損失の数学：回復の非対称性と破産リスク

10%のドローダウンから以前のピークに戻るには11.1%の収益率が必要です。50%なら100%、90%なら900%が必要になります。これらの値は一つの算術的恒等式から求まり、市場データを必要としません。一方、次の量は性質が異なります： 破産リスク。これは、特定の分布と標本から推定したパラメータに基づくモデルの出力です。このレッスンでは、回復表を導き、破産確率の式の前提を確認し、ポジションサイズの規則が異なる場合の資本経路を比較します。さらに、コスト、結果の順序、推定の不確実性を考慮します。これにより、各数値に計算の基準と利用条件を併記できます。

以下のすべての計算には、三つの入力パラメータを使用します。この記事ではどれも導出しません。その役割を担うのは次の記事です： 記事9.6。ここでは、読者が与える数値としてのみ扱います。

• 勝率 (p）：第3節の式とシミュレーションに入力します。以下の例では55%を使用します。
• リワード・リスク比率 (RR）：シミュレーションで抽出する分布における、損失に対する利益の大きさを定めます。例示値は1:1.5ですが、第3節と第11節では意図的に1:1とします。ギャンブラーの破産問題の式を満たすのは、その比率だけだからです。
• 期待値：指定した損益分布から導かれる平均です。それだけでは破産リスクは決まりません。例示値はコスト前で+0.54 R、執行コスト後で+0.35 Rです（第8節）。

1. 導出と完全な回復表：−5%から−90%まで

ピークから測った下落割合を DD とすると、下落後の資本は K × (1 − DD)です。次の水準に戻るには： K、この減った金額に不足分を加える必要があります。不足分は K × DDであり、収益率は損失後に残った金額を基準に計算します：

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K は約分されて消えるため、結果は口座規模、商品、規則の集合のいずれにも依存しません。これは次のものです： 算術的恒等式。定義上正しく、データはまったく必要ありません。この記事の他の数値にその性質はありません。破産リスクとシミュレーションはモデルの出力です。

−50%を代入すると： Z = 0.50 / 0.50 = 1.00となり、+100%が必要です。−20%なら： Z = 0.20 / 0.80 = 0.25となり、+25%が必要です。 記事9.1 には簡略な表があります。以下の完全版には、指定した期待値でその収益率に達するまでの取引数を示す二つの列を加えています。 三つの数値列はそれぞれ基準が異なります。混同しないでください。

三つの列は基準が異なります。その説明がなければ、この表は誤解を招きます。 ドローダウンは資本経路のピークから測ります。回復に必要な収益率は 底から、つまり損失後の資本から計算するため、−50%には+50%ではなく+100%が必要です。取引数の両列は一取引当たり+0.4%の期待値を仮定しますが、その基準は異なります。
A）リスク金額を固定： 各取引は平均で、次の金額の+0.4%をもたらします： 初期資本 （PLN 10,000で開始するなら固定のPLN 40）。これは現在の口座価値に依存しません。式は次のとおりです： N = DD / 0.004。この平均にはすでに損失が含まれます。次の個数の結果の期待合計は： N、その値が N × 0.004 × K0 となり、不足分である DD × K0 と等しくなる条件は、厳密に N = DD / 0.004です。その並びに含まれる負け取引の数には依存しません。これは期待合計の線形性を用いており、各取引が平均とまったく同じ値になる必要はありません。 N は、平均合計が不足額に等しくなる時点を示します。個別口座が初めて回復するまでの時間の平均でも中央値でもなく、それには別の境界到達モデルが必要です。ここで扱うのは コスト前の 量であり、取引コストを除外しています。非負のコストが同じ平均を減らし、それでも平均が正に保たれるなら、平均合計が等しくなる時点は遅くなります。それは、確率的な最初の回復時間を過小推定していることを意味しません。
B）資本の一定割合：期待値は同じですが、その計算基準は 現在の有効証拠金であり、ドローダウン後には小さくなっています。式は次のとおりです： N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1.004)。利益を得るたびに使う基準額が小さいため、列Aより長くかかります。
両列が示すのは取引数です。時間への換算には取引頻度が必要です。以下の例を参照してください。

時間への換算：列Bについて、二つの取引頻度で計算します。表の数値は例示です。一取引当たり平均+0.4%が回復期間全体にわたり続くと仮定していますが、それを保証するものはありません。取引数の列には、列Bの式の厳密な値を丸める前のまま用いているため、月数を直接再計算できます： 26.4 / 5 ≈ 5.3, 89.3 / 20 ≈ 4.5.

関数 Z = DD/(1 − DD) は、0から1までの定義域全体で単調増加し、凸です。「何かが変わる」閾値は存在しません。増加は連続的で、−5%から−20%の間では必要収益率が+5.3%から+25%へ、−20%から−50%では+25%から+100%へ、−50%を超えると+100%から+900%へ上がります。取引を縮小または停止する閾値は、次に当たります： 事前に記録する意思決定。式がその閾値を示すわけではありません。閾値の決め方と再開条件の書き方は、次の記事で扱います： 記事9.8.

回復時間だけにとどまらない帰結もあります。ドローダウンは現在資本を減らします。そして、その現在資本こそが、口座の全建玉を合算して計算する強制決済の閾値と比較する量です。これらの量の定義と仕組みは、次の節で扱います： 第2部。また、ギャップが約定価格に及ぼす影響は、次の記事で扱います： 記事9.10.

