La matematica delle perdite: asimmetria del recupero e rischio di rovina

Dopo un drawdown del 10 %, tornare al massimo precedente richiede un rendimento dell'11,1 %; dopo il 50 %, richiede il 100 %, e dopo il 90 %, il 900 %. Questi valori derivano da una sola identità aritmetica e non richiedono dati di mercato. Diverso è il caso del rischio di rovina: è il risultato di un modello basato su una distribuzione specificata e su parametri stimati da un campione. Questa lezione deriva la tabella del recupero, verifica le ipotesi della formula di rovina e confronta le traiettorie del capitale con diverse regole di dimensionamento delle posizioni. Considera poi costi, ordine dei risultati e incertezza della stima. Ogni figura può quindi essere accompagnata dalla propria base di calcolo e dalle condizioni in cui può essere utilizzata.

Tre parametri di ingresso alimentano tutti i calcoli seguenti. Questo articolo non ne deriva nessuno: è il compito dell'articolo 9.6. Qui entrano esclusivamente come numeri forniti da Lei.

• Tasso di successo (p): alimenta la formula della sezione 3 e la simulazione; il valore illustrativo utilizzato sotto è il 55 %.
• Rapporto rendimento/rischio (RR): stabilisce l'entità del guadagno rispetto alla perdita nella distribuzione campionata dalla simulazione; a titolo illustrativo 1:1,5, ma deliberatamente 1:1 nelle sezioni 3 e 11, perché solo tale rapporto soddisfa la formula della rovina del giocatore.
• Valore atteso: la media implicita nella distribuzione dei risultati specificata; non determina da solo il rischio di rovina, a titolo illustrativo +0,54 R lordi e +0,35 R dopo i costi di esecuzione (sezione 8).

1. La derivazione e la tabella completa del recupero: da −5 % a −90 %

Il capitale dopo un drawdown di frazione DD misurato dal massimo è K × (1 − DD). Per tornare a K, tale importo ridotto deve crescere della differenza mancante K × DD, e il rendimento si calcola su quanto rimane dopo la perdita:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K si semplifica e scompare, quindi il risultato non dipende né dalla dimensione del conto, né dallo strumento, né dall'insieme di regole. Si tratta di un'identità aritmetica: vera per definizione, senza alcun dato. Nient'altro in questo articolo ha tale natura: il rischio di rovina e la simulazione sono risultati di modelli.

Sostituendo −50 %: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, che dà +100 %. Per −20 %: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, che dà +25 %. L'articolo 9.1 offre una tabella abbreviata; la versione completa sotto contiene due colonne che mostrano quante operazioni con un valore atteso specificato siano necessarie per quel rendimento. Ciascuna delle tre colonne numeriche usa una base diversa; non le confonda.

Le tre colonne hanno basi diverse; spiegarle è l'unico modo per evitare che la tabella induca in errore. Il drawdown si misura dal massimo della traiettoria del capitale. Il rendimento di recupero si calcola dal minimo, ossia il capitale dopo la perdita: ecco perché −50 % richiede +100 % anziché +50 %. Entrambe le colonne del numero di operazioni ipotizzano un valore atteso di +0,4 % per operazione, ma usano basi diverse.
A) Importo fisso di rischio: ogni operazione contribuisce in media per il +0,4 % del capitale iniziale (40 PLN fissi con un capitale di partenza di 10.000 PLN), indipendentemente dal valore corrente del conto. Formula: N = DD / 0,004. Le perdite sono già incluse in questa media: la somma attesa di N risultati è N × 0,004 × K0 ed equivale all'importo mancante DD × K0 esattamente quando N = DD / 0,004, indipendentemente dal numero di operazioni in perdita nella sequenza. Si usa la linearità della somma attesa; non occorre che ogni operazione renda esattamente la media. N indica quando la somma media uguaglia l'importo mancante. Non è né la media né la mediana del primo tempo di recupero; ciò richiede un modello separato di raggiungimento della barriera. È una grandezza lorda: i costi di trading sono omessi. Se un costo non negativo riduce la stessa media lasciandola positiva, l'uguaglianza della somma media si verifica più tardi. Questo non implica una stima inferiore del primo tempo di recupero casuale.
B) Percentuale fissa del capitale: lo stesso valore atteso, ma calcolato sul valore netto corrente del conto, che è inferiore dopo il drawdown. Formula: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Più lungo della colonna A perché ogni guadagno usa una base più piccola.
Entrambe le colonne danno un numero di operazioni. Convertirlo in tempo richiede la Sua frequenza operativa; si veda l'esempio seguente.

Conversione in tempo per la colonna B, con due frequenze. La tabella usa valori illustrativi; presuppone che la media di +0,4 % per operazione valga per l'intero periodo di recupero, cosa che nulla garantisce. La colonna delle operazioni riporta il valore esatto della formula della colonna B prima dell'arrotondamento, così i mesi si riproducono direttamente: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

La funzione Z = DD/(1 − DD) è crescente e convessa in tutto il proprio dominio da 0 a 1: non contiene una soglia in cui «qualcosa cambia». L'aumento è continuo: tra −5 % e −20 % il rendimento richiesto sale da +5,3 % a +25 %, tra −20 % e −50 % da +25 % a +100 %, per cali più profondi di −50 % da +100 % a +900 %. Qualsiasi soglia alla quale ridurre o interrompere il trading è una decisione scritta in anticipo; la formula non ne suggerisce una. Da dove provenga tale soglia e come scrivere la condizione di ripresa è stabilito nell'articolo 9.8.

Una conseguenza va oltre il solo tempo di recupero: un drawdown riduce il capitale corrente, che è precisamente la grandezza confrontata con la soglia di chiusura forzata, calcolata su tutte le posizioni aperte sul conto. Le definizioni e i meccanismi di tali grandezze appartengono alla sezione 2, mentre l'effetto di un gap sul prezzo di esecuzione è trattato nell'articolo 9.10.

