Matemática das perdas: assimetria da recuperação e risco de ruína

Após um drawdown de 10%, retornar ao pico anterior exige retorno de 11,1%; após 50%, exige 100%, e após 90%, 900%. Esses valores decorrem de uma única identidade aritmética e não exigem dados de mercado. O risco de ruína tem outra natureza: é resultado de um modelo baseado em distribuição especificada e parâmetros estimados de uma amostra. Esta lição deduz a tabela de recuperação, verifica as premissas da fórmula de ruína e compara trajetórias do capital sob diferentes regras de dimensionamento. Depois, incorpora custos, ordem dos resultados e incerteza da estimação. Assim, cada número pode vir acompanhado da base de cálculo e das condições em que pode ser utilizado.

Três parâmetros de entrada alimentam todos os cálculos seguintes. Este artigo não deduz nenhum deles — essa é a tarefa do artigo 9.6. Aqui, entram apenas como números fornecidos por você.

• Taxa de acerto (p): entra na fórmula da seção 3 e na simulação; o valor ilustrativo utilizado abaixo é 55%.
• Relação retorno/risco (RR): define o tamanho do ganho em relação à perda na distribuição amostrada pela simulação; ilustrativamente, 1:1,5, mas intencionalmente 1:1 nas seções 3 e 11, pois apenas essa relação satisfaz a fórmula da ruína do jogador.
• Valor esperado: a média implícita na distribuição de resultados especificada; sozinha, não determina o risco de ruína, ilustrativamente +0,54 R bruto e +0,35 R após custos de execução (seção 8).

1. A dedução e a tabela completa de recuperação — de −5% a −90%

O capital após um drawdown de fração DD medido desde o pico é K × (1 − DD). Para voltar a K, esse montante reduzido precisa crescer pela diferença que falta K × DD, e o retorno é calculado sobre o que resta após a perda:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K é simplificado e desaparece, portanto o resultado não depende do tamanho da conta, do instrumento nem do conjunto de regras. Trata-se de uma identidade aritmética: verdadeira por definição, sem dados. Nenhum outro resultado deste artigo tem essa natureza: o risco de ruína e a simulação são resultados de modelos.

Substituindo −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, obtém-se +100%. Para −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, obtém-se +25%. O artigo 9.1 apresenta uma tabela resumida; a versão completa abaixo tem duas colunas mostrando quantas operações com valor esperado especificado são necessárias para esse retorno. Cada uma das três colunas numéricas usa uma base diferente; não as misture.

As três colunas têm bases diferentes; explicá-las é a única forma de evitar que a tabela induza o leitor ao erro. O drawdown é medido desde o pico da trajetória do capital. O retorno de recuperação é calculado desde o fundo— o capital após a perda —, por isso −50% exige +100%, e não +50%. Ambas as colunas de quantidade de operações pressupõem valor esperado de +0,4% por operação, mas usam bases diferentes.
A) Montante de risco fixo: cada operação contribui com média de +0,4% do capital inicial (40 PLN fixos para capital inicial de 10 000 PLN), independentemente do valor atual da conta. Fórmula: N = DD / 0,004. As perdas já estão incluídas nessa média: a soma esperada de N resultados é N × 0,004 × K0 e equivale ao montante que falta DD × K0 exatamente quando N = DD / 0,004, independentemente da quantidade de operações perdedoras nessa sequência. Isso utiliza a linearidade da soma esperada; não exige que cada operação gere exatamente a média. N identifica quando a soma média equivale ao montante que falta. Não é a média nem a mediana do primeiro tempo de recuperação; isso exige um modelo separado de alcance de barreiras. É um valor bruto: os custos das operações são omitidos. Se um custo não negativo reduzir a mesma média, mantendo-a positiva, a igualdade da soma média ocorrerá mais tarde. Isso não implica uma estimativa menor do primeiro tempo aleatório de recuperação.
B) Porcentagem fixa do capital: o mesmo valor esperado, mas calculado sobre o patrimônio atual, menor após o drawdown. Fórmula: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). É mais demorado que na coluna A, pois cada ganho usa uma base menor.
Ambas as colunas informam uma quantidade de operações. Convertê-la em tempo exige sua frequência de negociação; veja o exemplo abaixo.

Conversão em tempo para a coluna B, com duas frequências. A tabela usa valores ilustrativos; pressupõe que a média de +0,4% por operação se mantenha durante toda a recuperação, o que nada garante. A coluna de operações usa o valor exato da fórmula da coluna B (antes do arredondamento), portanto os meses são reproduzidos diretamente: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

A função Z = DD/(1 − DD) é crescente e convexa em todo o domínio de 0 a 1 — não existe um limiar em que “algo muda”. O aumento é contínuo: entre −5% e −20%, o retorno exigido sobe de +5,3% para +25%; entre −20% e −50%, de +25% para +100%; com drawdowns mais profundos que −50%, de +100% para +900%. Qualquer limiar para reduzir ou interromper as operações é uma decisão registrada antecipadamente; a fórmula não sugere nenhum. A origem desse limiar e como registrar a condição de retomada são tratados no artigo 9.8.

Uma consequência vai além do tempo de recuperação: o drawdown reduz o capital atual, precisamente a grandeza comparada com o limiar de encerramento forçado, calculada sobre todas as posições abertas na conta. As definições e os mecanismos dessas grandezas pertencem à seção 2, e o efeito de um gap sobre o preço de execução ao artigo 9.10.

