Соотношение риска и прибыли, доля прибыльных сделок и матожидание — как рассчитать результат одной сделки

Доля прибыльных сделок 80% может сочетаться с отрицательным результатом. Нужны также средняя прибыль, средний убыток и издержки завершённой сделки. Чистое матожидание объединяет эти величины, а порог безубыточности показывает долю прибыльных сделок, необходимую для нулевого среднего при заданных результатах. Этот урок определяет p, RR и E для всего раздела. Вы рассчитаете сдвиг порога в процентных пунктах и рассмотрите, что одно лишь положительное среднее говорит о месяце, просадке или размере позиции. Примеры иллюстративны: для собственного расчёта нужны реальные результаты закрытых сделок и единый порядок учёта издержек. Явное указание единиц и знаменателя делает сравнения содержательными.

1. Три величины: соотношение риска и прибыли, доля прибыльных сделок, матожидание

Это опорный блок для всего раздела курса. Статьи 9.2, 9.5, 9.7, 9.8 и 9.11 используют эти три величины как входные данные и отсылают сюда за определениями. Две связанные с этими определениями величины имеют собственные разделы в этой статье: состав и измерение издержек K_t рассматриваются в разделе 5, а безубыточная доля прибыльных сделок и её вывод — в разделе 2.

Единица риска (R)

Единица риска — это сумма, которую вы теряете, если цена достигает защитного выхода и заявка исполняется по предполагаемой цене. Обозначим её R. Результат каждой сделки, выраженный в R, сопоставим между счетами разного размера: риск 200 PLN и прибыль +460 PLN означают +2,3R как при капитале 20 000 PLN, так и при 200 000 PLN. Определение объёма, который даёт R, описано в статье 9.5; база для процента риска — в статье 9.3. Для отдельной позиции процент берётся от текущего собственного капитала перед открытием. Для итогов периода мы фиксируем сумму, установленную в начале, и явно указываем начальный капитал; отдельный вариант со сложным начислением пересчитывает процент перед каждым шагом. Процент без указанной базы ничего не значит: при нереализованном убытке по открытым позициям один и тот же «1%», рассчитанный от учтённого баланса и от текущего собственного капитала, даёт разные суммы, причём разрыв растёт вместе с убытком.

Соотношение риска и прибыли (RR)

RR = ZS

Здесь Z — средняя прибыль по прибыльным сделкам, а S — средний убыток по убыточным сделкам; обе величины выражены в одной единице (валюте счёта или R) и взяты положительными. Запись «1:2» в этом курсе означает RR = 2: средняя прибыль вдвое больше среднего убытка. Запись «1:0,7» означает RR = 0,7: средняя прибыль меньше среднего убытка.

Соглашение, действующее во всей статье: Z и S — валовые величины. Это означает: они измерены по закрытым сделкам, то есть реализованы, а не запланированы, но взяты до вычета издержек исполнения. Издержки входят в расчёт отдельно под обозначением K_t и вычитаются ровно один раз (разделы 4 и 5). Обратное соглашение — Z и S уже после издержек, без отдельного K_t — столь же последовательно, но смешивать их нельзя: подставив величину после издержек в Z и затем вычтя K_t, вы учитываете одно списание дважды; при коротких расстояниях выхода разница может составить более десяти процентов одной единицы риска. Всюду в статье, таблицах и упражнении применяется первое соглашение.

Доля прибыльных сделок (p)

Доля прибыльных сделок p — это доля прибыльных сделок среди всех закрытых сделок при явно указанном валовом или чистом порядке учёта. Точно нулевые результаты выделяйте в третью группу p₀; p₊+p₋+p₀=1. Используйте бинарную формулу при p₀=0. Издержки, уплаченные при нулевом ценовом результате, не превращают этот валовой результат в валовой убыток; чистый результат при этом может быть отрицательным.

Математическое ожидание (E)

E_R = p × RR − (1 − p)

Результат в единицах риска одной сделки при среднем убытке 1 R, средней прибыли RR единиц риска и отсутствии группы нулевых результатов. Это валовая величина: согласно принятому выше соглашению, Z и S не содержат издержек, поэтому их нужно вычесть отдельно. Вариант в валюте счёта и после издержек приведён в разделе 4.

Три разобранных примера

Отношение прибыли к риску и долю прибыльных сделок нужно рассматривать вместе. При 1:2 (RR=2) и p=20% 0,20×2−0,80=−0,40 R; при p=45% 0,45×2−0,55=+0,35 R. При 1:0,7 и p=68%, когда средняя прибыль меньше среднего убытка, 0,68×0,7−0,32=+0,156 R. Отношение меньше 1 может давать положительное матожидание, а 1:2 — отрицательное. Фильтр «никогда ниже 1:2» отвергает первый вариант и пропускает второй.

Учитывайте статус этой величины: расстояния, считанные с графика в момент входа, дают плановое соотношение. В расчёт матожидания входит реализованное соотношение, рассчитанное по средним закрытых сделок; согласно принятому ниже соглашению, до вычета издержек исполнения, поскольку издержки входят в расчёт отдельно под обозначением K_t. Раздел 3 описывает разницу между ними; систематический источник этой разницы — управление открытой позицией, описанное в статье 9.7.

Как нулевые результаты входят в среднее

При трёх группах E_gross=p₊Z−p₋S и E_net=p₊Z−p₋S−K_t, где K_t — средние издержки по всем сделкам. Пример: четыре прибыли +2 R, четыре убытка −1 R и два нулевых результата при издержках 0,1 R на сделку. Валовое среднее равно (8−4)/10=0,4 R; чистое среднее — 0,3 R. Исключив нули, получим валовое среднее 0,5 R по восьми сделкам. Чтобы восстановить среднее по всем сделкам, умножьте его на 0,8, затем вычтите полные издержки 0,1 R. Изменение знаменателя меняет вопрос.

2. Безубыточная доля прибыльных сделок — вывод и влияние издержек

Безубыточная доля прибыльных сделок — доля, при которой матожидание равно нулю. Вывод занимает две строки. Условие нулевого матожидания в валюте счёта с полными средними издержками одной сделки K_t:

p × Z − (1 − p) × S − K_t = 0

После преобразования:

p* = S + K_tZ + S

Без издержек (K_t = 0) формула упрощается до p* = S/(Z + S), то есть после деления числителя и знаменателя на S:

p*_{без издержек} = 11 + RR

Проверка единиц: Z, S и K_t выражены в одной валюте, поэтому p* — безразмерная величина. При Z>0, S>0 и 0≤K_t<Z она лежит в (0,1); при K_t=Z равна 1; при K_t>Z превышает 1, и положительное матожидание при таких результатах недостижимо. Проверка направления: рост издержек повышает числитель и порог; рост Z снижает порог.

Третий столбец рассчитан по формуле p* = (1 + 0,10)/(RR + 1) при убытке 1R и издержках полного оборота одной сделки 0,10R. Издержки 0,10R — иллюстративная величина: ей соответствует расстояние до защитного выхода 20 пунктов при суммарных издержках 2 пункта. Подставьте собственное число из раздела 5.

Два вывода становятся видны только в столбце разницы. Во-первых, издержки повышают порог тем сильнее, чем меньше соотношение. При соотношении 1:0,5 те же издержки 0,10R сдвигают порог на 6,67 процентного пункта; при 1:5 — на 1,67. Во-вторых, вариант без издержек всегда слишком оптимистичен — не из-за формы этой зависимости, а просто потому, что K_t положительны и весь прирост порога обусловлен ими. Обратная пропорциональность величине (RR + 1) показывает размер этого занижения: он растёт при близких целях и уменьшается при далёких.

