Correlação entre pares, exposição oculta e risco da carteira

Três posições com orçamento de perda de 1% do capital cada exigem dois cálculos separados. Na conta ilustrativa de 100.000 PLN, o desvio-padrão do resultado diário da carteira é 1,53%. O cenário em que todas as saídas ocorrem aos preços planejados resulta em 3,00%, ou 3,30% após acrescentar slippage de 10% de cada valor, antes das comissões e do financiamento separados. O primeiro número descreve a dispersão em torno da média; o segundo orça uma execução especificada. Nenhum deles é a perda máxima possível. Calcularemos ambos, aplicaremos os sinais das direções das posições e decomporemos a exposição por moeda. Também verificaremos como as janelas de medição e a incerteza da correlação afetam as conclusões e quanta capacidade resta nos limites registrados.

1. Os dois números chamados de "risco da carteira"

A fórmula clássica de carteira de Markowitz¹ descreve a volatilidade conjunta modelada, não uma perda garantida ao operar com saída de proteção. Essa distinção reaparece na maioria das discussões sobre correlação; por isso está aqui no início, não em uma nota de rodapé.

O símbolo σ significa o desvio-padrão do resultado de uma posição em torno de sua média, em um horizonte definido e na moeda da conta. Já R até a saída de proteção descreve a perda a um preço de execução especificado. O acionamento da ordem não garante esse preço nem uma perda limitada a R. Substituir σ por R muda o sentido da fórmula e pode superestimar ou subestimar o resultado.

A primeira consequência diz respeito à correlação negativa. A frase "com correlação de −0,91 as posições se neutralizam, então seu risco efetivo é 0,42% em vez de 2%" é falsa como descrição da perda. A volatilidade modelada do resultado diário de fato cai para perto de zero, mas as duas saídas de proteção podem ser acionadas na mesma sessão — basta o câmbio se mover primeiro em uma direção e depois na outra, algo comum em um dia de divulgação de dados, não um cenário extremo. A soma das perdas continua sendo 2% mais slippage nas duas pernas.

A segunda consequência diz respeito à correlação positiva. A frase "cinco posições a 1% com correlação de +0,85 dão risco efetivo de 4,69%" é lida como "menos de 5%, tenho margem". Não há margem. 4,69% é o desvio-padrão do resultado diário supondo que σ de cada posição seja 1% do capital; se as cinco saídas forem acionadas, a perda será 5% mais slippage em cada uma das cinco pernas.

O restante do artigo mantém essa separação: cada cálculo apresenta os dois números lado a lado.

2. Correlação como medição — quatro parâmetros e uma ficha

O mesmo coeficiente exige o mesmo relógio

Ilustração de um erro de sincronização: em quatro intervalos sucessivos, os retornos de A são [1, −1, 1, −1], enquanto B responde um intervalo depois. Comparar A com uma cópia atrasada em um intervalo produz o sinal oposto, embora as séries sejam idênticas após o alinhamento correto. Em dados reais, não deslocamos o relógio para obter uma correlação maior: definimos um fuso comum, os limites das sessões e uma regra para cotações ausentes antes da medição. O resultado diário de posições avaliadas em horários diferentes não forma uma matriz consistente.

A correlação é um número de −1,00 a +1,00 que descreve o quanto duas séries se movem juntas. Sozinho, porém, o número não constitui um dado até você saber como ele foi calculado. Mudar qualquer um dos quatro parâmetros de medição altera o resultado o suficiente para determinar a conclusão.

• Período — de quando a quando, com a data de medição
• Frequência das observações — dados diários, horários ou semanais
• Transformação da série — níveis de preços ou retornos; no caso de retornos, simples ou logarítmicos
• Número de observações — pois o erro de estimação depende dele

Uma correlação calculada sobre níveis de preços geralmente é alta e praticamente inútil: mede uma tendência compartilhada, não o movimento conjunto dos retornos. Dois pares em uma tendência longa podem ter correlação de níveis de +0,95 enquanto seus retornos diários são quase independentes. Para a aritmética da carteira, use retornos logarítmicos ln(C_t/C_t−1) a partir de fechamentos obtidos no mesmo horário.

Ficha de correlação — o mesmo par, quatro conjuntos de parâmetros

As fichas A e B mudam tanto o período quanto a frequência. Todos os coeficientes são dados educacionais inventados: as datas descrevem um desenho de medição, não uma medição realizada. A diferença de 0,26 não pode ser atribuída à frequência, a uma mudança do mercado ou ao acaso sem as séries reais e uma comparação adequada das amostras. A linha de erro-padrão usa apenas uma aproximação para observações normais independentes.

A ficha D mostra como comparar frequências mantendo o período e a transformação. Nos dados reais, as leituras diárias e horárias decorrem em parte das mesmas variações de preços. Diferenças podem refletir agregação, defasagens, cotações assíncronas ou seleção de horários; os quatro números, sozinhos, não determinam a causa.

A consequência prática é simples: construir a carteira com correlação diária e operar em uma janela horária significa calcular risco a partir de uma grandeza diferente daquela à qual você está exposto. Meça no horizonte em que mantém a posição.

Quanto da leitura é ruído

O erro-padrão do coeficiente de correlação, supondo distribuição normal bivariada e observações independentes, é:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

n é o número de retornos. Essa aproximação pressupõe observações independentes de uma distribuição normal bivariada. Dependência temporal, agrupamento de volatilidade e outra distribuição podem alterar a incerteza; não tornam esta tabela uma estimativa inferior universal. A direção e a escala do erro precisam ser verificadas nos dados. Para amostras pequenas e coeficientes próximos de ±1, a transformação de Fisher é mais conveniente.

Uma diferença entre correlações de 30 e 90 sessões pode ser um alerta útil, mas o limiar de 0,25 não tem interpretação estatística universal. Para duas amostras independentes com coeficientes próximos de 0,5, o SE aproximado da diferença é √(0,142²+0,080²)≈0,163, e o dobro é 0,33. Esse cálculo auxiliar não resolve a comparação de janelas aninhadas nem justifica chamar a diferença de “ruído”.

Para janelas aninhadas, Var(r₁−r₂)=Var(r₁)+Var(r₂)−2Cov(r₁,r₂). A amostra menor pertence à maior, então o termo de covariância geralmente não desaparece. A avaliação pode usar um modelo conjunto ou reamostragem em blocos temporais que preserve a sobreposição. Sem dados brutos, não damos um limiar exato aqui; a tabela trata de duas amostras não sobrepostas de mesmo tamanho.

3. A janela de medição — uma escolha, não uma constante

Verificação com a transformação de Fisher

Exemplo de modelo: duas janelas independentes de 29 retornos, normalidade bivariada e leituras de 0,60 e 0,85. A transformação z=atanh(r) dá 0,69315 e 1,25615. O erro da diferença é √(1/26+1/26)=0,27735, então a estatística (1,25615−0,69315)/0,27735=2,03. Em um teste bilateral aproximado, isso supera 1,96 (p≈0,042). Mostra por que aplicar um único SE calculado em ρ=0,5 a leituras arbitrárias pode mudar a conclusão. O resultado não se aplica a janelas sobrepostas nem a séries com dependência temporal.¹³

A tabela de erro-padrão da seção anterior mostra apenas metade do problema. O tamanho da janela controla dois erros ao mesmo tempo, e eles se movem em direções opostas. Uma janela curta tem grande erro aleatório e pouca defasagem. Uma janela longa tem pequeno erro aleatório e grande defasagem. Nenhuma janela minimiza ambos — escolher o tamanho é um compromisso entre erro e defasagem.

