Matematika kerugian: asimetri pemulihan dan risiko kebangkrutan

Setelah drawdown 10%, pemulihan ke puncak sebelumnya memerlukan imbal hasil 11,1%; setelah 50%, diperlukan 100%, dan setelah 90%, 900%. Nilai ini mengikuti satu identitas aritmetika dan tidak memerlukan data pasar. Status berbeda berlaku bagi risiko kebangkrutan: ini keluaran model berdasarkan distribusi tertentu dan parameter yang diestimasi dari sampel. Pelajaran ini menurunkan tabel pemulihan, memeriksa asumsi rumus kebangkrutan, dan membandingkan lintasan modal dengan aturan ukuran posisi berbeda. Selanjutnya diperhitungkan biaya, urutan hasil, dan ketidakpastian estimasi. Dengan demikian, setiap angka dapat disertai dasar perhitungan serta syarat penggunaannya.

Tiga parameter masukan digunakan dalam semua perhitungan berikutnya. Artikel ini tidak menurunkan satu pun; itu tugas artikel 9.6. Di sini ketiganya hanya menjadi angka yang Anda berikan.

• Tingkat kemenangan (p): masuk ke rumus pada bagian 3 dan simulasi; nilai ilustratif di bawah adalah 55%.
• Rasio imbal hasil terhadap risiko (RR): menentukan besarnya kemenangan relatif terhadap kekalahan dalam distribusi yang diambil sampelnya oleh simulasi. Ilustrasinya 1:1,5, tetapi pada bagian 3 dan 11 sengaja digunakan 1:1 karena hanya rasio itu yang memenuhi rumus kebangkrutan penjudi.
• Nilai ekspektasi: rata-rata yang dihasilkan distribusi hasil yang ditentukan; ini sendiri tidak menentukan risiko kebangkrutan. Nilai ilustratifnya +0,54 R bruto dan +0,35 R setelah biaya eksekusi (bagian 8).

1. Penurunan dan tabel pemulihan lengkap – dari −5% hingga −90%

Modal setelah drawdown sebesar fraksi DD yang diukur dari puncak adalah K × (1 − DD). Untuk kembali ke K, jumlah yang telah berkurang itu harus bertambah sebesar selisih yang hilang K × DD, sedangkan imbal hasil dihitung dari sisa setelah kerugian:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K saling menghapus sehingga hasil tidak bergantung pada ukuran akun, instrumen, ataupun kumpulan aturan. Ini identitas aritmetika: benar berdasarkan definisi, tanpa data apa pun. Hal lain dalam artikel ini tidak memiliki status tersebut: risiko kebangkrutan dan simulasi merupakan keluaran model.

Dengan memasukkan −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, menghasilkan +100%. Untuk −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, menghasilkan +25%. Artikel 9.1 memberikan tabel ringkas; versi lengkap berikut memiliki dua kolom yang menunjukkan jumlah transaksi pada nilai ekspektasi tertentu yang diperlukan untuk memperoleh imbal hasil tersebut. Masing-masing dari tiga kolom numerik menggunakan dasar berbeda; jangan mencampurkannya.

Ketiga kolom menggunakan dasar berbeda; penjelasannya diperlukan agar tabel tidak menyesatkan pembaca. Drawdown diukur dari puncak lintasan modal. Imbal hasil pemulihan dihitung dari titik terendah– modal setelah kerugian – sehingga −50% memerlukan +100%, bukan +50%. Kedua kolom jumlah transaksi mengasumsikan nilai ekspektasi +0,4% per transaksi, tetapi menggunakan dasar berbeda.
A) Jumlah risiko tetap: setiap transaksi menyumbang rata-rata +0,4% dari modal awal (PLN 40 tetap jika dimulai dengan PLN 10.000), tanpa bergantung pada nilai akun saat ini. Rumus: N = DD / 0,004. Kerugian sudah tercakup dalam rata-rata ini: ekspektasi jumlah N hasil adalah N × 0,004 × K0 dan tepat sama dengan jumlah yang hilang DD × K0 ketika N = DD / 0,004, tanpa memandang jumlah transaksi merugi dalam urutan itu. Ini menggunakan linearitas ekspektasi penjumlahan, bukan mengharuskan setiap transaksi menghasilkan tepat sebesar rata-rata. N menunjukkan kapan rata-rata penjumlahan sama dengan jumlah yang hilang. Ini bukan rata-rata ataupun median waktu pertama pulih; diperlukan model pencapaian batas tersendiri. Besarannya bruto: biaya transaksi tidak dimasukkan. Jika biaya nonnegatif mengurangi rata-rata yang sama tetapi tetap positif, kesetaraan rata-rata penjumlahan terjadi lebih lambat. Ini tidak menyiratkan estimasi bawah waktu pemulihan pertama yang bersifat acak.
B) Persentase modal tetap: nilai ekspektasi sama, tetapi dihitung dari ekuitas saat ini yang lebih kecil setelah drawdown. Rumus: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Lebih lama daripada kolom A karena setiap keuntungan menggunakan dasar lebih kecil.
Kedua kolom memberikan jumlah transaksi. Konversinya menjadi waktu memerlukan frekuensi trading Anda; lihat contoh berikut.

