 1,00%. Два сигнала по 1,00% вместе дают 2,00% и нарушают лимит.

Разделение одного бюджета на две половины даёт σ не выше одной полной позиции только при равных отношениях σ/R у обоих кандидатов и общей базе. Тогда σhalves=σfull√[(1+ρ)/2]. Два приказа могут повлечь минимальные платежи, но плата, пропорциональная номиналу, не обязана удваиваться. Вариант без правила коллизии увеличивает R с 3% до 4%, а сценарий проскальзывания — с 3,3% до 4,4%.

15. Таблица решений об отклонении позиции

У дневного лимита есть остаточная ёмкость

Пример: текущие средства в начале дня 100 000 PLN, дневной лимит потерь 3 500 PLN, закрытые чистые убытки 400 PLN. Остаток 3 100 PLN. При текущем R=2 500 PLN и общем дополнительном исполнении 10%R получаем (2 500+Rn)×1,10≤3 100, поэтому Rn≤318,18 PLN. Игнорирование прежних убытков позволило бы 681,82 PLN. Если открытый убыток уже содержит движение от входа к текущей цене, считайте лишь дальнейший убыток от текущих средств до сценария выхода; иначе одна потеря вычитается дважды.

Предыдущий раздел показал отклонение сигнала: четвёртый шаг, когда концентрация ограничила раньше бюджета. Обобщим его до набора числовых проверок, чтобы решение не требовало оценки ситуации.

Проверки выполняются по порядку до открытия позиции по величинам, рассчитанным после её гипотетического добавления. У каждой есть не только ответ «да/нет», но и свободный запас — сумма риска, которая ещё помещается. Запас важнее самого ответа: он определяет, можно ли допустить позицию в уменьшенном размере.

Какая проверка ограничивает — числа

Исходное состояние. Текущий капитал 100 000 PLN. Три открытые позиции раздела 7 с риском по 1,00%, все короткие по доллару; поэтому ΣR = 3,00% = 3 000 PLN, а риск, сосредоточенный на долларе S_USD = 3,00%. Бюджет портфеля B = 4,00%. Допустимая дневная просадка DD = 3,50% — условное значение; происхождение дневного лимита и его база определены в 9.3, а измерение самой просадки по двум определениям вместе с условием остановки — в 9.8. Проскальзывание g = 10%. Лимит концентрации: 3 × R = 3 × 1,00% = 3,00%.

Кандидат. Длинная AUD/USD, риск R_n = 1,00% = 1 000 PLN. Корреляция результатов с первой позицией равна +0,72 — обе позиции длинные, поэтому знак из матрицы раздела 4 сохраняется. Кандидат тоже короткий по доллару, как все три открытые позиции. До расчёта нужна оговорка: оценка +0,72 получена в окне 90 сессий, то есть 89 наблюдений доходности, поэтому не выполняет условие окна из T3. В статье нет оценки в столь длинном окне, а добавление означало бы выдуманное наблюдение, поэтому ниже T3 работает как иллюстрация процедуры, а не пройденная проверка — в терминах раздела 3 это тревожный сигнал, а не решающее измерение. На итог расчёта это не влияет: T2 отклоняет кандидата при нулевом запасе независимо от значения любой корреляции.

Кандидат не помещается в лимит концентрации USD: остаточная ёмкость нулевая. Независимо от этого T4 оставляет 181,82 PLN дополнительного R. Исполнимость этой суммы требует цены входа, расстояния до выхода, издержек, минимального объёма и шага. Без них нельзя определить, не слишком ли мала позиция; здесь её уже отклоняет концентрация.

Стоит отдельно остановиться на T1: бюджет портфеля пройден. Будь он единственной проверкой, четвёртая позиция вошла бы беспрепятственно, а портфель получил бы 4,00% риска на одной валюте и сумму потерь 4,40% против допустимой просадки 3,50%. Одного бюджета риска недостаточно как единственного правила портфеля — это слабейшая из четырёх проверок: она ничего не знает о связях позиций.