A defasagem de uma janela móvel

A correlação móvel não é simplesmente a média das correlações dos regimes. Com médias e variâncias iguais nos dois regimes, a mistura dá ao novo regime peso m/n; assim, 90% da mudança é atingida após 0,9n observações. Se as duas variâncias no novo regime forem quatro vezes maiores, o peso será 4m/[4m+(n−m)]; ele chega a 90% em m/n=9/13≈0,692. Mudanças nas médias, ou mudanças desiguais nas escalas das duas pernas, exigem o cálculo completo da covariância da mistura. A tabela abaixo ilustra apenas médias e variâncias iguais.

Número de observações para um limite aproximado de erro

A tabela mostra a amplitude aproximada do erro de uma diferença entre duas leituras independentes próximas de ρ≈0,5. A condição 2SEΔ≤Δ fornece os seguintes n. Não é um desenho de teste com poder especificado: planejar, por exemplo, 80% de probabilidade de detectar uma mudança real também exige poder, nível de significância e os coeficientes sob as hipóteses.

$$n \geq 1 + \left(\frac{2,121}{\Delta}\right)^2$$

451 corresponde a uma diferença de 0,10 e a uma aproximação local em ρ≈0,5. Isso não prova que distinguir 0,60 de 0,70 exige exatamente 451 observações. Uma amostra maior reduz a incerteza em um processo estável, mas pode misturar condições antigas e novas. A escolha da janela combina, portanto, precisão, capacidade de resposta e horizonte dos resultados medidos.

O procedimento de escolha

A decisão se resume a quatro etapas, realizadas uma vez e registradas com os demais parâmetros.

1. Defina qual diferença precisa detectar. Não "quero saber qual é a correlação", mas "quero saber se ela ultrapassou o limiar no qual rejeito uma posição". Se o limiar é 0,70 e as leituras típicas ficam perto de 0,50, então Δ = 0,20.
2. Compare várias janelas sobre os mesmos retornos sincronizados. Uma janela mais longa ajuda a avaliar a estabilidade das leituras; uma mais curta mostra condições recentes. Manter uma posição por um dia não invalida uma amostra de 114 retornos diários para estimar o risco de um dia. O horizonte do resultado e o tamanho da amostra têm funções diferentes.
3. Separe o limiar de decisão de uma afirmação de significância. Um limite de 0,70 pode ser uma regra de precaução mesmo com janela curta, desde que a resposta a uma leitura incerta esteja registrada. Uma amostra curta não transforma toda medição em loteria; exige apresentar uma faixa de incerteza mais ampla.
4. Defina como reagir à divergência entre janelas. Você pode recalcular uma variante com maior dependência positiva dos resultados, reduzir a exposição ou rejeitar uma posição. Registre o gatilho antecipadamente. As 180 sessões usadas adiante são parâmetro de um procedimento ilustrativo, não um mínimo imposto pela estatística.

4. A matriz de correlação — o que ela contém e o que não contém

Por que verificamos a matriz inteira

Os três coeficientes ρ₁₂=1, ρ₁₃=0,82 e ρ₂₃=0,74 estão individualmente em [−1,1], mas não podem formar uma matriz de correlação: se duas séries padronizadas são idênticas, devem ter a mesma correlação com a terceira. O menor autovalor dessa matriz é −0,00796. Uma variante de estresse computacionalmente válida é Cstress=(1−λ)C+λJ, em que todos os elementos de J são um e 0≤λ≤1. Misturar matrizes semidefinidas positivas preserva essa propriedade. O exercício usa λ=0,5; não é uma previsão da dependência do mercado.

Uma matriz de correlação é uma tabela simétrica em que cada célula dá o coeficiente de um par de séries. A diagonal é sempre +1,00. A matriz abaixo cobre oito pares — sete principais e um cruzado (EUR/GBP) — e é calculada com retornos logarítmicos diários; os valores são ilustrativos — mostram relações estruturais típicas, não uma leitura de uma janela específica.

Com cotações simultâneas e consistentes, EUR/GBP=(EUR/USD)/(GBP/USD) implica exatamente rlog(EUR/GBP)=rlog(EUR/USD)−rlog(GBP/USD). Somente supondo desvios-padrão iguais nas duas pernas, a correlação com Z é [ρ(EUR/USD,Z)−ρ(GBP/USD,Z)]/√(2−2ρ). Em ρ=0,87, o denominador é 0,5099 e a última linha arredondada é +0,25; −0,25; +0,14; +0,20; −0,25; −0,18; −0,24. A matriz é uma ilustração arredondada a duas casas. Seu menor autovalor é +0,00443; portanto, permanece definida positiva. Uma matriz com uma série cruzada derivada exatamente seria singular. Estimativas separadas devem considerar a consistência dos dados e a semidefinição positiva.

Ler a matriz exige duas operações, não uma. Primeiro procure valores absolutos acima de 0,70 — são candidatos a uma relação forte. Depois ajuste o sinal às direções das posições e observe a correlação dos resultados: se for alta e positiva, as posições perdem juntas e devem ser tratadas como exposição concentrada com nocional agregado; se for alta e negativa, as pernas se compensam na volatilidade modelada, mas cada uma mantém seu orçamento de saída e seus custos. Comprar EUR/USD e comprar GBP/USD com +0,87 é um mesmo tema macro em duas embalagens. Comprar EUR/USD e comprar USD/CHF com −0,91 dá correlação de resultados de −0,91 — exposição parcialmente neutralizada com dois orçamentos de saída, não diversificação (cálculo na carteira C da seção 11).

5. Exposição cambial oculta — decomposição das posições por moeda

A matriz de correlação mostra o movimento conjunto, mas não a sua exposição líquida. Cada par contém duas moedas: você compra uma e vende a outra. Com várias posições, essas moedas se sobrepõem, formando uma exposição concentrada sob vários nomes. A decomposição por moeda (exposição cambial líquida) converte todas as posições abertas em uma exposição líquida por moeda, na moeda da conta.

A regra dos sinais

Sem separar os sinais, a soma trata todas as posições como compradas e, em uma carteira mista, erra pelo valor de cada perna na direção oposta. Esse é o erro oculto mais comum nesse cálculo.

O cálculo com três posições

Premissas ilustrativas. Patrimônio antes da entrada: 100.000 PLN. R=1.000 PLN por posição, ou 1% dessa base. Converta todos os nocionais em PLN com o mesmo conjunto de taxas hipotéticas de avaliação do mesmo instante. São valores de modelo, sem cotações históricas; o registro das posições também preserva as unidades monetárias originais. Os dois lados de cada transação têm valor nocional igual nessa avaliação. Conversão de contratos — seção 2 do curso.

1. Compra de EUR/USD, valor nocional de 100.000 PLN
2. Compra de GBP/USD, valor nocional de 120.000 PLN
3. Venda de USD/CHF, valor nocional de 90.000 PLN

A carteira tem exposição nocional ao USD de −310.000 PLN, com patrimônio de 100.000 PLN. Uma pequena alta de 1% no valor do USD em PLN, mantendo os valores de EUR, GBP e CHF em PLN, reduz sua avaliação em 3.100 PLN pela aproximação linear. É um cenário cambial explícito, não uma previsão de todos os movimentos de câmbio. Custos de fechamento e mudanças nas taxas de conversão exigem tratamento separado.