Um depósito não recupera uma perda de negociação

Exemplo ilustrativo: a conta cai de 10 000 para 8 000 PLN; depois, seu titular deposita 2 000 PLN. O saldo volta a 10 000 PLN, mas o retorno das operações continua em −20%. Da mesma forma, um saque após lucro não é um drawdown causado pela negociação. Antes de usar DD/(1−DD), decida se está medindo o desempenho do investimento sem fluxos externos ou apenas o montante disponível na conta. O segundo importa para a capacidade de continuar operando; o primeiro, para recuperar o desempenho.

2. Recuperação com porcentagem fixa do capital

Com porcentagem fixa do patrimônio atual (1% por operação), o montante de risco cai junto com a conta. Base: patrimônio atual medido antes da abertura da posição. 1% de 10 000 PLN é 100 PLN; após perdas, 1% de 8 500 PLN é 85 PLN. A mesma regra gera montantes diferentes porque sua base mudou.

Isso funciona nos dois sentidos. A próxima perda retira menos PLN, mas o próximo ganho também rende menos, pois ambos usam a base reduzida. Valores ilustrativos, conta em PLN, valor esperado de +0,4 R por operação:

A proporção aqui é exata e decorre diretamente da definição: o montante do ganho diminui na mesma proporção que o capital. Por isso, a coluna B da tabela da seção 1 informa números maiores que a coluna A: com drawdown de −50%, são 174 operações em vez de 125, ou seja, 39% a mais. Ambas as colunas calculam a mesma porcentagem, apenas sobre bases diferentes, e toda a diferença está nisso.

Nenhuma regra é melhor que a outra, pois respondem a perguntas diferentes e têm consequências diferentes para o tamanho da posição, tratado no artigo 9.5. A escolha da base altera a quantidade de operações necessárias à recuperação; por isso, informar “quanto precisa ser recuperado” sem nomear a base é incompleto.

3. Risco de ruína — a fórmula, suas premissas e a tabela recalculada

Risco de ruína é a probabilidade de o capital atingir um limiar inferior especificado. Nesta seção, ruína significa cair para 50% do capital inicial ou menos. Não há uma meta superior antes da qual o limiar precise ser atingido; o modelo permite operar indefinidamente. Alterar o limiar ou o horizonte muda a pergunta e o resultado.

A variante do modelo e a fórmula

O cálculo abaixo usa o modelo clássico da ruína do jogador^[1] em sua versão de dois resultados: cada operação termina em ganho ou perda do mesmo tamanho (relação retorno/risco de 1:1), o montante monetário em risco é fixo, a taxa de acerto p é constante, os resultados sucessivos são independentes e o horizonte é infinito.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — a taxa de acerto como fração; edge = 2p − 1 (uma taxa de acerto de 55% gera vantagem de 0,10). As duas formas da fórmula são idênticas: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — a quantidade de unidades de risco que separa o capital atual do limiar de ruína. No início, com risco de 2% do capital inicial e limiar de −50%: N = 50% / 2% = 25. Após um drawdown, a distância é medida desde o estado atual da conta; há um exemplo no exercício (seção 11).
• O resultado é adimensional: não depende da moeda da conta nem do tamanho do capital, pois toda a informação sobre o capital está em N.

O modelo exige montante fixo de risco monetário. Com porcentagem fixa do capital atual, o montante diminui junto com a conta; assim, nenhum N desta fórmula descreve tal trajetória, sendo necessária uma simulação (seção 6).

Qual limiar o capital pode realmente atingir?

A fórmula abaixo se aplica a p > 0,5; para p ≤ 0,5 a probabilidade de ruína em horizonte infinito é 1, inclusive com média zero. Se a distância atual até o limiar não for múltiplo inteiro do montante fixo R, use N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉, arredondando para cima. O capital se move em uma grade de passo R e não para entre seus pontos. Isso se aplica ao modelo ±R e à condição “limiar ou abaixo”; com resultados variáveis, reconstrua a grade correspondente ou simule a trajetória.^[1]

Exemplo ilustrativo: K = 10 000 PLN, limiar de 9 050 PLN, R = 300 PLN. A distância de 950 PLN gera N = 4 e um estado inferior alcançável de 8 800 PLN. Arredondar para N = 3 calcularia a ruína em outro limiar: 9 100 PLN, ainda acima da barreira especificada.

A tabela — cada célula pode ser reproduzida pela fórmula acima

Como reproduzir qualquer célula. Taxa de acerto de 52%, risco de 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, ou seja 13,52%. Taxa de acerto de 58%, risco de 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, ou seja 19,91%. As premissas que tornam esta tabela válida: ruína definida como queda para 50% do capital inicial; relação retorno/risco de 1:1; montante fixo de risco monetário; taxa de acerto constante; resultados independentes; custo de execução igual a zero; horizonte infinito.

Quatro leituras da tabela, nenhuma delas uma recomendação por si só:

• Com taxa de acerto de 55% e risco de 1%, o risco de ruína do modelo é 0,0044%. Parece seguro no papel, mas apenas porque o modelo pressupõe relação de 1:1, taxa de acerto constante, ausência de custos e operações independentes. São premissas de modelo, não características comprovadas de toda série real. Um custo adicional não negativo piora o resultado na mesma trajetória, e a concentração real de perdas pode aumentar o risco; erro de estimação da taxa de acerto e relação diferente de 1:1 podem alterá-lo em qualquer direção, portanto essa direção deve ser verificada separadamente em cada caso.
• A mesma taxa de acerto de 55%, com risco de 5%, gera 13,44%. Multiplicar por cinco o risco por operação eleva a probabilidade de ruína do modelo mais de três mil vezes, pois N está no expoente.
• Uma taxa de acerto de 52% com risco de 2% gera 13,52%. Valor esperado positivo e risco de ruína de cerca de um em sete coexistem sem contradição: são duas grandezas diferentes calculadas com os mesmos parâmetros.
• A relação tem a direção correta nos dois sentidos: o risco de ruína aumenta com o risco por operação e diminui quando a taxa de acerto cresce. Uma célula que inverta isso indica erro na tabela ou na fórmula.