Un versamento non recupera una perdita di trading

Esempio illustrativo: un conto scende da 10.000 PLN a 8.000 PLN, poi il proprietario versa 2.000 PLN. Il saldo torna a 10.000 PLN, ma il rendimento del trading rimane −20 %. Analogamente, un prelievo dopo un profitto non è un drawdown causato dal trading. Prima di usare DD/(1−DD), decida se misura la performance dell'investimento senza flussi di cassa esterni o semplicemente l'importo disponibile sul conto. Quest'ultimo conta per la capacità di continuare a operare; la prima per il recupero della performance.

2. Recupero con una percentuale fissa del capitale

Con una percentuale fissa del valore netto corrente del conto (1 % per operazione), l'importo di rischio diminuisce insieme al conto. Base: valore netto corrente del conto misurato prima di aprire la posizione. L'1 % di 10.000 PLN è 100 PLN; dopo le perdite, l'1 % di 8.500 PLN è 85 PLN. La stessa regola dà importi diversi perché la sua base è cambiata.

Questo funziona in entrambe le direzioni. La perdita successiva sottrae meno PLN, ma anche il guadagno successivo rende meno, perché entrambi usano la base ridotta. Valori illustrativi, conto in PLN, valore atteso +0,4 R per operazione:

La proporzione qui è esatta e deriva direttamente dalla definizione: l'importo del guadagno si riduce allo stesso ritmo del capitale. Ecco perché la colonna B della tabella nella sezione 1 dà numeri maggiori della colonna A: con un drawdown del −50 %, sono 174 operazioni anziché 125, cioè il 39 % in più. Entrambe le colonne calcolano la stessa percentuale, soltanto su una base diversa, e l'intera differenza risiede in questo.

Nessuna delle due regole è migliore dell'altra, perché rispondono a domande diverse e hanno conseguenze differenti sulla dimensione della posizione, questione affrontata nell'articolo 9.5. La scelta della base cambia il numero di operazioni necessarie per recuperare; citare «quanto occorre recuperare» senza indicare la base è quindi incompleto.

3. Rischio di rovina: formula, ipotesi e tabella ricalcolata

Il rischio di rovina è la probabilità che il capitale raggiunga una soglia inferiore specificata. In tutta questa sezione, rovina significa scendere al 50 % del capitale iniziale o al di sotto. Non esiste un obiettivo superiore prima del quale la soglia debba essere raggiunta; il modello consente di operare indefinitamente. Cambiare la soglia o l'orizzonte cambia la domanda e il risultato.

La variante del modello e la formula

Il calcolo seguente è il classico modello della rovina del giocatore^[1] nella versione a due risultati: ogni operazione termina con un guadagno o una perdita della stessa entità (rapporto rendimento/rischio di 1:1), l'importo monetario a rischio è fisso, il tasso di successo p è costante, i risultati successivi sono indipendenti e l'orizzonte è infinito.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — il tasso di successo come frazione; edge = 2p − 1 (un tasso di successo del 55 % dà un vantaggio di 0,10). Le due forme della formula sono identiche: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — il numero di unità di rischio che separano il capitale corrente dalla soglia di rovina. All'inizio, con rischio del 2 % del capitale iniziale e soglia del −50 %: N = 50% / 2% = 25. Dopo un drawdown, la distanza si misura dallo stato corrente del conto; un esempio è nell'esercizio (sezione 11).
• Il risultato è adimensionale: non dipende né dalla valuta del conto né dall'entità del capitale, perché tutte le informazioni sul capitale sono contenute in N.

Il modello richiede un importo monetario fisso di rischio. Con una percentuale fissa del capitale corrente, l'importo si riduce insieme al conto, quindi nessun N di questa formula descrive tale traiettoria e serve invece una simulazione (sezione 6).

Quale soglia può raggiungere realmente il capitale?

La formula seguente vale per p > 0,5; per p ≤ 0,5 la probabilità di rovina su orizzonte infinito è 1, anche con media nulla. Se la distanza corrente dalla soglia non è un multiplo intero dell'importo fisso R, usi N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉, arrotondando per eccesso. Il capitale si muove su una griglia con passo R e non si ferma tra i suoi punti. Ciò vale per il modello ±R e una condizione «soglia o al di sotto»; per risultati variabili, ne ricostruisca la griglia o simuli la traiettoria.^[1]

Esempio illustrativo: K = 10.000 PLN, soglia 9.050 PLN, R = 300 PLN. Una distanza di 950 PLN dà N = 4 e uno stato inferiore raggiungibile di 8.800 PLN. Arrotondare a N = 3 calcolerebbe la rovina a una soglia diversa: 9.100 PLN, ancora sopra la barriera specificata.

La tabella: ogni cella è riproducibile con la formula precedente

Come riprodurre qualsiasi cella. Tasso di successo 52 %, rischio 2 %: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, cioè 13,52%. Tasso di successo 58 %, rischio 10 %: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, cioè 19,91%. Le ipotesi sotto cui vale questa tabella: rovina definita come discesa al 50 % del capitale iniziale; rapporto rendimento/rischio di 1:1; importo fisso di rischio; tasso di successo costante; risultati indipendenti; costo di esecuzione pari a zero; orizzonte infinito.