Às vezes lotes são usados como atalho no lugar do nocional na moeda da conta. O atalho só funciona quando todas as posições envolvem instrumentos com volatilidade e valor do pip semelhantes — e um lote de EUR/USD e um lote de GBP/JPY não atendem a essa condição. A diferença de volatilidade entre instrumentos já entra na aritmética da carteira por σ_i; por isso é mais simples calcular na moeda da conta desde o início.

6. Decomposição em fatores cambiais até o resultado final

As três posições da seção anterior deram um resultado óbvio porque todas tinham o dólar do mesmo lado. Com pares cruzados e posições nas duas direções, o resultado deixa de ser óbvio — é então que o cálculo precisa ser feito, não estimado a olho.

O conjunto a decompor

Premissas (valores ilustrativos). Capital atual de 100.000 PLN, medido antes de abrir a primeira posição. Risco por posição: 0,60% = 600 PLN, cinco posições; a soma dos valores de risco é 3,00% = 3.000 PLN. O limite de concentração é a mesma regra de todo o artigo — 3 × o risco de uma posição; o limite é uma regra, não um número fixo: com risco de 0,60% por posição dá 1,80%, enquanto a 1,00% dava 3,00%.

Etapa 1 — dividir cada posição em duas moedas

A regra dos sinais da seção anterior, aplicada mecanicamente: uma posição comprada dá sinal positivo à moeda base e negativo à de cotação; uma vendida faz o inverso. O nocional entra nas duas linhas com o mesmo tamanho.

Etapa 2 — somar por moeda

Verificação aritmética: a soma de todas as posições líquidas deve ser zero, pois cada posição contribui com o mesmo valor uma vez positivo e outra negativo. Aqui: −90.000 + 70.000 + 70.000 − 70.000 + 30.000 − 10.000 = 0. Se não der zero, você inverteu um sinal ou omitiu uma perna.

O resultado surpreende, e isso é o mais valioso nele. A maior exposição nocional líquida pertence ao dólar canadense — moeda presente em apenas um dos cinco pares. O dólar americano, presente em três pares, fica em segundo, empatado com o dólar australiano e o iene, porque as três posições em dólar se compensam parcialmente: uma vendida em dólar (−80.000) contra duas compradas (+60.000 e +90.000) resulta em +70.000. A libra, em dois pares, tem a menor exposição: 60.000 vendidos e 50.000 comprados quase se anulam.

Etapa 3 — risco concentrado, a segunda tabela

A exposição nocional líquida responde quanto custa um movimento da moeda. A perda é respondida por outra grandeza: a soma dos valores de risco das posições que perdem quando uma moeda se move em uma direção. Calcule-a separadamente para as duas direções e tome o maior valor como concentração.

O maior risco concentrado é 1,20% no dólar e cabe no limite de 1,80%. Observe que as duas tabelas apontam moedas dominantes diferentes: em nocional, o dólar canadense lidera com −90%; em risco, o dólar americano com 1,20%. Não há contradição, pois medem coisas diferentes. A exposição nocional soma valores algebricamente, compensando posições opostas; o risco concentrado conta apenas posições que perdem juntas, sem compensação. O limite é aplicado à segunda tabela.

Etapa 4 — soma das perdas

Cinco posições de 600 PLN: 3.000 PLN = 3,00% do capital. Com slippage de 10% do valor de risco em cada perna: 5 × 660 = 3.300 PLN = 3,30% do capital. O mesmo número das três posições da seção anterior — porque a soma das perdas depende do orçamento de risco, não de quantas posições o dividem.

7. Exposição conjunta de três posições, com cálculo completo

O que muda ao acrescentar uma posição

Ilustração em PLN, com patrimônio de 100.000 PLN: a carteira existente tem σ diário=1.000 PLN, o candidato σ=500 PLN, e sua correlação de resultados com a carteira inteira é −0,80. Após a inclusão, Var=1.000²+500²+2×(−0,80)×1.000×500=450.000 PLN², então σnovo=670,82 PLN. Com correlação 0, o mesmo candidato dá 1.118,03 PLN. Portanto, correlação baixa não garante menor volatilidade; uma correlação fortemente negativa pode produzi-la. Nos dois casos, o orçamento do cenário de saída aumenta pelo R do candidato e pelos custos. Esse cálculo é separado da mudança de variância.

A mesma carteira da seção 5, calculada até o fim. O cálculo apresenta os dois números em paralelo, pois só lado a lado eles dizem algo útil.

Dados de entrada

Etapa 1 — ajustar o sinal

Correlações das séries de preços da matriz da seção 4: EUR/USD e GBP/USD +0,87; EUR/USD e USD/CHF −0,91; GBP/USD e USD/CHF −0,82. As posições 1 e 2 são compradas, a 3 é vendida; portanto:

As três correlações dos resultados são positivas e altas. Uma carteira aparentemente mista no gráfico — duas compras e uma venda — é, na realidade, homogênea.

Etapa 2 — volatilidade conjunta modelada

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Substituindo, em porcentagens do capital:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = 1,53% do capital por dia = 1.527 PLN

Verificação de ordem de grandeza: o resultado deve ficar entre o maior desvio individual (0,70%) e a soma dos desvios (1,60%, limite em ρ = +1). E fica. A metade inferior dessa verificação só vale quando as correlações dos resultados são não negativas — com correlações negativas ela deixa de valer, como mostra a carteira C na seção 11, em que σ_p = 0,34% fica abaixo do desvio de uma posição. Sob independência, seria √0,90 = 0,95% — a relação entre as posições aumenta a volatilidade modelada em 61%.

Etapa 3 — soma das perdas quando as saídas são acionadas juntas

Este cálculo é separado e feito por adição, não por raiz quadrada.

Todos os valores da tabela são perdas pela diferença entre os preços reais de entrada e os preços de saída assumidos; o spread incluído nesses preços não é somado novamente. G=10%R é piora de execução ilustrativa, não medição nem limite. Com comissões e financiamento separados de 20 PLN por posição, as perdas líquidas nas três linhas são 3.060 PLN (3,06%), 3.360 PLN (3,36%) e 4.260 PLN (4,26%) sobre a mesma base de 100.000 PLN. A tabela trata deliberadamente o preço de saída como cenário: um stop não limita um gap ao múltiplo especificado. Cálculo de custos — 9.6; saltos maiores — 9.10.

Etapa 4 — os dois números lado a lado

A volatilidade modelada ficou menos da metade da soma das perdas com as saídas acionadas. Ler 1,53% como "meu risco" significaria planejar capital para menos da metade do valor que pode realmente sair da conta em uma única sessão.

Duas posições com correlações diferentes

Correlação próxima de zero significa ausência de dependência linear nessa amostra, não independência nem proteção nas caudas. Uma moeda comum, sozinha, não determina o coeficiente: importam a volatilidade de cada componente, o período e o horizonte. Longin e Solnik estudam mercados acionários; não estabelecem correlações numéricas de pares de moedas.³

Fórmula simplificada para N posições

Para N = 5, σ = 1,00% e ρ = 0,85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = 4,69% do capital por dia. Em ρ = 0, seria 1% × √5 = 2,24%; em ρ = +1, 5,00%.

A soma das perdas quando cinco saídas são acionadas a 1% de risco cada é 5,00% independentemente da correlação; somando slippage de 10% em cada perna, passa a 5,50%. Portanto, 4,69% não significa "ainda tenho margem até 5%": descreve uma grandeza inteiramente diferente e não limita a perda em direção alguma.

