Математика убытков: асимметрия восстановления и риск разорения

После просадки на 10% для возвращения к прежнему пику нужна доходность 11,1%; после 50% — 100%, а после 90% — 900%. Эти значения следуют из одного арифметического тождества и не требуют рыночных данных. Иной статус имеет риск разорения: это результат модели, основанной на заданном распределении и параметрах, оценённых по выборке. В этом уроке выводится таблица восстановления, проверяются предпосылки формулы разорения и сравниваются траектории капитала при разных правилах определения размера позиции. Затем учитываются издержки, порядок результатов и неопределённость оценок. Поэтому для каждого числа можно указать базу расчёта и условия его применимости.

Во все дальнейшие расчёты входят три исходных параметра. Здесь ни один из них не выводится — это задача статьи 9.6. Здесь это исключительно числа, которые задаёте вы.

• Доля прибыльных сделок (p): входит в формулу в разделе 3 и в моделирование; ниже для примера используется 55%.
• Отношение прибыли к риску (RR): задаёт величину выигрыша относительно убытка в распределении, из которого выбираются результаты при моделировании; для примера — 1:1,5, но в разделах 3 и 11 намеренно 1:1, поскольку только это соотношение соответствует формуле разорения игрока.
• Математическое ожидание: среднее, вытекающее из заданного распределения выплат; само по себе оно не определяет риск разорения. Для примера — +0,54 R до издержек и +0,35 R после издержек исполнения (раздел 8).

1. Вывод и полная таблица восстановления — от −5% до −90%

Капитал после просадки на долю DD от пика равен K × (1 − DD). Для возвращения к K эта уменьшенная сумма должна вырасти на недостающую разницу K × DD, а доходность рассчитывается от того, что осталось после убытка:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K сокращается и исчезает, поэтому результат не зависит ни от размера счёта, ни от инструмента, ни от набора правил. Это арифметическое тождество: верное по определению и вообще не требующее данных. Ничто другое в этой статье такого статуса не имеет: риск разорения и моделирование — результаты моделей.

Подставим −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, то есть +100%. Для −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, то есть +25%. В статье 9.1 дана сокращённая таблица; ниже приведён полный вариант с двумя столбцами, показывающими, сколько сделок при заданном математическом ожидании нужно для такой доходности. У трёх числовых столбцов разные базы; не смешивайте их.

У трёх столбцов разные базы; лишь их объяснение позволяет таблице не вводить читателя в заблуждение. Просадка измеряется от пика траектории капитала. Доходность восстановления рассчитывается от дна — капитала после убытка, — поэтому −50% требует +100%, а не +50%. Оба столбца числа сделок предполагают математическое ожидание +0,4% на сделку, но используют разные базы.
A) Фиксированная сумма риска: каждая сделка в среднем добавляет +0,4% начального капитала (фиксированные 40 PLN при старте с 10 000 PLN), независимо от текущей стоимости счёта. Формула: N = DD / 0,004. Убытки уже включены в это среднее: ожидаемая сумма N результатов равна N × 0,004 × K0 и совпадает с недостающими DD × K0 ровно при N = DD / 0,004, независимо от числа убыточных сделок в этой последовательности. Здесь используется линейность ожидаемой суммы; не требуется, чтобы каждая сделка приносила ровно среднее. N показывает, когда средняя сумма равняется недостающей величине. Это ни среднее, ни медианное время первого восстановления; для него нужна отдельная модель достижения границы. Величина до издержек: издержки сделок не учтены. Если неотрицательные издержки уменьшают то же среднее, сохраняя его положительным, равенство средней суммы наступает позже. Это не означает, что получена заниженная оценка случайного времени первого восстановления.
B) Фиксированный процент капитала: то же математическое ожидание, но рассчитанное от текущих средств счёта, которые после просадки меньше. Формула: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Дольше, чем в столбце A, поскольку каждый прирост рассчитывается от меньшей базы.
Оба столбца дают число сделок. Чтобы перевести его во время, нужна ваша частота торговли; см. пример ниже.

Перевод во время для столбца B при двух частотах. В таблице использованы условные значения; предполагается, что средние +0,4% на сделку сохраняются весь период восстановления, чего ничто не гарантирует. В столбце сделок сохранено точное значение формулы столбца B до округления, поэтому месяцы воспроизводятся напрямую: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

Функция Z = DD/(1 − DD) возрастает и выпукла на всей области от 0 до 1 — в ней нет порога, на котором «что-то меняется». Рост непрерывен: между −5% и −20% необходимая доходность увеличивается с +5,3% до +25%, между −20% и −50% — с +25% до +100%, выше −50% — с +100% до +900%. Любой порог сокращения или остановки торговли — это решение, записанное заранее; формула его не предлагает. Откуда берётся такой порог и как записать условие возобновления торговли, объясняет статья 9.8.

Одно следствие выходит за пределы срока восстановления: просадка уменьшает текущий капитал, а именно текущий капитал сравнивается с порогом принудительного закрытия, рассчитанным по всем открытым позициям счёта. Определения и механика этих величин относятся к разделу 2, влияние ценового разрыва на цену исполнения — к статье 9.10.