Quattro letture della tabella, nessuna delle quali è di per sé una raccomandazione:

• Con tasso di successo del 55 % e rischio dell'1 %, il rischio di rovina del modello è 0,0044 %. Sulla carta appare sicuro, ma solo perché il modello ipotizza un rapporto di 1:1, un tasso di successo costante, nessun costo e operazioni indipendenti. Sono ipotesi del modello, non caratteristiche accertate di ogni serie reale. Un costo aggiuntivo non negativo peggiora il risultato sulla stessa traiettoria e un'effettiva concentrazione delle perdite può aumentare il rischio; l'errore di stima del tasso di successo e un rapporto diverso da 1:1 possono spostarlo in entrambe le direzioni, che vanno quindi verificate separatamente ogni volta.
• Lo stesso tasso di successo del 55 % con rischio del 5 % dà il 13,44 %. Un rischio per operazione cinque volte maggiore aumenta la probabilità di rovina del modello di oltre tremila volte, perché N è nell'esponente.
• Un tasso di successo del 52 % con rischio del 2 % dà il 13,52 %. Valore atteso positivo e rischio di rovina di circa uno su sette possono coesistere tranquillamente: sono due grandezze diverse calcolate con gli stessi parametri.
• La relazione ha la direzione corretta in entrambi i sensi: il rischio di rovina cresce con il rischio per operazione e diminuisce all'aumentare del tasso di successo. Una cella che inverte questo andamento è un errore nella tabella o nella formula.

Il calcolo per due livelli di rischio con tutti gli altri parametri invariati

Parametri comuni, valori illustrativi: tasso di successo 55 %, rapporto rendimento/rischio 1:1, soglia di rovina −50 % del capitale iniziale, rischio calcolato come percentuale del capitale iniziale e fissato in un importo monetario costante.

• Rischio dell'1 % per operazione. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Tramite logaritmi: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, quindi Pruin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Rischio del 2 % per operazione. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, quindi Pruin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• La differenza: raddoppiare il rischio per operazione aumenta di 151 volte il rischio di rovina del modello, con tasso di successo e rapporto rendimento/rischio invariati. Il valore atteso in unità R non cambia affatto.

Ambito del calcolo. Risultati di ±R e importo fisso di rischio sono necessari per questa formula. Con una percentuale fissa del valore netto corrente del conto e moltiplicatori positivi, il conto non può raggiungere zero in un numero finito di passi, ma può oltrepassare una soglia positiva di rovina. Tasso di successo costante e indipendenza sono ipotesi, non affermazioni sul mercato. Un costo non negativo sottratto sulle stesse traiettorie con lo stesso R non può migliorare il capitale. Un orizzonte finito limita i possibili tempi di rovina, quindi la sua probabilità non può superare quella su orizzonte infinito. Dipendenza, errore nel tasso di successo e risultati modificati possono tuttavia agire in entrambe le direzioni; la formula da sola non la determina.

Verificare la formula senza estrazioni casuali. La soluzione soddisfa la ricorrenza h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1), la condizione al contorno h(0)=1 e il limite h(i)→0 per p>0,5: sostituendo h(i)=((1−p)/p)^i, il lato destro diventa esattamente uguale al sinistro. Per p≤0,5, la soluzione probabilistica su orizzonte infinito è 1. La tabella fornisce probabilità di questo modello.

4. Rischio di rovina con un rapporto diverso da 1:1

La formula della sezione 3 descrive una scommessa con guadagni e perdite di uguale entità. Un insieme di regole con tasso di successo del 38 % e rapporto 1:3 non soddisfa tale condizione; inserire il suo tasso di successo nella formula 1:1 dà un vantaggio di 2 × 0,38 − 1 = −0,24 e la conclusione «rovina certa», mentre il valore atteso di tale insieme è 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52 R. La formula non è sbagliata; è stata applicata oltre l'ambito in cui ha significato.

Risultati disuguali: calcoli la probabilità di transizione

La frazione di Kelly non sostituisce il vantaggio in una formula di rovina. Ottimizza una grandezza diversa, quindi simboli simili non giustificano tale sostituzione. Con importo fisso di rischio e risultati +aR e −bR si può costruire una ricorrenza esatta. Sia H_t(x) la probabilità di oltrepassare la soglia inferiore entro al massimo t ulteriori passi, partendo da una distanza x sopra di essa. Allora H_0(x)=0 per x>0, H_t(x)=1 per x≤0, e per x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

Ciò deriva dalla suddivisione della prima operazione in guadagno e perdita, come nel modello classico della sezione 3.^[1] Il valore di t deve essere specificato. Per risultati razionali su una griglia comune, un numero finito di passi dà un numero finito di stati, perciò non servono formule ipotizzate né un troncamento superiore del capitale. Con la stessa procedura si può sottrarre un costo fisso da entrambi i risultati.

Verifichi la sensibilità a errori congiunti dei parametri usando la stessa soglia, lo stesso orizzonte e la stessa regola dell'importo di rischio. Peggiorare una coppia illustrativa da p=55 %, RR=1,5 a p=52 %, RR=1,2 richiede due calcoli distinti di H. Il criterio di Kelly e la sensibilità della sua frazione hanno un calcolo dedicato in 9.5; non approssimano la probabilità di rovina.

La simulazione offre una risposta più affidabile. La tabella seguente deriva da una simulazione eseguita per questo articolo: 40.000 traiettorie di al massimo 500 operazioni, generatore NumPy PCG64 con seed 20261005, risultati a due valori con tasso di successo e rapporto specificati, percentuale fissa del valore netto corrente del conto, rovina definita come discesa al 50 % del capitale iniziale (dove la traiettoria si ferma) e costi di esecuzione nulli. Tutti i valori sono illustrativi. I parametri p e RR sono forniti come dati in ingresso; nessuno dei due descrive il mercato.

La nostra simulazione: 40.000 traiettorie di al massimo 500 operazioni, percentuale fissa del valore netto corrente del conto, soglia di rovina del −50 % del capitale iniziale, costi di esecuzione omessi, risultati indipendenti e distribuzione a due punti (guadagno +RR, perdita −1 R). La traiettoria termina alla prima discesa alla soglia di rovina oppure dopo 500 operazioni; i percentili del drawdown massimo comprendono le traiettorie interrotte. Il 95º percentile del drawdown massimo non è il caso peggiore: il quantile da solo non limita la profondità del restante 5 % circa delle traiettorie. I limiti di un dato modello derivano separatamente dai risultati, dall'orizzonte e dalla regola di arresto. Il valore atteso nella seconda colonna è lordo; la sezione 8 offre la versione dopo i costi di esecuzione. Con una distribuzione diversa da quella a due punti, gli stessi p e RR danno drawdown diversi.