Também não é possível organizar correlações fortemente negativas com cinco posições; isso não é uma escolha do autor. Uma matriz de correlação deve ser semidefinida positiva; logo, com correlação uniforme entre pares, N + N(N−1)ρ não pode ser negativo. Para N = 5, isso dá ρ ≥ −0,25. Relações negativas se limitam mutuamente à medida que o número de instrumentos cresce — propriedade algébrica da matriz, não convenção editorial.

8. Ultrapassagens conjuntas de limiares e acionamento de saídas

A seguir calculamos ultrapassagens conjuntas de três limiares pelo resultado no fim do dia. O modelo mostra a importância da dependência, mas ainda não informa se as ordens foram acionadas durante o dia ou executadas no mesmo minuto. Essas perguntas exigem trajetórias de preços e regras de acionamento e execução.

Há três componentes: um fator comum, a distância de saída em unidades de volatilidade e a concentração do movimento em uma janela temporal. Os dois primeiros podem ser calculados diretamente na carteira da seção 7.

Etapa 1 — um fator reproduz a matriz inteira

A matriz da seção 7 pode ser reproduzida por Xi=aiF+√(1−ai²)εi, em que F e os três εi são variáveis normais padrão independentes. Então Corr(Xi,Xj)=aiaj. Calculamos as cargas para os três coeficientes positivos. Essa decomposição algébrica não identifica F como a taxa de câmbio do dólar; é uma construção estatística possível.

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Verificação: b×c=0,885413×0,926122=0,820000. Todas as cargas estão em [−1,1], então as variâncias dos componentes idiossincráticos são não negativas. O modelo reproduz exatamente as três correlações, mantendo um componente específico em cada posição. Não prova que todo resultado real decorre de uma única moeda.

Etapa 2 — distância de saída em unidades de volatilidade

O valor de risco e o desvio-padrão da posição fornecem uma terceira grandeza: a quantos desvios-padrão diários da entrada fica a saída de proteção. Chame-a de k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

Com R igual, R/σ é menor na segunda posição. Dentro desse mesmo modelo de média zero, seu resultado final ultrapassa o limiar com maior frequência. Avaliar a frequência real de saídas exige também a trajetória do preço, o tempo de exposição e os custos.

Etapa 3 — limiar do fator comum

Omitindo temporariamente εi, um movimento adverso do fator comum de z desvios-padrão dá resultado de ai×z desvios-padrão da posição. O limiar do componente comum é z≥ki/ai. Ao reinserir os componentes idiossincráticos, essa condição sozinha não é necessária nem suficiente para o resultado total ultrapassar o limiar.

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Os limiares do componente comum são 1,61, 2,04 e 2,70. A cauda normal unilateral além do maior é cerca de 0,35%, mas os resultados totais incluem εi. Integrar o modelo fornece uma 0,5216% probabilidade de os três resultados no fim do dia ficarem abaixo de −Ri. Isso continua distinto da probabilidade de três ordens serem acionadas durante o dia.

Etapa 4 — o mesmo ao longo de um ano, comparado com independência

Com a premissa adicional de 250 dias independentes com distribuição inalterada, a chance de pelo menos uma ultrapassagem conjunta no fechamento é 1−(1−0,005216064)²⁵⁰=72,95%. Isso descreve uma exposição hipoteticamente mantida, não uma carteira reduzida após stops sucessivos.

Para três resultados finais normais independentes com os mesmos limiares, as caudas são Φ(−2)=2,275%, Φ(−1/0,7)=7,656% e Φ(−2,5)=0,621%. Seu produto é 0,0010816%, e a chance de pelo menos uma ultrapassagem em 250 dias independentes é cerca de 0,270%. A comparação é entre dois modelos de resultados finais.

Neste exemplo, o fator comum aumenta a probabilidade de ultrapassagem final cerca de 482 vezes em relação à independência. O cálculo justifica verificar a dependência, mas não determina a probabilidade de realizar todo o orçamento dos stops. Como verificação: em um modelo browniano contínuo sem deriva, uma barreira única em −2σ é tocada antes do fim do dia com probabilidade 2Φ(−2)=4,55%, enquanto o resultado final fica abaixo dessa barreira com probabilidade de 2,275%. A trajetória pode voltar acima da barreira; um mercado com gaps exige outras premissas.

Etapa 5 — o que ocorre com distâncias de saída iguais em unidades de volatilidade

Muitos leitores definem as saídas de proteção como múltiplo fixo da volatilidade do instrumento — todas a 2,00 desvios diários, por exemplo. Nesse caso, os limiares do fator comum deixam de ficar dispersos:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

Definindo todos os ki=2, o mesmo modelo final fornece 0,8601% de ultrapassagens conjuntas e, em 250 dias independentes, uma chance de 88,46% de pelo menos uma ocorrência. A cauda de 1,19% além do limiar do fator comum não substitui a integral: omite os componentes idiossincráticos.

A comparação muda duas barreiras específicas: k₂ sobe de 1,43 para 2 e k₃ cai de 2,5 para 2. O resultado conjunto do modelo aumenta, mas padronizar os limiares nem sempre tem esse efeito. Recalcule os novos limiares e nocionais; "distâncias iguais em unidades de volatilidade" não resolve, por si só, a questão do risco.

9. Correlação sob estresse — o que este cálculo não cobre

A correlação não tem obrigação de ficar no nível do seu teste histórico. Construir o risco da carteira sobre correlação histórica é assumir continuidade — e o mercado não garante continuidade.

Sob estresse, a dependência pode aumentar, diminuir ou mudar de sinal. Com escalas σ positivas fixas, aumentar a correlação positiva dos resultados aumenta a variância da soma; mudar a correlação de preços ainda exige aplicar os sinais das posições. Em uma carteira com direções opostas, a mesma mudança no coeficiente de preços pode agir de forma diferente.

Uma restrição súbita do financiamento e o fechamento de exposições semelhantes podem fortalecer movimentos comuns de preços. Brunnermeier, Nagel e Pedersen descrevem essa relação para posições cambiais baseadas em diferenciais de juros.⁵ É um mecanismo econômico para uma possível mudança de distribuição, não um tipo separado de correlação nem prova de que qualquer coeficiente deva subir.

Os relatos do BIS sobre a libra em 2016 e do RBA sobre o iene em 2019 documentam movimentos rápidos, liquidez fraca e problemas de execução.⁶⁷ O comunicado do SNB confirma a mudança de regime do EUR/CHF em 2015.⁸ Essas fontes não estabelecem coeficientes para nossa carteira nem provam que toda correlação anterior ao evento era inteiramente inútil. Níveis, horários e limites de interpretação são discutidos em 9.10.

Movimento correlacionado e pior execução podem ocorrer juntos. Por isso, o slippage de 10%R da tabela é apenas um parâmetro de cenário; não há base para chamá-lo universalmente otimista ou representativo. O orçamento exige perdas a preços reais, comissões e financiamento; a frequência do cenário exige um modelo conjunto de trajetórias de preços.

10. Quanto deste cálculo resiste ao estresse — os números

A seção anterior descreveu o fenômeno. Agora vamos calculá-lo: só a aritmética mostra qual parte da tese popular sobre correlação em crises é verdadeira e qual desvia a atenção para a grandeza errada.

A variante de estresse abaixo separa duas mudanças assumidas: aumento das correlações positivas dos resultados e aumento dos desvios-padrão. Não afirmamos que ocorram em toda crise. Calculamos ambas separadamente para a carteira da seção 7 e para a carteira dispersa B da seção 11.