O cálculo para dois níveis de risco com todos os outros parâmetros inalterados

Parâmetros compartilhados, valores ilustrativos: taxa de acerto de 55%, relação retorno/risco de 1:1, limiar de ruína de −50% do capital inicial, risco calculado como porcentagem do capital inicial e convertido em montante monetário fixo.

• Risco de 1% por operação. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Por logaritmos: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, portanto Pruin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Risco de 2% por operação. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, portanto Pruin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• A diferença: dobrar o risco por operação aumenta o risco de ruína do modelo em 151 vezes, mantendo a taxa de acerto e a relação retorno/risco. O valor esperado em unidades R não muda.

Abrangência do cálculo. Resultados de ±R e montante de risco fixo são necessários para esta fórmula. Com porcentagem fixa do patrimônio atual e multiplicadores positivos, a conta não pode chegar a zero em número finito de etapas, mas pode cruzar um limiar de ruína positivo. Taxa de acerto constante e independência são premissas, não afirmações sobre o mercado. Um custo não negativo deduzido nas mesmas trajetórias e com o mesmo R não pode melhorar o capital. Um horizonte finito restringe os possíveis instantes de ruína, portanto sua probabilidade não pode superar a do horizonte infinito. Dependência, erro na taxa de acerto e mudança nos resultados podem, porém, atuar em qualquer direção; a fórmula sozinha não a determina.

Verificação da fórmula sem sorteios aleatórios. A solução satisfaz a recorrência h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1), a condição de contorno h(0)=1 e o limite h(i)→0 para p>0,5: substituir h(i)=((1−p)/p)^i torna o lado direito exatamente igual ao esquerdo. Para p≤0,5, a solução de probabilidade em horizonte infinito é 1. A tabela fornece probabilidades desse modelo.

4. Risco de ruína com relação diferente de 1:1

A fórmula da seção 3 descreve uma aposta com ganho e perda de mesmo tamanho. Um conjunto de regras com taxa de acerto de 38% e relação de 1:3 não atende a essa condição; inserir sua taxa de acerto na fórmula de 1:1 gera vantagem de 2 × 0,38 − 1 = −0,24 e a conclusão “ruína certa”, enquanto o valor esperado desse conjunto é 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52 R. A fórmula não está errada; foi aplicada fora do domínio em que tem significado.

Resultados desiguais: calcule a probabilidade de transição

A fração de Kelly não substitui a vantagem na fórmula de ruína. Ela otimiza outra grandeza, portanto símbolos parecidos não justificam essa substituição. Com montante de risco fixo e resultados +aR e −bR, é possível construir uma recorrência exata. Seja H_t(x) a probabilidade de cruzar o limiar inferior em no máximo t etapas adicionais, partindo de uma distância x acima dele. Então H_0(x)=0 para x>0, H_t(x)=1 para x≤0 e, para x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

Isso decorre de separar a primeira operação em ganho e perda, como no modelo clássico da seção 3.^[1] O valor de t precisa ser especificado. Para resultados racionais em uma grade comum, um número finito de etapas gera um número finito de estados; assim, não é necessário supor uma fórmula nem truncar o capital por cima. Um custo fixo pode ser deduzido de ambos os resultados pelo mesmo procedimento.

Verifique a sensibilidade a erros conjuntos dos parâmetros usando o mesmo limiar, horizonte e regra de montante de risco. Piorar o par ilustrativo de p=55%, RR=1,5 para p=52%, RR=1,2 exige dois cálculos separados de H. O critério de Kelly e a sensibilidade de sua fração têm cálculo próprio em 9.5; não aproximam a probabilidade de ruína.

A simulação fornece uma resposta mais confiável. A tabela seguinte vem de uma simulação realizada para este artigo: 40 000 trajetórias de no máximo 500 operações, gerador NumPy PCG64 com semente 20261005, resultados de dois valores com taxa de acerto e relação especificadas, porcentagem fixa do patrimônio atual, ruína definida como queda para 50% do capital inicial (quando a trajetória termina) e custo de execução zero. Todos os valores são ilustrativos. Os parâmetros p e RR são fornecidos como entradas; nenhum descreve o mercado.

Nossa simulação: 40 000 trajetórias de no máximo 500 operações, porcentagem fixa do patrimônio atual, limiar de ruína de −50% do capital inicial, custos de execução omitidos, resultados independentes e distribuição de dois pontos (ganho +RR, perda −1 R). A trajetória termina na primeira queda até o limiar de ruína ou após 500 operações; os percentis de drawdown máximo incluem as trajetórias interrompidas. O percentil 95 do drawdown máximo não é o pior caso— o quantil, por si só, não limita a profundidade dos cerca de 5% restantes das trajetórias. Os limites de um modelo específico decorrem separadamente de seus resultados, horizonte e regra de parada. O valor esperado da segunda coluna é bruto; a seção 8 apresenta a versão após custos de execução. Com uma distribuição diferente da de dois pontos, os mesmos p e RR geram drawdowns diferentes.