La tabella separa due domande. Rovina significa scendere sotto metà del capitale iniziale, mentre il drawdown massimo usa il capitale massimo precedente. Il drawdown può quindi superare il 50 % da un nuovo massimo senza raggiungere la soglia di rovina. Il basso numero di rovine all'1 % e al 2 % vale solo per queste quattro distribuzioni e 500 passi. Non dimostra che l'evento sia irraggiungibile. Al 5 % cambiano nettamente sia la distribuzione dei drawdown sia il numero di attraversamenti della barriera; una media maggiore non basta a ordinare questi risultati.

Zero rovine simulate lascia comunque incertezza

Se M traiettorie indipendenti non contengono alcuna rovina, registri 0/M. Il limite superiore unilaterale al 95 % della probabilità in questo modello fisso deriva da (1−u)^M=0,05: u=1−0,05^(1/M). Per M=40.000 è circa 0,00749%; per 30.000, 0,00999%. Questo limite descrive l'errore di campionamento della simulazione. Non tiene conto di un tasso di successo errato, di perdite estreme mancanti né di un modello di dipendenza inadeguato.

La probabilità di incontrare k perdite consecutive in N operazioni è una domanda separata con una risposta diversa da (1 − p)k; il suo calcolo per un tasso di successo e una lunghezza della sequenza specificati si trova nell'articolo 9.1, sezione 4; l'articolo 9.3 usa la lunghezza ipotizzata della serie come ingresso per derivare il limite di rischio.

5. L'ordine dei risultati: lo stesso insieme, due percorsi

La sezione 8 lascia una promessa da risolvere qui: l'ordine dei risultati conta per la traiettoria, ma non per il punto finale. Questa frase si può verificare con l'aritmetica su dieci numeri.

Entrambe le traiettorie hanno risultati identici: quattro guadagni (+2 R, +2 R, +1,5 R, +1,5 R) e sei perdite di −1 R, per un totale di +1 R su dieci operazioni, con media di +0,10 R. Regola di dimensionamento: percentuale fissa del valore netto corrente del conto, 1 % per operazione. Capitale iniziale di 100 unità; il risultato è adimensionale, quindi il numero di unità non conta. Limite specificato in anticipo: drawdown del −5 % dal massimo.

Drawdown misurato dal massimo della traiettoria del valore netto del conto, dopo ogni operazione. Capitale dopo un'operazione: K × (1 + 0,01 × R). La tabella arrotonda a tre decimali; il calcolo stesso viene eseguito senza arrotondamenti intermedi.

Il punto finale è identico fino alla cifra decimale: 100,912 in entrambi i percorsi, cioè +0,912 %. La coincidenza ha una causa puramente aritmetica. Il capitale finale con percentuale fissa è il prodotto K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), e la moltiplicazione è commutativa: l'ordine dei fattori non cambia il prodotto. Con un importo monetario fisso di rischio vale lo stesso, ma per la commutatività dell'addizione.

Tutto il resto è diverso. Il drawdown massimo è 3,94 % nel percorso A e 5,85 % nel percorso B, una volta e mezza sugli stessi dieci risultati. Il limite del −5 % viene violato nel percorso B alla sesta operazione, mentre nel percorso A non viene mai violato. Se il limite attiva un'interruzione del trading, sullo stesso insieme di risultati un percorso termina alla decima operazione a +0,912 %, e l'altro viene interrotto alla sesta a −5,85 %: i quattro guadagni presenti nell'insieme non vengono mai realizzati.

La conclusione pratica ha due livelli. La media aritmetica del campione non descrive l'ordine dei risultati. Due ordinamenti dello stesso insieme di risultati hanno qui un capitale finale identico, ma possono avere drawdown del tutto diversi. Un drawdown misurato su una sequenza storica è quindi una realizzazione di una famiglia di traiettorie possibili; randomizzare l'ordine permette di esplorare tale famiglia, oggetto della sezione successiva.

6. Simulare la distribuzione dei risultati: cosa viene estratto e cosa non dice il risultato

Un test storico mostra una sola sequenza: quella avvenuta. La simulazione Monte Carlo costruisce con lo stesso materiale una distribuzione di traiettorie possibili; occorre distinguere due operazioni spesso descritte con una sola parola. La permutazione riordina esattamente gli stessi risultati: composizione e valore finale rimangono invariati, cambia solo la traiettoria. È un puro test del rischio di sequenza, eseguito manualmente nella sezione 5. Il campionamento con reinserimento tratta il campione come una distribuzione da cui estrarre nuove liste: alcune osservazioni vengono omesse e altre ripetute, quindi cambiano anche la composizione e il valore finale di ogni traiettoria. La sezione 7 usa il campionamento con reinserimento.

Cosa viene estratto: il risultato di un'operazione in unità R, da una distribuzione empirica costruita dai Suoi registri (con reinserimento) oppure da una distribuzione a due punti specificata da tasso di successo e rapporto rendimento/rischio. Ipotesi di indipendenza: ogni estrazione è indipendente dalla precedente; lo verifichi separatamente sulla serie di risultati di una regola specifica. Numero di ripetizioni: più ripetizioni danno percentili più stabili; questo articolo ne usa 40.000 nella sezione 4 e 30.000 nella sezione 8, sempre dichiarate accanto ai risultati. Il grafico seguente mostra tre quantili puntuali da un'approssimazione lognormale esplicita, anziché otto traiettorie estratte casualmente.