入金は取引損失の回復ではありません

例として、口座がPLN 10,000から8,000に減り、その後に所有者がPLN 2,000を入金したとします。残高はPLN 10,000に戻りますが、取引収益率は−20%のままです。同様に、利益後の出金は取引によるドローダウンではありません。DD/(1−DD)を使う前に、外部資金の流出入を除いた投資成績を測るのか、それとも単に口座の利用可能額を測るのかを決めてください。後者は取引を続けられるかに、前者は運用成績の回復に関係します。

2. 資本の一定割合を用いる場合の回復

現在の有効証拠金の一定割合（一取引当たり1%）をリスクにさらす場合、口座額とともにリスク金額も減少します。基準はポジションを開く前に測定した現在の有効証拠金です。PLN 10,000の1%はPLN 100ですが、損失後のPLN 8,500の1%はPLN 85です。同じ規則でも、基準が変わるため金額は異なります。

これは両方向に働きます。次の負けで失うPLNは減りますが、次の勝ちで得るPLNも減ります。どちらも小さくなった基準額を使うためです。以下はPLN建て口座、一取引当たり期待値+0.4 Rの例示です：

ここでの比例関係は厳密で、定義から直接導かれます。利益金額は資本と同じ率で減少します。そのため、第1節の表の列Bは列Aより大きい取引数になります。−50%のドローダウンでは125回ではなく174回で、39%多くなります。両列とも同じ百分率を計算していますが、基準が異なり、その違いが差のすべてを生みます。

どちらの規則が他方より優れているというわけではありません。答える問いが異なり、ポジションサイズへの影響も異なるためです。その問題は次の記事で扱います： 記事9.5。基準の選択は回復に必要な取引数を変えます。したがって、基準を示さずに「どれだけ取り戻す必要があるか」だけを述べるのは不十分です。

3. 破産リスク：式、前提、再計算した表

破産リスクとは、資本が指定した下方閾値に達する確率です。この節では一貫して、破産を次の状態と定義します： 初期資本の50%以下への低下。その閾値に先立って到達すべき上方目標はなく、モデルでは無期限に取引を続けられます。閾値や期間を変えると、問いも結果も変わります。

モデルの種類と式

以下の計算は、古典的なギャンブラーの破産モデル^[1] の二結果版です。各取引は同額の利益または損失で終わり（リワード・リスク比率1:1）、リスクにさらす金額は 固定で、勝率 p は一定、連続する結果は独立し、期間は無限です。

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p —勝率を割合で表したものです。 edge = 2p − 1 （勝率55%ならedgeは0.10）。式の二つの形は同じです： (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N —現在の資本と破産閾値の間の距離を、リスク単位で表したものです。現在の基準は 現在資本 です。開始時にリスクが初期資本の2%、閾値が−50%なら： N = 50% / 2% = 25。ドローダウン後の距離は、口座の現在の状態から測ります。演習（第11節）に例があります。
• 結果は 無次元量です。口座通貨にも資本額にも依存しません。資本に関する情報はすべて、次の中に含まれるためです： N.

モデルにはリスク金額の固定が必要です。現在資本の一定割合では、口座額とともに金額が縮小するため、この式の N ではその経路を表せず、代わりにシミュレーションが必要です（第6節）。

資本が実際に到達できる閾値はどれか

以下の式の適用条件は p > 0.5です。条件が p ≤ 0.5 なら、無限期間での破産確率は 1となり、平均がゼロの場合も含まれます。閾値までの現在の距離が固定金額 Rの整数倍でない場合、次の値を使用します： N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉。丸め方は 切り上げです。資本は間隔Rの格子上を移動し、格子点の間では止まりません。これは±Rモデルで「閾値以下に達する」という条件の場合です。損益が変動するなら、その格子を再構成するか、経路をシミュレーションしてください。^[1]

例として、K = PLN 10,000、閾値PLN 9,050、R = PLN 300とします。距離PLN 950からN = 4となり、到達可能な下側の状態はPLN 8,800です。N = 3に丸めると、別の閾値PLN 9,100での破産を計算することになり、指定した境界よりまだ上にあります。

表：すべてのセルを上記の式から再現できます

任意のセルを再計算する方法。 勝率52%、リスク2%： (1 − 0.52)/0.52 = 0.923077; N = 50%/2% = 25; 0.92307725 = 0.13519、すなわち 13.52%です。勝率58%、リスク10%： 0.42/0.58 = 0.724138; N = 5; 0.7241385 = 0.19912、すなわち 19.91%. この表が成立する前提： 破産を初期資本の50%までの低下と定義すること、リワード・リスク比率1:1、固定リスク金額、一定の勝率、独立した結果、執行コストゼロ、無限の期間です。

