Verlust-Mathematik: Erholungs-Asymmetrie und Risiko des Ruins

Ein Drawdown von 10 % erfordert eine Rendite von 11,1 %, um zum vorherigen Höchststand zurückzukehren. Ein Drawdown von 50 % erfordert 100 %. Ein Drawdown von 90 % erfordert 900 %. Diese drei Zahlen entstammen einer einzigen Formel, die keinerlei Marktdaten benötigt, und diese Formel bestimmt die Form des gesamten Artikels. Die zweite Formel, Risk of Ruin, sagt etwas völlig anderes und hat einen völlig anderen Status: Sie ist das Ergebnis eines Modells, das auf einer angenommenen Verteilung und aus einer Stichprobe geschätzten Parametern beruht. Diese beiden Dinge auseinanderzuhalten ist wichtiger als jede einzelne Zahl weiter unten.

Drei Eingabeparameter speisen jede folgende Berechnung. Dieser Artikel leitet keinen von ihnen her — das ist die Aufgabe von Artikel 9.6. Hier gehen sie rein als Zahlen ein, die Sie selbst liefern.

• Trefferquote (p): geht in die Formel in Abschnitt 3 und in die Simulation ein; der illustrative Wert unten ist 55 %.
• Chance-Risiko-Verhältnis (RR): legt in der Verteilung, aus der die Simulation zieht, die Größe eines Gewinns gegenüber einem Verlust fest; illustrativ 1:1,5, und bewusst 1:1 in den Abschnitten 3 und 11, denn nur bei 1:1 gilt die Gambler's-Ruin-Formel.
• Erwartungswert: die Zahl, die in die Risk-of-Ruin-Berechnung und in die Simulation eingesetzt wird; illustrativ +0,54R brutto und +0,35R nach Ausführungskosten (Abschnitt 8).

1. Die Herleitung und die vollständige Erholungstabelle — von −5 % bis −90 %

Das Kapital nach einem vom Höchststand gemessenen Drawdown des Anteils DD beträgt K × (1 − DD). Um zu K zurückzukehren, muss dieser reduzierte Betrag um die fehlende Differenz K × DD wachsen, und die Rendite wird aus dem berechnet, was nach dem Verlust übrig bleibt:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K kürzt sich heraus und verschwindet, sodass das Ergebnis weder von der Kontogröße noch vom Instrument noch vom Regelwerk abhängt. Dies ist eine arithmetische Identität: per Definition wahr, ganz ohne Daten. Nichts anderes in diesem Artikel hat diesen Status: Risk of Ruin und die Simulation sind Ergebnisse von Modellen.

Setzt man −50 % ein: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, das sind +100 %. Für −20 %: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, das sind +25 %. Artikel 9.1 führt eine gekürzte Version dieser Tabelle; die vollständige steht unten, mit zwei Spalten, die angeben, wie viele Trades einer bestimmten Erwartungswert-Höhe eine solche Rendite benötigen. Jede der drei Zahlenspalten hat eine andere Basis, und sie dürfen nicht vermischt werden.

Die drei Spalten haben unterschiedliche Basen, und das offenzulegen ist der einzige Weg, wie die Tabelle nicht in die Irre führt. Der Drawdown wird vom Höchststand des Equity-Pfads gemessen. Die zur Erholung nötige Rendite wird vom Tiefpunkt berechnet, also vom Kapital nach dem Verlust, weshalb −50 % +100 % erfordern und nicht +50 %. Beide Trade-Zahl-Spalten nehmen einen Erwartungswert von +0,4 % pro Trade an, aber berechnet aus zwei verschiedenen Basen.
A) Fester Bareinsatz: jeder Trade trägt im Durchschnitt +0,4 % des Startkapitals bei (bei 10.000 PLN Start ein fester Betrag von 40 PLN pro Trade), unabhängig vom aktuellen Kontostand. Formel: N = DD / 0,004. Verluste sind in diesem Durchschnitt bereits enthalten: Der Erwartungswert der Summe von N Ergebnissen beträgt N × 0,004 × K0 und entspricht genau dem fehlenden DD × K0 bei N = DD / 0,004, unabhängig davon, wie viele Verlust-Trades in diesen Durchlauf fielen. Die Berechnung setzt voraus, dass jeder Trade genau den Durchschnitt liefert, sodass N den durchschnittlichen Pfad beschreibt statt des Pfads, den ein einzelnes Konto tatsächlich geht; die Streuung darum zeigt Abschnitt 6. Dies ist eine Brutto-Zahl: Die Kosten dieser Trades sind ausgeklammert, sodass die Zahl eine untere Grenze ist.
B) Fester Prozentsatz des Kapitals (Fixed Fractional): derselbe Erwartungswert, aber berechnet aus dem aktuellen Kapital, das nach einem Drawdown kleiner ist. Formel: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Länger als Spalte A, weil jeder Gewinn aus einer kleineren Basis berechnet wird.
Beide Spalten liefern eine Anzahl von Trades. Die Umrechnung in Zeit erfordert Ihre eigene Handelsfrequenz; ein Beispiel folgt.

Umrechnung in Zeit für Spalte B, bei zwei Frequenzen. Die Tabelle verwendet illustrative Werte; sie nimmt an, dass der Durchschnitt von +0,4 % pro Trade über den gesamten Erholungszeitraum hält, was nichts garantiert. Die Trade-Spalte trägt den exakten Wert aus der Formel für Spalte B (vor Rundung), sodass sich die Monate direkt reproduzieren lassen: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

Die Funktion Z = DD/(1 − DD) ist über ihren gesamten Definitionsbereich von 0 bis 1 steigend und konvex — es gibt darin keine Schwelle, an der „sich etwas ändert". Der Anstieg ist stetig: zwischen −5 % und −20 % steigt die nötige Rendite von +5,3 % auf +25 %, zwischen −20 % und −50 % von +25 % auf +100 %, oberhalb von −50 % von +100 % auf +900 %. Jede Schwelle, bei der der Handel reduziert oder gestoppt werden soll, ist eine im Voraus schriftlich festgelegte Entscheidung; die Formel legt keine nahe. Woher eine solche Schwelle kommt und wie die Wiederaufnahmebedingung geschrieben wird, klärt Artikel 9.8.

Eine Konsequenz reicht über die reine Erholungszeit hinaus: Ein Drawdown senkt das aktuelle Kapital, und das aktuelle Kapital ist genau die Größe, die mit der Schwelle für die Zwangsschließung verglichen wird, berechnet über alle offenen Positionen des Kontos. Die Definitionen und die Mechanik dieser Größen gehören zu Abschnitt 2, die Wirkung eines Gaps auf den Ausführungspreis zu Artikel 9.10.