Пополнение счёта не компенсирует торговый убыток

Условный пример: счёт падает с 10 000 до 8 000 PLN, затем владелец вносит 2 000 PLN. Баланс возвращается к 10 000 PLN, но торговая доходность остаётся −20%. Аналогично, вывод денег после прибыли не является просадкой, вызванной торговлей. До применения DD/(1−DD) решите, измеряете ли вы инвестиционную результативность без внешних денежных потоков или просто доступную сумму на счёте. Последняя важна для возможности продолжать торговлю, первая — для восстановления результативности.

2. Восстановление при фиксированном проценте капитала

При фиксированном проценте текущих средств счёта (1% на сделку) сумма риска уменьшается вместе со счётом. База — текущие средства счёта, измеренные до открытия позиции. 1% от 10 000 PLN — это 100 PLN; после убытков 1% от 8 500 PLN — это 85 PLN. Одно правило даёт разные суммы, поскольку изменилась база.

Это действует в обе стороны. Следующий убыток забирает меньше PLN, но и следующий выигрыш приносит меньше, поскольку оба используют уменьшенную базу. Условные значения, счёт в PLN, математическое ожидание +0,4 R на сделку:

Пропорция здесь точная и непосредственно следует из определения: сумма выигрыша сокращается тем же темпом, что и капитал. Поэтому столбец B таблицы раздела 1 даёт большие числа, чем столбец A: при просадке −50% это 174 сделки вместо 125, то есть на 39% больше. Оба столбца рассчитывают одинаковый процент, но от разной базы; в этом вся разница.

Ни одно из двух правил не лучше другого: они отвечают на разные вопросы и по-разному влияют на размер позиции, чему посвящена статья 9.5. Выбор базы меняет число сделок для восстановления, поэтому указание «сколько нужно отыграть» без названия базы неполно.

3. Риск разорения — формула, предпосылки и пересчитанная таблица

Риск разорения — вероятность достижения капиталом заданного нижнего порога. Во всём этом разделе разорение означает падение до 50% начального капитала или ниже. Верхней цели, до которой нужно достичь порога, нет; модель допускает торговлю без ограничения срока. Изменение порога или горизонта меняет вопрос и результат.

Вариант модели и формула

Расчёт ниже использует классическую модель разорения игрока^[1] с двумя исходами: каждая сделка заканчивается выигрышем или проигрышем одинаковой величины (отношение прибыли к риску 1:1), денежная сумма риска фиксирована, доля прибыльных сделок p постоянна, последовательные результаты независимы, а горизонт бесконечен.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — доля прибыльных сделок, выраженная дробью; edge = 2p − 1 (доля прибыльных сделок 55% даёт преимущество 0,10). Обе формы записи формулы тождественны: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — число единиц риска, отделяющих текущий капитал от порога разорения. В начале при риске 2% начального капитала и пороге −50%: N = 50% / 2% = 25. После просадки расстояние измеряется от текущего состояния счёта; пример приведён в упражнении (раздел 11).
• Результат безразмерный: он не зависит ни от валюты счёта, ни от размера капитала, поскольку вся информация о капитале заключена в N.

Модель требует фиксированной денежной суммы риска. При фиксированном проценте текущего капитала сумма уменьшается вместе со счётом, поэтому никакое N из этой формулы не описывает такую траекторию: вместо этого нужно моделирование (раздел 6).

Какого порога капитал действительно может достичь?

Формула ниже применима при p > 0,5; при p ≤ 0,5 вероятность разорения на бесконечном горизонте равна 1, в том числе при нулевом среднем. Если текущее расстояние до порога не кратно фиксированной сумме R, используйте N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉, округляя вверх. Капитал движется по сетке с шагом R и не останавливается между её точками. Это относится к модели ±R и условию «порог или ниже»; при переменных выплатах восстановите их сетку или моделируйте траекторию.^[1]

Условный пример: K = 10 000 PLN, порог 9 050 PLN, R = 300 PLN. Расстояние 950 PLN даёт N = 4 и достижимое нижнее состояние 8 800 PLN. Округление до N = 3 рассчитало бы разорение на другом пороге: 9 100 PLN, ещё выше заданной границы.

Таблица — каждая ячейка воспроизводится по формуле выше

Как воспроизвести любую ячейку. Доля прибыльных сделок 52%, риск 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, то есть 13,52%. Доля прибыльных сделок 58%, риск 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, то есть 19,91%. Предпосылки, при которых эта таблица верна: разорение определено как падение до 50% начального капитала; отношение прибыли к риску 1:1; фиксированная денежная сумма риска; постоянная доля прибыльных сделок; независимые результаты; нулевые издержки исполнения; бесконечный горизонт.

Четыре вывода из таблицы, ни один из которых сам по себе не является рекомендацией:

• При доле прибыльных сделок 55% и риске 1% модельный риск разорения равен 0,0044%. На бумаге это выглядит безопасно, но лишь потому, что модель предполагает отношение 1:1, постоянную долю прибыльных сделок, отсутствие издержек и независимые сделки. Это предпосылки модели, а не установленные свойства каждой реальной серии. Дополнительные неотрицательные издержки ухудшают результат на той же траектории, а реальная кластеризация убытков может повышать риск; ошибка оценки доли прибыльных сделок и отношение, отличное от 1:1, могут сдвигать его в обе стороны, поэтому направление каждый раз нужно проверять отдельно.
• Та же доля прибыльных сделок 55% при риске 5% даёт 13,44%. Пятикратное увеличение риска на сделку повышает модельную вероятность разорения более чем в три тысячи раз, поскольку N стоит в показателе степени.
• Доля прибыльных сделок 52% при риске 2% даёт 13,52%. Положительное математическое ожидание и риск разорения примерно один к семи вполне совместимы: это две разные величины, рассчитанные по одним параметрам.
• Связь имеет правильное направление в обе стороны: риск разорения растёт с риском на сделку и падает при росте доли прибыльных сделок. Ячейка, нарушающая это направление, — ошибка таблицы или формулы.