У столбца разницы есть ещё одно свойство, которое стоит запомнить перед разделом 5. Прирост порога точно равен K_t/(Z + S) и потому не зависит ни от доли прибыльных сделок, ни от точности исполнения плана. Он зависит только от издержек и суммы средней прибыли и среднего убытка. Практическое следствие: две сделки с одинаковым соотношением, но разными расстояниями до защитного выхода имеют разный прирост порога, поскольку при фиксированных издержках в пунктах более близкий выход означает меньшую сумму (Z + S), выраженную в пунктах. Одинаковая геометрия в единицах R поэтому не означает одинакового порога в процентных пунктах; арифметика приведена в разделе 5.

Порог и матожидание — две стороны одного тождества. Вычитание условия нуля из определения матожидания даёт E_net = (p - p*) x (Z + S): чистое матожидание — это превышение доли прибыльных сделок над порогом, умноженное на сумму средней прибыли и среднего убытка. Следовательно, маржа в процентных пунктах и матожидание в валюте несут одну и ту же информацию в двух единицах. Проверка на данных упражнения из раздела 10: (38,00% - 33,24%) x 680 PLN ≈ 32,4 PLN — с точностью до округления порога это то же число, что даёт полная формула (32,40 PLN). Если два способа дают разные результаты, в расчёте есть ошибка: чаще всего издержки учтены дважды или выбрана неверная база процента.

Безубыточная доля прибыльных сделок — арифметическое тождество: она следует из определения матожидания и верна независимо от рынка, инструмента и горизонта. А вот утверждение, что ваша доля прибыльных сделок такова-то, тождеством не является: это оценка по выборке с ошибкой, которая рассматривается в разделе 8.

Издержки, зависящие от исхода, меняют порог

Если средние издержки прибыльной сделки K_z отличаются от средних издержек убыточной K_s, не считайте их невзвешенное среднее константой при изменении p. E_net=p(Z−K_z)−(1−p)(S+K_s); при положительном знаменателе p*=(S+K_s)/(Z+S+K_s−K_z). Иллюстративные Z=300 PLN, S=100 PLN, K_z=10 PLN, K_s=30 PLN дают 130/420=30,95%. Использование издержек 20 PLN дало бы 30%, однако 20 PLN — верное среднее только при p=50%, а не на искомом пороге. При p=40% средние издержки равны 22 PLN, а E=38 PLN. Оба способа расчёта согласуются.

3. Результат в единицах риска: плановый, реализованный, после издержек исполнения

Для результата сделки в единицах риска достаточно одного деления:

Результат в R = результат сделки в валюте счётариск, выделенный при входе (1 R)

Учёт результата в единицах начального риска и анализ распределения этих результатов описаны в профильной литературе^[1]. Вы рисковали 200 USD и закрыли сделку с прибылью 460 USD → +2,3R. Полный убыток → -1,0R. Закрытие с убытком 140 USD до достижения защитного выхода → -0,7R.

Учёт результатов в R нормализует их относительно размера счёта, но не относительно уровня риска. Результат +1,0R при риске 1% текущего капитала (при капитале 20 000 PLN это 200 PLN) и +1,0R при 10% той же базы (2 000 PLN) — одинаковое число R и два совершенно разных решения. Указывайте процент и сумму вместе: сначала процент, затем сумму в валюте счёта.

Средние результаты в R и в PLN могут иметь противоположные знаки

Для примера: первая сделка имеет бюджет 100 PLN и результат +2 R, то есть +200 PLN; вторая — бюджет 400 PLN и результат −1 R, то есть −400 PLN. Средний результат в единицах риска равен +0,5 R, но средний денежный результат — −100 PLN. Умножение среднего R на средний бюджет риска в общем случае не даёт средних PLN: E[R_i B_i]=E[R_i]E[B_i]+Cov(R_i,B_i). Рассчитывайте каждую сумму с её собственным бюджетом. Укажите, взвешивает ли среднее сделки одинаково или по вложенному капиталу.

Три слоя одного результата

Величину в R можно рассчитать по трём разным наборам данных, а в учебных материалах чаще всего приводится только первый:

• Плановое R — из геометрии заявки до входа. Вход 1,0850, защитный выход 1,0820, цель 1,0910 → плановое соотношение 1:2,0
• Реализованный результат относительно средних цен — до издержек исполнения. Закрытие на 1,0885 даёт +1,17 R из геометрии цены вместо запланированных +2,0 R; после издержек исполнения на счёте остаётся +1,06 R. Для средней прибыли Z используется +1,17 R, поскольку издержки вычитаются отдельно под обозначением K_t
• Потери при исполнении — часть результата, которую забирают спред (полная разница между ценами покупки и продажи, уплачиваемая один раз за полный оборот), комиссия по каждой из двух заявок и проскальзывание при срабатывании защитной заявки. Измеряйте эти потери по собственным закрытым сделкам; иллюстративные величины в статье не заменяют измерения

Здесь Z и S измеряются по движению средней цены до фактического момента выхода; спред, проскальзывание и комиссия вычитаются отдельно. Цены исполнения 1,08510 и 1,08843 уже дают 33,3 пункта; после вычета комиссии, эквивалентной 1,4 пункта, остаётся 31,9 пункта, или 1,0633 R. Если Z и S получены непосредственно из цен исполнения, не вычитайте спред и проскальзывание повторно. Комиссия и финансирование остаются отдельными, если ещё не включены. Плановая цель не заменяет реализованный результат; средние должны включать фактические выходы, в том числе ранние и исполнения за барьером.

Иллюстративные величины, без свопа; 1 R = 30 пунктов. Считайте в пунктах, чтобы избежать сдвигов из-за округления: 60−25−3,1=31,9 пипсов, или 31,9/30=+1,063 R, с округлением до +1,06 R. Издержки исполнения составляют 3,1 пункта: проскальзывание 0,3, спред 1,4 и комиссия 1,4. Спред входит один раз как полная разница котировок покупки и продажи за полный оборот; комиссия за одну сторону взимается по обеим заявкам (раздел 5). Округлённые составляющие R дают 0,010+0,047+0,047=0,104 R, тогда как точное значение 3,1/30=0,1033 R. Разница 0,001 R возникает из-за округления составляющих, поэтому каскадная диаграмма использует 0,103 R. Учтите статус +1,17 R: это реализованный результат до издержек исполнения, который входит в среднюю прибыль Z при данном соглашении. +1,06 R — чистый результат счёта; его использование в Z с одновременным вычетом K_t означало бы двойной учёт издержек. Эта прибыльная сделка не активировала защитный стоп, поэтому проскальзывание стоп-выхода здесь не начисляется; убыточный вариант в разделе 5 учитывает его отдельно.

Минимум записей, необходимых для этого расчёта

Для расчёта доли прибыльных сделок, средней прибыли, среднего убытка и издержек достаточно шести полей на сделку: инструмент, принятый при открытии риск в валюте счёта, результат закрытия в валюте счёта, издержки по обеим сторонам, соответствовало ли закрытие записанному правилу, и дата. Полный стандарт торгового журнала с отдельными диагностическими полями относится к другой части курса и здесь не разрабатывается.