Dalla distribuzione si leggono quattro grandezze:

• La mediana del drawdown massimo: il drawdown sopra il quale si trova metà dei percorsi. Non è né una previsione né un limite.
• 95º percentile del drawdown massimo. Non è lo scenario peggiore. Circa il 5 % delle traiettorie del modello ha un drawdown più profondo. Il quantile stesso non limita le traiettorie rimanenti; i limiti di un modello specificato sono una questione separata. Gli eventi con gap di prezzo sono trattati nell'articolo 9.10.
• Rischio di rovina: la quota di percorsi in cui il capitale è sceso a una determinata soglia. È una grandezza dipendente dalla soglia: senza una soglia dichiarata non ha significato.
• La dispersione del risultato finale, cioè l'intervallo che contiene una determinata quota di percorsi a parametri invariati. Non risponde alla domanda su quanto sarà il profitto.

In una somma di risultati indipendenti con varianza costante e finita, la deviazione standard cresce con la radice quadrata del numero di operazioni, mentre la somma attesa cresce linearmente. Non è una regola universale per ogni intervallo della distribuzione o per il capitale con rischio percentuale fisso. Prolungare la stessa traiettoria non può ridurne il drawdown massimo registrato, pur non dovendo necessariamente approfondirlo. La conoscenza dei parametri è una questione separata: un campione indipendente più lungo restringe l'errore di stima della media come 1/√n (sezione 9), e le due direzioni non sono in conflitto, perché rispondono a due domande diverse.

Qui occorre tenere distinti due numeri facili da confondere, perché entrambi sono un «numero di operazioni». La lunghezza di un singolo percorso nella simulazione è una scelta dell'orizzonte: 500 operazioni pone la domanda «cosa può accadere nell'arco di 500 operazioni». La dimensione del Suo campione è il numero di operazioni da cui viene costruita la distribuzione di ingresso, e solo questo determina con quanta precisione conosce i parametri. Estrarre 500 risultati da un insieme di cento non crea nuove informazioni: l'intervallo di confidenza del valore atteso rimane quello ricavato da cento osservazioni (sezione 9).

Due medie non ricostruiscono la varianza

Se p è la frequenza dei guadagni, le medie dei gruppi sono W e −L e le loro varianze sono v_w e v_l, allora Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². Una distribuzione a due punti conserva solo l'ultimo termine. Con p=0,5 e W=L=1 R, la varianza è 1 R². Se metà dei guadagni è +0,2 R e metà +1,8 R, con perdite negative analoghe, le medie dei gruppi rimangono ±1 R ma la varianza diventa 1,64 R². La varianza è maggiore, ma questo non implica ancora che debba aumentare ogni quantile del drawdown o la probabilità di rovina di ogni barriera.

7. La simulazione passo dopo passo

Per eseguire la simulazione bastano una lista dei Suoi risultati in unità R e uno strumento capace di estrazioni casuali. Un foglio di calcolo è sufficiente per alcune centinaia di percorsi; oltre, un breve script è più comodo.

a) Dati in ingresso

Una simulazione è valida quanto la sua lista di ingresso. Ogni operazione chiusa richiede un risultato in unità R, calcolato al netto dei costi: R = (risultato nella valuta del conto dopo commissioni, punti swap e slittamento) / (importo di rischio previsto all'ingresso). Il denominatore è il rischio previsto, non quello realizzato, perciò una perdita con slittamento è peggiore di −1,00 R e compare nella distribuzione. Un risultato positivo è il profitto netto nelle stesse unità.

b) La procedura

1. Costruisca una lista di risultati in unità R dai Suoi registri, uno per operazione chiusa.
2. Estragga con reinserimento. Imposti la lunghezza di un singolo percorso all'orizzonte che sta esaminando. Se chiede la distribuzione dei drawdown sul campione già disponibile, la imposti uguale alla dimensione del Suo campione; l'intervallo di confidenza dei parametri non si restringe perché esegue più estrazioni.
3. Ricalcoli il capitale dopo ogni operazione estratta secondo la Sua regola di dimensionamento: con una percentuale fissa K ← K × (1 + r × R), con un importo monetario fisso K ← K + importo × R.
4. Ripeta abbastanza da far smettere ai percentili di cambiare tra le esecuzioni, solitamente da alcune migliaia ad alcune decine di migliaia di percorsi.
5. Legga la mediana e il 95º percentile del drawdown massimo, la quota di percorsi sotto la soglia di rovina e la dispersione del risultato finale. Annoti accanto tutte le ipotesi; un mese dopo, solo queste permetteranno di ricostruire da dove provengono i numeri.

c) Cosa dice esattamente ciascun numero

In quella tabella manca deliberatamente una soglia di accettabilità. «Rischio di rovina inferiore all'1 %» è una scelta, non un risultato, e dipende da quale percentuale del capitale può sottrarre all'utilizzo e per quanto tempo. Scrivere tale soglia insieme alle condizioni di interruzione e ripresa appartiene all'articolo 9.8.

d) Lo script

Sostituisca l'array dei risultati con i Suoi valori in unità R. Lo script funziona in due modalità: su risultati già calcolati al netto dei costi oppure su risultati lordi a cui aggiungere il costo come parametro casuale.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Distribuzione dei risultati campionata con reinserimento dalla Sua lista di risultati in R.