A carteira concentrada

As três posições da seção 7: σ = 0,50% / 0,70% / 0,40%, correlações dos resultados +0,87 / +0,91 / +0,82, risco de 1,00% por posição, capital de 100.000 PLN. A variante de estresse — valores ilustrativos — supõe que as três correlações subam para 0,97 e todos os desvios-padrão dobrem.

Variante apenas com correlações maiores. A soma dos quadrados permanece 0,90. Termo cruzado: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = 1,58%.

Variante apenas com volatilidade dobrada. A fórmula é homogênea de grau um em σ; dobrar todos os desvios dobra exatamente o resultado: σ_p = 2 × 1,53% = 3,05%.

Variante com as duas mudanças. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Soma dos quadrados: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Termo cruzado: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = 3,17%.

A carteira dispersa

Carteira B da seção 11: três posições com σ = 0,80% cada, correlações dos resultados +0,35 / +0,20 / +0,10, cuja soma é 0,65. Valor inicial: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 1,66%.

Com as três correlações elevadas a 0,97, a soma vira 2,91; então σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = 2,38%. Com volatilidade dobrada e correlações inalteradas: 2 × 1,66% = 3,32%. Com ambas as mudanças: 1,60% × 2,9698 = 4,75%.

A comparação

Três conclusões decorrem da comparação, nenhuma óbvia antes do cálculo.

Primeira: para uma carteira já concentrada, o aumento das correlações tem efeito secundário. Ele aumenta a volatilidade modelada em 3,7%, enquanto a alta da própria volatilidade aumenta o resultado em 100%. Uma carteira com correlações da ordem de 0,9 já não tem benefício a perder quando chegam a 0,97 — perdeu-o antes, na construção.

Segunda: na carteira dispersa, o aumento das correlações custa 43,2%, mais de onze vezes o efeito na concentrada. Sob estresse, cerca de 97% do benefício da dispersão na volatilidade modelada desaparece: a vantagem em relação à soma dos desvios (2,40%) cai de 0,74 ponto percentual nas condições iniciais para 0,02 ponto com correlações de 0,97.

A última coluna fica constante porque assumimos os mesmos valores de R e o mesmo multiplicador de execução. Porém, σ e dependência maiores podem mudar a frequência e a ocorrência conjunta das perdas, mesmo sem mudar o tamanho do cenário condicional de 3,30%. Execução pior aumenta seu valor, mas não é o único canal pelo qual o estresse afeta o risco da conta.

Onde obter uma correlação de estresse

Há dois caminhos honestos, ambos com uma limitação a declarar.

Medição condicional. A dependência pode ser medida em sessões de estresse selecionadas explicitamente, por exemplo por alta volatilidade. Selecionar a amostra muda a distribuição examinada. Forbes e Rigobon mostram aumento da correlação com a variância do choque comum em um modelo específico;² isso não prova que todo filtro de volatilidade enviese qualquer correlação para cima. Informe critério de seleção, N e método; uma subamostra pequena geralmente exige faixa ampla de incerteza.

Segundo caminho: usar ρ = +1 como limite aritmético. Vantagem: não exige estimação e fornece o maior valor da fórmula, a soma dos desvios — na carteira concentrada, 0,50% + 0,70% + 0,40% = 1,60% nas condições iniciais e 3,20% com volatilidade dobrada. Limitação: não descreve o mercado; é um limite superior do modelo. Algumas relações se desfazem sob estresse e outras mudam de sinal, então ρ = +1 não é previsão. É o número que a fórmula não ultrapassa — nada diz sobre o que acontece além dele.

Medidas de volatilidade podem ser limites separados do modelo se seus significados e premissas forem explícitos. O orçamento do cenário de saída não depende diretamente da correlação estimada, mas depende de preços de execução, custos e composição da carteira. O controle prático pode usar os dois tipos de limite.

11. Três carteiras calculadas pelo mesmo método

Três composições, o mesmo capital atual de 100.000 PLN e o mesmo risco de 1,00% (1.000 PLN) por posição. Para permitir a comparação, cada posição tem desvio-padrão idêntico σ = 0,80% do capital por dia — simplificação necessária à fórmula de correlação uniforme entre pares. Na seção 7, os mesmos instrumentos tinham σ diferentes (0,50%, 0,70% e 0,40%), pois diferiam no nocional e na volatilidade diária do instrumento; no seu cálculo, meça σ separadamente para cada posição. Todos os valores são ilustrativos. Cada carteira recebe os dois números.

Carteira A — cinco posições, uma exposição

A correlação média dos resultados entre pares, calculada da matriz da seção 4 após ajustar os sinais dos dez pares — (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10 — é +0,6020. Volatilidade modelada: 0,80% × √(5 + 20 × 0,6020) = 0,80% × √17,04 = 3,30% do capital por dia. Soma das perdas com cinco saídas acionadas: 5 × 1.000 = 5.000 PLN = 5,00%; com slippage de 10% em cada perna — 5,50% = 5.500 PLN. Risco concentrado no dólar: 5,00%, isto é, 5 × o risco de uma posição, contra o limite de 3 × adotado. A carteira excede o limite em duas posições, embora cada uma cumpra a regra de "1% por operação".

Carteira B — três fatores

A soma das correlações entre pares é 0,65; logo, volatilidade modelada: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 0,80% × 2,0736 = 1,66% do capital por dia. Soma das perdas com três saídas acionadas: 3,00%; com slippage, 3,30% = 3.300 PLN.

O euro aparece em lados opostos de duas posições. Porém, exposição líquida zero exige nocionais iguais em EUR, não valores de R iguais. Esta variante assume o mesmo nocional em EUR avaliado em 100.000 PLN nas duas pernas no mesmo instante; AUD/JPY tem nocional de 80.000 PLN. Então EUR líquido=0, e as exposições restantes são USD−100.000, GBP+100.000, AUD+80.000 e JPY−80.000 PLN. O orçamento de stops concentrado em uma direção não supera 1.000 PLN. A queda das perdas somadas de 5,50% para 3,30% decorre de menos orçamentos R iguais; a mudança em σ decorre das escalas e da dependência.

Carteira C — duas posições com exposições opostas

Compra de EUR/USD e compra de USD/CHF, risco de 1,00% cada. Correlação de preços −0,91; como ambas são compradas, a correlação dos resultados também é −0,91.

Volatilidade modelada: 0,80% × √(2 + 2 × (−0,91)) = 0,80% × √0,18 = 0,34% do capital por dia. Soma das perdas com ambas as saídas acionadas: 2,00%; com slippage, 2,20% = 2.200 PLN.

Nocionais em USD só se anulam exatamente quando combinam. Com EUR/USD=1,10 e USD/CHF=0,90 ilustrativos, uma compra de 100.000 EUR vende 110.000 USD. A segunda deve comprar exatamente 110.000 USD e vender 99.000 CHF. Restam +100.000 EUR e −99.000 CHF, equivalentes à compra de EUR/CHF a 0,99. Outro nocional na segunda perna deixa exposição ao USD. Dois instrumentos têm duas especificações de custos; o total pode ser maior, mas só o número de posições não prova custos dobrados em PLN.

As colunas de volatilidade modelada e de soma das perdas seguem a mesma ordem, mas em escalas inteiramente diferentes. A carteira C tem volatilidade modelada quase dez vezes menor que a carteira A (0,34% contra 3,30%), mas soma das perdas apenas duas vezes e meia menor (2,20% contra 5,50%).