Konversi menjadi waktu untuk kolom B pada dua frekuensi. Tabel menggunakan nilai ilustratif dan mengasumsikan rata-rata +0,4% per transaksi berlaku selama seluruh pemulihan, sesuatu yang tidak dijamin. Kolom transaksi mempertahankan nilai tepat rumus kolom B sebelum pembulatan sehingga jumlah bulan dapat langsung direproduksi: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

Fungsi Z = DD/(1 − DD) meningkat dan cembung di seluruh domain dari 0 hingga 1; tidak ada ambang tempat “sesuatu berubah”. Peningkatannya berkelanjutan: antara −5% dan −20%, imbal hasil yang diperlukan naik dari +5,3% menjadi +25%; antara −20% dan −50%, dari +25% menjadi +100%; di atas −50%, dari +100% menjadi +900%. Ambang pengurangan atau penghentian trading adalah keputusan yang ditulis sebelumnya; rumus tidak menyarankan nilainya. Asal ambang tersebut dan cara menulis kondisi melanjutkan ditetapkan dalam artikel 9.8.

Satu konsekuensi melampaui waktu pemulihan: drawdown mengurangi modal saat ini, dan modal saat ini itulah yang dibandingkan dengan ambang penutupan paksa, dihitung untuk seluruh posisi terbuka dalam akun. Definisi dan mekanisme besaran itu termasuk bagian 2, sedangkan dampak gap terhadap harga eksekusi termasuk artikel 9.10.

Setoran tidak memulihkan kerugian trading

Contoh ilustratif: akun turun dari PLN 10.000 menjadi 8.000, lalu pemilik menyetorkan PLN 2.000. Saldo kembali menjadi PLN 10.000, tetapi imbal hasil trading tetap −20%. Demikian pula, penarikan setelah keuntungan bukan drawdown yang disebabkan trading. Sebelum menggunakan DD/(1−DD), tentukan apakah yang diukur kinerja investasi tanpa arus kas eksternal atau sekadar dana tersedia dalam akun. Yang terakhir penting bagi kemampuan melanjutkan trading; yang pertama bagi pemulihan kinerja.

2. Pemulihan dengan persentase modal tetap

Dengan persentase tetap ekuitas saat ini, yaitu 1% per transaksi, jumlah risiko menurun bersama akun. Dasarnya ekuitas saat ini yang diukur sebelum membuka posisi. 1% dari PLN 10.000 adalah PLN 100; setelah kerugian, 1% dari PLN 8.500 adalah PLN 85. Aturan sama memberikan jumlah berbeda karena dasarnya berubah.

Ini berlaku dua arah. Kerugian berikutnya mengambil PLN lebih sedikit, tetapi kemenangan berikutnya juga memberikan lebih sedikit karena keduanya menggunakan dasar yang mengecil. Nilai ilustratif, akun dalam PLN, nilai ekspektasi +0,4 R per transaksi:

Proporsi ini tepat dan langsung mengikuti definisi: jumlah keuntungan menyusut dengan laju yang sama seperti modal. Itulah sebabnya kolom B pada tabel bagian 1 lebih besar daripada kolom A: pada drawdown −50%, diperlukan 174 transaksi, bukan 125, yaitu 39% lebih banyak. Kedua kolom menghitung persentase sama, hanya dasarnya berbeda; seluruh selisih berasal dari itu.

Tidak satu pun dari kedua aturan ini lebih baik daripada yang lain karena menjawab pertanyaan berbeda dan memiliki konsekuensi berbeda bagi ukuran posisi, yang ditetapkan dalam artikel 9.5. Pilihan dasar mengubah jumlah transaksi pemulihan, sehingga menyebut “jumlah yang harus dipulihkan” tanpa dasar merupakan keterangan tidak lengkap.

3. Risiko kebangkrutan – rumus, asumsi, dan tabel yang dihitung ulang

Risiko kebangkrutan adalah probabilitas modal mencapai ambang bawah tertentu. Di seluruh bagian ini, kebangkrutan berarti turun ke 50% dari modal awal atau lebih rendah. Tidak ada target atas yang harus didahului oleh pencapaian ambang; model memperbolehkan trading tanpa batas waktu. Mengubah ambang atau horizon mengubah pertanyaan dan hasil.

Variasi model dan rumus

Perhitungan berikut merupakan model klasik kebangkrutan penjudi^[1] dalam versi dua hasil: setiap transaksi berakhir dengan keuntungan atau kerugian sama besar, yaitu rasio imbal hasil terhadap risiko 1:1, jumlah uang yang dirisikokan tetap, tingkat kemenangan p konstan, hasil berurutan independen, dan horizon tanpa batas.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p – tingkat kemenangan sebagai fraksi; edge = 2p − 1 (tingkat kemenangan 55% memberi edge 0,10). Kedua bentuk rumus sama: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N – jumlah unit risiko yang memisahkan modal saat ini dari ambang kebangkrutan. Pada awal, dengan risiko 2% dari modal awal dan ambang −50%: N = 50% / 2% = 25. Setelah drawdown, jarak diukur dari keadaan akun saat ini; contohnya ada dalam latihan (bagian 11).
• Hasilnya tidak berdimensi: tidak bergantung pada mata uang akun atau ukuran modal karena semua informasi tentang modal berada dalam N.