    IPOTESI che questo codice adotta ma non verifica:
      - i risultati successivi sono indipendenti (un'ipotesi da verificare);
      - i parametri rimangono costanti per l'intero orizzonte;
      - i risultati futuri hanno la stessa distribuzione del campione.

    length=None -> la lunghezza della traiettoria coincide con la dimensione del Suo campione.
       Una traiettoria più lunga considera un orizzonte diverso;
       NON restringe l'intervallo di confidenza dei parametri.

    outcomes_already_net=True -> la lista è al netto dei costi; non vengono aggiunti costi.
    outcomes_already_net=False -> sottragga un costo indipendente max(0, Normal(mu,sigma)).
       mu e sigma descrivono la distribuzione normale PRIMA del limite inferiore a zero,
       non la media e la deviazione standard del costo così limitato.
       La dipendenza tra costo e risultato non è modellizzata.
       Non applichi entrambi gli approcci: ciò conterebbe i costi due volte.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # seed rende riproducibili le estrazioni
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("Fornisca una lista non vuota di risultati finiti")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("Il rischio e la soglia devono essere in (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("La lunghezza e le ripetizioni devono essere interi positivi")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("La deviazione standard del costo non può essere negativa")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("Il modello richiede un moltiplicatore positivo del capitale")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # il risultato è adimensionale
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("Il risultato comprensivo del costo è fuori dal dominio del modello")
            capital *= multiplier     # percentuale fissa del valore netto corrente del conto
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "rischio di rovina": ruins / repetitions,
        "mediana del drawdown massimo": float(np.median(max_drawdowns)),
        "95º percentile del drawdown massimo": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "lunghezza della traiettoria": length,
        "dimensione del campione": len(outcomes_R),
    }

# Valori sintetici (esempio eseguibile): li sostituisca con i Suoi risultati
# in unità R, al netto dei costi, uno per operazione chiusa:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

Il capitale iniziale è fissato a 1. La soglia di rovina è una frazione di quel valore, mentre il drawdown massimo si misura dal massimo corrente; la valuta del conto non cambia nessuno dei due rapporti. La riga capital *= (1 + risk * outcome) rappresenta una percentuale fissa del valore netto corrente del conto; per un importo fisso di rischio sostituisca la moltiplicazione con l'addizione. Il costo predefinito di 0,06 R è illustrativo e può essere molte volte maggiore con una breve distanza dall'uscita protettiva; la sezione 8 mostra come entra nel calcolo. La lista my_outcomes contiene venti valori solo per rendere il codice eseguibile; non sono misurazioni di mercato né un campione sufficiente a dimostrare la stabilità dei parametri. Il costo casuale del codice è indipendente dal risultato e limitato inferiormente a zero; i suoi parametri descrivono la distribuzione normale prima del limite.

8. Il costo di esecuzione come parametro di ingresso

È il valore atteso a entrare nella formula del rischio di rovina e nella simulazione. Se entra nella versione lorda, anche il risultato è lordo, e la differenza non è cosmetica, perché il costo grava su ogni singola operazione, comprese quelle perdenti. Questo articolo non descrive da dove provengano tali componenti o da cosa dipendano: lo fa la sezione 2, mentre le condizioni di esecuzione presso i broker sono trattate nelle sezioni 11–13. Qui il costo è un singolo numero in ingresso e conta soltanto il suo effetto sul calcolo.

Lo stesso costo in pip occupa una frazione maggiore di R quando l'uscita protettiva è più vicina all'ingresso; la dimensione della posizione e la distanza di uscita sono trattate nell'articolo 9.5. Sotto, il costo entra come numero già calcolato in unità R.

La conversione: lo stesso insieme di parametri al lordo e al netto

Dati illustrativi: posizione su una coppia principale, distanza di 50 pip dall'uscita protettiva, posizione mantenuta per quattro notti, rischio previsto 1 R. Ogni componente del costo è elencato separatamente:

• l'intero spread di apertura e chiusura: la differenza tra acquistare all'ingresso e vendere all'uscita, 4 pip rispetto a una distanza di 50 pip: −0,08 R. Consideri lo spread esattamente una volta; dividerlo in «ingresso» e «uscita» al suo intero valore conterebbe due volte lo stesso costo
• lo slittamento ipotizzato: −0,03 R
• i punti swap su quattro notti: −0,08 R
• totale: −0,19 R per operazione, che termini in profitto o in perdita

Effetto su un'operazione: un guadagno lordo di +1,80 R dà al netto +1,61 R, e una perdita lorda di −1,00 R dà al netto −1,19 R. Il costo agisce sui due risultati nella stessa direzione.

L'effetto sul valore atteso con tasso di successo del 55 %:

• lordo: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540 R
• netto: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350 R
• differenza: −0,19 R, una riduzione del valore atteso lordo del 35,2%: esattamente il costo unitario, perché un costo addebitato su ogni operazione riduce il valore atteso del proprio intero importo.

Effetto sulla distribuzione dei risultati: la nostra simulazione, 30.000 traiettorie di al massimo 500 operazioni (interrotte al primo raggiungimento della soglia), percentuale fissa del valore netto corrente del conto, soglia di rovina −50 %:

Entrambe le versioni usano gli stessi segni dei risultati estratti: p=0,55, risultato lordo +1,8 R o −1 R, costo netto 0,19 R per passo. Generatore PCG64, seed 20261005; 30.000 traiettorie indipendenti di al massimo 500 passi, arresto a capitale≤0,5 del capitale iniziale, percentili MDD dal massimo corrente con interpolazione lineare. La mediana all'1 % sale dal 7,93 % al 10,92 %, e al 2 % dal 15,35 % al 20,91 %. In ogni versione, 0/30.000 traiettorie hanno raggiunto la rovina; ciò non dimostra una probabilità nulla. Verifichi separatamente altre dipendenze dei risultati.