A tabela separa duas perguntas. Ruína significa cair abaixo da metade do capital inicial, enquanto o drawdown máximo usa o maior capital anterior. Portanto, o drawdown pode superar 50% desde um novo pico sem atingir o limiar de ruína. A pequena quantidade de ruínas com 1% e 2% vale apenas para essas quatro distribuições e 500 etapas. Não demonstra que o evento seja inalcançável. Com 5%, tanto a distribuição do drawdown quanto a quantidade de cruzamentos da barreira mudam bastante; uma média maior, sozinha, não permite ordenar esses resultados.

Nenhuma ruína simulada ainda deixa incerteza

Se M trajetórias independentes não contiverem nenhuma ruína, registre 0/M. O limite superior unilateral de probabilidade de 95% neste modelo fixo decorre de (1−u)^M=0,05: u=1−0,05^(1/M). Para M=40 000, é aproximadamente 0,00749%; para 30 000, 0,00999%. Esse limite descreve o erro de amostragem da simulação. Não inclui taxa de acerto incorreta, perdas extremas ausentes nem modelo de dependência inadequado.

A probabilidade de encontrar k perdas consecutivas em N operações é uma pergunta separada, com resposta diferente de (1 − p)k; seu cálculo para taxa de acerto e comprimento de sequência especificados está no artigo 9.1, seção 4; o artigo 9.3 usa o comprimento de sequência assumido como entrada para deduzir o limite de risco.

5. A ordem dos resultados — o mesmo conjunto, duas trajetórias

A seção 8 deixa uma promessa a ser cumprida aqui: a ordem dos resultados importa para a trajetória, embora não importe para o ponto final. Essa afirmação pode ser verificada com aritmética sobre dez números.

Ambas as trajetórias têm resultados idênticos — quatro ganhos (+2 R, +2 R, +1,5 R, +1,5 R) e seis perdas de −1 R, totalizando +1 R em dez operações, com média de +0,10 R. Regra de dimensionamento: porcentagem fixa do patrimônio atual, 1% por operação. Capital inicial de 100 unidades; o resultado é adimensional, portanto a quantidade de unidades não importa. Limite especificado antecipadamente: drawdown de −5% desde o pico.

Drawdown medido desde o pico da trajetória do patrimônio, após cada operação. Capital após uma operação: K × (1 + 0,01 × R). Arredondamento da tabela para três casas decimais; o cálculo é feito sem arredondamentos intermediários.

O ponto final é idêntico até a casa decimal: 100,912 nas duas trajetórias, ou seja, +0,912%. Essa igualdade tem causa puramente aritmética. O capital final com porcentagem fixa é o produto K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), e a multiplicação é comutativa — a ordem dos fatores não altera o produto. Com montante fixo de risco monetário, ocorre o mesmo, mas pela comutatividade da adição.

Todo o restante difere. O drawdown máximo é 3,94% na trajetória A e 5,85% na trajetória B, metade a mais, com os mesmos dez resultados. O limite de −5% é ultrapassado na trajetória B na sexta operação; na A, não é ultrapassado nenhuma vez. Se o limite interromper as operações, no mesmo conjunto de resultados uma trajetória termina na décima operação com +0,912%, e a outra é interrompida na sexta com −5,85% — e os quatro ganhos do conjunto nunca se concretizam.

A conclusão prática tem duas camadas. A média aritmética da amostra não descreve a ordem dos resultados. Duas ordenações do mesmo conjunto têm capital final idêntico aqui, mas podem apresentar drawdowns totalmente diferentes. Assim, o drawdown medido em uma sequência histórica é uma realização entre uma família de trajetórias possíveis; aleatorizar a ordem permite explorar essa família — assunto da próxima seção.

6. Simular a distribuição dos resultados — o que é sorteado e o que o resultado não informa

Um teste histórico mostra uma sequência: a que ocorreu. A simulação de Monte Carlo constrói uma distribuição de trajetórias possíveis com o mesmo material; duas operações frequentemente descritas por uma única palavra precisam ser diferenciadas. Permutação reorganiza exatamente os mesmos resultados: a composição e o valor final permanecem, e apenas a trajetória muda. É um teste puro do risco de sequência, feito manualmente na seção 5. Amostragem com reposição trata a amostra como distribuição da qual novas listas são sorteadas: algumas observações são omitidas e outras repetidas, portanto a composição e o valor final de cada trajetória também mudam. A seção 7 usa amostragem com reposição.

O que é sorteado: um resultado de operação em unidades R, de uma distribuição empírica construída com seus registros (com reposição) ou de uma distribuição de dois pontos especificada por taxa de acerto e relação retorno/risco. Premissa de independência: cada sorteio é independente do anterior; verifique isso separadamente na série de resultados de uma regra específica. Quantidade de repetições: mais repetições geram percentis mais estáveis; este artigo usa 40 000 na seção 4 e 30 000 na seção 8, sempre informadas junto aos resultados. O gráfico seguinte mostra três quantis pontuais de uma aproximação lognormal explícita, em vez de oito trajetórias sorteadas.