2. Erholung bei festem Prozentsatz des Kapitals

Bei einem festen Prozentsatz des aktuellen Kapitals (1 % pro Trade) fällt der eingesetzte Barbetrag zusammen mit dem Konto. Die Basis ist das aktuelle Kapital, gemessen vor Eröffnung der Position. 1 % von 10.000 PLN sind 100 PLN; nach einer Verluststrecke sind 1 % von 8.500 PLN bereits 85 PLN. Dieselbe Regel liefert zwei verschiedene Beträge, weil sich die Basis geändert hat.

Sie wirkt in beide Richtungen zugleich. Der nächste Verlust kostet weniger in bar, aber auch der nächste Gewinn liefert weniger, weil er aus derselben verkleinerten Basis berechnet wird. Illustrative Werte, die Berechnung in PLN, Erwartungswert +0,4R pro Trade:

Der Anteil hier ist exakt und folgt unmittelbar aus der Definition: Der Gewinnbetrag schrumpft im selben Tempo wie das Kapital. Deshalb liefert Spalte B in der Tabelle aus Abschnitt 1 größere Zahlen als Spalte A: bei −50 % Drawdown sind es 174 Trades statt 125, das sind 39 % mehr. Beide Spalten berechnen denselben Prozentsatz, nur aus einer anderen Basis, und der ganze Unterschied liegt genau darin.

Keine der beiden Regeln ist der anderen überlegen, weil sie unterschiedliche Fragen beantworten und unterschiedliche Konsequenzen für die Positionsgröße haben, was Artikel 9.5 klärt. Die Wahl der Basis ändert die zur Erholung nötige Trade-Zahl, sodass die Angabe „wie viel zurückgeholt werden muss" ohne Nennung der Basis unvollständig ist.

3. Risk of Ruin — die Formel, ihre Annahmen und die neu berechnete Tabelle

Risk of Ruin ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital vor seinem Wachstum auf eine bestimmte Schwelle fällt. Sie wählen die Schwelle selbst, und sie muss zusammen mit dem Ergebnis genannt werden: In diesem gesamten Abschnitt bedeutet Ruin ein Fall auf 50 % des Startkapitals. Eine Änderung der Schwelle ändert das Ergebnis, sodass nur Werte verglichen werden dürfen, die für dieselbe Schwelle berechnet wurden.

Die Modellvariante und die Formel

Die folgende Berechnung ist das klassische Gambler's-Ruin-Modell^[1] in seiner Zwei-Ergebnis-Version: Jeder Trade endet mit einem Gewinn oder Verlust gleicher Größe (ein Chance-Risiko-Verhältnis von 1:1), der eingesetzte Barbetrag ist fest, die Trefferquote p ist konstant, aufeinanderfolgende Ergebnisse sind unabhängig, und der Horizont ist unendlich.

P_Ruin = (1 − Edge1 + Edge)^N=(1 − pp)^N

• p — die Trefferquote als Anteil; Edge = 2p − 1 (eine Trefferquote von 55 % ergibt einen Edge von 0,10). Beide Formen der Formel sind identisch: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — die Anzahl der Risiko-Einheiten, die das aktuelle Kapital von der Ruin-Schwelle trennen. Am Start, bei einem Risiko von 2 % des Startkapitals und einer −50 %-Schwelle: N = 50 % / 2 % = 25. Nach einem Drawdown wird der Abstand vom aktuellen Kontostand aus gemessen; ein Beispiel dazu findet sich in der Übung (Abschnitt 11).
• Das Ergebnis ist dimensionslos: Es hängt weder von der Kontowährung noch von der Kapitalgröße ab, weil alle Informationen über das Kapital in N stecken.

Das Modell verlangt einen festen Bareinsatz. Bei einem festen Prozentsatz des aktuellen Kapitals schrumpft der Betrag zusammen mit dem Konto, sodass kein N aus dieser Formel einen solchen Pfad beschreibt und stattdessen eine Simulation nötig ist (Abschnitt 6).

Die Tabelle — jede Zelle aus der obigen Formel nachvollziehbar

So wird jede Zelle reproduziert. Trefferquote 52 %, Risiko 2 %: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50 %/2 % = 25; 0,92307725 = 0,13519, das sind 13,52 %. Trefferquote 58 %, Risiko 10 %: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, das sind 19,91 %. Die Annahmen, unter denen diese Tabelle gilt: Ruin definiert als Fall auf 50 % des Startkapitals; ein Chance-Risiko-Verhältnis von 1:1; ein fester Bareinsatz; eine konstante Trefferquote; unabhängige Ergebnisse; Ausführungskosten gleich null; ein unendlicher Horizont.

Vier Lesarten der Tabelle, von denen keine für sich eine Empfehlung ist:

• Bei einer Trefferquote von 55 % und 1 % Risiko beträgt der Modell-Risk-of-Ruin 0,0044 %. Das sieht auf dem Papier sicher aus, aber nur, weil das Modell ein Verhältnis von 1:1, eine konstante Trefferquote, keine Kosten und unabhängige Trades annimmt. Keine dieser Annahmen hält im Live-Handel strikt. Ausführungskosten und die Häufung von Verlusten treiben das tatsächliche Ergebnis nach oben; Schätzfehler bei der Trefferquote und ein Verhältnis ungleich 1:1 können das Ergebnis in beide Richtungen bewegen, sodass die Richtung jedes Mal separat geprüft werden muss.
• Dieselbe Trefferquote von 55 % bei 5 % Risiko ergibt 13,44 %. Eine Verfünffachung des Risikos pro Trade erhöht die Modellwahrscheinlichkeit des Ruins um mehr als das Dreitausendfache, weil N im Exponenten steht.
• Eine Trefferquote von 52 % bei 2 % Risiko ergibt 13,52 %. Ein positiver Erwartungswert und ein Risk of Ruin von etwa eins zu sieben stehen bequem nebeneinander: Es sind zwei verschiedene, aus denselben Parametern berechnete Größen.
• Der Zusammenhang hat in beide Richtungen die richtige Richtung: Risk of Ruin steigt mit dem Risiko pro Trade und fällt mit steigender Trefferquote. Eine Zelle, die das umkehrt, ist ein Fehler in der Tabelle oder in der Formel.

Die Berechnung für zwei Risikostufen bei sonst unveränderten Parametern

Gemeinsame Parameter, illustrative Werte: Trefferquote 55 %, Chance-Risiko-Verhältnis 1:1, Ruin-Schwelle −50 % des Startkapitals, Risiko berechnet als Prozentsatz des Startkapitals und eingefroren in einen festen Barbetrag.