Model memerlukan jumlah risiko uang tetap. Pada persentase tetap modal saat ini, jumlah menyusut bersama akun sehingga tidak ada N dari rumus ini yang menggambarkan lintasan tersebut; diperlukan simulasi (bagian 6).

Ambang mana yang sebenarnya dapat dicapai modal?

Rumus berikut berlaku untuk p > 0,5; untuk p ≤ 0,5 probabilitas kebangkrutan pada horizon tanpa batas adalah 1, termasuk ketika rata-rata nol. Jika jarak saat ini ke ambang bukan kelipatan bulat jumlah tetap R, gunakan N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉, dengan pembulatan ke atas. Modal bergerak pada kisi berjarak R dan tidak berhenti di antara titiknya. Ini berlaku untuk model ±R dan kondisi “ambang atau lebih rendah”; untuk hasil yang bervariasi, rekonstruksi kisinya atau simulasikan lintasan.^[1]

Contoh ilustratif: K = PLN 10.000, ambang PLN 9.050, R = PLN 300. Jarak PLN 950 memberikan N = 4 dan keadaan bawah yang dapat dicapai PLN 8.800. Membulatkan menjadi N = 3 akan menghitung kebangkrutan pada ambang berbeda: PLN 9.100, yang masih di atas batas yang ditentukan.

Tabel – setiap sel dapat direproduksi dari rumus di atas

Cara mereproduksi setiap sel. Tingkat kemenangan 52%, risiko 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, yaitu 13,52%. Tingkat kemenangan 58%, risiko 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, yaitu 19,91%. Asumsi agar tabel ini berlaku: kebangkrutan didefinisikan sebagai penurunan ke 50% modal awal; rasio imbal hasil terhadap risiko 1:1; jumlah risiko uang tetap; tingkat kemenangan konstan; hasil independen; biaya eksekusi nol; horizon tanpa batas.

Empat pembacaan tabel, yang masing-masing bukan rekomendasi tersendiri:

• Pada tingkat kemenangan 55% dan risiko 1%, risiko kebangkrutan model adalah 0,0044%. Ini terlihat aman di atas kertas, tetapi hanya karena model mengasumsikan rasio 1:1, tingkat kemenangan konstan, tanpa biaya, dan transaksi independen. Ini asumsi model, bukan sifat yang terbukti untuk setiap deret aktual. Biaya nonnegatif tambahan memperburuk hasil pada lintasan yang sama, dan pengelompokan kerugian aktual dapat meningkatkan risiko; galat estimasi tingkat kemenangan dan rasio selain 1:1 dapat menggesernya ke kedua arah sehingga arahnya harus diperiksa setiap kali.
• Tingkat kemenangan 55% yang sama pada risiko 5% menghasilkan 13,44%. Risiko per transaksi lima kali lebih besar meningkatkan probabilitas kebangkrutan model lebih dari tiga ribu kali karena N berada pada pangkat.
• Tingkat kemenangan 52% pada risiko 2% menghasilkan 13,52%. Ekspektasi positif dan risiko kebangkrutan sekitar satu dari tujuh dapat hadir bersamaan: keduanya besaran berbeda yang dihitung dari parameter sama.
• Hubungannya memiliki arah yang benar pada keduanya: risiko kebangkrutan naik ketika risiko per transaksi meningkat dan turun ketika tingkat kemenangan meningkat. Sel yang membalik arah ini merupakan kesalahan tabel atau rumus.

Perhitungan dua tingkat risiko dengan semua parameter lain tetap

Parameter bersama, nilai ilustratif: tingkat kemenangan 55%, rasio imbal hasil terhadap risiko 1:1, ambang kebangkrutan −50% modal awal, risiko dihitung sebagai persentase modal awal dan dibekukan menjadi jumlah uang tetap.

• Risiko 1% per transaksi. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Melalui logaritma: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, sehingga Pruin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Risiko 2% per transaksi. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, sehingga Pruin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• Selisihnya: penggandaan risiko per transaksi meningkatkan risiko kebangkrutan model 151 kali pada tingkat kemenangan dan rasio imbal hasil terhadap risiko yang tetap. Ekspektasi dalam unit R sama sekali tidak berubah.

Cakupan perhitungan. Hasil ±R dan jumlah risiko tetap diperlukan untuk rumus ini. Pada persentase tetap ekuitas saat ini dengan pengali positif, akun tidak dapat mencapai nol dalam jumlah langkah berhingga, tetapi dapat melewati ambang kebangkrutan positif. Tingkat kemenangan konstan dan independensi adalah asumsi, bukan pernyataan tentang pasar. Biaya nonnegatif yang dipotong pada lintasan sama dengan R yang sama tidak dapat memperbaiki modal. Horizon berhingga membatasi waktu kebangkrutan yang mungkin sehingga probabilitasnya tidak dapat melebihi probabilitas horizon tanpa batas. Namun ketergantungan, galat tingkat kemenangan, dan perubahan hasil dapat bekerja ke kedua arah; rumus sendiri tidak menentukannya.