Расчёт для двух уровней риска при неизменных остальных параметрах

Общие параметры, условные значения: доля прибыльных сделок 55%, отношение прибыли к риску 1:1, порог разорения −50% начального капитала, риск рассчитан как процент начального капитала и зафиксирован в денежной сумме.

• Риск 1% на сделку. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Через логарифмы: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, поэтому Pruin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Риск 2% на сделку. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, поэтому Pruin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• Разница: удвоение риска на сделку повышает модельный риск разорения в 151 раз при неизменных доле прибыльных сделок и отношении прибыли к риску. Математическое ожидание в единицах R совершенно не меняется.

Область применимости расчёта. Для этой формулы необходимы выплаты ±R и фиксированная сумма риска. При фиксированном проценте текущих средств и положительных множителях счёт не может достичь нуля за конечное число шагов, но может пересечь положительный порог разорения. Постоянная доля прибыльных сделок и независимость — предпосылки, а не утверждения о рынке. Неотрицательные издержки, вычитаемые на тех же траекториях при том же R, не могут улучшить капитал. Конечный горизонт ограничивает возможные моменты разорения, поэтому его вероятность не может превышать вероятность на бесконечном горизонте. Однако зависимость, ошибка оценки доли прибыльных сделок и изменение выплат могут действовать в обе стороны; сама формула направление не определяет.

Проверка формулы без случайных выборок. Решение удовлетворяет рекуррентному соотношению h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1), граничному условию h(0)=1 и пределу h(i)→0 при p>0,5: подстановка h(i)=((1−p)/p)^i делает правую часть точно равной левой. Для p≤0,5 решение для вероятности на бесконечном горизонте равно 1. Таблица даёт вероятности именно этой модели.

4. Риск разорения при отношении, отличном от 1:1

Формула раздела 3 описывает ставку с одинаковыми величинами выигрыша и проигрыша. Набор правил с долей прибыльных сделок 38% и отношением 1:3 этому условию не соответствует; подстановка его доли прибыльных сделок в формулу 1:1 даёт преимущество 2 × 0,38 − 1 = −0,24 и вывод «неизбежное разорение», хотя математическое ожидание этого набора равно 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52 R. Формула не ошибочна; её применили за пределами области, в которой она имеет смысл.

Неравные выплаты: рассчитайте вероятность перехода

Доля Келли не заменяет преимущество в формуле разорения. Она оптимизирует другую величину, поэтому сходство символов не обосновывает такую подстановку. При фиксированной сумме риска и выплатах +aR и −bR можно построить точное рекуррентное соотношение. Пусть H_t(x) обозначает вероятность пересечения нижнего порога не более чем за t следующих шагов с расстояния x над ним. Тогда H_0(x)=0 при x>0, H_t(x)=1 при x≤0, а для x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

Это следует из разделения первой сделки на выигрыш и проигрыш, как в классической модели раздела 3.^[1] Значение t необходимо задать. Для рациональных выплат на общей сетке конечное число шагов даёт конечное число состояний, поэтому не нужны ни угаданная формула, ни искусственное верхнее ограничение капитала. Тем же способом из обеих выплат можно вычесть фиксированные издержки.

Проверяйте чувствительность к совместным ошибкам параметров при одинаковых пороге, горизонте и правиле суммы риска. Ухудшение условной пары с p=55%, RR=1,5 до p=52%, RR=1,2 требует двух отдельных расчётов H. Критерий Келли и чувствительность его доли имеют собственный расчёт в 9.5; они не приближают вероятность разорения.

Более надёжный ответ даёт моделирование. Следующая таблица получена из моделирования, проведённого для этой статьи: 40 000 траекторий не более чем по 500 сделок, генератор NumPy PCG64 с начальным значением 20261005, два исхода с заданными долей прибыльных сделок и отношением выплат, фиксированный процент текущих средств счёта, разорение определено как падение до 50% начального капитала (на этом траектория останавливается), издержки исполнения нулевые. Все значения условные. Параметры p и RR заданы на входе; ни один из них не описывает рынок.

Наше моделирование: 40 000 траекторий не более чем по 500 сделок, фиксированный процент текущих средств счёта, порог разорения −50% начального капитала, издержки исполнения не учтены, результаты независимы, двухточечное распределение (выигрыш +RR, проигрыш −1 R). Траектория заканчивается при первом падении до порога разорения либо после 500 сделок; процентили максимальной просадки включают остановленные траектории. 95-й процентиль максимальной просадки — не худший случай — сам квантиль не ограничивает глубину оставшихся примерно 5% траекторий. Границы конкретной модели отдельно следуют из её выплат, горизонта и правила остановки. Математическое ожидание во втором столбце дано до издержек; версия после издержек исполнения приведена в разделе 8. При распределении, отличном от двухточечного, одинаковые p и RR дают разные просадки.