• Risiko von 1 % pro Trade. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Über Logarithmen: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, also PRuin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044 %.
• Risiko von 2 % pro Trade. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, also PRuin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66 %.
• Der Unterschied: Eine Verdopplung des Risikos pro Trade erhöht den Modell-Risk-of-Ruin um das 151-Fache, bei unveränderter Trefferquote und unverändertem Chance-Risiko-Verhältnis. Der Erwartungswert in R-Einheiten ändert sich überhaupt nicht.

Die Annahmen hinter dieser Berechnung und die Richtung, in der jede einzelne versagt: ein Verhältnis von 1:1 (bei jedem anderen Verhältnis gilt die Formel nicht, Abschnitt 4); ein fester Bareinsatz (bei einem festen Prozentsatz ist ein Nullstand des Kontos im Modell unerreichbar, und die Schwelle muss als Fall unter ein Niveau definiert werden, eine andere Größe mit anderer Interpretation); eine konstante Trefferquote (aus einer Stichprobe geschätzt und mit Fehler behaftet, Abschnitt 9); Unabhängigkeit der Ergebnisse (verletzt durch Volatilitäts-Clustering, das Verluststrecken verlängert); Ausführungskosten von null (sie senken den Erwartungswert und erhöhen den Risk of Ruin, Abschnitt 8); ein unendlicher Horizont (über einen endlichen Horizont ist das Ergebnis niedriger). Die Richtung ist nicht allen Verletzungen gemeinsam: Ausführungskosten und Abhängigkeit zwischen Ergebnissen treiben das tatsächliche Risiko über die Modellzahl, ein endlicher Horizont senkt sie, und Schätzfehler bei der Trefferquote sowie ein Verhältnis ungleich 1:1 können das Ergebnis in beide Richtungen bewegen — deshalb wird die Richtung für jede Annahme einzeln angegeben und darf nicht pauschal unterstellt werden.

Eine Kontrolle der Formel. Die Werte in der Tabelle wurden mit einer unabhängigen Random-Walk-Simulation auf ganzzahligen Einheiten verglichen (50.000 Durchläufe, Barriere bei null Einheiten): für eine Trefferquote von 52 % und N = 25 ergab die Simulation 13,30 % gegenüber 13,52 % aus der Formel, für 58 % und N = 5 ergab sie 19,74 % gegenüber 19,91 %, und für 60 % und N = 5 sind es 13,27 % gegenüber 13,17 %. Die Abweichungen liegen im Bereich des Stichprobenfehlers der Ziehung selbst.

4. Risk of Ruin bei einem Verhältnis ungleich 1:1

Die Formel aus Abschnitt 3 beschreibt eine Wette, bei der Gewinn und Verlust gleich groß sind. Ein Regelwerk mit 38 % Trefferquote und einem Verhältnis von 1:3 erfüllt diese Bedingung nicht, und das Einsetzen seiner Trefferquote in die 1:1-Formel ergibt einen Edge von 2 × 0,38 − 1 = −0,24 und die Schlussfolgerung „Ruin ist sicher" — während der Erwartungswert dieses Regelwerks 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52R beträgt. Die Formel ist hier nicht falsch; sie wurde nur auf eine Wette angewandt, die sie nicht beschreibt.

Es gibt eine Näherung auf Basis des Kelly-Anteils, bei der f* an die Stelle des Edge tritt:

PRuin ≈ ((1 − f*) / (1 + f*))N, wobei f* = p − (1 − p)/RR

Der Status dieser Formel. Es handelt sich um eine eigene Näherung, konstruiert in Analogie zur Formel aus Abschnitt 3: f* ersetzt den Edge 2p − 1. Die Formel aus Abschnitt 3 hat in der Literatur eine formale Lösung^[1]; diese Näherung hat keine, sie ist also als Heuristik zu lesen. Sie gilt unter denselben Annahmen wie die Berechnung in Abschnitt 3 (ein fester Bareinsatz, eine konstante Trefferquote, unabhängige Ergebnisse, ein unendlicher Horizont), und N wird ihr separat zugeführt, weil es nicht aus f* folgt. Das unten verwendete N = 10 entspricht einem Risiko von 5 % des Startkapitals bei einer Ruin-Schwelle von −50 % des Startkapitals (50 %/5 % = 10). Würde man eine Position in Höhe von f* selbst handeln, also 25 % des Kapitals, ergäbe sich bei derselben Schwelle N = 2 und eine Berechnung auf einer völlig anderen Skala.

Die Näherung hat zwei Schwächen zugleich. Die erste betrifft ihre Eingaben: Bei konstantem Verhältnis ist f* eine lineare Funktion der Trefferquote, während seine Abhängigkeit vom Chance-Risiko-Verhältnis nicht linear (konkav) ist, und beide Parameter sind Stichprobenschätzungen, deren Fehler mitunter korreliert sind, sodass ihre gemeinsame Verschlechterung geprüft werden muss. Bei einer Trefferquote von 55 % und einem Verhältnis von 1:1,5 beträgt der Kelly-Anteil 0,25; nach einer Absenkung der Trefferquote um 3 Prozentpunkte und des Verhältnisses um 0,3 (auf 52 % und 1:1,2) sind es bereits 0,12. Die Größe von f*, ihre Herleitung und ein Sensitivitätstest des Kelly-Anteils selbst gehören zu Artikel 9.5; hier gehen beide Zahlen als Eingaben ein, und es zählt nur, was sie in der Näherung bewirken. Dieses Verhältnis steigt von 0,75/1,25 = 0,60 auf 0,88/1,12 = 0,786, sodass bei N = 10 (Risiko von 5 % des Startkapitals, Ruin-Schwelle −50 %) der approximierte Risk of Ruin von 0,60 % auf 8,97 % steigt, fast das Fünfzehnfache bei einem einzigen, keineswegs extremen Schätzfehler. Die zweite Schwäche: Die Substitution wird gerade dort ungenau, wo das Verhältnis stark asymmetrisch ist. Bei beiden Schwächen bleibt f* hier ein in eine Risk-of-Ruin-Näherung eingespeister Parameter, nicht der Gegenstand.