表から読み取れる四つの点です。どれも、それだけでは推奨事項にはなりません：

• 勝率55%、リスク1%では、モデル上の破産リスクは0.0044%です。紙の上では安全に見えますが、それはモデルが比率1:1、一定の勝率、コストなし、独立した取引を仮定しているためにすぎません。これらはモデルの前提であり、すべての実際の系列で確認された性質ではありません。非負の追加コストは同じ経路の結果を悪化させ、実際の損失の集中はリスクを高めることがあります。一方、勝率の推定誤差や1:1ではない比率は、どちらの方向にも働き得るため、その都度方向を別途確認する必要があります。
• 同じ勝率55%でも、リスク5%では13.44%になります。一取引当たりリスクを五倍にすると、モデル上の破産確率は三千倍を超えて増加します。その理由は、次の値が N 指数に入るためです。
• 勝率52%、リスク2%では13.52%です。正の期待値と約七分の一の破産リスクは矛盾なく並存します。同じパラメータから計算される、異なる二つの量だからです。
• 関係の方向は両側で整合します。破産リスクは一取引当たりリスクとともに上がり、勝率が上がると下がります。これに反するセルがあれば、表か式に誤りがあります。

他のすべてのパラメータを変えずに、二つのリスク水準を計算する

共通の例示パラメータ：勝率55%、リワード・リスク比率1:1、破産閾値は初期資本の−50%。リスクを初期資本の割合として計算し、固定金額として凍結します。

• 一取引当たりリスク1%。 N = 50/1 = 50. (0.45/0.55)50 = 0.818181850。対数を使うと： 50 × ln(0.818182) = −10.0335となるため、 Pruin = e−10.0335 = 0.0000439 → 0.0044%.
• 一取引当たりリスク2%。 N = 50/2 = 25. 25 × ln(0.818182) = −5.0168となるため、 Pruin = e−5.0168 = 0.006626 → 0.66%.
• 差は次のとおりです： 勝率とリワード・リスク比率を変えずに一取引当たりリスクを倍にすると、モデル上の破産リスクは151倍になります。R単位の期待値はまったく変わりません。

計算の適用範囲。 この式には±Rの損益と固定リスク金額が必要です。現在の有効証拠金の一定割合を用い、乗数が正なら、口座が有限回の手順でゼロに達することはありませんが、正の破産閾値を下回ることはあります。一定の勝率と独立性は前提であり、市場についての事実を述べているわけではありません。同じ経路、同じRから非負のコストを引いても、資本は改善しません。有限期間は破産が起こり得る時点を制限するため、その確率は無限期間の確率を超えません。しかし、依存関係、勝率の誤差、損益の変化はどちらの方向にも働き得ます。式だけからその方向は決まりません。

無作為抽出をせずに式を確認する。 解は次の漸化式を満たします： h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1)。また、境界条件は h(0)=1 で、p>0.5のときの極限はh(i)→0です。次を代入すると： h(i)=((1−p)/p)^i、右辺は左辺と厳密に等しくなります。p≤0.5では、無限期間の破産確率の解は1です。表はこのモデルの確率を示しています。

4. 比率が1:1ではない場合の破産リスク

第3節の式が表すのは、利益と損失の金額が等しい賭けです。勝率38%、比率1:3の規則はこの条件を満たしません。その勝率を1:1の式に代入するとedgeは 2 × 0.38 − 1 = −0.24 となり、「破産は確実」という結論になります。しかし、この集合の期待値は 0.38 × 3 − 0.62 = +0.52 Rです。式が誤っているのではなく、意味を持つ範囲の外に適用しているのです。

損益が非対称な場合：遷移確率を計算する

Kelly比率は、破産確率の式のedgeの代わりにはなりません。最適化する量が異なるため、記号が似ていても置き換えの根拠にはなりません。リスク金額が固定で、損益が+aRと−bRなら、厳密な漸化式を構成できます。次の量を H_t(x)、下方閾値から上に距離xの位置から、追加の最大t段階以内にその閾値を超えて下がる確率とします。すると、 H_0(x)=0 （x>0）、 H_t(x)=1 （x≤0）であり、x>0では次のとおりです：

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

これは、第3節の古典モデルと同様に、最初の取引を勝ちと負けに分けることで導かれます。^[1] tの値を指定する必要があります。共通格子上の有理数の損益なら、有限の段階数から生じる状態数も有限なので、推測した式や資本の上方打ち切りは不要です。同じ手順で、両方の損益から固定コストを差し引くこともできます。

同じ閾値、期間、リスク金額の規則を用いて、パラメータの同時誤差に対する感度を確認してください。例としてp=55%、RR=1.5からp=52%、RR=1.2へ悪化させるなら、Hを二回別々に計算する必要があります。Kelly基準とその比率の感度については、次の箇所で独自に計算します： 9.5。これらは破産確率を近似するものではありません。

シミュレーションからは、より信頼できる答えが得られます。以下の表の出所は、次のものです： この記事のために実施したシミュレーション。最大500取引の経路を40,000本生成し、NumPyのPCG64をseed 20261005で使用しました。指定した勝率と比率による二結果の損益、現在の有効証拠金の一定割合のリスク、初期資本の50%への低下を破産と定義し（そこで経路を停止）、執行コストはゼロとしています。すべての値は 例示です。パラメータ p と RR は入力として与えるものであり、どちらも市場を記述する値ではありません。