Таблица разделяет два вопроса. Разорение означает падение ниже половины начального капитала, тогда как максимальная просадка использует наивысший предшествующий капитал. Поэтому просадка от нового пика может превысить 50% без достижения порога разорения. Малое число разорений при 1% и 2% относится только к этим четырём распределениям и 500 шагам. Оно не доказывает недостижимость события. При 5% заметно меняются и распределение просадки, и число пересечений границы; одного более высокого среднего недостаточно для ранжирования этих результатов.

Даже ноль разорений в моделировании оставляет неопределённость

Если M независимых траекторий не содержат ни одного разорения, записывайте 0/M. Односторонняя верхняя 95%-я граница вероятности в этой фиксированной модели следует из (1−u)^M=0,05: u=1−0,05^(1/M). Для M=40 000 она составляет примерно 0,00749%; для 30 000 — 0,00999%. Эта граница описывает ошибку выборочного моделирования. Она не включает неверную долю прибыльных сделок, отсутствующие экстремальные убытки или неподходящую модель зависимости.

Вероятность встретить k последовательных убытков в N сделках — отдельный вопрос, ответ на который отличается от (1 − p)k; расчёт для заданных доли прибыльных сделок и длины последовательности приведён в статье 9.1, разделе 4; статья 9.3 использует предполагаемую длину серии на входе при выводе предела риска.

5. Порядок результатов — один набор, два прогона

Раздел 8 оставляет обещание, которое нужно выполнить здесь: порядок результатов важен для траектории, хотя не важен для конечной точки. Это утверждение проверяется арифметикой на десяти числах.

В обеих траекториях одинаковые результаты — четыре выигрыша (+2 R, +2 R, +1,5 R, +1,5 R) и шесть проигрышей по −1 R, всего +1 R за десять сделок, среднее +0,10 R. Правило размера позиции: фиксированный процент текущих средств, 1% на сделку. Начальный капитал 100 единиц; результат безразмерный, поэтому число единиц несущественно. Заранее заданный предел: просадка −5% от пика.

Просадка измеряется от пика траектории средств после каждой сделки. Капитал после сделки: K × (1 + 0,01 × R). В таблице округлено до трёх знаков после запятой; сам расчёт выполнен без промежуточного округления.

Конечная точка совпадает до десятичного знака: 100,912 в обоих прогонах, то есть +0,912%. Причина совпадения чисто арифметическая. Конечный капитал при фиксированном проценте — произведение K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), а умножение коммутативно — порядок множителей не меняет произведение. При фиксированной денежной сумме риска то же верно благодаря коммутативности сложения.

Всё остальное различается. Максимальная просадка равна 3,94% в прогоне A и 5,85% в прогоне B, то есть на тех же десяти результатах она в полтора раза больше. Предел −5% нарушается в прогоне B на шестой сделке, а в прогоне A не нарушается ни разу. Если предел останавливает торговлю, то на одном наборе результатов один прогон заканчивается на десятой сделке с +0,912%, а другой обрывается на шестой с −5,85% — и четыре имеющихся в наборе выигрыша так и не реализуются.

Практический вывод имеет два уровня. Арифметическое среднее выборки не описывает порядок результатов. Две перестановки одного набора результатов здесь имеют одинаковый конечный капитал, но могут давать совершенно разные просадки. Поэтому просадка, измеренная на одной исторической последовательности, — одна реализация из семейства возможных траекторий; случайная перестановка позволяет исследовать это семейство — тему следующего раздела.

6. Моделирование распределения результатов — что выбирается и чего результат не говорит

Исторический тест показывает одну последовательность — ту, которая произошла. Моделирование Монте-Карло строит распределение возможных траекторий из того же материала; нужно разделять две операции, которые нередко называют одним словом. Перестановка меняет порядок ровно тех же результатов: состав и конечная стоимость остаются неизменными, меняется лишь траектория. Это чистая проверка риска последовательности, выполненная вручную в разделе 5. Выборка с возвращением рассматривает выборку как распределение, из которого извлекаются новые списки: одни наблюдения пропускаются, другие повторяются, поэтому меняются также состав и конечная стоимость каждой траектории. В разделе 7 используется выборка с возвращением.

Что выбирается: результат одной сделки в единицах R из эмпирического распределения, построенного по вашим записям (с возвращением), либо из двухточечного распределения, заданного долей прибыльных сделок и отношением прибыли к риску. Предположение о независимости: каждое извлечение независимо от предыдущего; это нужно отдельно проверить на серии результатов конкретного правила. Число повторений: больше повторений дают более устойчивые процентили; в этой статье используются 40 000 в разделе 4 и 30 000 в разделе 8, и их число всегда указано рядом с результатами. Следующий график показывает три поточечных квантиля из явно заданного логнормального приближения, а не восемь случайно выбранных траекторий.