4. Матожидание — вывод, валовая и чистая величины

Матожидание — взвешенное среднее двух возможных исходов с весами, равными вероятностям. В валюте счёта:

E_{валовое} = p × Z − (1 − p) × S

Здесь p — доля прибыльных сделок в долях единицы; Z — средняя прибыль по прибыльным закрытым сделкам, измеренная в валюте счёта до вычета издержек исполнения; S — средний убыток по убыточным сделкам на тех же условиях, взятый положительным. Добавим полные средние издержки полного оборота одной сделки:

E_чистое = p × Z − (1 − p) × S − K_t

Здесь K_t — полные средние издержки полного оборота одной сделки: спред, учитываемый один раз (это полная разница цен покупки и продажи), комиссия, учитываемая дважды (взимается по каждой из двух заявок), предполагаемое проскальзывание и, если позиция переносится на ночь, своп-пункты с обратным знаком, поскольку начисление в пользу клиента снижает издержки. Всё выражено в валюте счёта; состав и измерение K_t рассматриваются в разделе 5. Если убытки точно равны 1R, формула сокращается до варианта в единицах риска: E_R = p x RR - (1 - p), с отдельным вычетом издержек как доли R.

Общий вариант в единицах риска, верный и при среднем убытке, отличном от 1R: E_R = (S/R) x [p x RR - (1 - p)] - K_t/R — скобка из упрощённого варианта умножается на отношение S/R. Числовая проверка: при p = 50%, RR = 2 и S = 1,2R средняя прибыль равна Z = RR x S = 2,4R, поэтому E_gross = 0,5 x 2,4 - 0,5 x 1,2 = +0,60R; упрощённый вариант дал бы +0,50R, занизив результат на 0,1R. Направление ошибки зависит от знака скобки: при S > 1R упрощённый вариант занижает положительный результат и смягчает отрицательный, а при S < 1R — наоборот.

Набор A: доля прибыльных сделок 45%, соотношение 1:2,1

• p = 0,45; Z = 2,1R; S = 1,0R
• E_gross = 0,45 × 2,1 − 0,55 × 1,0 = 0,945 − 0,55 = +0,395 R
• При издержках 0,083 R (2,5 пункта, делённые на расстояние до выхода 30 пунктов): E_net = 0,395 − 0,083 = +0,312 R

Набор B: доля прибыльных сделок 72%, соотношение 1:0,5

• p = 0,72; Z = 0,6R; S = 1,2R
• E_gross = 0,72 × 0,6 − 0,28 × 1,2 = 0,432 − 0,336 = +0,096 R
• При тех же издержках 0,083 R: E_net = 0,096 − 0,083 = +0,013 R

Доля прибыльных сделок модели B выше на 27 процентных пунктов, но её валовое матожидание примерно вчетверо меньше. Средний убыток превышает единицу риска, S=1,2 R, а средняя прибыль меньше неё, Z=0,6 R. Одна доля прибыльных сделок ничего не говорит о знаке результата. При издержках 0,10 R вместо 0,083 R модель B становится отрицательной: 0,096−0,10=−0,004 R. Кажущийся консервативным запас может быть меньше неопределённости измеренных издержек.

Пересчёт на период — и почему здесь неоправданны три значащие цифры

Для чистого E=0,3116667 R набора A примем фиксированные 500 PLN, равные 1% капитала 50 000 PLN до начала периода. Сохраним эту сумму неизменной для 15 сделок. Ожидаемая сумма равна 15×0,3116667×500=PLN 2 337,50, или 4,675% начального капитала. Средние складываются и без независимости при условии, что каждое указанное среднее сделки остаётся применимым. Простой расчёт стандартного отклонения и распределения суммы ниже требует независимости.

Стандартное отклонение одной сделки A равно √(0,45×2,1²+0,55×1,0²−0,395²)=1,54 R. Для 15 независимых сделок стандартное отклонение суммы равно 1,54×√15=5,97 R, или 5,97 процентного пункта начального капитала при фиксированных 500 PLN, тогда как среднее равно +4,675% чистыми или +5,93% валовыми. Разброс превышает весь ожидаемый результат. Указание месячных «+5,93%» предполагает точность до сотой пункта для величины с типичным отклонением около шести пунктов, а также не учитывает издержки, поскольку приведён валовой показатель.

Разброс суммы растёт пропорционально квадратному корню числа сделок, а матожидание — линейно, поэтому на достаточно длинной серии среднее начинает преобладать. Однако «достаточно длинная» — не число, которое можно просто объявить: оно определяется планом выборки, а это тема статьи 8.2. О том, чего среднее не показывает даже на длинной серии, говорится в разделе 8.

Для фиксированной доли текущего капитала нужен другой расчёт

При f=0,01, независимых одинаково распределённых X и 15 шагах K_15/K_0=∏(1+fX_i). Средний множитель равен (1+fE[X])^15. Для A после фиксированных издержек 0,083333 R рост составляет +4,778%, а не 4,675%, полученных суммированием. Дисперсия множителя равна (E[(1+fX)²])^15−(1+fE[X])^30, что даёт стандартное отклонение около 6,24 процентного пункта. Эти расчёты предполагают известные p=0,45, результаты +2,016667 R и −1,083333 R и фиксированные издержки; неопределённость оценивания исключена. При зависимых результатах матожидания произведений нельзя разложить на произведения матожиданий.

5. Издержки как входная величина расчёта

Издержки сделки входят одним числом, K_t. Здесь кратко определяется каждая составляющая; раздел 2 рассматривает её механику, а разделы о выборе брокера — условия исполнения и различия поставщиков.

• Спред — разница цен покупки и продажи. Это полные издержки оборота, уплачиваемые один раз за сделку: вы открываете позицию по худшей из двух котируемых цен и закрываете по худшей; разница между ними уплачена один раз. Поэтому спред входит в K_t с множителем x1; умножение полной разницы на два означает двойной учёт тех же издержек.
• Комиссия — плата с объёма, которая на комиссионных счетах взимается по обеим сторонам сделки.
• Проскальзывание — разница цены заявки и цены исполнения; после активации защитная заявка становится рыночной и исполняется по первой доступной цене.
• Своп-пункты — сумма, начисляемая при переносе позиции на следующий день; она может быть положительной или отрицательной.

K_t = [(s_вход + s_выход)/2 + G] × V × w + C_{обе стороны} − W_своп

Все составляющие в одной единице: в валюте счёта либо в пунктах с переводом в валюту счёта. Результат, делённый на R, даёт издержки в единицах риска; именно это число вычитается из валового матожидания. Два места в этой формуле часто учитываются неверно, и оба стоит показать отдельно.

Множители и знаки. Для валовых результатов по средним ценам спредовые издержки полного оборота составляют (s_entry+s_exit)/2 пункта. Один полный спред — сокращение, допустимое при одинаковых спредах входа и выхода. Добавление ещё одного полного спреда тогда завышает издержки на 0,07 R при D=20 пунктов и s=1,4. При спреде входа 1 и выхода 5 издержки вместо этого равны 3 пунктам. Проскальзывание G — разница между исполнением и соответствующей опорной котировкой той же стороны, суммируемая по входу и выходу; половины спреда повторно в него не входят. Комиссию за обе стороны C рассчитывайте по тарифу: удваивайте ставку за одну сторону, а не ставку за полный оборот. W_swap — сумма из выписки, положительная при начислении в пользу клиента; знак минуса в формуле делает такое начисление уменьшением издержек, а списание — их увеличением. Раздел 2 объясняет механику начислений; здесь они служат входными величинами одного расчёта.

Измерение собственного K_t начинайте с выбора базы результата. Прибыль/убыток по двум фактическим ценам исполнения уже включает спред и проскальзывание; добавляйте только отдельные сборы и финансирование, если они ещё не включены в чистый результат выписки. Не вычитайте издержки исполнения дважды. Для измерения относительно средних цен нужны обе опорные цены, спреды входа и выхода и исполнения. Рассчитайте две половины спреда и проскальзывание относительно соответствующей стороны котировки; проскальзывание относительно средней цены уже включало бы спред. Суммируйте сборы каждой завершённой сделки и вычитайте финансирование, считая начисления в пользу клиента положительными. Для средних издержек в R перед усреднением делите издержки каждой сделки на её собственное R; для средних в валюте усредняйте суммы. Месячное измерение описывает этот месяц. Издержки меняются в зависимости от времени суток, ликвидности и срока удержания, поэтому фиксируйте период выборки и соглашение о данных.