Memeriksa rumus tanpa pengambilan acak. Solusi memenuhi hubungan rekursif h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1), kondisi batas h(0)=1 dan limit h(i)→0 untuk p>0,5: substitusi h(i)=((1−p)/p)^i membuat sisi kanan tepat sama dengan sisi kiri. Untuk p≤0,5, solusi probabilitas pada horizon tanpa batas adalah 1. Tabel memberikan probabilitas model ini.

4. Risiko kebangkrutan pada rasio selain 1:1

Rumus bagian 3 menggambarkan taruhan dengan jumlah keuntungan dan kerugian sama. Kumpulan aturan dengan tingkat kemenangan 38% dan rasio 1:3 tidak memenuhi syarat itu; memasukkan tingkat kemenangannya ke rumus 1:1 menghasilkan edge 2 × 0,38 − 1 = −0,24 dan kesimpulan “kebangkrutan pasti”, padahal nilai ekspektasi kumpulan ini adalah 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52 R. Rumusnya tidak salah, tetapi diterapkan di luar cakupan yang memberinya makna.

Hasil tidak sama besar: hitung probabilitas transisi

Fraksi Kelly tidak menggantikan edge dalam rumus kebangkrutan. Besaran yang dioptimalkan berbeda sehingga simbol mirip tidak membenarkan substitusi tersebut. Dengan jumlah risiko tetap dan hasil +aR serta −bR, hubungan rekursif tepat dapat dibangun. Misalkan H_t(x) menyatakan probabilitas melewati ambang bawah dalam paling banyak t langkah berikutnya dari jarak x di atasnya. Maka H_0(x)=0 untuk x>0, H_t(x)=1 untuk x≤0, dan untuk x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

Ini berasal dari pemisahan transaksi pertama menjadi kemenangan dan kekalahan, seperti model klasik bagian 3.^[1] Nilai t harus ditentukan. Untuk hasil rasional pada kisi bersama, jumlah langkah berhingga menghasilkan keadaan berhingga sehingga tidak diperlukan tebakan rumus atau pemotongan batas atas modal. Biaya tetap dapat dikurangi dari kedua hasil dengan prosedur sama.

Periksa sensitivitas terhadap galat parameter bersama menggunakan ambang, horizon, dan aturan jumlah risiko yang sama. Memburukkan pasangan ilustratif dari p=55%, RR=1,5 menjadi p=52%, RR=1,2 memerlukan dua perhitungan H terpisah. Kriteria Kelly dan sensitivitas fraksinya memiliki perhitungan tersendiri dalam 9.5; keduanya tidak mengaproksimasi probabilitas kebangkrutan.

Simulasi memberikan jawaban lebih andal. Tabel berikut berasal dari simulasi yang dilakukan untuk artikel ini: 40.000 lintasan dengan maksimal 500 transaksi, generator NumPy PCG64 dengan seed 20261005, hasil dua kemungkinan dengan tingkat kemenangan dan rasio tertentu, persentase tetap ekuitas saat ini, kebangkrutan didefinisikan sebagai turun ke 50% modal awal yang menghentikan lintasan, dan biaya eksekusi nol. Semua nilai bersifat ilustratif. Parameter p dan RR diberikan sebagai masukan; tidak satu pun menggambarkan pasar.

Simulasi kami: 40.000 lintasan dengan maksimal 500 transaksi, persentase tetap ekuitas saat ini, ambang kebangkrutan −50% modal awal, tanpa biaya eksekusi, hasil independen, dan distribusi dua titik (kemenangan +RR, kekalahan −1 R). Lintasan berakhir saat pertama turun ke ambang kebangkrutan atau setelah 500 transaksi; persentil drawdown maksimum mencakup lintasan yang dihentikan. Persentil ke-95 drawdown maksimum bukan skenario terburuk– kuantil sendiri tidak membatasi kedalaman sekitar 5% lintasan sisanya. Batas suatu model berasal secara terpisah dari hasil, horizon, dan aturan penghentiannya. Nilai ekspektasi kolom kedua bersifat bruto; bagian 8 memberikan versi setelah biaya eksekusi. Pada distribusi selain dua titik, nilai p dan RR yang sama menghasilkan drawdown berbeda.

Tabel memisahkan dua pertanyaan. Kebangkrutan berarti turun di bawah separuh modal awal, sedangkan drawdown maksimum menggunakan modal tertinggi sebelumnya. Jadi drawdown dapat melampaui 50% dari puncak baru tanpa mencapai ambang kebangkrutan. Jumlah kebangkrutan kecil pada 1% dan 2% hanya berlaku bagi empat distribusi dan 500 langkah ini, bukan bukti peristiwanya tidak mungkin dicapai. Pada 5%, distribusi drawdown dan jumlah pencapaian batas sama-sama berubah tajam; rata-rata lebih tinggi saja tidak mengurutkan hasil ini.

Tidak ada kebangkrutan dalam simulasi tetap menyisakan ketidakpastian

Jika M lintasan independen tidak memuat kebangkrutan, catat 0/M. Batas atas probabilitas satu sisi 95% dalam model tetap ini berasal dari (1−u)^M=0,05: u=1−0,05^(1/M). Untuk M=40.000, nilainya sekitar 0,00749%; untuk 30.000, 0,00999%. Batas ini menggambarkan galat pengambilan sampel simulasi. Batas tidak mencakup tingkat kemenangan yang keliru, kerugian ekstrem yang tidak tercakup, atau model ketergantungan yang tidak tepat.