9. Quante operazioni sostengono una stima dei parametri

Il tasso di successo e il rapporto rendimento/rischio inseriti nella formula della sezione 3 sono stime campionarie soggette a errore. La semiampiezza di un intervallo di confidenza al 95 % per il valore atteso è 1,96 × σ / √n, dove σ è la deviazione standard di un risultato in unità R e n è il numero di osservazioni. Sotto, si assuma a titolo illustrativo σ = 1,5 R:

Calcolo: 1,96 × 1,5 / √n. Per n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Con una deviazione standard maggiore di 1,5 R (possibile con un rapporto di 1:3, ma dipendente anche dal tasso di successo e dalla dispersione all'interno dei gruppi), gli stessi intervalli richiedono campioni proporzionalmente più grandi. La formula assume osservazioni indipendenti e un'approssimazione normale per la media (teorema del limite centrale), quindi l'intervallo è indicativo con campioni piccoli e distribuzioni dei risultati molto asimmetriche; σ = 1,5 R è assunto a titolo illustrativo. Una dipendenza positiva dei risultati può ampliare l'intervallo, mentre una dipendenza negativa può restringerlo; la sola mancanza di indipendenza non stabilisce una direzione. Sostituendo σ con la deviazione standard campionaria s, l'intervallo standard usa la distribuzione t di Student; l'approssimazione normale sotto assume un σ illustrativo noto.^[8]

Legga attentamente la riga delle quattrocento operazioni. La significatività mette in relazione entità dell'effetto, relativo errore e livello scelto; il solo numero di operazioni non la determina. Con semiampiezza ±0,15 R, una stima di +0,10 R dà un intervallo da −0,05 R a +0,25 R, che include zero: dopo quattrocento operazioni, un risultato simile non può essere distinto dall'assenza di vantaggio. Perché un valore atteso intorno a +0,10 R escluda zero con σ = 1,5 R servono n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 osservazioni. Per +0,40 R, la stessa tabella appare del tutto diversa: ne bastano cento.

La risposta a «quante operazioni» è quindi: dipende da quanto è grande l'effetto che vuole distinguere da zero e da quanto sono dispersi i Suoi risultati. Qualsiasi soglia citata senza quei due numeri, che sia cento, duecento o cinquecento, è una consuetudine anziché il risultato di un calcolo.

10. Cosa non dice questo calcolo

Una formula usata fuori dal proprio ambito

Inserire il tasso di successo in una formula 1:1 quando il rapporto è 1:3 dà un risultato privo di senso: con un tasso di successo del 35 %, il vantaggio è 2 × 0,35 − 1 = −0,30 e la conclusione è «rovina certa», mentre il valore atteso di tale insieme è 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40 R. La formula rimane corretta; è stata applicata a una scommessa che non descrive. L'applicabilità fa parte di una formula quanto il suo lato destro.

Valore atteso inserito nella versione lorda

Il costo di esecuzione influisce su ogni operazione, comprese quelle perdenti, quindi riduce il valore atteso esattamente del suo importo: la sezione 8 usa 0,19 R, ossia il 35,2 % del valore lordo. Il rischio di rovina calcolato sul valore lordo è una stima inferiore.

L'ipotesi che i risultati siano indipendenti

Campionare singoli risultati con reinserimento assume indipendenza tra operazioni consecutive. Modelli di volatilità condizionale come l'ARCH di Engle descrivono la dipendenza della varianza; l'articolo del 1982 studiava l'inflazione britannica.^[4] Non implica che i risultati di una specifica regola valutaria debbano concentrarsi in serie perdenti. Se tale concentrazione esiste, il campionamento individuale la elimina. Con dipendenza alternante, può invece generare serie più lunghe del meccanismo reale. Verifichi la direzione sui risultati della stessa regola.

Lo stesso tasso di successo, due diversi meccanismi delle serie

A titolo illustrativo, sia q=0,4 la frequenza delle perdite nel lungo periodo. Nel modello indipendente, la probabilità di due perdite in un blocco specificato è 0,4²=0,16. In un modello stazionario con P(perdita dopo perdita)=0,6 e P(perdita dopo guadagno)=0,2667 è circa 0,4×0,6=0,24. Con transizioni di 0,2 e 0,5333 scende a 0,4×0,2=0,08, sebbene il tasso di successo rimanga 60 %. Mantenere la stessa media e frequenza non determina la lunghezza delle serie. Questo contrasta l'affermazione che ogni dipendenza peggiori il risultato di una simulazione indipendente.

Una distribuzione costruita da ciò che è già avvenuto

Campionare i propri dati riproduce solo i risultati che contengono. I limiti dei modelli normali sono discussi anche nella lettura supplementare^[2]. Non attribuiamo a quel libro la misurazione delle code di una particolare serie né assumiamo qui una singola distribuzione delle variazioni del cambio. Uno scenario separato può contenere una perdita molte volte maggiore di quella prevista; se il campione non contiene un'osservazione simile, la simulazione non la genererà mai, neppure con un milione di traiettorie. Campionare questo insieme di dati non può riprodurre un episodio di perdita estrema assente. Ciò non implica una direzione universale dell'errore per ogni quantile; integri quindi il risultato con uno scenario esplicito che manchi nel campione. Un'integrazione pratica è un calcolo condizionale separato: un risultato assumendo che un'operazione su duecento termini a −5 R e un altro assumendo che una su cinquecento termini a −10 R. Quel calcolo dice solo quanto capitale sottrae uno di tali eventi.

L'ipotesi che i parametri siano stabili

Il tasso di successo e il rapporto rendimento/rischio inseriti nella formula provengono dal passato e portano l'errore di stima discusso nella sezione 9. Il modello li tratta come costanti. Se cambiano nel tempo, ricalcoli anche varianti usando diversi sottoperiodi esplicitamente selezionati e dichiari il criterio di selezione. Un sottoperiodo con media inferiore o serie perdenti più lunghe può peggiorare un risultato specifico, ma i parametri non devono necessariamente muoversi insieme. È un'analisi di sensibilità, non una prova che la peggiore finestra storica preveda meglio il futuro. Valutare se un insieme di regole funziona ancora appartiene alla sezione 8; questo articolo calcola soltanto le conseguenze di parametri specificati.

La traiettoria media non è il primo tempo di recupero

Le colonne A e B della sezione 1 mostrano quando una traiettoria deterministica del capitale medio raggiunge il vecchio massimo: rispettivamente con un importo fisso e un moltiplicatore di 1+0,004. Non sono né la media né la mediana del primo tempo di recupero di un singolo conto. Quel tempo dipende dall'intera distribuzione e dalla traiettoria; alcune traiettorie potrebbero non recuperare entro l'orizzonte. Nella simulazione registri separatamente il primo tempo di recupero e riporti la quota di traiettorie senza recupero anziché escluderle dal tempo medio.