Переменный спред вносит две половины спреда

Для валовых результатов по средним ценам спред входа s₁ и спред выхода s₂ уменьшают результат полного оборота на (s₁+s₂)/2 пункта. Один полный спред — допустимое сокращение при s₁=s₂. Иллюстративные s₁=1 пункт и s₂=5 пунктов дают издержки 3 пункта, а не 1 или 6. При w=10 USD/пункт/лот и 0,2 лота это 6 USD. Результат по двум ценам исполнения уже включает эти половины спреда.

Издержки в единицах риска зависят от расстояния до защитного выхода

В первом приближении издержки в пунктах постоянны, а единица риска растёт с расстоянием до защитного выхода. Отсюда обратная зависимость: чем ближе выход, тем большая доля единицы риска уходит на издержки:

Величины в таблице иллюстративны и зависят от инструмента, времени суток и брокера; перед использованием в расчёте замените их собственным измерением издержек. Последний столбец равен K_t/(RR + 1) при RR = 2, то есть приросту безубыточной доли прибыльных сделок только из-за издержек для обоих вариантов издержек.

При расстоянии 8 пунктов и издержках 1,8 пункта издержки съедают 22,5% единицы риска; при расстоянии 80 пунктов — 2,3%. Поэтому одна пара (доля прибыльных сделок, соотношение) даёт разный чистый результат в зависимости от расстояния до защитного выхода, несмотря на одинаковую геометрию в единицах R. Выбор самого расстояния из точки опровержения гипотезы, а не из допустимого убытка описан в статье 9.4.

Фиксированные издержки, переменное расстояние выхода — как меняется порог безубыточности

Таблица выше показывает долю издержек в единице риска. Этот расчёт стоит довести до конца, потому что изменение расстояния до защитного выхода меняет сразу две вещи, действующие в противоположных направлениях. Рассмотрим наиболее распространённую ситуацию: цель задаётся уровнем, определённым анализом — происхождение такого уровня рассматривается в другом месте курса, поэтому расстояние до него от входа фиксировано и не зависит от положения защитного выхода. Обозначим расстояние до цели T, расстояние до защитного выхода D, а полные издержки одной сделки K; всё в пунктах.

Подставим их в формулу из раздела 2, p* = (S + K_t)/(Z + S). Средний убыток — D, средняя прибыль — T, издержки — K — всё в одних пунктах, поэтому единицы сокращаются и остаётся:

p* = D + KT + D

Это та же формула, что выше, только выраженная величинами, доступными на графике до входа. Возьмём общие издержки 2,4 пункта и цель на расстоянии 60 пунктов и рассчитаем три расстояния выхода:

Иллюстративные величины: цель на уровне в 60 пунктах от входа, общие издержки 2,4 пункта, не зависящие от расстояния выхода. Столбец «порог с издержками» рассчитывается прямо по (D + K)/(T + D), столбец «порог без издержек» — по D/(T + D); прирост равен их разности и составляет K/(T + D). Проверка при D = 30: (30 + 2,4)/(60 + 30) = 32,4/90 = 36,00%, а без издержек 30/90 = 33,33% — разница 2,67 п.п., то есть 2,4/90. Совпадает.

Эта таблица говорит больше, чем показывает одно соотношение.

Прирост порога из-за издержек снижается с увеличением расстояния выхода, но медленно. Удвоение D с 20 до 40 пунктов снижает прирост с 3,00 до 2,40 процентного пункта — на пятую часть, а не вдвое. Причина в формуле: прирост равен K/(T + D), а в знаменателе стоит сумма расстояний до цели и выхода, а не только D. Если цель задана уровнем, удаление защитного выхода снижает влияние издержек далеко не настолько, насколько можно предположить по доле издержек в единице риска из предыдущей таблицы.

Второе изменение в таблице направлено в обратную сторону и несопоставимо больше. Между D = 20 и D = 40 порог с издержками растёт с 28,00% до 42,40% — на 14,4 процентного пункта, тогда как сама составляющая издержек меняется на 0,6 пункта. Всё остальное даёт соотношение: при более далёком выходе та же цель означает меньшее RR. Объединение обоих наблюдений устраняет частое заблуждение: издержки не служат аргументом в пользу удаления защитного выхода. Его удаление действительно уменьшает долю издержек в единице риска, но одновременно повышает требуемую долю прибыльных сделок; при цели, заданной уровнем, второй эффект более чем в двадцать раз сильнее первого — 14,4 процентного пункта против 0,6.

Однако существует нижняя граница, ниже которой порог не опустится при любой настройке выхода. Когда D стремится к нулю, выражение (D + K)/(T + D) стремится к K/T, что в этом примере равно 2,4/60 = 4,0%. Это арифметическая нижняя граница безубыточной доли прибыльных сделок при заданных издержках и расстоянии до цели. Это недостижимая конфигурация: нулевое расстояние выхода означает отсутствие сделки, а фактическое изменение доли прибыльных сделок нужно проверить отдельно. Однако само число полезно для предварительной проверки. Если отношение издержек к расстоянию до цели велико, никакая настройка защитного выхода это не исправит: при издержках 2,4 пункта и цели в 12 пунктах нижняя граница уже равна 20%, и весь расчёт начинается с неё ещё до добавления чего-либо.

И оговорка, без которой вся таблица вводила бы в заблуждение: изменение расстояния выхода может изменить и долю прибыльных сделок, чего формула не отражает, поскольку доля прибыльных сделок служит её входом. Пороги последних столбцов показывают, какая доля необходима, а не какая будет. Связь двух параметров раскрывается в разделе 6; измерить её можно только по собственному журналу.

Издержки меняются со временем и между поставщиками, входя в этот расчёт как изменчивость K_t. Указывайте матожидание как при типичных, так и при повышенных издержках, проверяя, оставляют ли вторые его положительным. Если нет, запас набора параметров меньше изменчивости самих издержек.

Порог может находиться за пределами достижимой доли прибыльных сделок

При фиксированных K≥0 выражение p*=(S+K)/(Z+S) остаётся осмысленным и выше 1. Иллюстративные Z=40 PLN, S=100 PLN, K=50 PLN дают p*=150/140=107,14%. Даже 100% прибыльных сделок означают убыток 10 PLN на сделку; никакая достижимая доля не даёт положительного матожидания. При K=Z порог p*=1 даёт точно ноль, если все сделки прибыльны. Вывод «нужна высокая доля прибыльных сделок» здесь неверен.

6. Два набора параметров с похожим матожиданием

Матожидание — одно число, и получить его можно разными путями. Два варианта ниже имеют практически одинаковое E_R и совершенно разные распределения результатов. Названия описательные — вариант с частыми прибылями и вариант с редкими крупными прибылями — чтобы не путать их с наборами A и B из раздела 4, представляющими другую пару параметров:

Расчёт: частые прибыли дают 0,70×0,88−0,30×0,88=0,616−0,264=+0,352 R; более редкие крупные прибыли дают 0,32×3,22−0,68×1,00=1,0304−0,6800=+0,3504 R. Стандартное отклонение рассчитывается по √(E[X²]−E[X]²) для тех же валовых двухточечных распределений. Вычтите иллюстративные фиксированные издержки 0,10 R один раз под обозначением K_t: чистые средние равны 0,352−0,10=+0,252 R и 0,3504−0,10=+0,2504 R. Разница 0,0016 R сохраняется после издержек, поэтому сравнение применимо и к чистым средним.