Probabilitas menemukan k kerugian berturut-turut dalam N transaksi adalah pertanyaan terpisah dengan jawaban berbeda dari (1 − p)k; perhitungannya untuk tingkat kemenangan dan panjang urutan tertentu ada dalam Artikel 9.1, bagian 4; Artikel 9.3 menggunakan asumsi panjang rentetan sebagai masukan untuk menurunkan batas risiko.

5. Urutan hasil – kumpulan sama, dua lintasan

Bagian 8 meninggalkan janji yang dibahas di sini: urutan hasil penting bagi lintasan meskipun tidak bagi titik akhir. Kalimat itu dapat diperiksa melalui aritmetika sepuluh angka.

Kedua lintasan memiliki hasil identik: empat kemenangan (+2 R, +2 R, +1,5 R, +1,5 R) dan enam kerugian −1 R, berjumlah +1 R dalam sepuluh transaksi dengan rata-rata +0,10 R. Aturan ukuran posisi: persentase tetap ekuitas saat ini, 1% per transaksi. Modal awal 100 unit; hasil tidak berdimensi sehingga jumlah unit tidak penting. Batas yang ditentukan sebelumnya: drawdown −5% dari puncak.

Drawdown diukur dari puncak lintasan ekuitas setelah setiap transaksi. Modal setelah transaksi: K × (1 + 0,01 × R). Tabel dibulatkan ke tiga angka desimal; perhitungan dilakukan tanpa pembulatan antara.

Titik akhir identik hingga angka desimal: 100,912 pada kedua lintasan, yaitu +0,912%. Kesamaan ini semata-mata disebabkan aritmetika. Modal akhir pada persentase tetap merupakan perkalian K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), dan perkalian komutatif: urutan faktor tidak mengubah hasil. Pada jumlah risiko uang tetap berlaku hal sama, tetapi melalui sifat komutatif penjumlahan.

Semua hal lain berbeda. Drawdown maksimum adalah 3,94% pada lintasan A dan 5,85% pada lintasan B, yaitu satu setengah kali pada sepuluh hasil yang sama. Batas −5% terlampaui pada transaksi keenam di lintasan B, tetapi tidak sekali pun di A. Jika batas memicu penghentian trading, dari kumpulan hasil yang sama satu lintasan berakhir pada transaksi kesepuluh dengan +0,912%, sedangkan lainnya dipotong pada keenam dengan −5,85%, dan empat keuntungan dalam kumpulan itu tidak pernah direalisasikan.

Kesimpulan praktis memiliki dua lapis. Rata-rata aritmetika sampel tidak menggambarkan urutan hasil. Dua urutan atas kumpulan sama memberikan modal akhir identik di sini, tetapi drawdown dapat sama sekali berbeda. Jadi drawdown satu urutan historis adalah satu realisasi dari keluarga lintasan yang mungkin; pengacakan urutan membantu menelaah keluarga itu, pokok bagian berikutnya.

6. Simulasi distribusi hasil – apa yang diambil sampelnya dan apa yang tidak dijelaskan hasil

Pengujian historis menunjukkan satu urutan, yaitu yang terjadi. Simulasi Monte Carlo membangun distribusi lintasan yang mungkin dari bahan sama; dua operasi yang sering disebut dengan satu kata harus dipisahkan. Permutasi mengurutkan ulang hasil yang persis sama: komposisi dan nilai akhir tetap, hanya lintasan berubah. Ini pengujian murni risiko urutan yang dilakukan secara manual pada bagian 5. Pengambilan sampel dengan pengembalian memperlakukan sampel sebagai distribusi untuk mengambil daftar baru: sebagian pengamatan tidak terpilih dan lainnya berulang, sehingga komposisi dan nilai akhir setiap lintasan ikut berubah. Bagian 7 menggunakan pengambilan sampel dengan pengembalian.

Yang diambil sampelnya: satu hasil transaksi dalam unit R, dari distribusi empiris yang dibangun dari catatan Anda dengan pengembalian, atau distribusi dua titik yang ditentukan oleh tingkat kemenangan dan rasio imbal hasil terhadap risiko. Asumsi independensi: setiap pengambilan independen dari sebelumnya; periksa secara terpisah pada deret hasil suatu aturan tertentu. Jumlah pengulangan: lebih banyak pengulangan menghasilkan persentil lebih stabil; artikel menggunakan 40.000 pada bagian 4 dan 30.000 pada bagian 8, selalu dilaporkan di samping hasil. Grafik berikut menunjukkan tiga kuantil pada setiap titik waktu dari pendekatan lognormal eksplisit, bukan delapan lintasan yang diambil secara acak.