Из распределения считываются четыре величины:

• Медианная максимальная просадка: просадка, выше которой находится половина прогонов. Это ни прогноз, ни предел.
• 95-й процентиль максимальной просадки. Это не худший сценарий. Примерно 5% модельных траекторий имеют более глубокую просадку. Сам квантиль не ограничивает оставшиеся траектории; пределы заданной модели — отдельный вопрос. События ценовых разрывов рассматриваются в статье 9.10.
• Риск разорения: доля прогонов, в которых капитал упал до заданного порога. Величина зависит от порога: без указания порога она бессмысленна.
• Разброс конечного результата, то есть интервал, содержащий заданную долю прогонов при неизменных параметрах. Он не отвечает на вопрос о том, какой будет прибыль.

В сумме независимых результатов с постоянной конечной дисперсией стандартное отклонение растёт пропорционально квадратному корню из числа сделок, а ожидаемая сумма — линейно. Это не универсальное правило для любого диапазона распределения или для капитала при фиксированном проценте риска. Продление той же траектории не может уменьшить зафиксированную максимальную просадку, хотя не обязано её углубить. Знание параметров — отдельный вопрос: более длинная независимая выборка уменьшает ошибку оценки среднего как 1/√n (раздел 9), и эти два направления не противоречат друг другу, поскольку отвечают на разные вопросы.

Здесь нужно разделять два числа, которые легко спутать, поскольку оба являются «числом сделок». Длина одного прогона при моделировании — выбор горизонта: 500 сделок означают вопрос «что может произойти за 500 сделок». Размер вашей собственной выборки — число сделок, по которым строится входное распределение, и только он определяет, насколько точно известны параметры. Извлечение 500 результатов из пула ста наблюдений не создаёт новой информации: доверительный интервал математического ожидания остаётся тем, который следует из ста наблюдений (раздел 9).

Два средних не восстанавливают дисперсию

Если p — частота выигрышей, средние групп — W и −L, а их дисперсии — v_w и v_l, то Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². Двухточечное распределение сохраняет лишь последний член. При p=0,5 и W=L=1 R его дисперсия равна 1 R². Если половина выигрышей равна +0,2 R, а половина +1,8 R и проигрыши имеют аналогичные отрицательные значения, средние групп остаются ±1 R, но дисперсия становится 1,64 R². Дисперсия больше, однако это всё ещё не означает, что должны увеличиться каждый квантиль просадки или вероятность разорения для каждой границы.

7. Моделирование шаг за шагом

Для моделирования нужны лишь список собственных результатов в единицах R и инструмент случайной выборки. Для нескольких сотен прогонов хватит электронной таблицы; при большем числе удобнее короткий скрипт.

а) Исходные данные

Качество моделирования определяется качеством входного списка. Каждой закрытой сделке нужен один результат в единицах R, рассчитанный после издержек: R = (результат в валюте счёта после комиссии, своп-пунктов и проскальзывания) / (сумма риска, запланированная при входе). В знаменателе стоит плановый, а не реализованный риск, поэтому убыток с проскальзыванием хуже −1,00 R и попадает в распределение. Положительный результат — чистая прибыль в тех же единицах.

б) Порядок действий

1. Составьте список результатов в единицах R по собственным записям, по одному на закрытую сделку.
2. Выполняйте выборку с возвращением. Задайте длину одного прогона равной горизонту, о котором спрашиваете. Если вас интересует распределение просадок на уже имеющейся выборке, задайте её равной размеру собственной выборки; доверительный интервал параметров не сужается от большего числа извлечений.
3. Пересчитывайте капитал после каждой выбранной сделки по своему правилу размера позиции: при фиксированном проценте K ← K × (1 + r × R), при фиксированной денежной сумме K ← K + сумма × R.
4. Повторяйте достаточно долго, чтобы процентили перестали меняться между прогонами: обычно от нескольких тысяч до нескольких десятков тысяч прогонов.
5. Считайте медиану и 95-й процентиль максимальной просадки, долю прогонов ниже порога разорения и разброс конечного результата. Запишите рядом все предпосылки: через месяц только они позволят восстановить происхождение чисел.

в) Что именно говорит каждое из этих чисел

В этой таблице намеренно нет порога приемлемости. «Риск разорения ниже 1%» — выбор, а не результат, причём выбор зависит от того, какой процент капитала и на какой срок вы можете вывести из использования. Запись такого порога вместе с условием остановки и возобновления торговли относится к статье 9.8.

г) Скрипт

Замените массив результатов своими значениями в единицах R. Скрипт работает в двух режимах: с результатами, уже рассчитанными после издержек, либо с результатами до издержек и добавлением издержек как случайного параметра.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Распределение результатов, полученное выборкой с возвращением из вашего списка результатов в R.

    ДОПУЩЕНИЯ, которые этот код принимает, но не проверяет:
      - последовательные результаты независимы (это допущение нужно проверить);
      - параметры остаются постоянными на всём горизонте;
      - будущие результаты имеют то же распределение, что и выборка.

    length=None -> длина траектории равна размеру вашей выборки.
       Более длинная траектория ставит вопрос о другом горизонте;
       она НЕ сужает доверительный интервал параметров.