Eine ehrlichere Antwort liefert die Simulation. Die Tabelle unten stammt aus einer für diesen Artikel durchgeführten Simulation: 40.000 Durchläufe von höchstens 500 Trades, ein Zwei-Ergebnis-Resultat bei gegebener Trefferquote und Verhältnis, ein fester Prozentsatz des aktuellen Kapitals, Ruin definiert als Fall auf 50 % des Startkapitals (der Durchlauf wird an diesem Punkt gestoppt), Ausführungskosten gleich null. Alle Werte sind illustrativ. Sie liefern p und RR als Eingaben, und nichts darin beschreibt den Markt.

Eigene Simulation: 40.000 Durchläufe von höchstens 500 Trades, ein fester Prozentsatz des aktuellen Kapitals, Ruin-Schwelle −50 % des Startkapitals, Ausführungskosten ausgeklammert, unabhängige Ergebnisse, eine Zwei-Punkt-Verteilung (Gewinn +RR, Verlust −1R). Ein Durchlauf endet beim ersten Fall auf die Ruin-Schwelle oder nach 500 Trades; die Perzentile des maximalen Drawdowns decken auch die gestoppten Durchläufe ab. Das 95. Perzentil des maximalen Drawdowns ist nicht der schlimmste Fall — jenseits dieses Intervalls begrenzt die Berechnung den Verlust in keiner Weise. Der Erwartungswert in der zweiten Spalte ist brutto berechnet; die Version nach Ausführungskosten steht in Abschnitt 8. Bei jeder anderen Verteilung der Ergebnisse als der Zwei-Punkt-Verteilung ergeben dieselben p und RR andere Drawdowns.

Die Tabelle zeigt etwas, was die Formel aus Abschnitt 3 nicht zeigt. Bei 1 % und 2 % Risiko pro Trade ist Ruin im Sinne einer Halbierung über einen Horizont von 500 Trades für alle vier Parametersätze praktisch unerreichbar; was sie dann unterscheidet, ist die Verteilung der Drawdowns. Ruin kommt erst bei 5 % pro Trade wieder ins Spiel, und zwar unabhängig davon, wie hoch der Erwartungswert ist: Der Satz mit dem höchsten Erwartungswert (+0,76R) hat bei 5 % Risiko einen höheren Risk of Ruin als der Satz bei +0,34R, weil ein einzelner Verlust denselben Prozentsatz seines Kapitals kostet und er mehr Verluste hat.

Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb von N Trades auf eine Serie von k Verlusten zu treffen, ist eine gesonderte Frage mit einer anderen Antwort als (1 − p)k, und die Berechnung für eine gegebene Trefferquote und Serienlänge führt Artikel 9.1 durch; Artikel 9.3 verwendet eine angenommene Serienlänge bereits als Eingabe, wenn es ein Risikolimit herleitet.

5. Die Reihenfolge der Ergebnisse — dieselbe Menge, zwei Durchläufe

Abschnitt 8 lässt ein Versprechen offen, das hier eingelöst wird: Die Reihenfolge der Ergebnisse ist für den Pfad wichtig, auch wenn sie für den Endpunkt keine Rolle spielt. Dieser Satz lässt sich mit der Arithmetik von zehn Zahlen überprüfen.

Die Menge der Ergebnisse ist in beiden Durchläufen identisch — vier Gewinne (+2R, +2R, +1,5R, +1,5R) und sechs Verluste von je −1R, zusammen +1R über zehn Trades, das ist ein Erwartungswert von +0,10R. Die Positionsgrößenregel: ein fester Prozentsatz des aktuellen Kapitals, 1 % pro Trade. Startkapital 100 Einheiten; das Ergebnis ist dimensionslos, sodass die Anzahl der Einheiten keine Rolle spielt. Die im Voraus festgelegte Grenze: ein Drawdown von −5 % vom Höchststand.

Drawdown vom Höchststand des Equity-Pfads gemessen, nach jedem Trade. Kapital nach einem Trade: K × (1 + 0,01 × R). Rundung in der Tabelle auf drei Nachkommastellen; die Berechnung selbst erfolgt ohne Zwischenrundung.

Der Endpunkt ist bis zur Dezimalstelle identisch: 100,912 in beiden Durchläufen, das sind +0,912 %. Diese Übereinstimmung hat eine rein arithmetische Ursache. Das Endkapital bei einem festen Prozentsatz ist das Produkt K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), und die Multiplikation ist kommutativ — die Reihenfolge der Faktoren ändert das Produkt nicht. Bei einem festen Bareinsatz gilt dasselbe, nur über die Kommutativität der Addition.

Alles andere unterscheidet sich. Der maximale Drawdown beträgt 3,94 % in Durchlauf A und 5,85 % in Durchlauf B, anderthalbmal so viel bei denselben zehn Ergebnissen. Das −5 %-Limit wird in Durchlauf B beim sechsten Trade verletzt, in Durchlauf A kein einziges Mal. Löst das Limit einen Handelsstopp aus, endet bei denselben Ergebnissen ein Durchlauf beim zehnten Trade mit +0,912 %, und der andere wird beim sechsten mit −5,85 % abgebrochen — und die vier Gewinne, die in der Menge stecken, werden nie realisiert.

Die praktische Schlussfolgerung hat zwei Ebenen. Der Erwartungswert beschreibt den Endpunkt und sagt nichts über den Pfad: Zwei Durchläufe mit identischem Erwartungswert können völlig unterschiedliche Drawdowns haben. Ein an einer historischen Sequenz gemessener Drawdown ist daher eine Realisierung aus einer ganzen Familie möglicher Sequenzen; um die gesamte Familie möglicher Pfade zu sehen, muss die Reihenfolge randomisiert werden — und darum geht es im nächsten Abschnitt.

6. Simulation der Ergebnisverteilung — was gezogen wird und was das Ergebnis nicht sagt

Ein historischer Test zeigt eine Sequenz: die, die tatsächlich passiert ist. Eine Monte-Carlo-Simulation baut aus demselben Material eine Verteilung möglicher Pfade auf, und dabei müssen zwei Operationen auseinandergehalten werden, die oft mit einem Wort beschrieben werden. Eine Permutation ordnet exakt dieselbe Menge von Ergebnissen um: Zusammensetzung und Endpunkt bleiben, nur der Pfad ändert sich; das ist ein Test des reinen Reihenfolge-Risikos, in Abschnitt 5 von Hand durchgeführt. Ziehen mit Zurücklegen behandelt die Stichprobe als eine Verteilung, aus der neue Listen gezogen werden: Es lässt manche Beobachtungen aus und dupliziert andere, sodass es auch Zusammensetzung und Endpunkt jedes Durchlaufs ändert. Das Verfahren in Abschnitt 7 verwendet Ziehen mit Zurücklegen.