Стандартные отклонения отдельных результатов различаются примерно в 2,4 раза. Одно σ не ранжирует квантили максимальной просадки или длины серий убытков. Для этих конкретных распределений 200 000 независимых траекторий по 50 шагов дают медианные просадки накопленного R 2,64 R и 8,56 R, измеренные от предыдущего накопленного пика до последующего минимума; статья 9.8 определяет базу реального счёта. Отдельно рекурсия при указанных долях прибыльных сделок для 200 независимых результатов даёт вероятности хотя бы восьми последовательных убытков около 0,9% и 96%. Эти частоты следуют из p, числа шагов и предположений о зависимости, а не только из σ.

Одного матожидания недостаточно для описания набора параметров. Для сравнения двух вариантов нужно второе число — разброс результатов, который отражается в просадке капитала. Измерение просадки по двум определениям и установка порога, за которым она перестаёт соответствовать параметрам, описаны в статье 9.8; распределение возможных траекторий при заданных параметрах — в статье 9.2.

Последний столбец — точечная оценка, положительная при положительной указанной разнице. Если Z, S и издержки считать известными, приближённый интервал доли прибыльных сделок также позволяет оценить знак в генеральной совокупности: если он включает порог, этот критерий не устанавливает положительное матожидание совокупности. Сравнение запаса примерно с двумя стандартными ошибками — сокращённая запись нормального приближения для 95%; оно не меняет знак рассчитанного запаса. Предположения раскрыты в разделах 8 и 10.

Это учебная эвристика, а не отраслевой ориентир. Строки лишь показывают, как из пары чисел получаются матожидание и превышение над порогом; они не утверждают, что определённая доля прибыльных сделок «сопровождает» определённое соотношение или что какая-либо строка является целью. Не считайте числа таблицы типичными: это набросок, который нужно заменить величинами из собственного журнала.

Доля прибыльных сделок и соотношение — не две независимые настройки

Таблица сравнивает произвольные пары p и RR. Изменение правила выхода может менять обе величины, средний убыток и издержки. Не предполагайте постоянную долю прибыльных сделок после переноса цели или стопа. Но и снижение математически не неизбежно: некоторые изменения влияют на размеры прибыли без переноса результатов между группами. Сравнивайте оба измеренных варианта; формула не задаёт направления изменения.

Оба числа — результат одного правила выхода. Доля прибыльных сделок — доля сделок с положительным закрытием; соотношение — частное средних двух групп. Но и попадание сделки в группу, и среднее каждой группы задаёт один набор уровней: положение защитного выхода и цели. Перенос любого из них перемещает некоторые сделки между группами и одновременно меняет оба средних. Не предполагайте, что улучшение соотношения оставляет долю прибыльных сделок и средний убыток неизменными. В конкретной выборке соотношение может измениться и без снижения доли прибыльных сделок; это определяет распределение результатов, а не одно направление перестановки уровня.

Три наиболее частых действия и направление одновременного изменения обоих чисел при каждом из них:

• Удаление цели при неизменном стопе. При одинаковых входах и траекториях, фиксированном стопе и исполнениях на заданных уровнях это повышает плановое T/D. Достижение более дальней цели до стопа — подмножество достижения ближней, поэтому доля прибыльных сделок этой модели не может вырасти, но может остаться прежней. Это не универсальный прогноз наблюдаемых средних при других выходах или исполнениях. Неизменное D также не обеспечивает фиксированные издержки: более долгий срок удержания может менять финансирование, спред выхода и проскальзывание.
• Приближение стопа при неизменной цели. Та же модель повышает плановое T/D, а вероятность достижения цели до стопа не может вырасти. Строгое снижение необязательно: новый уровень может не изменить ни одного результата в конкретной выборке. Фиксированные издержки в пунктах становятся большей долей уменьшенного D, но фактические издержки и групповые средние нужно пересчитать. При других правилах выхода одного T/D недостаточно для восстановления средних результатов.
• Управление открытой позицией — перенос стопа на вход, его сопровождение или частичное закрытие — может менять долю прибыльных сделок, среднюю прибыль и средний убыток в разных направлениях в зависимости от правила и ценовой траектории. 9.7 содержит этот отдельный расчёт.

Когда оба числа меняются, одно более высокое соотношение не устанавливает улучшения результата. Вопрос, на который есть ответ: насколько максимально может снизиться доля прибыльных сделок, чтобы изменение ещё было оправданно. Это арифметика, причём короткая.

Для явного выражения связи запишем матожидание в единицах риска. Преобразование E_R = p × RR − (1 − p) даёт:

E_R = p × (RR + 1) − 1

Это сравнение предполагает средний убыток 1 R в обоих вариантах и одинаковое денежное R после изменения объёма. Поэтому валовое матожидание равно p×(RR+1)−1; для чистого матожидания также вычитаются издержки в единицах риска. Изменение выхода улучшает результат тогда и только тогда, когда прирост этого произведения превышает прирост издержек.

p₂ × (RR₂ + 1) − k₂ > p₁ × (RR₁ + 1) − k₁

где k — издержки в единицах риска, рассчитываемые отдельно для каждого варианта; при изменении расстояния выхода они тоже меняются.

Случай первый: удаляем цель при неизменном стопе. Если k остаётся прежним, оно сокращается. Условие принимает вид p_2 > p_1×(RR_1+1)/(RR_2+1). Переход с 1:1 на 1:2 при исходном p=50% даёт p_2 > 0,50×2/3=33,3%. Ровно при 33⅓% матожидания равны; при неизменных издержках улучшение даёт только более высокая доля прибыльных сделок. Ниже этой границы удаление цели ухудшает расчёт, несмотря на привлекательное соотношение и снижение валового порога безубыточности с 50% до 33,3%.

Случай второй: приближаем стоп при неизменной цели. Здесь k растёт и делает условие строже. Цель 60 пунктов, общие издержки 2,4 пункта, стоп сокращён с 30 до 20 пунктов, исходное p=45%. Первый вариант: RR_1=2,0, k_1=2,4/30=0,080 R, E_1=0,45×3−1−0,080=+0,270 R. Второй: RR_2=3,0, k_2=2,4/20=0,120 R. Доля прибыльных сделок при равных матожиданиях составляет p_2=(0,45×3−0,080+0,120)/4=1,390/4=34,75%; действительно, 0,3475×4−1−0,120=+0,270 R. Приближение с 30 до 20 пунктов улучшает результат только при снижении доли прибыльных сделок менее чем на 10,25 процентного пункта.

Снизится ли она меньше, определяет не формула, а только измерение по собственному журналу. Результат такого сравнения — оценка с ошибкой, и при типичном числе закрытых сделок различие такого порядка обычно не удаётся выявить. Поэтому перед сравнением двух вариантов обратитесь к статье 8.2: она показывает, на какой выборке и при каком числе сделок такое различие вообще можно измерить.

7. Фиксированное соотношение как правило — что оно нарушает в расчёте

Правило «никогда не входить в сделку с соотношением хуже 1:2» кажется безопасным, поскольку касается числа, которое легко проверить до входа. Однако арифметически оно нарушает больше, чем упорядочивает.

Оно переворачивает направление зависимости величин

Расстояние до защитного выхода следует из точки опровержения гипотезы, а не наоборот; это разобрано в статье 9.4. Правило фиксированного соотношения переворачивает порядок: задаёт цель как кратное расстояния до защитного выхода, поэтому соотношение становится не результатом расчёта, а его предпосылкой.