    outcomes_already_net=True -> список уже чистый; затраты не добавляются.
    outcomes_already_net=False -> вычесть независимые затраты max(0, Normal(mu,sigma)).
       mu и sigma описывают нормальное распределение ДО ограничения снизу,
       а не среднее и стандартное отклонение ограниченных снизу затрат.
       Зависимость между затратами и результатом не моделируется.
       Не применяйте оба подхода: это учитывает затраты дважды.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # seed обеспечивает воспроизводимость случайных выборок
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("Передайте непустой список конечных значений результатов")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("Риск и порог должны находиться в интервале (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("Длина и число повторений должны быть положительными целыми числами")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("Стандартное отклонение затрат не может быть отрицательным")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("Модель требует положительного множителя капитала")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # результат безразмерный
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("Результат с учётом затрат находится вне области определения модели")
            capital *= multiplier     # фиксированный процент текущих средств счёта
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "риск разорения": ruins / repetitions,
        "медиана максимальной просадки": float(np.median(max_drawdowns)),
        "95-й процентиль максимальной просадки": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "длина траектории": length,
        "размер выборки": len(outcomes_R),
    }

# Синтетические значения (исполняемый пример): замените своими результатами
# в единицах R, после затрат, по одному на закрытую сделку:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

Начальный капитал задан равным 1. Порог разорения — доля этого значения, тогда как максимальная просадка измеряется от текущего пика; валюта счёта не меняет ни одно из отношений. Строка capital *= (1 + risk * outcome) соответствует фиксированному проценту текущих средств счёта; для фиксированной суммы риска замените умножение сложением. Издержки по умолчанию 0,06 R заданы для примера и могут быть во много раз выше при близком защитном выходе; раздел 8 показывает, как они входят в расчёт. Список my_outcomes содержит двадцать значений исключительно для запуска кода; это ни рыночные измерения, ни достаточная для доказательства устойчивости параметров выборка. Случайные издержки в коде независимы от результата и ограничены снизу нулём; их параметры описывают нормальное распределение до этого ограничения.

8. Издержки исполнения как входной параметр

В формулу риска разорения и в моделирование входит математическое ожидание. Если оно задано до издержек, результат тоже будет до издержек, и различие не косметическое: издержки отдельно нагружают каждую сделку, включая убыточные. Эта статья не объясняет происхождение компонентов издержек и их зависимости: это делает раздел 2, а условия исполнения у брокеров рассматриваются в разделах 11–13. Здесь издержки — одно входное число, и важно только их влияние на расчёт.

Те же издержки в пипсах составляют большую долю R при более близком к входу защитном выходе; размер позиции и расстояние выхода рассматриваются в статье 9.5. Ниже издержки входят как уже рассчитанное число в единицах R.

Преобразование: те же параметры до и после издержек

Условные исходные данные: позиция по основной валютной паре, расстояние защитного выхода 50 пипсов, удержание позиции четыре ночи, плановый риск 1 R. Каждый компонент издержек указан отдельно:

• полный спред за полный цикл — разница между покупкой на входе и продажей на выходе, 4 пипса относительно расстояния 50 пипсов: −0,08 R. Учитывайте спред ровно один раз; разделение его на «вход» и «выход» с полной величиной в каждом месте удвоило бы одни издержки
• предполагаемое проскальзывание: −0,03 R
• своп-пункты за четыре ночи: −0,08 R
• всего: −0,19 R на сделку независимо от прибыли или убытка

Влияние на одну сделку: выигрыш до издержек +1,80 R даёт чистыми +1,61 R, а убыток до издержек −1,00 R даёт чистыми −1,19 R. Издержки воздействуют на оба результата в одном направлении.

Влияние на математическое ожидание при доле прибыльных сделок 55%:

• до издержек: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540 R
• после издержек: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350 R
• разница: −0,19 R, уменьшение на 35,2% математического ожидания до издержек — ровно на удельные издержки, поскольку издержки на каждой сделке уменьшают математическое ожидание на всю свою величину.

Влияние на распределение результатов — наше моделирование, 30 000 траекторий не более чем по 500 сделок (остановка при первом достижении порога), фиксированный процент текущих средств счёта, порог разорения −50%:

Обе версии используют одинаковые выбранные знаки результатов: p=0,55, выплата до издержек +1,8 R или −1 R, чистые издержки 0,19 R на шаг. Генератор PCG64, начальное значение 20261005; 30 000 независимых траекторий не более чем по 500 шагов с остановкой при капитале≤0,5 начального капитала, процентили MDD от текущего пика с линейной интерполяцией. Медиана при 1% повышается с 7,93% до 10,92%, а при 2% — с 15,35% до 20,91%. В каждой версии разорения достигли 0/30 000 траекторий; это не доказывает нулевую вероятность. Другие зависимости результатов проверяйте отдельно.

9. Сколько сделок стоит за оценкой параметра

Доля прибыльных сделок и отношение прибыли к риску, введённые в формулу раздела 3, — выборочные оценки с ошибкой. Полуширина 95%-го доверительного интервала математического ожидания равна 1,96 × σ / √n, где σ — стандартное отклонение одного результата в единицах R, а n — число наблюдений. Ниже для примера принимается σ = 1,5 R:

Расчёт: 1,96 × 1,5 / √n. Для n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. При стандартном отклонении выше 1,5 R (это возможно при отношении 1:3, но зависит также от доли прибыльных сделок и внутригруппового разброса) для тех же интервалов нужны соответственно большие выборки. Формула предполагает независимые наблюдения и нормальное приближение для среднего (центральная предельная теорема), поэтому для малых выборок и сильно асимметричных распределений результатов интервал лишь ориентировочный; σ = 1,5 R задано для примера. Положительная зависимость результатов может расширять интервал, отрицательная — сужать; одно лишь отсутствие независимости направления не задаёт. При замене σ выборочным стандартным отклонением s стандартный интервал использует распределение Стьюдента; нормальное приближение ниже предполагает известное условное σ.^[8]