Was genau gezogen wird: ein einzelnes Trade-Ergebnis in R-Einheiten, entweder aus der empirischen Verteilung, die aus Ihren eigenen Aufzeichnungen aufgebaut wird (Ziehen mit Zurücklegen), oder aus einer Zwei-Punkt-Verteilung, die durch eine Trefferquote und ein Chance-Risiko-Verhältnis festgelegt ist. Die Unabhängigkeitsannahme: jede Ziehung ist unabhängig von der vorherigen, was im Live-Handel verletzt wird, weil Volatilität sich häuft und Verluststrecken manchmal länger sind als im Modell. Die Anzahl der Wiederholungen: je mehr, desto stabiler die Perzentile; in den Simulationen dieses Artikels: 50.000 Durchläufe bei der Formelkontrolle in Abschnitt 3, 40.000 in Abschnitt 4, 30.000 in Abschnitt 8 und acht Beispielpfade im Diagramm unten; die Anzahl wird jedes Mal zusammen mit dem Ergebnis genannt.

Vier Größen werden aus der Verteilung abgelesen:

• Der Median des maximalen Drawdowns: der Drawdown, oberhalb dessen die Hälfte der Durchläufe liegt. Er ist weder eine Prognose noch eine Grenze.
• Das 95. Perzentil des maximalen Drawdowns. Das ist nicht das schlimmste Szenario. Es ist das schlimmste Szenario, das sich dieses Modell noch vorstellen kann. Jenseits dieses Intervalls begrenzt die Berechnung den Verlust in keiner Weise, und Ereignisse mit einem Kurssprung beschreibt Artikel 9.10.
• Risk of Ruin: der Anteil der Durchläufe, in denen das Kapital auf eine gegebene Schwelle fiel. Eine von der Schwelle abhängige Größe: ohne genannte Schwelle bedeutungslos.
• Die Streuung des Endergebnisses, also das Intervall, das bei unveränderten Parametern einen gegebenen Anteil der Durchläufe enthält. Es beantwortet nicht die Frage, wie groß der Gewinn sein wird.

Die Streuung nimmt mit jedem Trade zu, weil die Standardabweichung der Summe der Ergebnisse mit der Quadratwurzel ihrer Anzahl wächst, während die Summe selbst linear wächst. Ein längerer Horizont weitet daher den Fächer möglicher Pfade und erhöht die Chance, unterwegs auf einen tiefen Drawdown zu treffen. Die Kenntnis der Parameter ist eine gesonderte Frage: eine längere unabhängige Stichprobe verengt den Schätzfehler des Mittelwerts wie 1/√n (Abschnitt 9), und die beiden Richtungen stehen nicht im Widerspruch, weil sie zwei verschiedene Fragen beantworten.

Zwei leicht zu verwechselnde Zahlen müssen hier auseinandergehalten werden, weil beide eine „Anzahl von Trades" sind. Die Länge eines einzelnen Durchlaufs in der Simulation ist eine Wahl des Horizonts: 500 Trades ist die Frage „was kann über 500 Trades passieren". Die Größe der eigenen Stichprobe ist die Anzahl der Trades, aus denen die Eingabeverteilung aufgebaut wird, und nur sie entscheidet, wie genau Sie die Parameter kennen. Das Ziehen von 500 Ergebnissen aus einem Pool von hundert schafft keine neue Information: Das Konfidenzintervall für den Erwartungswert bleibt, was aus hundert Beobachtungen folgt (Abschnitt 9).

7. Die Simulation Schritt für Schritt

Die Durchführung der Simulation braucht nichts weiter als eine Liste der eigenen Ergebnisse in R-Einheiten und ein Werkzeug, das zufällig ziehen kann. Für ein paar hundert Durchläufe reicht eine Tabellenkalkulation; darüber hinaus ist ein kurzes Skript bequemer.

a) Eingaben

Die Simulation ist nur so gut wie die Liste, die Sie hineingeben. Für jeden geschlossenen Trade brauchen Sie ein Ergebnis in R-Einheiten, berechnet nach Kosten: R = (Ergebnis in Kontowährung nach Provision, Swap-Punkten und Slippage) / (der beim Einstieg geplante Risikobetrag). Der Nenner ist das geplante Risiko, nicht das realisierte, sodass ein mit Slippage beendeter Verlust ein Ergebnis schlechter als −1,00R ergibt und das in der Verteilung sichtbar wird. Ein positives Ergebnis ist ein in denselben Einheiten berechneter Nettogewinn.

b) Das Verfahren

1. Bauen Sie eine Liste der Ergebnisse in R-Einheiten aus Ihren eigenen Aufzeichnungen, eines pro geschlossenem Trade.
2. Ziehen Sie mit Zurücklegen. Legen Sie die Länge eines einzelnen Durchlaufs auf den Horizont fest, nach dem Sie fragen. Wenn Sie nach der Verteilung der Drawdowns auf der bereits vorhandenen Stichprobe fragen, setzen Sie sie gleich der Größe der eigenen Stichprobe; das Konfidenzintervall für die Parameter verengt sich nicht dadurch, dass Sie mehr ziehen.
3. Berechnen Sie das Kapital neu nach jedem gezogenen Trade gemäß Ihrer eigenen Positionsgrößenregel: bei einem festen Prozentsatz K ← K × (1 + r × R), bei einem festen Barbetrag K ← K + Betrag × R.
4. Wiederholen Sie häufig genug, damit sich die Perzentile zwischen Durchläufen nicht mehr ändern, üblicherweise ein paar bis ein paar Zehntausend Durchläufe.
5. Lesen Sie den Median und das 95. Perzentil des maximalen Drawdowns ab, den Anteil der Durchläufe unter der Ruin-Schwelle und die Streuung des Endergebnisses. Schreiben Sie alle Annahmen daneben auf; einen Monat später lassen sie allein rekonstruieren, woher die Zahlen kamen.

c) Was genau jede dieser Zahlen sagt

In dieser Tabelle gibt es bewusst keine Akzeptanzschwelle. „Risk of Ruin unter 1 %" ist eine Wahl, kein Ergebnis, und die Wahl hängt davon ab, wie viel Prozent des Kapitals Sie außer Betrieb nehmen können und für wie lange. Eine solche Schwelle zusammen mit der Halt- und Wiederaufnahmebedingung schriftlich festzulegen gehört zu Artikel 9.8.

d) Das Skript

Ersetzen Sie das Ergebnis-Array durch Ihre eigenen Werte in R-Einheiten. Das Skript arbeitet in zwei Modi: mit bereits nach Kosten berechneten Ergebnissen oder mit Brutto-Ergebnissen, wobei die Kosten als Zufallsparameter hinzugefügt werden.

import numpy as np

def simulate(results_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             results_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Verteilung der Ergebnisse durch Ziehen mit Zurücklegen aus der eigenen Liste
    von R-Ergebnissen.