Оно отбрасывает наборы с положительным матожиданием

При 1:1,22 и p=62% валовое матожидание равно 0,62×1,22−0,38=+0,376 R; порог безубыточности при издержках 0,10 R равен 1,10/2,22=49,5%. Запас — 12,5 процентного пункта. Правило, отвергающее всё ниже 1:2, исключает эту положительную торговую ситуацию, хотя её запас больше, чем у 1:2 при p=38%: 0,38×2−0,62=+0,14 R валовыми, всего на 1,3 пункта выше порога 36,7% с учётом издержек.

Оно меняет долю прибыльных сделок и издержки, не затрагивая уровень опровержения

Если жёсткое соотношение получают приближением стопа, а не удалением цели, расстояние сокращается независимо от уровня опровержения. Относительные издержки растут (раздел 5); в иллюстративном сценарии близкий стоп также снижает долю прибыльных сделок. Замена расстояния 50 и цели 60 пунктов (1:1,2) на расстояние 30 при той же цели (1:2), когда p падает с 58% до 35%, меняет валовое матожидание с 0,58×1,2−0,42=+0,276 R на 0,35×2−0,65=+0,050 R. Доля издержек растёт с 0,036 до 0,060 R: те же иллюстративные 1,8 пункта из первой таблицы раздела 5 делятся на 50 или 30. Второй вариант даёт отрицательное чистое значение −0,010 R.

8. О чём не говорит матожидание

Матожидание — среднее большого числа повторений при неизменных параметрах. Список ниже задаёт вопросы, на которые оно не отвечает; у каждого в этом разделе курса своя мера и своя отдельная тема.

Разброс одного результата и неопределённость самого среднего — два разных числа

Различайте две совершенно разные величины. Стандартное отклонение одного результата описывает разброс результатов вокруг среднего и не уменьшается с числом сделок. Стандартная ошибка оценки среднего описывает точность знания самого матожидания и убывает как 1/√N. Их смешение приводит к фразам, в которых положительное среднее должно гарантировать траекторию.

SE = s√N

Для двухточечного A σ=3,1√(0,45×0,55)=1,54223 R. Иллюстративный нормальный интервал для 100 независимых наблюдений с этим σ равен в валовом выражении 0,395±1,96×σ/10, то есть от +0,0927 до +0,6973 R. Вычет фиксированных издержек 0,083333 R даёт от +0,0094 до +0,6139 R, исключая ноль. Замена σ равным ему выборочным s и множителем t₉₉≈1,984 даёт нижнюю границу около +0,0057 R.⁶ Положительная нижняя граница чувствительна к предполагаемому разбросу и издержкам, но близость к нулю не меняет её знак.

Разброс внутри групп может изменить интервал

Полная дисперсия результатов равна p v_z+(1−p)v_s+p(1−p)(Z+S)². Двухточечное σ=1,54223 R модели A включает лишь последний член. Если обе группы для примера имеют стандартное отклонение 0,8 R, полное σ становится √(1,54223²+0,8²)=1,73737 R. Тот же нормальный чистый интервал для 100 результатов теперь имеет нижнюю границу около −0,0289 R без изменения p, Z или S. Интервал, выведенный из групповых средних, нельзя представлять как использующий фактическое отклонение полной выборки.

Среднее не описывает последовательность, которую вы увидите

Матожидание +0,395 R — не отдельный результат. В этом двухточечном примере A даёт +2,1 R или −1,0 R без промежуточных значений; среднее описывает их усреднение. У суммы своё распределение: число прибылей k в N сделках имеет биномиальное распределение, а общий результат равен k×2,1−(N−k)×1,0=3,1k−N. Следовательно, для прибыли нужно k>N/3,1. За 20 сделок нужно хотя бы семь прибылей; вероятность меньшего числа равна 13,0%.

Этот биномиальный расчёт использует p=0,45, валовые Z=2,1 R, S=1,0 R и независимые последовательные результаты. Реальные записи необязательно удовлетворяют независимости; ковариация меняет дисперсию суммы, но один её знак не определяет вероятность пересечения конкретного порога убытка. Рассчитывайте вероятность в полной модели зависимости. Значения иллюстративны. При издержках 0,083333 R условие k>20×1,083333/3,1≈6,989 всё ещё требует семи прибылей; вероятность убытка остаётся 12,9934%. Издержки не меняют требуемое число прибылей на этой дискретной сетке. При издержках 0,10 R нужны восемь прибылей и вероятность убытка растёт.

Убыточный период из 20 сделок имеет в этой заданной модели вероятность около 13%. Отрицательный месяц — наблюдение, но само по себе не свидетельство ухудшения параметров. Заранее принятый лимит действий из статьи 9.8 может остановить торговлю при выбранной просадке. Достижение лимита не доказывает ни исчезновения преимущества, ни несостоятельности модели: у правила есть риски ложной тревоги и пропуска обнаружения. Статья 8.2 оценивает правила и данные.

Параметры меняются со временем, и интервал этого не охватывает

Рассчитанный выше интервал описывает неопределённость оценки на имеющейся выборке; он ничего не говорит о сохранении параметров в будущем. Доля прибыльных сделок и соотношение — свойства взаимодействия набора правил с определённым периодом рынка; изменение волатильности, ликвидности или издержек меняет их без предупреждения. Поэтому узкий положительный интервал означает лишь согласованность имеющихся данных с положительным средним за период их получения. Нестационарность параметров — отдельный вопрос, который никакой интервал не решает.

Повторная выборка из имеющейся выборки также позволяет оценить неопределённость среднего.⁴ У этого метода есть предположения, рассмотренные в статье 9.2. Здесь мы различаем средний результат, разброс отдельных результатов и стандартную ошибку среднего. Статья 8.2 рассматривает отбор выборки, момент её закрытия и сравнение правил; изменения числа сделок в знаменателе недостаточно, если данные выбраны после наблюдения результатов.

Траектория капитала и выживание в серии — отдельный расчёт

У двух вариантов из раздела 6 похожие средние, но разные полные распределения результатов. Для заданного горизонта мы рассчитали разные медианные просадки и частоты серий. Одна разница стандартных отклонений в 2,4 раза не определяет вероятность пересечения произвольного порога. Риск разорения нельзя прочитать только из матожидания. Нужны распределение результатов и их зависимость, правило суммы риска, горизонт и барьер. 9.2 ^[3] содержит формулу, вариант модели и разобранные примеры. Среднее и разброс — входные данные, но сами по себе не восстанавливают хвост и последовательность.

У годового результата есть интервал, а не одно число

Пересчёт матожидания на год даёт центр распределения, а не интервал. Возьмём p=37% и 1:2, измеренные по результатам уже после издержек. Это обращает соглашение раздела 1, но допустимо, если K_t не вычитаются повторно: E_net=0,37×2−0,63=+0,11 R; стандартное отклонение одного результата 1,45 R. При фиксированных 500 PLN на сделку, то есть 1% начального капитала 50 000 PLN, на протяжении 144 годовых сделок:

• матожидание суммы: 144 x 0,11 x 1% = +15,8% от средств счёта, или около 7 900 PLN (без сложного начисления);
• стандартное отклонение суммы: 1,45 x √144 x 1% = ±17,4 процентных пункта;
• приближённый центральный 90%-й интервал по нормальному приближению: от −12,8% до +44,4%;
• Точные вероятности событий: убыток 15,92% (k≤47), ноль 4,62% (k=48) и неположительный результат 20,54% (k≤48) при независимых результатах и постоянном p=0,37.