Empat besaran dibaca dari distribusi:

• Median drawdown maksimum: drawdown yang dilampaui separuh lintasan. Ini bukan ramalan atau batas.
• Persentil ke-95 drawdown maksimum. Ini bukan skenario terburuk. Sekitar 5% lintasan model memiliki drawdown lebih dalam. Kuantil sendiri tidak membatasi lintasan tersisa; batas model tertentu adalah perkara terpisah. Peristiwa gap harga dibahas dalam Artikel 9.10.
• Risiko kebangkrutan: bagian lintasan ketika modal turun ke ambang tertentu. Besaran bergantung pada ambang; tanpa penyebutan ambang, tidak bermakna.
• Rentang hasil akhir, yaitu interval yang memuat bagian lintasan tertentu pada parameter tetap. Ini tidak menjawab besarnya keuntungan yang akan diperoleh.

Dalam penjumlahan hasil independen dengan varians konstan berhingga, simpangan baku meningkat seiring akar kuadrat jumlah transaksi, sedangkan ekspektasi penjumlahan meningkat linear. Ini bukan aturan universal untuk setiap rentang distribusi atau modal pada risiko persentase tetap. Memperpanjang lintasan yang sama tidak dapat mengurangi drawdown maksimum tercatat, meskipun tidak harus memperdalamnya. Pengetahuan parameter adalah persoalan terpisah: sampel independen yang lebih panjang mempersempit galat estimasi rata-rata sesuai 1/√n (bagian 9), dan kedua arah ini tidak bertentangan karena menjawab pertanyaan berbeda.

Dua angka yang mudah tertukar harus dipisahkan karena keduanya “jumlah transaksi”. Panjang satu lintasan dalam simulasi merupakan pilihan horizon: 500 transaksi menanyakan “apa yang dapat terjadi selama 500 transaksi”. Ukuran sampel Anda sendiri adalah jumlah transaksi pembentuk distribusi masukan, dan hanya itulah yang menentukan ketepatan pengetahuan parameter. Mengambil 500 hasil dari kumpulan seratus tidak menciptakan informasi baru: interval kepercayaan ekspektasi tetap mengikuti seratus pengamatan (bagian 9).

Dua rata-rata tidak merekonstruksi varians

Jika p adalah frekuensi kemenangan, rata-rata kelompok W dan −L, serta variansnya v_w dan v_l, maka Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². Distribusi dua titik hanya mempertahankan suku terakhir. Dengan p=0,5 dan W=L=1 R, variansnya 1 R². Jika separuh kemenangan +0,2 R dan separuh +1,8 R, dengan kerugian negatif yang sepadan, rata-rata kelompok tetap ±1 R tetapi varians menjadi 1,64 R². Varians lebih besar tetap tidak menyiratkan bahwa setiap kuantil drawdown atau probabilitas kebangkrutan pada setiap batas pasti meningkat.

7. Simulasi langkah demi langkah

Menjalankan simulasi hanya memerlukan daftar hasil Anda sendiri dalam unit R dan alat pengambilan acak. Lembar kerja cukup untuk beberapa ratus lintasan; setelah itu skrip singkat lebih praktis.

a) Masukan

Simulasi hanya sebaik daftar masukannya. Setiap transaksi yang ditutup memerlukan satu hasil dalam unit R, dihitung setelah biaya: R = (hasil dalam mata uang akun setelah komisi, poin swap, dan slippage) / (jumlah risiko yang direncanakan saat masuk). Penyebutnya adalah risiko yang direncanakan, bukan yang terealisasi, sehingga kerugian dengan slippage lebih buruk daripada −1,00 R dan muncul dalam distribusi. Hasil positif adalah keuntungan bersih dalam unit sama.

b) Prosedur

1. Buat daftar hasil dalam unit R dari catatan Anda sendiri, satu per transaksi yang ditutup.
2. Ambil sampel dengan pengembalian. Tetapkan panjang satu lintasan sesuai horizon yang ditanyakan. Jika menanyakan distribusi drawdown pada sampel yang sudah dimiliki, tetapkan panjang sama dengan ukuran sampel Anda sendiri; interval kepercayaan parameter tidak menyempit hanya karena Anda melakukan lebih banyak pengambilan acak.
3. Hitung ulang modal setelah setiap transaksi yang terambil, sesuai aturan penentuan ukuran posisi Anda sendiri: untuk persentase tetap K ← K × (1 + r × R), sedangkan untuk jumlah uang tetap K ← K + jumlah × R.
4. Ulangi cukup banyak hingga persentil tidak lagi banyak berubah antarputaran, biasanya beberapa ribu hingga beberapa puluh ribu putaran.
5. Baca median dan persentil ke-95 drawdown maksimum, proporsi putaran yang menembus ambang kebangkrutan, serta sebaran hasil akhir. Catat semua asumsi bersama hasil tersebut; sebulan kemudian, asumsi itulah yang memungkinkan Anda merekonstruksi asal angka-angkanya.

c) Apa tepatnya yang dijelaskan masing-masing angka

Tabel tersebut sengaja tidak menetapkan ambang keberterimaan. «Risiko kebangkrutan di bawah 1%» merupakan pilihan, bukan hasil perhitungan, dan pilihan itu bergantung pada persentase modal yang sanggup Anda keluarkan dari penggunaan serta berapa lama Anda sanggup melakukannya. Pencatatan ambang tersebut bersama syarat penghentian dan dimulainya kembali perdagangan dibahas dalam artikel 9.8.

d) Skrip

Ganti larik hasil dengan nilai Anda sendiri dalam satuan R. Skrip bekerja dalam dua mode: menggunakan hasil yang sudah dihitung setelah biaya, atau menggunakan hasil bruto dengan biaya yang ditambahkan sebagai parameter acak.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Distribusi hasil diambil dengan pengembalian dari daftar hasil R Anda.