本記事のシミュレーション：最大500取引の経路40,000本、現在の有効証拠金の一定割合、破産閾値は初期資本の−50%、執行コストを除外、独立した結果、二点分布（勝ち +RR、負け −1 R）。経路は破産閾値まで初めて低下した時点、または500取引後に終わります。最大ドローダウンのパーセンタイルには、停止した経路も含みます。 最大ドローダウンの95パーセンタイルは最悪のケースではありません。この分位点そのものは、残る約5%の経路の深さを制限しません。特定モデルの限界は、その損益、期間、停止規則から別途定まります。第2列の期待値はコスト前です。執行コスト後の版は第8節で示します。二点分布以外では、同じ p と RR でもドローダウンは異なります。

表は二つの問いを区別しています。破産とは、次の資本の半分を下回ることです： 初期資本。一方、最大ドローダウンには、それまでの資本の最高値を用います。そのため、新しいピークからの下落が50%を超えても、破産閾値に達しない場合があります。リスク1%と2%で破産回数が少ないのは、これら四つの分布と500段階に限った結果です。その事象が到達不能だと証明するものではありません。5%では、ドローダウン分布も境界通過回数も大きく変わります。平均が高いというだけでは、結果の優劣は決まりません。

シミュレーションで破産がゼロでも不確実性は残ります

独立したM本の経路で破産がなければ、次のように記録します： 0/M。この固定モデルにおける確率の片側95%上限は、次の式から求まります： (1−u)^M=0.05: u=1−0.05^(1/M)。M=40,000なら約 0.00749%、30,000なら 0.00999%です。この上限が表すのは、シミュレーションの標本抽出誤差です。誤った勝率、含まれていない極端な損失、不適切な依存関係モデルは考慮していません。

次の取引数の中でk連敗に遭遇する確率は、別の問いです： N。その答えは次の値とは異なります： (1 − p)k。指定した勝率と系列長に対する計算は、 記事9.1の第4節にあります。 記事9.3 では、リスク上限を導く際に、想定した連敗数を入力として使用します。

5. 結果の順序：同じ集合から二つの経路

第8部 で示した課題をここで検証します。結果の順序は経路に影響しますが、最終到達点には影響しません。この文は十個の数値の算術計算で確認できます。

両経路の結果は同一です。四回の勝ち（+2 R、+2 R、+1.5 R、+1.5 R）と、−1 Rの負け六回で、十取引の合計は+1 R、平均は+0.10 Rです。サイズ規則は現在の有効証拠金の一定割合で、一取引当たり1%。初期資本は100単位です。結果は無次元なので、単位数そのものは関係しません。事前に指定する上限は次のとおりです： ピークから−5%のドローダウン.

ドローダウンは、各取引後に有効証拠金経路のピークから測定します。取引後の資本は： K × (1 + 0.01 × R)。表は小数点以下三桁に丸めていますが、計算自体は途中で丸めずに行います。

最終到達点は小数桁まで同じです： 100.912 両経路ともこの値、すなわち+0.912%になります。この一致は純粋に算術的なものです。一定割合の場合、最終資本は次の積です： K0 × Π(1 + 0.01 × Ri)。乗算は可換なので、因子の順序を変えても積は変わりません。リスク金額を固定する場合も同じことが成り立ちますが、その根拠は加算の可換性です。

それ以外はすべて異なります。最大ドローダウンは 経路Aで3.94%、経路Bで5.85%と、同じ十個の結果から約五割増しになります。経路Bでは六回目の取引で−5%の上限を超え、経路Aでは一度も超えません。上限に達したら取引を停止する場合、同じ結果の集合であっても、片方は十回目に+0.912%で終わり、他方は六回目の−5.85%で打ち切られます。そして、集合に含まれる四回の利益は実現しません。

実務上の結論は二層に分かれます。標本の算術平均は結果の順序を表しません。ここでは同じ結果集合の二通りの並べ方で最終資本は一致しますが、ドローダウンは大きく異なり得ます。したがって、一つの過去の系列で測ったドローダウンは、考えられる経路群の一つの実現値です。順序を無作為化すると、その経路群を調べられます。それが次節のテーマです。

6. 結果分布のシミュレーション：何を抽出し、結果から何が分からないのか

過去検証 が示すのは、 一つの 系列、すなわち実際に起きた並びです。モンテカルロ・シミュレーションは同じ材料から考えられる経路の分布を構成します。しばしば一つの言葉で呼ばれる、二つの操作を区別する必要があります。 並べ替え では、まったく同じ結果の順序だけを変えます。構成と最終値は変わらず、経路だけが変わります。これは純粋な順序リスクの検証であり、第5節では手作業で行いました。 復元抽出 では、標本を新しい結果リストの抽出元となる分布として扱います。一部の観測値は選ばれず、別の値は繰り返されるため、各経路の構成と最終値も変化します。第7節では復元抽出を使います。

抽出するもの： 読者の記録から作った経験分布（復元抽出）、または勝率とリワード・リスク比率で指定した二点分布から、一取引の結果をR単位で抽出します。 独立性の仮定： 各抽出は直前の抽出から独立しています。特定の規則の結果系列で、別途確認してください。 反復回数： 反復を増やすとパーセンタイルが安定します。この記事では第4節で40,000回、第8節で30,000回を用い、常に結果の横に明記しています。以下のグラフが示すのは、無作為に抽出した八本の経路ではなく、明示した対数正規近似による時点別の三つの分位点です。