11. Esercizio di autoverifica

I dati sono diversi da tutti quelli usati sopra. Risolva da solo prima di guardare la soluzione.

Soluzione.

Punto 1. Drawdown dal massimo: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, che dà −35%. Rendimento richiesto: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, che dà +53,8%. In PLN: mancano 8.400 PLN, calcolati su 15.600 PLN, che danno 8 400 / 15 600 = 53,8%; la concordanza tra i metodi verifica l'aritmetica. È l'aumento di capitale necessario dal minimo al massimo. Se entrambi gli stati sono al netto dei costi, deve guadagnare 8.400 PLN netti; non aggiunga di nuovo il costo al rapporto stesso. La formula non dice né quanti risultati lordi né quanto tempo siano necessari per quell'aumento.

Punto 2. Modello: rovina del giocatore, rapporto 1:1, importo fisso di rischio, orizzonte infinito. Rapporto: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N si conta dal valore netto corrente del conto alla soglia di rovina perché una parte della distanza è già stata percorsa. Soglia: 24.000 × (1 − 0,40) = PLN 14.400. Importo di rischio: 1,5% × 24.000 = PLN 360 (fisso, dal capitale iniziale). Distanza: 15.600 − 14.400 = PLN 1.200.

• Rischio dell'1,5 %: N=⌈1200/360⌉=4. Primo stato raggiungibile alla soglia o al di sotto: 14.160 PLN; (0,46/0,54)^4=0,526570, che dà 52,66%.
• Rischio del 3 %: R=720 PLN, N=⌈1200/720⌉=2; (0,46/0,54)^2=0,725652, che dà 72,57%. Raddoppiare l'importo di rischio aumenta il risultato di 19,91 punti percentuali, circa 1,38 volte.
• All'inizio, con R=360 PLN, la distanza è 9.600 PLN, quindi N=⌈9600/360⌉=27 e il risultato è 1,32%. Raggiungere 15.600 PLN ha aumentato di circa quaranta volte il rischio condizionato dallo stato corrente. L'esponente funziona allo stesso modo a ogni N; è cambiata la distanza dalla barriera.

Punto 3. Il risultato assume risultati di ±R, importo fisso di rischio, tasso di successo costante p=0,54, indipendenza, costi nulli e orizzonte infinito. La deviazione standard teorica di questa distribuzione è σ=√(1−0,08²)=0,9968 R, anziché 1,5 R. L'approssimazione normale dell'incertezza della media con 100 osservazioni ha una semiampiezza di circa 0,195 R; descrive l'incertezza di p, omessa nel risultato di rovina sopra. Un costo aggiuntivo non negativo peggiora la stessa traiettoria, mentre un orizzonte finito riduce le possibilità di rovina. Dipendenza e variazioni dei parametri possono agire in entrambe le direzioni. Per p≤0,5 in questo modello ±R, la probabilità di rovina su orizzonte infinito è 1, anche se il tempo medio di raggiungimento può essere infinito a p=0,5.

Il punto 4 non ha un'unica soluzione. Lo schema è lo stesso: la Sua soglia di rovina in valuta → la distanza dal capitale corrente → dividere per il Suo importo monetario fisso di rischio → arrotondare per eccesso alla barriera raggiungibile → N → ((1 − p)/p)N. Annoti il risultato insieme alla lista di ipotesi del punto 3: quella lista fa parte della risposta.

12. Cinque numeri che deve aver calcolato

Ognuno richiede di dichiarare base e ipotesi; soltanto così può essere confrontato con altro:

1. Valore atteso dopo il costo di esecuzione, in unità R e nella valuta del conto, indicando la composizione del costo. La definizione e la derivazione sono fornite dall'articolo 9.6.
2. Il rendimento richiesto per recuperare il Suo drawdown tipico e quello più profondo finora, dall'identità Z = DD/(1 − DD), calcolato dal minimo.
3. Rischio di rovina con il Suo rischio per operazione, indicando soglia di rovina, variante del modello e lista delle ipotesi. Senza questi tre elementi il numero non significa nulla.
4. La mediana e il 95º percentile del drawdown massimo da una simulazione con i Suoi risultati. Il secondo non è il caso peggiore; da solo non descrive la profondità del resto della distribuzione. I limiti del modello si stabiliscono separatamente.
5. La semiampiezza dell'intervallo di confidenza del Suo valore atteso al Suo numero di operazioni. La media rimane una stima anche quando l'intervallo esclude zero. Un intervallo che comprende zero mostra inoltre che, sotto tali ipotesi, il campione non distingue una media positiva da una nulla o negativa. L'incertezza dei parametri si trasmette ai calcoli che dipendono dalla distribuzione dei risultati; il rendimento necessario per recuperare un calo specificato è esso stesso un'identità aritmetica.

Tutti e cinque descrivono conseguenze di parametri forniti da Lei. Nessuno stabilisce se il Suo insieme di regole possiede un vantaggio (la domanda appartiene alla sezione 8), e nessuno rende redditizio un insieme con valore atteso negativo.

L'articolo successivo (9.3) inverte la direzione del calcolo: anziché calcolare il rischio di rovina per una percentuale data, deriva la percentuale ammissibile da un drawdown dato e da una lunghezza ipotizzata della serie perdente.

Più percorsi non sostituiscono un campione più grande

La simulazione ha due errori. Il primo nasce dall'estrazione di M traiettorie a parametri fissi; il secondo dalla stima di quei parametri usando n risultati reali. M=100.000 con n=20 può riprodurre con grande precisione una distribuzione incerta di venti osservazioni. Per separarli, calcoli diversi scenari di ingresso e ripeta le estrazioni con seed differenti dentro ciascuno. Non descriva le variazioni tra scenari come errore Monte Carlo.