16. Пять ошибок в арифметике портфеля

Ошибка 1: считать результат формулы портфеля суммой потерь

Самая тяжёлая и самая частая. Результат σ_p = 4,69% для пяти позиций с риском по 1% иногда описывают как «эффективный риск 4,69%, меньше 5% — есть запас». Запаса нет: 4,69% — стандартное отклонение дневного результата при σ = 1% каждой позиции, а сумма потерь при пяти выходах равна 5,00% плюс проскальзывание каждой составляющей. Диагностическая проверка — одно предложение: если вместо σ подставлена сумма, при которой вы закрываете позицию, подставлено не то.

Ошибка 2: портфель исключительно из долларовых пар

Четыре однонаправленные XXX/USD имеют общую короткую долларовую экспозицию. Другие валюты и масштабы результатов могут различаться, поэтому это не буквально одна позиция. Роль доллара в обороте подтверждена,¹² но не доказывает конкретной корреляции для каждой пары. Лимит концентрации и расчёт зависимости дополняют друг друга.

Ошибка 3: опора на корреляцию до смены режима

Оценка до события описывает ту выборку. Как обсуждают Форбс и Ригобон, изменение дисперсии общего шока может поднять корреляцию без изменения параметров связи инструментов.² Другая структура шока может дать иное направление. Прежде чем называть скачок коэффициента изменением зависимости, проверьте период, масштабы и критерий отбора.

Ошибка 4: считать отрицательную корреляцию хеджем

При корреляции результатов −0,91 модельная волатильность двух позиций падает до 0,34% (портфель C в разделе 11), иногда называемых «эффективным риском 0,34% вместо 2%». Это смешивает две величины. Разброс дневного результата действительно падает; сумма потерь при обоих выходах неизменна и равна 2,00% плюс проскальзывание. У каждой составляющей отдельные издержки; сумма не обязана быть ровно вдвое больше издержек одной, поскольку важны объёмы и спецификации. При одинаковых валовых результатах положительные дополнительные издержки снижают чистое математическое ожидание. В этом конкретном портфеле C стандартное отклонение падает до 0,34%; в общем случае противоположная позиция снижает дисперсию только при σn²+2Cov(P,Xn)<0. Два бюджета выхода остаются отдельным сценарием.

Ошибка 5: отсутствие лимита на валюту и смешение корреляции с причинностью

Обе привычки ведут к одному. Без концентрационного лимита шесть позиций «по 1%» дают одну ставку на 6%: каждая соответствует правилу, вместе — нет. Вторая привычка — добавить позицию потому, что «EUR/USD выросла, значит, вырастет GBP/USD: корреляция +0,87». Коэффициент описывает общий фактор, а не последовательность: обе пары реагируют на курс доллара, но у стерлинга свои факторы, которые сегодня могут разорвать связь. Лимит концентрации закрывает обе привычки: он требует не оправдания, а числа.

17. Задание для самопроверки

Портфель отличается от всех рассчитанных выше, но три коэффициента взяты из матрицы раздела 4: проверьте их там до начала. Сначала посчитайте самостоятельно, затем сравните с решением.

Решение

a) Перенос знака. Позиции 1 и 2 обе длинные, знак сохраняется: +0,92. Позиция 3 короткая, 1 и 2 длинные, поэтому в обоих случаях знак меняется: +0,68 и +0,60. Все три корреляции результатов положительны: длинные AUD/USD и NZD/USD и короткая USD/CAD — три короткие долларовые позиции.

b) Модельная совокупная волатильность.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σp=√2,1364=1,461643% текущих средств. В PLN: 0,01461643×60 000=876,99 PLN≈877 PLN. Пересчёт использует неокруглённое число; показанные 1,46% улучшают читаемость, а не становятся новым входом расчёта.