分布から四つの量を読み取ります：

• 最大ドローダウンの中央値：半数の経路がそれを上回るドローダウンです。予測でも上限でもありません。
• 最大ドローダウンの95パーセンタイル。これは最悪のシナリオではありません。モデル経路の約5%では、さらに深いドローダウンになります。分位点そのものは残りの経路を制限しません。指定したモデルの限界は別の問題です。価格ギャップは次の記事で扱います： 記事9.10.
• 破産リスク：資本が所定の閾値まで低下した経路の割合です。閾値に依存する量なので、閾値を示さなければ意味がありません。
• 最終結果の広がり、すなわちパラメータを固定したときに、指定した割合の経路を含む区間です。利益がどれだけになるかという問いへの答えではありません。

独立した結果の和で、分散が一定かつ有限なら、標準偏差は取引数の平方根に比例して増加し、期待合計は線形に増加します。これは、どの分布範囲にも、あるいは一定割合リスクの資本にも通用する普遍的な規則ではありません。同じ経路を延長しても、記録済みの最大ドローダウンは減りませんが、必ず深まるわけでもありません。パラメータをどの程度把握しているかは別の問題です。より長い 独立した 標本では、平均の推定誤差は次の率で縮小します： 1/√n （第9節）。二つの方向性は異なる問いに答えているため、矛盾しません。

どちらも「取引数」と呼ばれるため混同しやすい、二つの数を区別する必要があります。 一経路の長さ は、シミュレーションで問う期間の選択です。500取引なら「500取引の間に何が起こり得るか」という問いです。 読者自身の標本サイズ は、入力分布を作る元の取引数であり、パラメータをどれだけ精密に知っているかを決めるのはそれだけです。百個の観測値から500個の結果を抽出しても、新しい情報は増えません。期待値の信頼区間は、百個の観測値から求まる幅のままです（第9節）。

二つの平均から分散は復元できません

pを勝ちの頻度、各群の平均をWと−L、分散をv_wとv_lとすると、 Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)²です。二点分布では最後の項だけが残ります。p=0.5、W=L=1 Rなら分散は1 R²です。勝ちの半分が+0.2 R、残り半分が+1.8 Rで、負の損失にも同様の分け方をすると、群の平均は±1 Rのままですが、分散は1.64 R²になります。分散は大きくなりますが、それでもすべてのドローダウン分位点やすべての境界の破産確率が上がるとは限りません。

7. シミュレーションの手順

必要なのは、自分の結果をR単位で記した一覧と、無作為抽出できる道具だけです。数百回程度なら表計算で足り、それ以上なら短いスクリプトの方が便利です。

a）入力

シミュレーションの質は入力一覧に制約されます。決済済みの各取引について、R単位の結果が一つ必要であり、次の基準で計算します： コスト後: R = (手数料、スワップポイント、スリッページ控除後の口座通貨建て損益) / (エントリー時に計画したリスク金額)。分母は実現したリスクではなく計画したリスクなので、スリッページのある損失は−1.00 Rを下回り、分布に現れます。正の結果は同じ単位による純利益です。

b）手順

1. 結果の一覧を作る：自分の記録から、決済済み一取引につき一つ、R単位で記録します。
2. 復元抽出する。 一経路の長さを、検討したい期間に設定します。すでに持っている標本のドローダウン分布を問うなら、次の長さに揃えます： 自分の標本サイズ。抽出を増やしても、パラメータの信頼区間は狭くなりません。
3. 資本を再計算する：抽出した各取引の後、自分のサイズ規則に従います。一定割合なら K ← K × (1 + r × R)、固定金額なら K ← K + 金額 × R.
4. 反復する：実行ごとにパーセンタイルが変わらなくなる程度まで繰り返します。通常は数千回から数万回です。
5. 結果を読み取る：最大ドローダウンの中央値と95パーセンタイル、破産閾値を下回った経路の割合、最終結果の広がりを確認します。すべての前提を結果に併記してください。一か月後に数値の出所を再構成できるのは、それらの前提が残っているからです。

c）各数値が正確に何を示すのか

この表には、意図的に許容基準を設けていません。「破産リスク1%未満」は計算結果ではなく選択であり、資本の何%を、どの程度の期間利用できなくなっても耐えられるかによって決まります。その閾値を停止条件と再開条件とともに記録することは、次の記事で扱います： 記事9.8.

d）スクリプト

結果の配列を、自分のR単位の値に置き換えてください。スクリプトには二つのモードがあります。すでにコスト後で計算した結果を使うか、コスト前の結果に確率変数としてコストを加えます。

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    自分のR損益一覧から復元抽出して損益分布を生成します。