12. Número de posições e limite da diversificação

A pergunta "quantas posições posso ter ao mesmo tempo" reaparece em toda conversa sobre carteiras e quase sempre recebe um número sem cálculo por trás. O cálculo existe e responde em duas partes, pois a pergunta esconde situações diferentes.

Duas formas de acrescentar uma posição

Primeira variante: acrescentar risco. Cada nova posição tem seu valor de risco e σ, e o orçamento cresce com ela. A soma dos orçamentos de saída positivos aumenta pelo novo R. Já a variância do modelo muda por σn²+2Cov(P,Xn), em que P é o resultado da carteira existente. Com covariância suficientemente negativa, pode cair apesar de haver mais pernas. Calcule isso separadamente do aumento de R total.

Segunda variante: dividir o mesmo orçamento. Você tem uma soma fixa dos desvios para distribuir entre N posições; cada uma recebe σ = σ_B/N. Porém, dividir a soma dos desvios não define os valores de risco: ΣR é outro orçamento e outra decisão. Por isso esta seção adota explicitamente as duas divisões simultaneamente — σ_i = σ_B/N e R_i = R_B/N — só assim comparar diferentes N trata da mesma aposta. Essa é a pergunta adequada sobre diversificação e a única com resposta sensata. Com σ igual por posição e correlação uniforme ρ entre pares:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

A última expressão é a chave da seção: quando N tende ao infinito, converge para σ_B × √ρ. Com correlação positiva, portanto, existe um piso abaixo do qual a volatilidade modelada da carteira não cai, por maior que seja o número de posições — e esse piso sobe com a correlação.

Tabela: o que a próxima posição oferece

A linha de ρ = 0,75 se lê assim: passar de duas para vinte posições reduz a volatilidade modelada de 1,871% para 1,746%, ou seja, em 0,124 ponto percentual. Dezoito posições adicionais, cada uma com seu spread, comissão e risco de execução, compram um oitavo de ponto percentual. O limite é 1,732% — 93% do valor que a carteira já tem com duas posições. Todo o benefício possível ao distribuir por qualquer número de instrumentos, partindo de duas posições, é de 0,139 ponto percentual nessa correlação.

Quando o ganho incremental deixa de importar

Calculemos qual fração de todo o benefício possível da diversificação já foi alcançada em determinado N. O benefício total é a diferença entre uma posição (2,00%) e o limite; o benefício alcançado é a diferença entre uma posição e o valor em N.

O resultado é surpreendentemente estável em relação à correlação: com cinco posições, você já tem cerca de três quartos de tudo que a diversificação oferece; com dez, cerca de nove décimos. O restante se distribui pelas posições onze em diante; cada uma custa um conjunto completo de spread e comissão e acrescenta uma perna ao risco de execução. Isso não recomenda "ter cinco posições" — indica onde o argumento da diversificação deixa de funcionar e só resta o argumento de custo.

O limite inferior da correlação com N posições

O limite de −0,25 para cinco posições, citado sem dedução na seção 7, é caso particular de uma condição geral. Com correlação uniforme entre pares, a expressão sob a raiz não pode ser negativa, o que dá:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

A condição ρ≥−1/(N−1) limita a menor correlação uniforme possível. Com escalas iguais, vale também para a média de todas as correlações, pois a variância da soma não pode ser negativa. Não exige que a média real se aproxime de zero ao acrescentar posições: ela pode continuar alta e positiva. Períodos inconsistentes ou exclusão de dados ausentes par a par podem gerar uma matriz que viola a semidefinição positiva.

A cauda que não diminui com N

A soma das perdas com todas as saídas acionadas não aparece nas tabelas acima, e não por descuido: sob a segunda premissa — soma fixa dos valores de risco ΣR = R_B, dividida igualmente — é a mesma com duas ou vinte posições. Isso não decorre apenas da divisão de σ_B; é uma premissa separada, adotada explicitamente acima. O slippage calculado como fração fixa do risco soma g × R_B e também não muda.

O que muda é outra coisa: o número de pernas expostas a execução atípica em um único evento. Suponha que, em uma sessão com evento, a probabilidade de execução atípica em uma perna seja 5% (valor ilustrativo).

A coluna de 5% pressupõe um indicador de evento perfeitamente compartilhado: com probabilidade de 0,05, todas as pernas têm execução atípica; caso contrário, nenhuma tem. Com cinco indicadores independentes, o produto é 0,05⁵=0,00003125%, razão de 160.000. Só um fator comum não estabelece esse número. Com ΣR fixo, custos proporcionais a R ficam fixos; mais ordens podem aumentar cobranças mínimas, e os cenários de execução precisam ser calculados separadamente para cada nível.

Comparando com a tabela anterior: em ρ = 0,75, passar de cinco para dez posições reduz a volatilidade modelada de 1,789% para 1,761%, ou 0,028 ponto percentual — e dobra o número de ordens que podem sofrer preço de execução pior em um evento. A decisão sobre a próxima posição depende simultaneamente da redução marginal de σ_p e do custo de execução, não de um número a memorizar.

13. Limites da diversificação no mercado cambial

No mercado acionário, a diversificação se apoia em milhares de instrumentos. No cambial, oito moedas principais geram 28 pares, mas todos combinam os mesmos oito componentes — e a maior parte do volume passa pelo dólar¹². O fator comum está, portanto, na estrutura do mercado, não na escolha de instrumentos.

Acrescentar uma posição de baixa correlação pode reduzir a volatilidade em relação a uma posição alternativa de mesma escala, mas não necessariamente reduz σ da carteira existente. O termo decisivo é σnew²+2Cov(portfolio,new). Todo novo R positivo aumenta o orçamento somado do cenário de saída, mantendo as demais grandezas fixas.

A coluna de risco concentrado se lê mecanicamente: conta quantas posições perdem quando a mesma moeda se move na mesma direção, não quantas posições há na carteira. Na primeira composição, quatro posições têm dólar do mesmo lado: concentração de 4 × o risco por posição. Na segunda, o euro aparece em dois pares do mesmo lado: 2 ×, embora haja três posições com nomes distintos. Na terceira, nenhuma moeda se repete: três pares, seis moedas diferentes, concentração de 1 × o risco por posição, mínimo possível para qualquer número de posições. Essa coluna recompensa a ausência de moedas repetidas, não a variedade de nomes.

A terceira composição exige uma correção frequentemente omitida nos materiais de diversificação. Ela não elimina o dólar como denominador comum, pois USD/CAD tem USD como moeda base — uma das três posições ainda responde diretamente ao USD. Um conjunto sem pares com USD, como EUR/GBP, AUD/NZD e CAD/CHF, elimina pernas diretas em dólar. Também é possível neutralizar nocionais líquidos em USD em uma carteira com pares de dólar, usando avaliações consistentes e volumes adequados. Nenhuma das estruturas elimina sozinha a influência indireta do USD ou fatores macro comuns. Cruzados podem compartilhar outros fatores: em forte aversão ao risco, ambas as pernas em moedas de commodities podem perder para moedas vistas como refúgio. O mecanismo pertence à seção 7 do curso; aqui importa sua consequência contábil — correlação em uma janela calma não determina a dependência em estresse. Meça a direção e o tamanho da diferença para as séries especificadas e aplique os sinais das posições.