Quatro grandezas são lidas na distribuição:

• A mediana do drawdown máximo: o drawdown acima do qual fica metade das trajetórias. Não é previsão nem limite.
• Percentil 95 do drawdown máximo. Não é o pior cenário. Cerca de 5% das trajetórias do modelo têm drawdown mais profundo. O quantil, por si só, não limita as demais trajetórias; os limites de um modelo especificado são questão separada. Eventos de gap são tratados no artigo 9.10.
• Risco de ruína: a parcela de trajetórias em que o capital caiu até um limiar determinado. Grandeza dependente do limiar: sem informá-lo, não tem significado.
• A dispersão do resultado final, ou seja, o intervalo que contém determinada parcela das trajetórias, mantendo os parâmetros. Não responde qual será o tamanho do lucro.

Em uma soma de resultados independentes com variância constante e finita, o desvio padrão cresce com a raiz quadrada da quantidade de operações, enquanto a soma esperada cresce linearmente. Não é uma regra universal para toda faixa de distribuição nem para o capital com risco percentual fixo. Prolongar a mesma trajetória não pode reduzir seu drawdown máximo registrado, embora não necessariamente o aprofunde. Conhecer os parâmetros é outra questão: uma amostra independente mais longa reduz o erro de estimação da média como 1/√n (seção 9), e as duas direções não entram em conflito, pois respondem a perguntas diferentes.

Dois números fáceis de confundir precisam ser separados aqui, pois ambos são uma “quantidade de operações”. O comprimento de uma trajetória na simulação é uma escolha de horizonte: 500 operações significam a pergunta “o que pode acontecer em 500 operações”. O tamanho da sua própria amostra é a quantidade de operações que compõem a distribuição de entrada, e só ele determina a precisão com que você conhece os parâmetros. Sortear 500 resultados de um conjunto de cem não cria informação nova: o intervalo de confiança do valor esperado continua sendo o que decorre de cem observações (seção 9).

Duas médias não reconstroem a variância

Se p é a frequência de ganhos, as médias dos grupos são W e −L e suas variâncias são v_w e v_l, então Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². Uma distribuição de dois pontos retém apenas o último termo. Com p=0,5 e W=L=1 R, sua variância é 1 R². Se metade dos ganhos for +0,2 R e metade +1,8 R, com perdas negativas análogas, as médias dos grupos continuam em ±1 R, mas a variância passa a 1,64 R². A variância é maior, porém isso ainda não implica que todo quantil de drawdown ou toda probabilidade de ruína de uma barreira tenha de aumentar.

7. A simulação passo a passo

Para executar a simulação, basta uma lista dos seus resultados em unidades R e uma ferramenta que faça sorteios aleatórios. Uma planilha serve para algumas centenas de trajetórias; acima disso, um script curto é mais conveniente.

a) Entradas

A qualidade da simulação depende da lista de entrada. Cada operação encerrada precisa de um resultado em unidades R, calculado após custos: R = (resultado na moeda da conta após comissão, pontos de swap e derrapagem) / (montante de risco planejado na entrada). O denominador é o risco planejado, não o realizado; assim, uma perda com derrapagem é pior que −1,00 R e aparece na distribuição. Um resultado positivo é o lucro líquido nas mesmas unidades.

b) O procedimento

1. Monte uma lista de resultados em unidades R a partir dos seus registros, um por operação encerrada.
2. Sorteie com reposição. Defina o comprimento de uma trajetória pelo horizonte que está investigando. Se a pergunta é sobre a distribuição dos drawdowns da amostra que você já possui, use como comprimento o tamanho da sua própria amostra; o intervalo de confiança dos parâmetros não diminui porque você sorteia mais.
3. Recalcule o capital após cada operação sorteada, conforme sua regra de dimensionamento: com porcentagem fixa K ← K × (1 + r × R), com montante monetário fixo K ← K + montante × R.
4. Repita o suficiente para os percentis deixarem de variar entre execuções, normalmente de alguns milhares a algumas dezenas de milhares de trajetórias.
5. Leia a mediana e o percentil 95 do drawdown máximo, a parcela de trajetórias abaixo do limiar de ruína e a dispersão do resultado final. Registre todas as premissas junto aos valores; um mês depois, só elas permitirão reconstruir a origem dos números.

c) O que exatamente cada número informa

Intencionalmente, a tabela não contém limiar de aceitabilidade. “Risco de ruína abaixo de 1%” é uma escolha, não um resultado, e depende da porcentagem do capital que você pode deixar indisponível e por quanto tempo. Registrar esse limiar com a condição de interrupção e retomada cabe ao artigo 9.8.

d) O script

Substitua o vetor de resultados pelos seus valores em unidades R. O script funciona em dois modos: com resultados já calculados após custos ou com resultados brutos e custo adicionado como parâmetro aleatório.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Distribuição de resultados amostrada com reposição da sua lista de resultados em R.

    PREMISSAS que este código adota, mas não testa:
      - os resultados sucessivos são independentes (premissa a verificar);
      - os parâmetros permanecem constantes em todo o horizonte;
      - os resultados futuros têm a mesma distribuição da amostra.

    length=None -> o comprimento da trajetória é igual ao tamanho da amostra.
       Uma trajetória mais longa considera outro horizonte;
       NÃO estreita o intervalo de confiança dos parâmetros.