    このコードが採用するものの検証しない仮定：
      - 連続する結果は独立である（確認が必要な仮定）；
      - 全期間を通じてパラメータが一定である；
      - 将来の結果は標本と同じ分布に従う。

    length=None -> 経路長は自分の標本サイズと等しくなります。
       長い経路は別の期間を問うものであり、
       パラメータの信頼区間を狭めるものではありません。

    outcomes_already_net=True -> 一覧は純損益で、コストを加えません。
    outcomes_already_net=False -> 独立なコストmax(0, Normal(mu,sigma))を差し引きます。
       muとsigmaは下限処理前の正規分布を表し、
       下限処理後コストの平均と標準偏差ではありません。
       コストと損益の依存関係はモデル化していません。
       両方の方法を同時に使うとコストを二重計上します。
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # seedによって抽出を再現可能にする
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("空でない有限値の損益一覧を指定してください")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("リスクと閾値は(0,1)内でなければなりません")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("長さと反復数は正の整数でなければなりません")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("コスト標準偏差は負にできません")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("モデルには正の資本倍率が必要です")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # 結果は無次元
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("コスト込みの結果がモデルの定義域外です")
            capital *= multiplier     # 現在の有効証拠金の一定割合
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "破産リスク": ruins / repetitions,
        "最大ドローダウンの中央値": float(np.median(max_drawdowns)),
        "最大ドローダウンの95パーセンタイル": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "経路長": length,
        "標本サイズ": len(outcomes_R),
    }

# 合成値（実行可能な例）：自分の損益に置き換えてください
# コスト控除後のR単位で、決済済み取引ごとに一つ：
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

初期資本は1に設定しています。破産閾値はその値の割合であり、最大ドローダウンは現在までのピークから測ります。口座通貨はどちらの比率も変えません。次の行は、 capital *= (1 + risk * outcome) 現在の有効証拠金の一定割合を表します。リスク金額を固定する場合は、乗算を加算に置き換えてください。 デフォルトのコスト0.06 Rは例示です。保護的決済までの距離が短ければ、何倍にもなることがあります。計算への組み込み方は第8節で示します。次のリストは、 my_outcomes コードを実行できるようにするためだけに二十個の値を含んでいます。市場の測定値でも、パラメータの安定性を示すのに十分な標本でもありません。コードのランダムコストは結果から独立し、ゼロを下限とします。パラメータは、その下限処理前の正規分布を表します。

8. 入力パラメータとしての執行コスト

破産確率の式とシミュレーションに入力するのは期待値です。コスト前の値を入力すれば、出力もコスト前になります。この違いは見かけの問題ではありません。コストは負け取引も含め、各取引に個別にかかるためです。この記事では、その構成要素がどこから生じ、何に依存するかは説明しません。それは次の箇所で扱います： 第2部。また、ブローカーの執行条件は第11～13部で扱います。ここではコストを一つの入力数値として扱い、計算に何をもたらすかだけを考えます。

同じピップ数のコストでも、次の量に占める割合は、保護的決済がエントリーに近いほど大きくなります： R。 ポジションサイズ と決済までの距離は、次の記事で扱います： 記事9.5。以下では、コストをR単位で計算済みの数値として入力します。

換算：同じパラメータをコスト前とコスト後で比較

例示する入力：主要通貨ペアのポジション、保護的決済まで50ピップ、四晩保有、計画リスク1 Rです。各コストを分けて示します：

• 全幅の スプレッド：エントリーで買い、決済で売る往復取引の差です。50ピップの距離に対する4ピップは−0.08 Rになります。スプレッドは必ず一回だけ計上してください。全額を「エントリー」と「決済」のそれぞれに割り当てると、同じコストを二重計上します
• 想定する スリッページ：−0.03 R
• スワップポイント：四晩で−0.08 R
• 合計：一取引当たり−0.19 R。利益で終わっても損失で終わっても同じです

一取引への影響：コスト前の利益+1.80 Rは、コスト後では +1.61 R、コスト前の損失−1.00 Rは、コスト後では −1.19 Rとなります。コストは両方の結果に同じ方向で作用します。

勝率55%の場合の期待値への影響：

• コスト前： 0.55 × 1.80 − 0.45 × 1.00 = 0.99 − 0.45 = +0.540 R
• コスト後： 0.55 × 1.61 − 0.45 × 1.19 = 0.8855 − 0.5355 = +0.350 R
• 差： −0.19 R、すなわちコスト前の期待値からの減少率は 35.2% です。減少額は一取引のコストと厳密に等しくなります。毎回かかるコストは、期待値をその全額だけ減らすからです。

結果分布への影響：最大500取引の経路30,000本（閾値への初回到達で停止）、現在の有効証拠金の一定割合、破産閾値−50%による本記事のシミュレーション：

両版は、抽出した結果の符号を共通にしています。p=0.55、コスト前の損益+1.8 Rまたは−1 R、各段階のコスト0.19 Rです。PCG64、seed 20261005で、最大500段階の独立した経路30,000本を生成し、資本≤初期資本の0.5で停止します。MDDのパーセンタイルは現在までのピークから測り、線形補間します。中央値はリスク1%で7.93%から10.92%へ、2%で15.35%から20.91%へ上がります。どちらの版も破産に達したのは0/30,000本ですが、確率ゼロの証明ではありません。他の結果依存性は別途確認してください。

9. パラメータ推定を支える取引数

第3節の式に入れる勝率とリワード・リスク比率は、誤差のある標本推定値です。期待値の95%信頼区間の半幅は 1.96 × σ / √nであり、 σ はR単位の一結果の標準偏差、 n は観測数です。以下では、 σ = 1.5 R を例示的に仮定します：