    ANNAHMEN, die dieser Code trifft und nicht prüft:
      - aufeinanderfolgende Ergebnisse sind unabhängig (im Live-Handel verletzt);
      - die Parameter sind über den gesamten Horizont konstant;
      - die Verteilung künftiger Ergebnisse entspricht der Verteilung in der Stichprobe.

    length=None  -> Durchlauflänge gleich der Größe der eigenen Stichprobe.
       Ein längerer Durchlauf fragt nach einem anderen Horizont,
       verengt aber NICHT das Konfidenzintervall für die Parameter.

    results_already_net=True  -> die Liste ist nach Kosten, der Code fügt nichts hinzu.
    results_already_net=False -> der Code zieht die Kosten als Zufallsparameter ab.
       Verwenden Sie nicht beides zugleich - Sie würden die Kosten doppelt zählen.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # der Seed legt die Reproduzierbarkeit der Ziehung fest
    results_R = np.asarray(results_R, dtype=float)
    if length is None:
        length = len(results_R)

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # das Ergebnis ist dimensionslos
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(results_R, size=length, replace=True)

        for r in sample:
            if not results_already_net:
                cost = abs(rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                r = r - cost

            capital *= (1 + risk * r)     # fester Prozentsatz des aktuellen Kapitals
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "risk of ruin": ruins / repetitions,
        "median max. drawdown": float(np.median(max_drawdowns)),
        "95th percentile max. drawdown": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "run length": length,
        "sample size": len(results_R),
    }

# Synthetische Werte (ein lauffähiges Beispiel) - ersetzen Sie sie durch Ihre eigenen
# Ergebnisse in R-Einheiten, nach Kosten, eines pro geschlossenem Trade:
my_results = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_results, risk=0.01))

Das Ergebnis ist dimensionslos: Das Startkapital wird als 1 angenommen, sodass Drawdowns und die Ruin-Schwelle Anteile des Startkapitals sind, unabhängig von der Kontowährung. Die Zeile capital *= (1 + risk * r) entspricht einem festen Prozentsatz des aktuellen Kapitals; für einen festen Barbetrag ersetzen Sie sie durch eine Addition. Die Standardkosten von 0,06R sind ein illustrativer Wert und bei kurzem Abstand zum Schutz-Exit mitunter mehrfach höher; wie sie in die Berechnung eingehen, zeigt Abschnitt 8. Die Liste my_results enthält zwanzig Werte allein deshalb, damit der Code lauffähig ist; bei einer Stichprobe dieser Größe ist das Konfidenzintervall für den Erwartungswert breiter als der Erwartungswert selbst.

8. Ausführungskosten als Eingabeparameter

Der Erwartungswert ist das, was in die Risk-of-Ruin-Formel und die Simulation eingeht. Geht er in seiner Bruttoversion ein, ist auch das Ergebnis brutto, und der Unterschied ist nicht kosmetisch, weil die Kosten jeden Trade einzeln belasten, auch die Verlust-Trades. Dieser Artikel beschreibt nicht, woher diese Komponenten stammen oder wovon sie abhängen: Das erledigt Abschnitt 2, während die Ausführungsbedingungen bei Brokern die Abschnitte 11–13 behandeln. Hier ist die Kostengröße eine einzelne Eingabezahl, und es zählt nur, was sie mit der Berechnung macht.

Dieselben Kosten in Pips nehmen einen umso größeren Anteil von R ein, je näher der Schutz-Exit am Einstieg liegt; Positionsgröße und Exit-Abstand klärt Artikel 9.5. Unten gehen die Kosten bereits als fertige Zahl in R-Einheiten ein.

Die Umrechnung: derselbe Parametersatz brutto und netto

Eingaben, illustrative Werte: eine Position auf einem Hauptpaar, Schutz-Exit-Abstand 50 Pips, Position über vier Nächte gehalten, geplantes Risiko 1R. Die Kostenkomponenten, jede einzeln angegeben:

• der volle Spread für die gesamte Runde — die Differenz zwischen Geldkurs beim Einstieg und Briefkurs beim Ausstieg, 4 Pips gegenüber einem Abstand von 50 Pips: −0,08R. Der Spread wird genau einmal berücksichtigt; ihn in „Einstieg" und „Ausstieg" mit vollem Wert aufzuteilen würde dieselben Kosten doppelt zählen
• angenommene Slippage: −0,03R
• Swap-Punkte für vier Nächte: −0,08R
• gesamt: −0,19R pro Trade, unabhängig davon, ob er mit Gewinn oder Verlust endet

Die Wirkung auf einen einzelnen Trade: ein Bruttogewinn von +1,80R ergibt netto +1,61R, und ein Bruttoverlust von −1,00R ergibt netto −1,19R. Die Kosten belasten beide Seiten in dieselbe Richtung.

Die Wirkung auf den Erwartungswert bei einer Trefferquote von 55 %:

• brutto: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540R
• netto: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350R
• Unterschied: −0,19R, das ist ein Rückgang des Brutto-Erwartungswerts um 35,2 % — genau die Kostenrate, weil eine jedem Trade zugefügte Kostenrate den Erwartungswert um genau ihre eigene Größe senkt.

Die Wirkung auf die Ergebnisverteilung — eigene Simulation, 30.000 Durchläufe von höchstens 500 Trades (ein Durchlauf beim ersten Fall auf die Schwelle gestoppt), ein fester Prozentsatz des aktuellen Kapitals, Ruin-Schwelle −50 %:

Dieselbe Trefferquote, dasselbe Chance-Risiko-Verhältnis, dieselbe Positionsgrößenregel; der einzige Unterschied sind die hinzugefügten Kosten. Der Median des maximalen Drawdowns steigt bei 1 % Risiko um 38 % (von 7,9 % auf 10,9 %) und bei 2 % um 36 %; das 95. Perzentil steigt um 44 % bzw. 39 %, und jenseits dieses Perzentils ist der Verlust durch diese Berechnung nicht begrenzt. Der Risk of Ruin bleibt über diesen Horizont in beiden Varianten unter einem Hundertstel Prozent, weshalb die Wirkung der Kosten nur in der Drawdown-Verteilung sichtbar ist. Illustrative Werte; die Perzentile decken auch die an der Ruin-Schwelle gestoppten Durchläufe ab, und bei einer Verletzung der Unabhängigkeitsannahme sind die Drawdowns tiefer.