Проверка: результат между наибольшим отдельным отклонением (0,60%) и суммой отклонений (1,60%); нижняя часть проверки действует лишь потому, что все три корреляции результатов положительны. При отрицательных она не ограничивает, как у портфеля C раздела 11. При независимости получилось бы √0,8650 = 0,93%: связь повышает модельную волатильность на 57%.

c) Сумма потерь при срабатывании всех выходов. Без проскальзывания: 3 × 750 = 2 250 PLN = 3,75% капитала. Проскальзывание 8% суммы риска — 60 PLN на составляющую, всего 180 PLN: 2 250 + 180 = 2 430 PLN = 4,05% капитала.

d) Риск, сосредоточенный на долларе. Все три позиции теряют при укреплении доллара, поэтому концентрированный риск равен 3 × 1,25% = 3,75% капитала = 2 250 PLN. Лимит: 3 × 1,25% = 3,75%. Портфель находится ровно на границе; четвёртая позиция с долларом на той же стороне уже не помещается, сколь бы хорошим ни было правило входа.

e) Основа планирования капитала — число из пункта (c): 4,05%. Модельная волатильность 1,46% описывает разброс дневного результата при заданном горизонте и распределении и 64% ниже суммы, которая реально уйдёт со счёта при трёх выходах за одну сессию.

f) Второе окно и стресс. Для +0,78/+0,54/+0,46 смешанный член равен 2×(0,2574+0,1458+0,11385)=1,0341, поэтому σp=√1,8991=1,378079%, или 826,85 PLN≈827 PLN. Это изменение на 50,14 PLN, около −5,72% относительно длинного окна. SE(r)≈(1−r²)/√(N−1) при N=89 даёт 0,0164; 0,0573; 0,0682; при N=29 — 0,0740; 0,1339; 0,1490. Точечные разности r равны 0,14; 0,14; 0,14, но сравнение с шестью SE не является тестом значимости. Короткое окно вложено в длинное: Var(rL−rS)=Var(rL)+Var(rS)−2Cov(rL,rS). Последней ковариации и полных рядов нет, поэтому мы не даём ни p, ни интервала разности. Приближение SE также требует предпосылок раздела 2. Согласованный стрессовый вариант Cstress=0,5C+0,5J даёт коэффициенты 0,96/0,84/0,80, Var=0,5×2,1364+0,5×1,60²=2,3482 и σp=1,532384%, или 919,43 PLN. Матрица положительно определена (наименьшее собственное значение 0,03697). Стоп-сценарий с проскальзыванием остаётся 2 430 PLN до отдельных издержек, если R и исполнение не меняются. Это сравнение трёх предположений, а не доверительный интервал.

18. Что из этого следует

Всё содержание статьи укладывается в два числа и одну границу между ними. Модельная совокупная волатильность отвечает на вопрос, насколько широко разбросан дневной результат портфеля, и служит сравнению составов портфеля. Сумма потерь при одновременном срабатывании всех защитных выходов, увеличенная на проскальзывание и гэп каждой составляющей, отвечает на вопрос, сколько уйдёт со счёта; по этому числу планируют капитал и лимиты. Первое зависит от корреляции. Второе не зависит от неё вообще.

Четыре следующих действия — арифметика, а не советы. Разложите позиции по валютным составляющим с правильными знаками и вычислите чистую экспозицию каждой валюты в валюте счёта; без этого вы не знаете числа своих ставок. Рассчитайте риск, сосредоточенный на каждой валюте, как сумму рисков позиций, теряющих при её движении в одну сторону, и сравните с заранее записанным лимитом. Запишите четыре параметра измерения и дату рядом с каждым коэффициентом: без них оценка невоспроизводима и несопоставима. Перенесите знак по направлениям позиций до подстановки в формулу.

Стоит знать и чего этот расчёт не даст. Он не скажет, сколько вы реально рискуете: историческая корреляция этого не говорит, а раздел 9 показывает почему. Он скажет более узкую вещь: сколько уйдёт со счёта, если все гипотезы не оправдаются в одной сессии, — в сценарии с принятым проскальзыванием и без гэпа; с гэпом — больше, и верхней границы расчёт не знает. Если число выше выдерживаемой просадки, уменьшают число позиций или риск каждой, поскольку это единственные два параметра, меняющие его.

В следующей статье рассматривается происходящее ниже нижней границы этого расчёта: механика гэпа, убыток при скачке больше расстояния до выхода и ограничения мер, пытающихся описать хвост распределения.