計算： 1.96 × 1.5 / √n。n = 100なら： 1.96 × 1.5 / 10 = 0.294。標準偏差が1.5 Rを超える場合（比率1:3ではあり得ますが、勝率や群内のばらつきにも依存します）、同じ区間を得るには、それに応じて大きな標本が必要です。式は独立した観測と、平均に対する正規近似（中心極限定理）を仮定するため、小標本や大きく歪んだ結果分布では、区間は目安にとどまります。 σ = 1.5 R は例示的な仮定です。結果間の正の依存関係は区間を広げ、負の依存関係は狭めることがあります。独立でないという事実だけでは、方向は決まりません。σを標本標準偏差sに置き換える場合、標準的な区間にはStudentのt分布を用います。以下の正規近似では、例示したσが既知と仮定しています。^[8]

四百取引の行を注意深く読んでください。 有意性は、効果の大きさ、その誤差、選んだ水準の関係で決まり、取引数だけでは決まりません。半幅±0.15 Rで推定値が+0.10 Rなら、区間は−0.05 R～+0.25 Rとなり、ゼロを含みます。四百取引後でも、この結果は優位性がない場合と 区別できません。期待値約+0.10 Rについて、次の水準でゼロを除外するには： σ = 1.5 R、必要な観測数は n > (1.96 × 1.5 / 0.10)² ≈ 864 です。+0.40 Rなら、同じ表でも様相は大きく変わり、百回で足ります。

したがって、「何回の取引が必要か」への答えは、ゼロと区別したい効果の大きさと、結果のばらつきに依存します。この二つの数値なしに示す閾値は、百回でも二百回でも五百回でも、計算結果ではなく慣習です。

10. この計算では分からないこと

適用範囲の外で使った式

比率が1:3なのに勝率を1:1の式へ代入すると、意味のない結果になります。勝率35%ではedgeが 2 × 0.35 − 1 = −0.30 となり、「破産は確実」と結論されますが、この集合の期待値は 0.35 × 3 − 0.65 = +0.40 Rです。式は正しいままですが、式が表していない賭けに適用しています。適用範囲も、右辺と同じく式の一部です。

コスト前の期待値を代入する

執行コストは負け取引を含むすべての取引にかかるため、期待値をその金額だけ厳密に減らします。第8節では0.19 R、つまりコスト前の値の35.2%です。コスト前の値から計算する破産リスクは、 低めの推定.

結果が独立しているという前提

個々の結果を復元抽出することは、連続する取引間の独立性を仮定します。EngleのARCHのような条件付きボラティリティ・モデルは、分散の依存関係を表します。1982年の論文が研究したのは英国のインフレです。^[4] それは、特定の通貨取引規則の結果が必ず連敗に集中することを意味しません。そのような集中がある場合、個別抽出はそれを取り除きます。交互の依存関係がある場合には、実際の仕組みより長い連敗を生成することもあります。同じ規則の結果を使って方向を確認してください。

同じ勝率でも連敗の仕組みは異なる

例として、長期の負け頻度をq=0.4とします。独立モデルでは、指定したブロック内で二回負ける確率は 0.4²=0.16です。定常モデルで P(負けの後の負け)=0.6 かつ P(勝ちの後の負け)=0.2667なら、およそ 0.4×0.6=0.24です。遷移確率が0.2と0.5333なら、勝率は60%のままでも、次の値に下がります： 0.4×0.2=0.08。平均と頻度を同じに保っても、連敗の長さは決まりません。これは、あらゆる依存関係が独立シミュレーションの結果を悪化させるという主張への反例です。

すでに起きたことから作る分布

自分のデータから抽出しても、そこに含まれる結果しか再現できません。正規モデルの限界は、補足文献の^[2]でも論じられています。その本が特定系列の裾を測定したとは扱わず、ここで為替変化の分布を一つに仮定することもありません。別のシナリオには計画を何倍も上回る損失を置けますが、標本にそのような観測がなければ、百万本の経路を生成してもシミュレーションは決してそれを生みません。 このデータ集合からの抽出では、含まれていない極端な損失の事例を再現できません。それは、すべての分位点に普遍的な誤差の方向があることを意味しません。したがって、標本にない明示的なシナリオを結果に補ってください。 実用的な補足は、別の条件付き計算です。二百取引に一回が−5 Rで終わると仮定した結果と、五百取引に一回が−10 Rで終わると仮定した結果を計算します。その計算が示すのは、そのような一回の事象が資本からどれだけ奪うかだけです。

パラメータが安定しているという前提

式に入れる勝率とリワード・リスク比率は過去から得たもので、第9節で述べた推定誤差を伴います。モデルはそれらを定数として扱います。時間とともに変化するなら、明示的に選んだ複数の小期間についても再計算し、選択基準を示してください。平均が低い、または連敗が長い小期間では、特定の結果が悪化することがありますが、パラメータは必ずしも一緒に動きません。これは感度分析であり、過去最悪の期間が未来をよりよく予測する証明ではありません。規則が今も機能するかの評価は、次の箇所で扱います： 第8部。この記事は、指定したパラメータの帰結だけを計算します。

平均経路は最初の回復までの時間ではありません

第1節の列AとBは、それぞれ固定金額と1+0.004という乗数を使い、決定論的な平均資本経路が旧ピークに達する時点を示します。個別口座が初めて回復するまでの時間の平均でも中央値でもありません。その時間は分布と経路の全体に依存し、期間内に回復しない経路もあります。シミュレーションでは最初の回復時間を別に記録し、未回復の経路を平均時間から除外するのではなく、その割合を報告してください。