9. Wie viele Trades hinter einer Parameterschätzung stehen

Die Trefferquote und das Chance-Risiko-Verhältnis, die Sie in die Formel aus Abschnitt 3 einsetzen, sind Stichprobenschätzungen und mit Fehler behaftet. Die Halbbreite des 95-%-Konfidenzintervalls für den Erwartungswert ist 1,96 × σ / √n, wobei σ die Standardabweichung eines einzelnen Ergebnisses in R-Einheiten und n die Anzahl der Beobachtungen ist. Unten, mit σ = 1,5R, einem illustrativ angenommenen Wert:

Die Berechnung: 1,96 × 1,5 / √n. Für n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Bei einer Standardabweichung größer als 1,5R (und ein Regelwerk mit einem Verhältnis von 1:3 und vielen kleinen Verlusten hat eine solche) verlangen dieselben Intervalle entsprechend größere Stichproben. Die Formel setzt unabhängige Beobachtungen voraus und beruht auf der Normalnäherung für den Mittelwert (dem zentralen Grenzwertsatz), sodass das Intervall bei kleinen Stichproben und stark schiefen Ergebnisverteilungen nur indikativ ist, und σ = 1,5R ist ein illustrativ angenommener Wert. Bei abhängigen Ergebnissen ist die effektive Anzahl der Beobachtungen kleiner als die Anzahl der Trades, und das tatsächliche Intervall ist breiter.

Die Zeile mit vierhundert Trades muss sorgfältig gelesen werden. Signifikanz ist eine Beziehung zwischen der Größe eines Effekts, seinem Fehler und einem angenommenen Niveau; die Anzahl der Trades allein entscheidet das nicht. Bei einer Halbbreite von ±0,15R ergibt eine Schätzung von +0,10R ein Intervall von −0,05R bis +0,25R, das die Null enthält: Ein solches Ergebnis ist nach vierhundert Trades nicht von überhaupt keinem Edge zu unterscheiden. Damit ein Erwartungswert in der Größenordnung von +0,10R bei σ = 1,5R aufhört, die Null zu enthalten, brauchen Sie n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 Beobachtungen. Dieselbe Tabelle für +0,40R sieht völlig anders aus: Dort genügen bereits hundert.

Die Antwort auf „wie viele Trades" lautet daher: Es hängt davon ab, wie groß der Effekt ist, den Sie von null unterscheiden wollen, und wie gestreut Ihre Ergebnisse sind. Jede Schwelle, die ohne diese beiden Zahlen genannt wird, ob hundert, zweihundert oder fünfhundert, ist ein Brauch, kein Ergebnis einer Berechnung.

10. Was diese Berechnung nicht sagt

Eine außerhalb ihres Geltungsbereichs verwendete Formel

Das Einsetzen einer Trefferquote in die 1:1-Formel, wenn das Verhältnis 1:3 ist, ergibt ein bedeutungsloses Ergebnis: Bei einer Trefferquote von 35 % ergibt sich der Edge zu 2 × 0,35 − 1 = −0,30 und die Schlussfolgerung „Ruin ist sicher", während der Erwartungswert dieses Regelwerks 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40R beträgt. Die Formel selbst bleibt korrekt: Sie wurde lediglich auf eine Wette angewandt, die sie nicht beschreibt; der Geltungsbereich gehört zu einer Formel genauso wie ihre rechte Seite.

Ein in seiner Bruttoversion eingesetzter Erwartungswert

Ausführungskosten belasten jeden Trade, auch die Verlust-Trades, und senken deshalb den Erwartungswert um genau ihre eigene Größe — im Beispiel in Abschnitt 8 um 0,19R, das sind 35,2 % des Bruttowerts. Ein auf einer Bruttozahl berechneter Risk of Ruin ist eine untere Grenze.

Die Annahme, dass Ergebnisse unabhängig sind

Ziehen mit Zurücklegen setzt voraus, dass das Ergebnis des nächsten Trades nicht vom vorherigen abhängt. Volatilitäts-Clustering ist eine dokumentierte Eigenschaft von Finanzreihen, auch bei Wechselkursen beobachtet; seine modellhafte Behandlung führte Engle ein^[4]. Auf der Ebene der Ergebnisse eines Regelwerks übersetzt sich das in Verluststrecken, die länger sind als im unabhängigen Modell, wobei die Stärke dieses Effekts an der eigenen Serie geprüft werden muss. Die Richtung des Fehlers ist eindeutig: eine Simulation mit unabhängigen Ziehungen unterschätzt die Wahrscheinlichkeit langer Serien und die Tiefe der Drawdowns. Wie Abhängigkeit zu berücksichtigen ist, behandelt der Block für fortgeschrittene Leser am Ende des Artikels.

Eine aus bereits Geschehenem gebaute Verteilung

Das Ziehen aus der eigenen Stichprobe reproduziert nur die darin enthaltenen Ergebnisse. Verteilungen von Wechselkursänderungen haben fettere Enden als die Normalverteilung^[2], und ein einzelnes Ereignis kann einen um ein Vielfaches größeren Verlust als geplant erzeugen; enthält die Stichprobe nicht eine einzige solche Beobachtung, wird die Simulation nie eine erzeugen, auch über eine Million Durchläufe nicht. Behandeln Sie das Ergebnis einer Ziehung aus einer um Extremwerte bereinigten Stichprobe als optimistische Schätzung im Randbereich der Verteilung. Die praktische Ergänzung ist eine gesonderte bedingte Berechnung: Berechnen Sie das Ergebnis unter der Annahme, dass einer von zweihundert Trades bei −5R endet, und ein zweites unter der Annahme, dass einer von fünfhundert bei −10R endet. Das Ergebnis einer solchen Berechnung sagt nur, wie viel ein solches Ereignis dem Kapital entnimmt.

Die Annahme, dass Parameter stabil sind

Die in die Formel eingesetzte Trefferquote und das Chance-Risiko-Verhältnis stammen aus der Vergangenheit und tragen den Schätzfehler aus Abschnitt 9. Das Modell behandelt sie als Konstanten. Ändern sie sich über die Zeit, ist ein über den gesamten Zeitraum gemittelt berechnetes Ergebnis weniger vorsichtig als eines, das für die schlechteste Teilperiode berechnet wird, und die zweite Zahl sagt mehr über das Risiko aus. Die Beurteilung, ob ein Regelwerk noch funktioniert, gehört zu Abschnitt 8; dieser Artikel berechnet nur die Konsequenzen der von Ihnen gelieferten Parameter.