Внимательно прочтите строку четырёхсот сделок. Статистическая значимость связывает величину эффекта, её ошибку и выбранный уровень; одно число сделок её не определяет. При полуширине ±0,15 R оценка +0,10 R даёт интервал от −0,05 R до +0,25 R, включающий ноль: после четырёхсот сделок такой результат нельзя отличить от отсутствия преимущества. Чтобы математическое ожидание около +0,10 R исключало ноль при σ = 1,5 R, требуется n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 наблюдений. Для +0,40 R та же таблица выглядит совсем иначе: достаточно ста.

Поэтому ответ на вопрос «сколько сделок» зависит от того, насколько большой эффект вы хотите отличить от нуля и каков разброс результатов. Любой порог без этих двух чисел — сто, двести или пятьсот — обычай, а не результат расчёта.

10. Чего не говорит этот расчёт

Формула за пределами применимости

Подстановка доли прибыльных сделок в формулу 1:1 при отношении 1:3 даёт бессмысленный результат: при доле прибыльных сделок 35% преимущество равно 2 × 0,35 − 1 = −0,30 и вывод — «неизбежное разорение», тогда как математическое ожидание этого набора равно 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40 R. Формула остаётся верной; её применили к ставке, которую она не описывает. Применимость — такая же часть формулы, как и её правая сторона.

Подстановка математического ожидания до издержек

Издержки исполнения влияют на каждую сделку, включая убыточные, поэтому уменьшают математическое ожидание ровно на свою величину: в разделе 8 используются 0,19 R, или 35,2% величины до издержек. Риск разорения, рассчитанный без издержек, — заниженная оценка.

Предположение о независимости результатов

Выборка отдельных результатов с возвращением предполагает независимость последовательных сделок. Модели условной волатильности, такие как ARCH Энгла, описывают зависимость дисперсии; работа 1982 года изучала британскую инфляцию.^[4] Это не означает, что результаты конкретного валютного правила обязательно группируются в серии убытков. Если такая кластеризация есть, отдельная выборка её устраняет. При чередующейся зависимости она, наоборот, может создать более длинные серии, чем реальный механизм. Проверяйте направление на результатах того же правила.

Одна доля прибыльных сделок, два разных механизма серий

Для примера пусть долгосрочная частота проигрыша q=0,4. В независимой модели вероятность двух проигрышей в заданном блоке равна 0,4²=0,16. В стационарной модели с P(убыток после убытка)=0,6 и P(убыток после прибыли)=0,2667 она приблизительно равна 0,4×0,6=0,24. При переходных вероятностях 0,2 и 0,5333 она снижается до 0,4×0,2=0,08, хотя доля прибыльных сделок остаётся 60%. Сохранение того же среднего и частоты не определяет длину серии. Это контрпример утверждению, что любая зависимость ухудшает результат независимого моделирования.

Распределение, построенное из уже случившегося

Выборка собственных данных воспроизводит лишь содержащиеся в них результаты. Ограничения нормальных моделей также обсуждаются в дополнительной литературе^[2]. Мы не приписываем этой книге измерение хвостов конкретной серии и не предполагаем здесь одно распределение изменений валютного курса. Отдельный сценарий может содержать убыток, во много раз превышающий плановый; если такого наблюдения в выборке нет, моделирование никогда его не создаст — даже при миллионе траекторий. Выборка этого набора данных не может воспроизвести отсутствующий эпизод экстремального убытка. Это не означает универсального направления ошибки для каждого квантиля; поэтому дополняйте результат явно заданным отсутствующим в выборке сценарием. Практическое дополнение — отдельный условный расчёт: один результат при предположении, что одна сделка из двухсот заканчивается на −5 R, и другой — что одна из пятисот заканчивается на −10 R. Такой расчёт говорит лишь о том, сколько отнимет у капитала одно такое событие.

Предположение об устойчивости параметров

Доля прибыльных сделок и отношение прибыли к риску, введённые в формулу, взяты из прошлого и несут ошибку оценки, обсуждённую в разделе 9. Модель считает их константами. Если они меняются со временем, пересчитайте также варианты на нескольких явно выбранных подпериодах и укажите критерий выбора. Подпериод с более низким средним или более длинными сериями убытков может ухудшить конкретный результат, но параметры не обязаны меняться совместно. Это анализ чувствительности, а не доказательство, что худшее историческое окно лучше предсказывает будущее. Оценка того, продолжает ли набор правил работать, относится к разделу 8; эта статья лишь рассчитывает последствия заданных параметров.

Средняя траектория — не время первого восстановления

Столбцы A и B раздела 1 показывают, когда детерминированная траектория среднего капитала достигает прежнего пика: соответственно при фиксированной сумме и множителе 1+0,004. Это ни среднее, ни медианное время первого восстановления отдельного счёта. Оно зависит от всего распределения и траектории; некоторые траектории могут не восстановиться за горизонт. В моделировании отдельно фиксируйте время первого восстановления и сообщайте долю траекторий без восстановления, а не исключайте их из среднего времени.