11. 理解を確かめる演習

ここまでとは異なるデータです。解答を見る前に自分で計算してください。

解答。

問1。 ピークからのドローダウン： (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0.35、したがって −35%です。必要収益率： Z = 0.35 / (1 − 0.35) = 0.35 / 0.65 = 0.5385、したがって +53.8%です。PLNでは、PLN 8,400の不足をPLN 15,600に対して計算すると、 8 400 / 15 600 = 53.8%となります。両方式の一致で計算を確認できます。これは底からピークまでに必要な資本増加額です。両状態がコスト後なら、得る必要があるPLN 8,400も コスト後です。比率そのものに再びコストを加えてはいけません。式は、その増加に必要なコスト前の結果数も時間も示しません。

問2。 モデル：ギャンブラーの破産、比率1:1、固定リスク金額、無限期間。比率： (1 − 0.54)/0.54 = 0.46/0.54 = 0.851852. N は、すでに距離の一部を進んでいるため、次の基準から数えます： 現在の有効証拠金。そこから破産閾値までの距離です。閾値： 24,000 × (1 − 0.40) = PLN 14,400。リスク金額： 1.5% × 24,000 = PLN 360 （初期資本から求めた固定額）。距離： 15,600 − 14,400 = PLN 1,200.

• リスク1.5%： N=⌈1200/360⌉=4。閾値以下で最初に到達できる状態はPLN 14,160です。 (0.46/0.54)^4=0.526570、したがって 52.66%.
• リスク3%：R=PLN 720、 N=⌈1200/720⌉=2; (0.46/0.54)^2=0.725652、したがって 72.57%。リスク金額を倍にすると、結果は19.91パーセントポイント増え、約1.38倍になります。
• 開始時にR=PLN 360なら、距離はPLN 9,600なので、 N=⌈9600/360⌉=27 となり、結果は 1.32%です。PLN 15,600に達したことで、現在の状態を条件とするリスクは約四十倍になりました。指数はどのNでも同じように働きます。変わったのは境界までの距離です。

問3。 この結果は、±Rの損益、固定リスク金額、一定の勝率p=0.54、独立性、コストゼロ、無限期間を仮定します。この分布の理論標準偏差は σ=√(1−0.08²)=0.9968 Rであり、1.5 Rではありません。100観測での平均の不確実性を正規近似した半幅は約0.195 Rです。これは、上の破産計算で除外したpの不確実性を表します。非負の追加コストは同じ経路を悪化させ、有限期間は破産が起こり得る機会を減らします。依存関係とパラメータ変化は、どちらの方向にも作用し得ます。この±Rモデルでp≤0.5なら、無限期間の破産確率は1ですが、p=0.5では平均到達時間が無限になることがあります。

問4 に一意の解答はありません。手順は同じです。自分の通貨建て破産閾値→次の資本からの距離： 現在の 資本→自分の固定リスク金額で割る→到達可能な境界へ切り上げる→ N → ((1 − p)/p)N。結果は問3の前提一覧とともに記録してください。その一覧も解答の一部です。

12. 計算しておくべき五つの数値

それぞれ、基準と前提を示す必要があります。それがあって初めて、他の値と比較できます：

1. 執行コスト後の期待値。R単位と口座通貨で示し、コストの内訳を明記します。定義と導出は次の記事にあります： 記事9.6.
2. 回復に必要な収益率：自分の通常のドローダウンと、これまでで最も深いドローダウンについて、次の恒等式から求めます： Z = DD/(1 − DD)。計算の基準は底です。
3. 自分の一取引当たりリスクでの破産リスク。破産閾値、モデルの種類、前提一覧を示します。その三つがなければ、数値に意味はありません。
4. 最大ドローダウンの中央値と95パーセンタイル：自分の結果を使ったシミュレーションから求めます。後者は最悪のケースではなく、それだけでは残りの分布の深さを表しません。モデルの限界は別途定めます。
5. 自分の期待値の信頼区間の半幅：自分の取引数で計算します。区間がゼロを除いても、平均は推定値のままです。ゼロを含む区間は、これらの前提の下では、標本が正の平均をゼロまたは負の平均から区別できないことも示します。パラメータの不確実性は、結果分布に依存する計算に引き継がれます。一方、指定した下落を回復するための収益率そのものは算術的恒等式です。

五つとも、自分で与えたパラメータの帰結を表します。どれも、その規則に優位性があるかを判定しません（その問いは 第8部で扱います）。また、負の期待値の集合を利益の出るものに変えるわけでもありません。

次の記事（9.3）では計算の方向を逆にします。所定の割合から破産リスクを求めるのではなく、指定したドローダウンと想定連敗数から許容可能な割合を導きます。

反復を増やしても標本の拡大にはなりません

シミュレーションには二つの誤差があります。一つはパラメータを固定してM本の経路を抽出する際の誤差、もう一つは実際のn個の結果からパラメータを推定する誤差です。n=20でM=100,000にすると、不確かな二十観測の分布を非常に精密に再現できます。両者を分けるには、入力シナリオを複数計算し、それぞれの内部で異なるseedによる抽出を繰り返します。シナリオ間の変化をモンテカルロ誤差と呼んではいけません。