    ASUMSI yang digunakan kode ini tetapi tidak diuji:
      - hasil berurutan independen (asumsi yang perlu diperiksa);
      - parameter tetap konstan sepanjang horizon;
      - hasil mendatang memiliki distribusi yang sama dengan sampel.

    length=None -> panjang lintasan sama dengan ukuran sampel Anda.
       Lintasan lebih panjang menanyakan horizon berbeda;
       ini TIDAK mempersempit interval kepercayaan parameter.

    outcomes_already_net=True -> daftar sudah bersih; biaya tidak ditambahkan.
    outcomes_already_net=False -> kurangi biaya independen max(0, Normal(mu,sigma)).
       mu dan sigma menggambarkan distribusi normal SEBELUM pembatasan bawah,
       bukan rata-rata dan simpangan baku biaya setelah pembatasan bawah.
       Ketergantungan antara biaya dan hasil tidak dimodelkan.
       Jangan gunakan kedua pendekatan sekaligus: biaya akan dihitung dua kali.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # seed membuat pengambilan acak dapat direproduksi
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("Berikan daftar hasil berhingga yang tidak kosong")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("Risiko dan ambang harus berada dalam (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("Panjang dan jumlah pengulangan harus berupa bilangan bulat positif")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("Simpangan baku biaya tidak boleh negatif")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("Model memerlukan pengali modal positif")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # hasil tidak berdimensi
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("Hasil dengan biaya berada di luar domain model")
            capital *= multiplier     # persentase tetap ekuitas saat ini
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "risiko kebangkrutan": ruins / repetitions,
        "median drawdown maksimum": float(np.median(max_drawdowns)),
        "persentil ke-95 drawdown maksimum": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "panjang lintasan": length,
        "ukuran sampel": len(outcomes_R),
    }

# Nilai sintetis (contoh yang dapat dijalankan): ganti dengan hasil Anda
# dalam unit R, setelah biaya, satu per transaksi yang telah ditutup:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

Modal awal ditetapkan sebesar 1. Ambang kebangkrutan merupakan fraksi dari nilai itu, sedangkan drawdown maksimum diukur dari puncak berjalan; mata uang rekening tidak mengubah kedua rasio tersebut. Baris capital *= (1 + risk * outcome) merepresentasikan persentase tetap dari ekuitas berjalan; ganti perkalian dengan penjumlahan untuk jumlah risiko yang tetap. Biaya bawaan sebesar 0,06 R bersifat ilustratif dan dapat berkali-kali lebih tinggi jika jarak keluar protektif pendek; Bagian 8 menunjukkan cara memasukkannya ke dalam perhitungan. Daftar my_outcomes berisi dua puluh nilai semata-mata agar kode dapat dijalankan; nilai-nilai itu bukan pengukuran pasar maupun sampel yang memadai untuk menunjukkan kestabilan parameter. Biaya acak dalam kode independen terhadap hasil dan dibatasi minimum nol; parameternya menggambarkan distribusi normal sebelum pembatasan tersebut.

8. Biaya eksekusi sebagai parameter masukan

Ekspektasi merupakan besaran yang dimasukkan ke rumus risiko kebangkrutan dan simulasi. Jika yang dimasukkan adalah versi bruto, hasilnya juga bruto, dan perbedaannya bukan sekadar tampilan karena biaya membebani setiap transaksi secara terpisah, termasuk transaksi yang merugi. Artikel ini tidak menjelaskan asal komponen tersebut ataupun faktor yang memengaruhinya: hal itu dijelaskan dalam bagian 2, sedangkan kondisi eksekusi di broker dibahas dalam bagian 11–13. Di sini biaya merupakan satu angka masukan dan yang diperhatikan hanyalah pengaruhnya terhadap perhitungan.

Biaya dalam pip yang sama mengambil fraksi R yang lebih besar ketika titik keluar protektif lebih dekat ke titik masuk; ukuran posisi dan jarak keluar dibahas dalam Artikel 9.5. Di bawah ini, biaya dimasukkan sebagai angka yang sudah dihitung dalam satuan R.

Konversi: kumpulan parameter yang sama, secara bruto dan neto

Masukan ilustratif: posisi pada pasangan mata uang utama, jarak keluar protektif 50 pip, posisi ditahan selama empat malam, risiko yang direncanakan 1 R. Setiap komponen biaya dicantumkan secara terpisah:

• seluruh spread untuk transaksi pulang-pergi—selisih antara membeli saat masuk dan menjual saat keluar, yaitu 4 pip terhadap jarak 50 pip: −0,08 R. Perhitungkan spread tepat satu kali; membaginya menjadi «masuk» dan «keluar» dengan nilai penuh pada masing-masing sisi akan menghitung biaya yang sama dua kali
• asumsi slippage: −0,03 R
• poin swap selama empat malam: −0,08 R
• total: −0,19 R per transaksi, baik transaksi berakhir untung maupun rugi

Pengaruh pada satu transaksi: keuntungan bruto +1,80 R menghasilkan nilai neto +1,61 R, sedangkan kerugian bruto −1,00 R menghasilkan nilai neto −1,19 R. Biaya memengaruhi kedua hasil ke arah yang sama.