Предел расчёта. Мы суммируем или перемножаем все 144 заданных результата без досрочной остановки. Фиксированные 500 PLN дают крайний итог 144 убытков −72 000 PLN, превышающий начальный капитал 50 000 PLN. Это описывает распределение суммы результатов, а не платёжеспособность или выживание реального счёта. Барьер капитала и остановленные траектории моделируйте отдельно; см. 9.2.

Таким образом, «годовой результат около 10–14%» описывает изменение точечной оценки, а не диапазон возможных результатов. При этих параметрах нужный интервал на порядок шире: 57 процентных пунктов вместо четырёх, включая отрицательные значения. Убыточный год не устанавливает неверность параметров: при этих точных входных данных его вероятность в модели фиксированной суммы около 15,92%. Ещё 4,62% — точно ноль; вместе это 20,54%.

Тот же год при сложном начислении от текущего капитала

При риске 1% текущего капитала перед каждой сделкой конечный капитал после k прибылей за 144 шага равен K_0×1,02^k×0,99^(144−k). Для положительного года нужно k>−144 ln(0,99)/[ln(1,02)−ln(0,99)]≈48,4792, следовательно, хотя бы 49 прибылей. При k≤48 возникает убыток с вероятностью 20,54%; точно нулевой результат имеет вероятность 0%, потому что порог нецелый. Фиксированная сумма давала ноль при 48 прибылях; сложное начисление даёт около −1,420%. Вероятность положительного года та же, около 79,46%, но вероятность убытка отличается. Средний рост со сложным начислением равен 1,0011^144−1=17,153%; медиана при k=53 — 14,449%. Не переносите порядок среднего и медианы автоматически на любое распределение.

Немногие сделки могут давать большую часть результата

Набор с результатами +8R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R имеет среднее (8 - 6)/7 = +0,29R. Уберите одну сделку, и среднее станет -6/6 = -1,00R. Матожидание, рассчитанное по выборке, в которой больше половины суммы даёт одно наблюдение, — оценка с очень широким интервалом; это видно не по среднему, а лишь после расчёта доли крупнейших результатов в сумме. Вместе со средним приводите медиану и долю верхних пяти процентов прибылей в сумме прибылей.

Среднее работает для многих размеров результата, но не восстанавливает хвост

Тождество среднего не требует двух фиксированных результатов. Если Z и S — реальные групповые средние и нулей нет, E=pZ−(1−p)S остаётся верным для разных размеров результата. Двухточечное распределение предполагается лишь при расчёте дисперсии из p, Z и S или биномиальных вероятностей серий. Замена групп их средними удаляет внутригрупповой разброс, поэтому упрощённая дисперсия не больше дисперсии полных данных. Она не описывает весь левый хвост.

Модель «убытки всегда равны 1 R» ограничивает собственные заданные результаты, а не фактическое исполнение. Убытки на гэпах зависят от исполнений, которые стоп-уровень не гарантирует; 9.10 объясняет и рассчитывает их. Замена одного убытка −1 R на −6 R среди тех же 100 сделок снижает их среднее на (−6+1)/100=−0,05 R. Это выходит за пределы модели с двумя фиксированными результатами; перед повторным использованием пересчитайте реальные групповые средние и модель хвоста. Статья 9.8 определяет просадку.

Для собственного расчёта следует правило, которое можно применить сразу: рассчитывайте средний убыток S по всем закрытым убыточным сделкам, включая превысившие 1R, и приводите крупнейший отдельный убыток в выборке рядом с ним. Если S равно 1,0R, а крупнейший отдельный убыток — 4,2R, само среднее остаётся верным, но левый хвост распределения, определяющий просадку, находится вне этого расчёта и требует отдельного учёта.

Другие показатели — преобразования тех же трёх чисел

Профит-фактор — преобразование тех же трёх чисел^[2]:

PF = p × Z(1 − p) × S

Для заданного валового A PF=(0,45×2,1)/(0,55×1)=1,7182; для B PF=(0,72×0,6)/(0,28×1,2)=1,2857. Это модельные расчёты, а не измеренные записи. При фиксированных издержках 0,083333 R модель A даёт +2,016667 и −1,083333 R чистыми, следовательно, PF_net=(0,45×2,016667)/(0,55×1,083333)=1,5231. Валовой PF не заменяет чистое матожидание. PF<1 означает превышение суммарных убытков над суммарными прибылями при том же порядке учёта. Для точности эмпирического PF нужны полные результаты и число сделок; интервал среднего нельзя прямо переносить на это нелинейное отношение.

Аналогично реализованное соотношение (средняя прибыль, делённая на средний убыток по закрытым сделкам) — то же RR, только рассчитанное по результатам, а не геометрии заявок. Разница планового и реализованного соотношений — та же величина, что рассматривается в разделе 3.

В портфеле среднее складывается, разброс — нет

Матожидание нескольких одновременно открытых позиций равно сумме матожиданий; аддитивность среднего не зависит от взаимозависимости результатов. Разброс объединённого результата не аддитивен и зависит от силы совместного движения позиций. Отдельная величина — бюджет убытка при одновременном исполнении всех защитных выходов: сумма рисков в валюте счёта, увеличенная худшими исполнениями. Эти два числа отвечают на разные вопросы и не заменяют друг друга. Расчёт портфельной волатильности, разложение позиций на составляющие валюты и скрытая экспозиция к общей валюте рассматриваются в статье 9.9; здесь достаточно заключить, что число инструментов не является мерой диверсификации.

9. Самые частые ошибки интерпретации

Ошибка 1: судить только по доле прибыльных сделок

«Доля прибыльных сделок 68%: система хорошая». Если средняя прибыль равна 0,5 R, а средний убыток — 1,3 R, 0,68×0,5−0,32×1,3=0,34−0,416=−0,076 R. Доля прибыльных сделок 68%, но матожидание отрицательно, потому что средний убыток больше единицы риска, а средняя прибыль меньше. Ни доля прибыльных сделок, ни соотношение сами по себе не определяют знак.

Ошибка 2: подставлять плановые величины вместо реализованных

В формулу входят средние по закрытым сделкам, рассчитанные до вычета издержек исполнения; издержки входят отдельно под обозначением K_t и вычитаются один раз. Соотношение, считанное с геометрии заявки, — плановая величина; от реализованной его отделяют отклонение исполнения и отклонение от правила выхода, направление и размер которых показывает только журнал сделок. Арифметика по плановым величинам даёт результат, которого нет в выписке; см. раздел 3.

Ошибка 3: матожидание без издержек

Величина без K_t является валовой и непригодна для решений. При коротком расстоянии до защитного выхода издержки достигают десятков процентов единицы риска (раздел 5), а для наборов с небольшим запасом определяют знак результата.

Ошибка 4: путать вероятность блока с вероятностью встретить серию

Выражение (1 - p)^k относится к заранее заданному блоку. Вероятность встретить такую серию где-либо среди N сделок гораздо выше и приближается к достоверности при нескольких сотнях сделок; блоки перекрываются, поэтому их нельзя считать непересекающимися событиями. При доле прибыльных сделок 32% и 200 сделках серия хотя бы из восьми убытков подряд возникает с вероятностью около 96%, хотя 0,68⁸ равно 4,6%; оба числа предполагают независимость последовательных результатов, что является упрощением.

Ошибка 5: считать среднее описанием траектории

Положительное матожидание не означает, что результат — лишь вопрос времени. Оно описывает центр распределения при неизменных параметрах; разброс вокруг центра описывает стандартное отклонение, а неопределённость самого центра — стандартная ошибка. Это три разных числа и три разных утверждения.