    outcomes_already_net=True -> a lista é líquida; nenhum custo é adicionado.
    outcomes_already_net=False -> subtrai custo independente max(0, Normal(mu,sigma)).
       mu e sigma descrevem a distribuição normal ANTES de limitar o custo a zero,
       e não a média e o desvio padrão do custo após essa limitação.
       A dependência entre custo e resultado não é modelada.
       Não aplique as duas abordagens: isso conta os custos duas vezes.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # a semente torna os sorteios reproduzíveis
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("Forneça uma lista não vazia de resultados finitos")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("O risco e o limiar devem estar em (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("O comprimento e as repetições devem ser inteiros positivos")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("O desvio padrão do custo não pode ser negativo")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("O modelo exige um multiplicador de capital positivo")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # o resultado é adimensional
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("O resultado com custo está fora do domínio do modelo")
            capital *= multiplier     # porcentagem fixa do patrimônio atual
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "risco de ruína": ruins / repetitions,
        "mediana do drawdown máximo": float(np.median(max_drawdowns)),
        "percentil 95 do drawdown máximo": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "comprimento da trajetória": length,
        "tamanho da amostra": len(outcomes_R),
    }

# Valores sintéticos (exemplo executável): substitua pelos seus resultados
# em unidades R, após custos, um por operação encerrada:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

O capital inicial é definido como 1. O limiar de ruína é uma fração desse valor, enquanto o drawdown máximo é medido desde o pico atual; a moeda da conta não altera nenhuma das duas relações. A linha capital *= (1 + risk * outcome) representa uma porcentagem fixa do patrimônio atual; substitua a multiplicação por adição para usar um montante de risco fixo. O custo padrão de 0,06 R é ilustrativo e pode ser muitas vezes maior com distância curta até a saída de proteção; a seção 8 mostra como entra no cálculo. A lista my_outcomes contém vinte valores apenas para tornar o código executável; não são medições de mercado nem amostra suficiente para demonstrar estabilidade dos parâmetros. O custo aleatório do código é independente do resultado e limitado inferiormente a zero; seus parâmetros descrevem a distribuição normal antes dessa limitação.

8. Custo de execução como parâmetro de entrada

O valor esperado entra na fórmula do risco de ruína e na simulação. Se entrar na versão bruta, o resultado também será bruto, e a diferença não é cosmética, pois o custo incide sobre cada operação separadamente, inclusive as perdedoras. Este artigo não descreve a origem dos componentes nem do que dependem: isso é tratado na seção 2, enquanto as condições de execução nas corretoras são tratadas nas seções 11–13. Aqui, o custo é um único número de entrada, e importa apenas o que ele faz com o cálculo.

O mesmo custo em pips consome uma fração maior de R quando a saída de proteção fica mais próxima da entrada; o tamanho da posição e a distância de saída são tratados no artigo 9.5. Abaixo, o custo entra como número já calculado em unidades R.

A conversão: o mesmo conjunto de parâmetros bruto e líquido

Entradas ilustrativas: posição em um par principal, distância de 50 pips até a saída de proteção, posição mantida por quatro noites, risco planejado de 1 R. Cada componente de custo é listado separadamente:

• o valor integral do spread de ida e volta — a diferença entre comprar na entrada e vender na saída, 4 pips em relação a uma distância de 50 pips: −0,08 R. Conte o spread exatamente uma vez; separá-lo em “entrada” e “saída” pelo valor integral contaria o mesmo custo duas vezes
• a derrapagem assumida: −0,03 R
• pontos de swap ao longo de quatro noites: −0,08 R
• total: −0,19 R por operação, terminando em lucro ou perda

Efeito em uma operação: ganho bruto de +1,80 R gera resultado líquido de +1,61 R, e perda bruta de −1,00 R gera resultado líquido de −1,19 R. O custo afeta ambos os resultados na mesma direção.

O efeito sobre o valor esperado com taxa de acerto de 55%:

• bruto: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540 R
• líquido: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350 R
• diferença: −0,19 R, uma redução de 35,2% no valor esperado bruto — exatamente o custo unitário, pois um custo cobrado em cada operação reduz o valor esperado por seu montante integral.

Efeito sobre a distribuição dos resultados — nossa simulação, 30 000 trajetórias de no máximo 500 operações (interrompidas ao atingir o limiar pela primeira vez), porcentagem fixa do patrimônio atual, limiar de ruína de −50%:

Ambas as versões usam os mesmos sinais dos resultados sorteados: p=0,55, resultado bruto +1,8 R ou −1 R, custo líquido de 0,19 R por etapa. Gerador PCG64, semente 20261005; 30 000 trajetórias independentes de no máximo 500 etapas, com parada quando o capital≤0,5 do capital inicial, percentis de MDD desde o pico atual com interpolação linear. A mediana com 1% sobe de 7,93% para 10,92%; com 2%, de 15,35% para 20,91%. Em cada versão, 0/30 000 trajetórias atingiram a ruína; isso não demonstra probabilidade zero. Verifique separadamente outras formas de dependência entre resultados.

9. Quantas operações sustentam a estimativa de um parâmetro

A taxa de acerto e a relação retorno/risco inseridas na fórmula da seção 3 são estimativas de amostra sujeitas a erro. A semiamplitude de um intervalo de confiança de 95% para o valor esperado é 1,96 × σ / √n, em que σ é o desvio padrão de um resultado em unidades R, e n é a quantidade de observações. Abaixo, adote σ = 1,5 R como ilustração:

Cálculo: 1,96 × 1,5 / √n. Para n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Com desvio padrão maior que 1,5 R (possível com relação de 1:3, mas também dependente da taxa de acerto e da dispersão dentro dos grupos), os mesmos intervalos exigem amostras proporcionalmente maiores. A fórmula pressupõe observações independentes e aproximação normal para a média (teorema central do limite); assim, o intervalo é indicativo em amostras pequenas e distribuições de resultados muito assimétricas; σ = 1,5 R é assumido como ilustração. Dependência positiva dos resultados pode alargar o intervalo, enquanto a negativa pode estreitá-lo; a simples falta de independência não determina a direção. Quando σ é substituído pelo desvio padrão amostral s, o intervalo usual utiliza a distribuição t de Student; a aproximação normal abaixo pressupõe σ ilustrativo conhecido.^[8]