A conclusão operacional é breve. Escolher pares movidos por fatores diferentes pode reduzir a dispersão diária ou a perda conjunta em um cenário escolhido. Verifique isso com escalas, sinais e dependência da carteira específica; só uma lista de símbolos distintos não demonstra benefício. Isso não justifica mais posições — o limite continua valendo para a soma das perdas.

14. Uma carteira de regras — vários conjuntos em operação simultânea

Tudo acima trata de uma carteira de pares. A mesma exposição oculta surge um nível acima quando você usa várias regras de entrada simultaneamente. Cada uma tem parâmetros e histórico próprios, mas o cálculo de risco não pode ser separado: as posições entram na mesma conta, bloqueiam o mesmo conjunto de margem e estão sujeitas ao mesmo fechamento compulsório.

Há três questões a definir, todas registradas antecipadamente.

Um limite compartilhado

O orçamento de risco é único e pertence à conta, não à regra. Ele é definido como a soma dos valores de risco de todas as posições abertas ao mesmo tempo, qualquer que seja a regra que as abriu — a mesma grandeza da etapa 3 da seção 7. Uma regra que "tem seus próprios 3%" aumenta, na prática, o orçamento da conta em 3%, em vez de compartilhar o existente.

Dividir o orçamento entre regras

Premissas (valores ilustrativos). Capital atual de 100.000 PLN. Orçamento de risco da carteira: 4,00% = 4.000 PLN, dividido pela metade entre duas regras: R1 — 2,00% = 2.000 PLN; R2 — 2,00% = 2.000 PLN. Risco por posição nas duas regras: 1,00% = 1.000 PLN; cada regra pode ter no máximo duas posições simultâneas. Limite de risco concentrado em uma moeda: 3 × risco por posição = 3,00% = 3.000 PLN.

A quarta etapa mostra para que serve o limite. O sinal é rejeitado embora o orçamento da regra R2 e o da carteira inteira permitam a entrada — o limite de concentração cambial é o vinculante, pois as quatro posições perdem com a valorização do dólar. Sem ele, R1 e R2 construiriam juntas uma aposta em dólar de 4,00%, cada uma cumprindo integralmente suas próprias regras.

O estado final tem três posições de 1,00%, exatamente a carteira calculada na seção 7: volatilidade modelada de 1,53% do capital por dia, soma das perdas com todas as saídas acionadas de 3,00%, e com slippage, sem gap, de 3,30% = 3.300 PLN. O 1,00% livre do orçamento de R2 permanece livre até fechar uma posição em dólar ou aparecer sinal em outro fator.

Dois sinais simultâneos em instrumentos relacionados

Caso mais difícil: as duas regras sinalizam no mesmo instante em instrumentos que, após decompostos por moeda, apontam na mesma direção. Exemplo: R1 sinaliza compra de GBP/USD, R2 sinaliza venda de EUR/GBP. Os nomes diferem, mas vender EUR/GBP equivale a ficar comprado em libra — os dois sinais aumentam a mesma exposição.

Suponha concentração em libra já de 2,00% (duas posições anteriores de 1,00%, com libra do mesmo lado) e limite de 3,00%. Espaço livre: 1,00%. Dois sinais de 1,00% somam 2,00% e ultrapassam o limite.

Dividir um orçamento em duas metades gera σ não maior que o de uma posição inteira somente com razões σ/R iguais nos dois candidatos e a mesma base. Então σhalves=σfull√[(1+ρ)/2]. Duas ordens podem gerar cobranças mínimas, mas uma taxa proporcional ao nocional não necessariamente dobra. A variante sem regra de colisão aumenta R de 3% para 4% e o cenário de slippage de 3,3% para 4,4%.

15. Tabela de decisão para rejeitar uma posição

A capacidade restante do limite diário

Ilustração: patrimônio no início do dia de 100.000 PLN, limite diário de perda de 3.500 PLN, perdas líquidas já realizadas de 400 PLN. Restam 3.100 PLN. Se R atual=2.500 PLN e execução adicional comum é assumida em 10%R, então (2.500+Rn)×1,10≤3.100, logo Rn≤318,18 PLN. Ignorar perdas anteriores permitiria 681,82 PLN. Se as perdas abertas já incluem o movimento da entrada ao preço atual, calcule apenas a perda adicional do patrimônio atual ao cenário de saída; caso contrário, a mesma perda é descontada duas vezes.

A seção anterior mostrou um sinal rejeitado na quarta etapa, quando a concentração vinculou antes do orçamento. Vamos generalizar para testes com condições numéricas, permitindo decidir sem julgamento da situação.

Os testes são feitos em ordem, antes de abrir a posição, com grandezas calculadas após sua inclusão hipotética. Cada teste dá não só uma resposta "sim/não", mas também um espaço livre — valor de risco que ainda cabe. O espaço livre importa mais que a resposta, pois determina se a posição pode entrar com tamanho reduzido.

Qual teste vincula — os números

Estado inicial. Capital atual de 100.000 PLN. Três posições da seção 7 abertas com risco de 1,00% cada, todas vendidas em dólar; ΣR = 3,00% = 3.000 PLN e o risco concentrado no dólar S_USD = 3,00%. Orçamento da carteira B = 4,00%. Drawdown diário aceitável DD = 3,50% — valor ilustrativo; a origem do limite diário e sua base são definidos em 9.3, e a medição do drawdown por duas definições, com a condição de parada, em 9.8. Slippage g = 10%. Limite de concentração: 3 × R = 3 × 1,00% = 3,00%.

O candidato. Compra de AUD/USD, risco R_n = 1,00% = 1.000 PLN. A correlação dos resultados com a primeira posição é +0,72 — ambas são compradas, então o sinal da matriz da seção 4 permanece. O candidato também fica vendido em dólar, como as três posições abertas. Uma ressalva antes do cálculo: +0,72 vem de uma janela de 90 sessões, ou 89 observações de retorno, e, portanto, não cumpre a condição de janela de T3. O artigo não tem leitura de uma janela tão longa; acrescentá-la seria inventar um dado. Por isso T3 funciona abaixo como ilustração do procedimento, não como teste aprovado — nos termos da seção 3, é um alerta, não medição decisiva. Isso não muda o resultado: T2 rejeita o candidato com espaço livre zero, independentemente do valor de qualquer correlação.

O candidato não cabe no limite de concentração em USD: capacidade restante zero. Separadamente, T4 permite R adicional de 181,82 PLN. Para saber se esse valor é executável, faltam preço de entrada, distância de saída, custos, volume mínimo e incremento. Sem esses dados, não é possível dizer que a posição é pequena demais; aqui o teste de concentração já a rejeita.

Vale examinar T1 separadamente: o orçamento da carteira passou. Se fosse o único teste, a quarta posição entraria e a carteira teria 4,00% de risco concentrado em uma moeda e soma de perdas de 4,40%, contra drawdown aceitável de 3,50%. O orçamento de risco não basta como única regra da carteira — é o teste mais fraco dos quatro, pois nada sabe das relações entre as posições.

16. Cinco erros na aritmética da carteira

Erro 1: ler o resultado da fórmula da carteira como valor de perda

O mais grave e comum. O resultado σ_p = 4,69% para cinco posições com risco de 1% cada é às vezes descrito como "risco efetivo de 4,69%, menos de 5% — tenho margem". Não há margem: 4,69% é o desvio-padrão do resultado diário com σ = 1% por posição; a soma das perdas com cinco saídas é 5,00% mais slippage em cada perna. O diagnóstico cabe em uma frase: se você substituiu σ pelo valor no qual fecha a posição, usou a grandeza errada.