11. Selbsttest-Übung

Die Daten unterscheiden sich von allem, was oben verwendet wurde. Rechnen Sie es selbst, bevor Sie die Lösung ansehen.

Lösung.

Punkt 1. Drawdown vom Höchststand gemessen: (24.000 − 15.600) / 24.000 = 8.400 / 24.000 = 0,35, das sind −35 %. Nötige Rendite: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, das sind +53,8 %. In Währung: Es fehlen 8.400 PLN, berechnet aus 15.600 PLN, was 8.400 / 15.600 = 53,8 % ergibt; die Übereinstimmung beider Wege ist eine Kontrolle der Arithmetik. Der Wert ist brutto: Er deckt weder die Kosten der zur Erholung nötigen Trades noch die Zeit ab.

Punkt 2. Das Modell: Gambler's Ruin, ein Verhältnis von 1:1, ein fester Bareinsatz, ein unendlicher Horizont. Das Verhältnis: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N wird vom aktuellen Kapital zur Ruin-Schwelle gemessen, weil ein Teil der Strecke zur Schwelle bereits zurückgelegt wurde. Die Schwelle: 24.000 × (1 − 0,40) = 14.400 PLN. Der Risikobetrag: 1,5 % × 24.000 = 360 PLN (fest, aus dem Startkapital). Die Strecke: 15.600 − 14.400 = 1.200 PLN.

• Risiko 1,5 %: N = 1.200 / 360 = 3,33, abgerundet auf 3 ganze Einheiten. 0,8518523 = 0,6181, das sind 61,8 %. Das Abrunden von N überschätzt das Ergebnis, ist also die vorsichtige Wahl; die Schwelle wird tatsächlich erst nach dem vierten Nettoverlust verletzt (15.600 − 4 × 360 = 14.160 < 14.400), und 0,8518524 = 52,7 %; beide Zahlen werden zusammen mit der Art der N-Berechnung gelesen, weshalb die Methode angegeben werden muss.
• Risiko 3 %: der Betrag ist 720 PLN, N = 1.200 / 720 = 1,67 → 1. 0,8518521 = 85,2 % (mit Erreichen der Barriere beim zweiten Verlust: 0,8518522 = 72,6 %).
• Zwei Schlussfolgerungen. Eine Verdopplung des Risikos hebt das Ergebnis von 61,8 % nur auf 85,2 %, das ist das 1,38-Fache, weil bei einem N von wenigen Einzeleinheiten der Exponent aufhört, sich wie ein Exponent zu verhalten. Und die zweite: Dieselbe Berechnung, am Anfang durchgeführt (N = 9.600 / 360 = 26,67 → 26), ergibt 1,55 % — der Drawdown aus Punkt 1 hat den Modell-Risk-of-Ruin um etwa das Vierzigfache erhöht. Nach einem tiefen Drawdown hört der Risk of Ruin auf, eine dekorative Zahl zu sein.

Punkt 3. Das Ergebnis gilt unter: einem Chance-Risiko-Verhältnis von genau 1:1 (bei jedem anderen gilt die Formel nicht, und die Richtung der Änderung hängt von seinem Wert ab); einem festen Bareinsatz (bei einem festen Prozentsatz ist eine Simulation nötig); einer konstanten Trefferquote (54 % ist eine Stichprobenschätzung; bei hundert Beobachtungen und einer Standardabweichung von 1,5R hat das Konfidenzintervall für den Erwartungswert eine Halbbreite von ±0,29R, enthält also sowohl ein positives als auch ein negatives Regelwerk, und der Schätzfehler wirkt in beide Richtungen); Unabhängigkeit der Ergebnisse (Häufung von Verlusten verlängert Serien und erhöht das Risiko gegenüber dem Modell); Ausführungskosten von null (Kosten erhöhen das Risiko gegenüber dem Modell immer); einem unendlichen Horizont (ein endlicher senkt das Ergebnis). Sollte sich der Erwartungswert als negativ herausstellen, verlieren beide Zahlen aus Punkt 2 ihre Bedeutung, weil der Risk of Ruin dann 1 ist und die Positionsgröße nur beeinflusst, wie viele Trades es bis dahin braucht.

Punkt 4 hat keine einzelne Lösung. Das Schema ist dasselbe: Ihre eigene Ruin-Schwelle in Währung → die Strecke vom aktuellen Kapital → Division durch Ihren eigenen Risikobetrag → N → ((1 − p)/p)N. Schreiben Sie das Ergebnis zusammen mit der Liste der Annahmen aus Punkt 3 auf: Diese Liste ist Teil der Antwort.

12. Fünf Zahlen, die Sie berechnet haben müssen

Jede von ihnen erfordert, dass ihre Basis und ihre Annahmen angegeben werden; nur damit lässt sie sich mit irgendetwas vergleichen:

1. Der Erwartungswert nach Ausführungskosten, in R-Einheiten und in der Kontowährung, mit angegebener Zusammensetzung der Kosten. Definition und Herleitung liefert Artikel 9.6.
2. Die zur Erholung nötige Rendite Ihres typischen und Ihres tiefsten bisherigen Drawdowns, aus der Identität Z = DD/(1 − DD), vom Tiefpunkt berechnet.
3. Der Risk of Ruin bei Ihrem Risiko pro Trade, mit angegebener Ruin-Schwelle, Modellvariante und Liste der Annahmen. Ohne diese drei Dinge bedeutet die Zahl nichts.
4. Der Median und das 95. Perzentil des maximalen Drawdowns aus einer Simulation auf Ihren eigenen Ergebnissen. Das Zweite davon ist nicht der schlimmste Fall — es ist die Grenze, jenseits derer die Berechnung schweigt.
5. Die Halbbreite des Konfidenzintervalls für Ihren Erwartungswert bei Ihrer Trade-Anzahl. Enthält das Intervall die Null, sind die vier vorangehenden Zahlen auf einem Parameter berechnet, den Sie nicht kennen.

Alle fünf beschreiben die Konsequenzen der von Ihnen selbst gelieferten Parameter. Keine von ihnen entscheidet, ob Ihr Regelwerk einen Edge hat (diese Frage gehört zu Abschnitt 8), und keine von ihnen macht aus einem Regelwerk mit negativem Erwartungswert ein profitables.

Der nächste Artikel (9.3) kehrt die Richtung dieser Berechnung um: Statt für einen gegebenen Prozentsatz den Risk of Ruin zu berechnen, leitet er den zulässigen Prozentsatz aus einem gegebenen Drawdown und einer angenommenen Verluststreckenlänge her.