Leia com atenção a linha de quatrocentas operações. A significância relaciona o tamanho do efeito, seu erro e o nível escolhido; a quantidade de operações, sozinha, não a determina. Com semiamplitude de ±0,15 R, uma estimativa de +0,10 R gera intervalo de −0,05 R a +0,25 R, que inclui zero: após quatrocentas operações, tal resultado não pode ser diferenciado da ausência de vantagem. Para que valor esperado próximo de +0,10 R exclua zero com σ = 1,5 R são necessárias n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 observações. Para +0,40 R, a mesma tabela é completamente diferente: cem bastam.

Portanto, a resposta a “quantas operações” é: depende do tamanho do efeito que você quer distinguir de zero e da dispersão dos seus resultados. Qualquer limiar citado sem esses dois números, seja cem, duzentas ou quinhentas operações, é um costume, não o resultado de um cálculo.

10. O que este cálculo não informa

Uma fórmula usada fora de seu domínio

Inserir a taxa de acerto em uma fórmula de 1:1 quando a relação é 1:3 gera um resultado sem significado: com taxa de acerto de 35%, a vantagem é 2 × 0,35 − 1 = −0,30 e a conclusão “ruína certa”, enquanto o valor esperado desse conjunto é 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40 R. A fórmula continua correta; foi aplicada a uma aposta que não descreve. A aplicabilidade faz parte da fórmula tanto quanto seu lado direito.

Valor esperado inserido na versão bruta

O custo de execução afeta toda operação, inclusive as perdedoras, reduzindo o valor esperado exatamente por seu montante: a seção 8 usa 0,19 R, ou 35,2% do valor bruto. O risco de ruína calculado sobre o valor bruto é uma estimativa inferior.

A premissa de resultados independentes

A amostragem de resultados individuais com reposição pressupõe independência entre operações consecutivas. Modelos de volatilidade condicional, como o ARCH de Engle, descrevem dependência da variância; o artigo de 1982 estudou a inflação britânica.^[4] Isso não implica que os resultados de uma regra cambial específica devam se agrupar em sequências perdedoras. Se tal agrupamento ocorrer, a amostragem individual o elimina. Com dependência alternada, pode, ao contrário, gerar sequências mais longas que o mecanismo real. Verifique a direção nos resultados da mesma regra.

Mesma taxa de acerto, dois mecanismos de sequência

Como ilustração, suponha frequência de perdas de longo prazo q=0,4. No modelo independente, a probabilidade de duas perdas em um bloco especificado é 0,4²=0,16. Em um modelo estacionário com P(perda após perda)=0,6 e P(perda após ganho)=0,2667, é aproximadamente 0,4×0,6=0,24. Com transições de 0,2 e 0,5333, cai para 0,4×0,2=0,08, embora a taxa de acerto continue em 60%. Manter a mesma média e frequência não determina o comprimento das sequências. Isso refuta a afirmação de que toda dependência piora o resultado de uma simulação independente.

Uma distribuição construída com o que já aconteceu

A amostragem dos seus dados reproduz apenas os resultados que eles contêm. As limitações dos modelos normais também são discutidas na leitura complementar^[2]. Não atribuímos a esse livro uma medição das caudas de uma série específica nem pressupomos aqui uma única distribuição das variações cambiais. Um cenário separado pode conter uma perda muitas vezes maior que a planejada; se a amostra não contiver tal observação, a simulação jamais a gerará — mesmo com um milhão de trajetórias. A amostragem deste conjunto não reproduz um episódio de perda extrema ausente. Isso não implica uma direção universal do erro para todo quantil; por isso, complemente o resultado com um cenário explícito que não esteja na amostra. Um complemento prático é um cálculo condicional separado: um resultado supondo que uma operação em duzentas termine em −5 R, e outro supondo uma em quinhentas em −10 R. Esse cálculo informa apenas quanto um evento assim retira do capital.

A premissa de parâmetros estáveis

A taxa de acerto e a relação retorno/risco inseridas na fórmula vêm do passado e carregam o erro de estimação discutido na seção 9. O modelo as trata como constantes. Se variarem no tempo, recalcule também variantes com vários subperíodos escolhidos explicitamente e informe o critério de seleção. Um subperíodo com média menor ou sequências perdedoras mais longas pode piorar um resultado específico, mas os parâmetros não precisam se mover juntos. Isso é análise de sensibilidade, não prova de que a pior janela histórica prevê melhor o futuro. Avaliar se um conjunto de regras continua funcionando cabe à seção 8; este artigo apenas calcula as consequências de parâmetros especificados.

A trajetória média não é o primeiro tempo de recuperação

As colunas A e B da seção 1 mostram quando uma trajetória determinística do capital médio alcança o pico anterior: com montante fixo e com multiplicador de 1+0,004, respectivamente. Não são a média nem a mediana do primeiro tempo de recuperação de uma conta individual. Esse tempo depende de toda a distribuição e da trajetória; algumas podem não se recuperar no horizonte. Na simulação, registre separadamente o primeiro tempo de recuperação e informe a parcela de trajetórias sem recuperação, em vez de excluí-las do tempo médio.