Erro 2: carteira composta só por pares com dólar

Quatro posições XXX/USD na mesma direção compartilham exposição vendida em dólar. As outras moedas e as escalas dos resultados podem diferir, então não são literalmente uma posição. O papel do dólar no volume negociado está documentado,¹² mas isso não prova uma correlação específica para todo par. O limite de concentração e o cálculo da dependência se complementam.

Erro 3: confiar na correlação anterior à mudança de regime

A leitura anterior ao evento descreve aquela amostra. Uma mudança na variância do choque comum pode aumentar a correlação sem mudar os parâmetros da relação entre instrumentos, como discutem Forbes e Rigobon.² Outra estrutura de choques pode produzir direção diferente. Verifique período, escalas e critério de seleção antes de chamar o salto do coeficiente de mudança da dependência.

Erro 4: tratar correlação negativa como hedge

Com correlação de resultados −0,91, a volatilidade modelada de duas posições cai a 0,34% (carteira C, seção 11), às vezes descrita como “risco efetivo de 0,34% em vez de 2%”. Isso mistura duas grandezas. A dispersão do resultado diário de fato cai; a perda somada com ambas as saídas não muda, permanecendo em 2,00% mais slippage. Cada perna tem custos próprios; a soma não precisa ser exatamente o dobro do custo de uma perna, pois volumes e especificações importam. Com os mesmos resultados brutos, um custo adicional positivo reduz a expectativa líquida. Nesta carteira C, o desvio-padrão cai a 0,34%; em geral, acrescentar posição oposta só reduz a variância se σn²+2Cov(P,Xn)<0. Os dois orçamentos de saída continuam um cenário separado.

Erro 5: não ter limite por moeda e confundir correlação com causalidade

Os dois hábitos levam ao mesmo ponto. Sem limite de concentração, seis posições "de 1%" viram uma aposta de 6% — cada uma respeita a regra, o conjunto não. O segundo hábito é entrar porque "se EUR/USD subiu, GBP/USD também subirá, pois a correlação é +0,87". O coeficiente descreve um fator comum, não uma sequência: os dois pares reagem ao dólar, mas a libra tem fatores próprios que podem desfazer a relação hoje. Um limite de concentração bloqueia os dois hábitos: pede um número, não uma justificativa.

17. Exercício de verificação

A carteira difere de todas as calculadas acima, mas os três coeficientes vêm da matriz da seção 4 — confira-os antes de começar. Calcule primeiro sozinho e depois compare com a solução.

Solução

a) Ajuste dos sinais. As posições 1 e 2 são compradas; o sinal permanece: +0,92. A posição 3 é vendida e 1 e 2 são compradas; nos dois casos, o sinal se inverte: +0,68 e +0,60. As três correlações dos resultados são positivas — comprar AUD/USD, comprar NZD/USD e vender USD/CAD são três posições vendidas em dólar.

b) Volatilidade conjunta modelada.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σp=√2,1364=1,461643% do patrimônio. Em PLN: 0,01461643×60.000=876,99 PLN≈877 PLN. A conversão usa o valor sem arredondamento; 1,46% é exibido para facilitar a leitura, não como novo dado de entrada.

Verificação: o resultado está entre o maior desvio individual (0,60%) e a soma dos desvios (1,60%) — a metade inferior dessa verificação só vale porque as três correlações dos resultados são positivas; com negativas, não se aplica, como mostra a carteira C na seção 11. Sob independência, seria √0,8650 = 0,93% — a relação aumenta a volatilidade modelada em 57%.

c) Soma das perdas com todas as saídas acionadas. Sem slippage: 3 × 750 = 2.250 PLN = 3,75% do capital. Slippage de 8% do risco equivale a 60 PLN por perna, total de 180 PLN: 2.250 + 180 = 2.430 PLN = 4,05% do capital.

d) Risco concentrado no dólar. As três posições perdem com a valorização do dólar; a concentração é 3 × 1,25% = 3,75% do capital = 2.250 PLN. Limite: 3 × 1,25% = 3,75%. A carteira está exatamente no limite — uma quarta posição com dólar do mesmo lado não cabe, por melhor que seja sua regra de entrada.

e) A base para planejar capital é o número de (c): 4,05%. A volatilidade modelada de 1,46% descreve a dispersão do resultado diário no horizonte e na distribuição assumidos e é 64% menor que o valor que realmente sai da conta se as três saídas ocorrerem na mesma sessão.

f) Segunda janela e estresse. Para +0,78/+0,54/+0,46, o termo misto é 2×(0,2574+0,1458+0,11385)=1,0341; então σp=√1,8991=1,378079%, ou 826,85 PLN≈827 PLN. A variação é 50,14 PLN, cerca de −5,72% em relação à janela longa. SE(r)≈(1−r²)/√(N−1) para N=89 fornece 0,0164; 0,0573; 0,0682; para N=29, 0,0740; 0,1339; 0,1490. As diferenças pontuais em r são 0,14; 0,14; 0,14, mas compará-las aos seis SE não é teste de significância. A janela curta está contida na longa: Var(rL−rS)=Var(rL)+Var(rS)−2Cov(rL,rS). Sem a última covariância e as séries completas, não damos p nem intervalo da diferença. A aproximação de SE também exige as premissas da seção 2. A variante de estresse consistente Cstress=0,5C+0,5J fornece coeficientes 0,96/0,84/0,80, Var=0,5×2,1364+0,5×1,60²=2,3482 e σp=1,532384%, ou 919,43 PLN. A matriz é definida positiva (menor autovalor 0,03697). O cenário de stops com slippage permanece em 2.430 PLN antes dos custos separados se R e execução não mudarem. Isso compara três premissas, não é intervalo de confiança.

18. O que decorre de tudo isso

Todo o artigo cabe em dois números e na fronteira entre eles. A volatilidade conjunta modelada responde qual é a dispersão do resultado diário da carteira e serve para comparar suas composições. A soma das perdas com todas as saídas de proteção acionadas juntas, acrescida de slippage e gap em cada perna, responde quanto sai da conta; é o número usado para planejar capital e limites. O primeiro depende da correlação. O segundo não depende dela.

As quatro ações decorrentes disso são cálculos, não conselhos. Decomponha as posições por moeda com o sinal correto e calcule a exposição líquida a cada moeda na moeda da conta — sem isso, você não sabe quantas apostas mantém. Calcule o risco concentrado em cada moeda como a soma dos valores de risco das posições que perdem quando a moeda se move em uma direção, comparando-a ao limite registrado antecipadamente. Registre os quatro parâmetros de medição e a data junto de cada coeficiente, pois sem eles a leitura não é reproduzível nem comparável. Ajuste o sinal às direções das posições antes de substituir qualquer coisa na fórmula.

Saiba também o que este cálculo não fornece. Ele não diz quanto você realmente arrisca, pois a correlação histórica não diz isso; a seção 9 mostra por quê. Informa algo mais restrito: quanto sai da conta se todas as hipóteses falharem na mesma sessão, em cenário com slippage assumido e sem gap; com gap, sai mais, sem limite superior conhecido por esse cálculo. Se o número supera o drawdown que você consegue suportar, reduza o número de posições ou o risco de cada uma — são os dois únicos parâmetros que o alteram.

No próximo artigo tratamos do que ocorre além do limite inferior deste cálculo: mecânica dos gaps, perda quando o salto supera a distância de saída e limites das medidas que tentam descrever a cauda da distribuição.