Ошибка 6: считать одно матожидание для неоднородных данных

Объединённое среднее по инструментам, времени и правилам входа — взвешенное среднее величин, которые могут иметь разные знаки. Общие +0,18 R могут объединять подгруппы +0,39 и −0,15 R. Считайте отдельно для подгрупп, которые можете контролировать независимо. Разделение уменьшает каждое N, но может уменьшать и каждое s. Пересчитайте s_i/√N_i, учтите зависимость и укажите, выбрано ли разделение после изучения результатов. Одно снижение N не гарантирует более широкий интервал для каждой подгруппы.

Ошибка 7: складывать матожидания без проверки экспозиции

Матожидание аддитивно, разброс — нет. Пять позиций с одной валютной экспозицией, каждая по 1% текущего капитала (при капитале 25 000 PLN — по 250 PLN), не дают пяти независимых ставок. Расчёт приведён в статье 9.9.

Ошибка 8: путать тождество с результатом модели

Формулы матожидания и безубыточности — арифметические тождества, верные по определению вообще без данных. Риск разорения, симуляция распределения результатов и доверительные интервалы — выходы моделей, построенных на предполагаемом распределении, предположении независимости и параметрах, оценённых по выборке. Проверяйте, какие предположения выбранной модели обоснованы для выборки. Мы не предполагаем заранее нарушения каждого условия. Направление влияния нарушения зависит от конкретного распределения, зависимости и рассчитываемого события. Заголовок, обещающий определённость, допустим только над первой группой.

10. Упражнение для самопроверки

Задание. Рассчитайте по порядку: (1) сумму риска R в PLN; (2) соотношение риска и прибыли; (3) валовое и чистое матожидание в PLN и единицах риска; (4) безубыточную долю прибыльных сделок без издержек и с издержками, а также разницу в процентных пунктах; (5) превышение доли прибыльных сделок над порогом; (6) матожидание суммы 18 сделок в PLN и процентах капитала; (7) стандартное отклонение этой суммы; (8) стандартную ошибку чистого матожидания и его 95%-й интервал. Запишите свои результаты до чтения решения. Затем повторите весь расчёт со своими числами из журнала.

Образец решения

1. Сумма риска. R = PLN 25 000 × 0,008 = PLN 200. Здесь она равна среднему убытку S, поэтому единица риска и средний убыток совпадают, упрощая перевод в R. В общем случае они могут не совпадать.

2. Соотношение риска и прибыли. RR = Z/S = 480/200 = 2,40, то есть 1:2,4 в обозначениях курса.

3. Матожидание. Валовое:

E_{валовое} = 0,38 × 480 PLN − 0,62 × 200 PLN = 182,40 − 124,00 = +58,40 PLN

Чистое, после вычета полных издержек одной сделки:

E_чистое = 58,40 PLN − 26,00 PLN = +32,40 PLN

В единицах риска разделите на R=200 PLN: валовое 58,40/200=+0,292 R; чистое 32,40/200=+0,162 R. Проверка: 0,38×2,40−0,62=0,912−0,620=+0,292 R, что совпадает с валовым денежным результатом. Издержки равны 26/200=0,130 R; 0,292−0,130=0,162 R, что совпадает с чистым результатом.

4. Безубыточная доля прибыльных сделок. Без издержек:

p*_{без издержек} = 200/(480 + 200) = 0,2941 = 29,41%

С издержками:

p* = (200 + 26)/(480 + 200) = 226/680 = 0,3324 = 33,24%

Разница: +3,82 процентного пункта. Проверка: издержки, делённые на сумму (Z + S), то есть 26/680 = 0,0382 — то же число, подтверждающее зависимость прироста порога только от издержек и суммы Z + S.

5. Превышение над порогом. 38,00% - 33,24% = +4,76 процентных пункта. Другой взгляд: если бы издержки выросли с 26 PLN до 58 PLN, порог поднялся бы до 258/680 = 37,94% и запас почти полностью исчез бы. Таким образом, чувствительность результата к издержкам здесь велика.

6. Ожидаемая сумма 18 сделок. 18×PLN 32,40=+PLN 583,20, или 583,20/25 000=+2,33% от текущих средств счёта. Чистая сумма при фиксированном риске 200 PLN на сделку и фиксированных издержках 26 PLN. Аддитивность средних не требует независимости; последующий простой расчёт отклонения суммы её требует.

7. Стандартное отклонение суммы. Для одной сделки (по валовым величинам):

s = √(0,38 × 480² + 0,62 × 200² − 58,40²) = 330,06 PLN

Для суммы 18 сделок: 330,06 x √18 = 1 400,34 PLN, то есть 5,60 процентного пункта начального капитала против матожидания +2,33%. Разброс более чем вдвое превышает среднее; убыточный месяц при этих параметрах находится в пределах обычного хода событий и сам по себе не служит основанием что-либо менять.

8. Стандартная ошибка чистого матожидания. При фиксированных издержках отклонение одного чистого результата равно валовому отклонению: вычитание 26 PLN из каждой сделки сдвигает распределение, не меняя его разброса. SE=330,06/√150=PLN 26,95, или 0,135 R. Интервал 95% равен 32,40±1,96×26,95: от −20,4 PLN до +85,2 на сделку, или от −0,102 до +0,426 R. Он включает ноль.

Чего упражнение не устанавливает. Доля прибыльных сделок 38% получена по 150 сделкам: SE=√(0,38×0,62/150)=3,96 процентных пункта, с приближённым 95%-м интервалом 30,2%–45,8%. Нижняя граница ниже безубыточных 33,24%. Критерий раздела 11 сравнивает запас с 1,96 стандартной ошибки — множителем для доверия 95%, округлённым до двух в разделе 11 и его таблицах. Здесь 1,96×3,96=7,76 пункта против запаса 4,76: 4,76/3,96=1,20 стандартной ошибки, меньше 1,96. Этот критерий считает среднюю прибыль, средний убыток и издержки известными, хотя они получены из той же выборки. Интервал 95% для чистого матожидания из пункта 8 полнее; он тоже включает ноль и приводит к тому же выводу. «Запас +4,76 п.п.» — точечная оценка, интервал которой включает отрицательные значения, поэтому критерий не устанавливает знак среднего генеральной совокупности. Сам запас +4,76 п.п. остаётся положительной точечной оценкой. Неопределённость не означает отрицательность; эти данные не отличают положительную систему от системы с нулевым средним. Статья 8.2 объясняет, как спроектировать измерение, способное это сделать.

11. Что нужно рассчитать перед входом

Три числа, у каждого явно указаны база и единица:

1. Соотношение риска и прибыли этой конкретной сделки — по расстояниям до уровня опровержения и цели, с оговоркой о плановом характере величины
2. Матожидание вашего набора параметров после издержек — по закрытым сделкам, в R и валюте счёта, вместе с числом сделок, на котором оно построено
3. Превышение доли прибыльных сделок над порогом с издержками в процентных пунктах рядом со стандартной ошибкой этой доли. Положительный запас меньше примерно двух стандартных ошибок остаётся положительной оценкой. При нормальном приближении 95% с известными Z, S и издержками интервал включает порог, поэтому критерий не устанавливает положительное матожидание генеральной совокупности. Статья 8.2 рассматривает оценку преимущества, тестирование и выборку; здесь вы читаете неопределённость собственной оценки.

Размер позиции, следующий из этих чисел, определяется в статье 9.5; пределы, в которые он должен укладываться, — в статье 9.3.

Матожидание описывает одну сделку в среднем по множеству повторений. Ваши действия после открытия позиции меняют все три величины, входящие в расчёт: долю прибыльных сделок, среднюю прибыль и средний убыток, поэтому требуют собственного расчёта. Его рассматривает статья 9.7: перенос в безубыток, сопровождающий выход и изменение объёма частями — для каждого указано направление одновременного изменения всех трёх параметров.