11. Упражнение для самопроверки

Данные отличаются от всего использованного выше. Решите самостоятельно, прежде чем смотреть решение.

Решение.

Пункт 1. Просадка от пика: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, то есть −35%. Необходимая доходность: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, то есть +53,8%. В PLN: не хватает 8 400 PLN; относительно 15 600 PLN это даёт 8 400 / 15 600 = 53,8%; совпадение методов проверяет арифметику. Это необходимое увеличение капитала от дна до пика. Если оба состояния даны после издержек, нужно заработать 8 400 PLN чистыми; не добавляйте издержки повторно к самому отношению. Формула не говорит ни о необходимом числе результатов до издержек, ни о необходимом времени для такого прироста.

Пункт 2. Модель: разорение игрока, отношение 1:1, фиксированная сумма риска, бесконечный горизонт. Отношение: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N считается от текущих средств счёта до порога разорения, поскольку часть расстояния уже пройдена. Порог: 24 000 × (1 − 0,40) = PLN 14 400. Сумма риска: 1,5% × 24 000 = PLN 360 (фиксированная, от начального капитала). Расстояние: 15 600 − 14 400 = PLN 1 200.

• Риск 1,5%: N=⌈1200/360⌉=4. Первое достижимое состояние на пороге или ниже: 14 160 PLN; (0,46/0,54)^4=0,526570, то есть 52,66%.
• Риск 3%: R=720 PLN, N=⌈1200/720⌉=2; (0,46/0,54)^2=0,725652, то есть 72,57%. Удвоение суммы риска увеличивает результат на 19,91 процентного пункта, примерно в 1,38 раза.
• В начале при R=360 PLN расстояние равно 9 600 PLN, поэтому N=⌈9600/360⌉=27 и результат равен 1,32%. Достижение 15 600 PLN увеличило условный риск из текущего состояния примерно в сорок раз. Показатель степени работает одинаково при любом N; изменилось расстояние до границы.

Пункт 3. Результат предполагает выплаты ±R, фиксированную сумму риска, постоянную долю прибыльных сделок p=0,54, независимость, нулевые издержки и бесконечный горизонт. Теоретическое стандартное отклонение этого распределения равно σ=√(1−0,08²)=0,9968 R, а не 1,5 R. Нормальное приближение неопределённости среднего при 100 наблюдениях имеет полуширину около 0,195 R; оно описывает неопределённость p, не включённую в результат разорения выше. Дополнительные неотрицательные издержки ухудшают ту же траекторию, тогда как конечный горизонт сокращает возможности разорения. Зависимость и изменения параметров могут действовать в обе стороны. При p≤0,5 в этой модели ±R вероятность разорения на бесконечном горизонте равна 1, хотя при p=0,5 среднее время достижения границы может быть бесконечным.

Пункт 4 не имеет единственного решения. Схема та же: собственный порог разорения в валюте → расстояние от текущего капитала → деление на собственную фиксированную денежную сумму риска → округление вверх до достижимой границы → N → ((1 − p)/p)N. Запишите результат вместе со списком предпосылок из пункта 3: этот список — часть ответа.

12. Пять чисел, которые нужно рассчитать

Для каждого нужно указать базу и предпосылки; только тогда его можно с чем-либо сравнивать:

1. Математическое ожидание после издержек исполнения, в единицах R и валюте счёта, с указанием состава издержек. Определение и вывод даёт статья 9.6.
2. Доходность, необходимая для восстановления после типичной и самой глубокой на сегодня просадки, из тождества Z = DD/(1 − DD), рассчитанная от дна.
3. Риск разорения при вашем риске на сделку, с указанием порога разорения, варианта модели и списка предпосылок. Без этих трёх элементов число ничего не значит.
4. Медиана и 95-й процентиль максимальной просадки из моделирования на собственных результатах. Второй не является худшим случаем; сам по себе он не описывает глубину оставшейся части распределения. Границы модели устанавливаются отдельно.
5. Полуширина доверительного интервала вашего математического ожидания при вашем числе сделок. Среднее остаётся оценкой, даже если интервал исключает ноль. Интервал, охватывающий ноль, дополнительно показывает, что при этих предпосылках выборка не позволяет отличить положительное среднее от нулевого или отрицательного. Неопределённость параметров переносится в расчёты, зависящие от распределения результатов; необходимая доходность для восстановления заданного падения сама является арифметическим тождеством.

Все пять описывают последствия параметров, заданных вами. Ни одно не определяет, обладает ли ваш набор правил преимуществом (это вопрос раздела 8), и ни одно не превращает набор с отрицательным математическим ожиданием в прибыльный.

Следующая статья (9.3) обращает направление расчёта: вместо риска разорения при заданном проценте выводит допустимый процент из заданной просадки и предполагаемой длины серии убытков.

Больше прогонов не заменяют более крупную выборку

У моделирования две ошибки. Первая возникает при выборе M траекторий с фиксированными параметрами; вторая — при оценке этих параметров по n реальным результатам. M=100 000 при n=20 может очень точно воспроизвести неопределённое распределение двадцати наблюдений. Чтобы разделить ошибки, рассчитайте несколько входных сценариев и внутри каждого повторите выборки с разными начальными значениями генератора. Не называйте изменения между сценариями ошибкой Монте-Карло.