11. Exercício de verificação

Os dados são diferentes de todos os utilizados acima. Faça o cálculo antes de olhar a solução.

Solução.

Ponto 1. Drawdown desde o pico: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, resultando em −35%. Retorno necessário: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, resultando em +53,8%. Em PLN: faltam 8 400 PLN, calculados sobre 15 600 PLN, resultando em 8 400 / 15 600 = 53,8%; a concordância entre os métodos verifica a aritmética. Esse é o aumento necessário do capital desde o fundo até o pico. Se ambos os estados forem após custos, você precisa ganhar 8 400 PLN líquidos; não adicione custos novamente à própria relação. A fórmula não informa quantos resultados brutos nem quanto tempo são necessários para esse aumento.

Ponto 2. Modelo: ruína do jogador, relação de 1:1, montante de risco fixo, horizonte infinito. A relação (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N é contada desde o patrimônio atual até o limiar de ruína, pois parte da distância já foi percorrida. Limiar: 24.000 × (1 − 0,40) = PLN 14.400. Montante de risco: 1,5% × 24.000 = PLN 360 (fixo, sobre o capital inicial). Distância: 15.600 − 14.400 = PLN 1.200.

• Risco de 1,5%: N=⌈1200/360⌉=4. Primeiro estado alcançável no limiar ou abaixo: 14 160 PLN; (0,46/0,54)^4=0,526570, resultando em 52,66%.
• Risco de 3%: R=720 PLN, N=⌈1200/720⌉=2; (0,46/0,54)^2=0,725652, resultando em 72,57%. Dobrar o montante de risco aumenta o resultado em 19,91 pontos percentuais, aproximadamente 1,38 vez.
• No início, com R=360 PLN, a distância é 9 600 PLN, portanto N=⌈9600/360⌉=27 e o resultado é 1,32%. Chegar a 15 600 PLN aumentou o risco condicional a partir do estado atual em cerca de quarenta vezes. O expoente funciona da mesma forma para todo N; a distância até a barreira mudou.

Ponto 3. O resultado pressupõe resultados de ±R, montante de risco fixo, taxa de acerto constante p=0,54, independência, custos zero e horizonte infinito. O desvio padrão teórico dessa distribuição é σ=√(1−0,08²)=0,9968 R, e não 1,5 R. A aproximação normal da incerteza da média com 100 observações tem semiamplitude de cerca de 0,195 R; descreve a incerteza em p, omitida no resultado de ruína acima. Um custo adicional não negativo piora a mesma trajetória, enquanto um horizonte finito reduz as oportunidades de ruína. Dependência e mudanças de parâmetros podem atuar em qualquer direção. Para p≤0,5 neste modelo ±R, a probabilidade de ruína em horizonte infinito é 1, embora o tempo médio até atingir a barreira possa ser infinito com p=0,5.

Ponto 4 não tem solução única. O esquema é o mesmo: seu limiar de ruína em moeda → distância desde o capital atual → dividir pelo seu montante fixo de risco monetário → arredondar para cima até a barreira alcançável → N → ((1 − p)/p)N. Registre o resultado com a lista de premissas do ponto 3: essa lista faz parte da resposta.

12. Cinco números que você precisa ter calculado

Cada um exige informar sua base e suas premissas; só assim pode ser comparado com algo:

1. Valor esperado após custo de execução, em unidades R e na moeda da conta, informando a composição do custo. A definição e a dedução estão no artigo 9.6.
2. O retorno necessário para recuperar seu drawdown típico e o mais profundo até hoje, pela identidade Z = DD/(1 − DD), calculado desde o fundo.
3. Risco de ruína com seu risco por operação, informando limiar de ruína, variante do modelo e lista de premissas. Sem esses três elementos, o número não tem significado.
4. A mediana e o percentil 95 do drawdown máximo de uma simulação com seus próprios resultados. O segundo não é o pior caso; sozinho, não descreve a profundidade do restante da distribuição. Os limites do modelo são estabelecidos separadamente.
5. A semiamplitude do intervalo de confiança do seu valor esperado para sua quantidade de operações. A média continua sendo uma estimativa mesmo quando o intervalo exclui zero. Um intervalo que inclui zero mostra, adicionalmente, que a amostra não consegue diferenciar uma média positiva de uma nula ou negativa sob essas premissas. A incerteza dos parâmetros se transmite aos cálculos que dependem da distribuição dos resultados; o retorno necessário para recuperar uma queda especificada é, por si só, uma identidade aritmética.

Os cinco descrevem as consequências dos parâmetros que você fornece. Nenhum decide se seu conjunto de regras tem vantagem (essa pergunta pertence à seção 8), e nenhum transforma um conjunto com valor esperado negativo em lucrativo.

O próximo artigo (9.3) inverte a direção deste cálculo: em vez de calcular o risco de ruína para uma porcentagem dada, deduz a porcentagem permitida a partir de um drawdown dado e um comprimento assumido de sequência perdedora.

Mais trajetórias não substituem uma amostra maior

A simulação tem dois erros. O primeiro vem de sortear M trajetórias com parâmetros fixos; o segundo, de estimar esses parâmetros com n resultados reais. M=100 000 com n=20 pode reproduzir com enorme precisão uma distribuição incerta de vinte observações. Para separá-los, calcule vários cenários de entrada e repita os sorteios com sementes diferentes dentro de cada um. Não descreva mudanças entre cenários como erro de Monte Carlo.