Pengaruh pada ekspektasi dengan tingkat kemenangan 55%:

• bruto: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540 R
• neto: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350 R
• selisih: −0,19 R, yakni penurunan sebesar 35,2% dari nilai harapan bruto—tepat sebesar biaya per transaksi, sebab biaya yang dibebankan pada setiap transaksi mengurangi nilai harapan sebesar seluruh nilainya.

Pengaruh pada distribusi hasil—simulasi kami, 30.000 lintasan dengan paling banyak 500 transaksi (dihentikan saat pertama kali mencapai ambang), persentase tetap dari ekuitas berjalan, ambang kebangkrutan −50%:

Kedua versi menggunakan tanda hasil acak yang sama: p=0,55, hasil bruto +1,8 R atau −1 R, biaya neto 0,19 R per langkah. Generator PCG64, seed 20261005; 30.000 lintasan independen dengan paling banyak 500 langkah, dihentikan saat modal≤0,5 dari modal awal, persentil MDD dari puncak berjalan dengan interpolasi linear. Median pada 1% meningkat dari 7,93% menjadi 10,92%, dan pada 2% dari 15,35% menjadi 20,91%. Dalam setiap versi, 0/30.000 lintasan mencapai kebangkrutan; hal ini tidak membuktikan bahwa probabilitasnya nol. Periksa ketergantungan hasil lainnya secara terpisah.

9. Berapa transaksi yang mendasari estimasi parameter

Tingkat kemenangan dan rasio imbalan terhadap risiko yang dimasukkan ke rumus pada Bagian 3 merupakan estimasi sampel yang mengandung galat. Setengah lebar interval kepercayaan 95% untuk nilai harapan adalah 1,96 × σ / √n, dengan σ merupakan simpangan baku satu hasil dalam satuan R dan n merupakan jumlah observasi. Di bawah ini, asumsikan σ = 1,5 R sebagai ilustrasi:

Perhitungan: 1,96 × 1,5 / √n. Untuk n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Dengan simpangan baku di atas 1,5 R (yang mungkin terjadi pada rasio 1:3, tetapi juga bergantung pada tingkat kemenangan dan dispersi dalam kelompok), interval yang sama memerlukan sampel yang lebih besar secara proporsional. Rumus mengasumsikan observasi independen dan pendekatan normal untuk rata-rata (teorema limit pusat), sehingga interval hanya bersifat indikatif untuk sampel kecil dan distribusi hasil yang sangat menceng; σ = 1,5 R diasumsikan sebagai ilustrasi. Ketergantungan positif antarhasil dapat memperlebar interval, sedangkan ketergantungan negatif dapat mempersempitnya; ketidakindependenan saja tidak menentukan arahnya. Ketika σ diganti dengan simpangan baku sampel s, interval standar menggunakan distribusi t Student; pendekatan normal di bawah ini mengasumsikan σ ilustratif yang diketahui.^[8]

Baca baris empat ratus transaksi dengan saksama. Signifikansi menghubungkan besarnya efek, galatnya, dan taraf yang dipilih; jumlah transaksi saja tidak menentukannya. Dengan setengah lebar ±0,15 R, estimasi +0,10 R memberikan interval −0,05 R hingga +0,25 R yang mencakup nol: setelah empat ratus transaksi, hasil seperti itu tidak dapat dibedakan dari tidak adanya keunggulan. Agar nilai harapan sekitar +0,10 R mengecualikan nol pada σ = 1,5 R diperlukan n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 observasi. Untuk +0,40 R, tabel yang sama menunjukkan keadaan yang sama sekali berbeda: seratus transaksi sudah cukup.

Jadi, jawaban atas pertanyaan «berapa transaksi» adalah: bergantung pada besarnya efek yang ingin Anda bedakan dari nol dan seberapa tersebar hasil Anda. Ambang apa pun yang dikutip tanpa kedua angka itu, baik seratus, dua ratus, maupun lima ratus, merupakan kebiasaan, bukan hasil perhitungan.

10. Apa yang tidak dijelaskan oleh perhitungan ini

Rumus yang digunakan di luar cakupannya

Memasukkan tingkat kemenangan ke rumus 1:1 ketika rasionya 1:3 menghasilkan angka yang tidak bermakna: pada tingkat kemenangan 35%, edge adalah 2 × 0,35 − 1 = −0,30 dan kesimpulannya «pasti mengalami kebangkrutan», padahal nilai harapan kumpulan hasil ini adalah 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40 R. Rumusnya tetap benar; rumus itu diterapkan pada taruhan yang tidak digambarkannya. Cakupan penerapan merupakan bagian dari rumus yang sama pentingnya dengan ruas kanannya.

Ekspektasi yang dimasukkan dalam versi bruto

Biaya eksekusi memengaruhi setiap transaksi, termasuk yang merugi, sehingga mengurangi nilai harapan tepat sebesar biayanya: Bagian 8 menggunakan 0,19 R, atau 35,2% dari nilai bruto. Risiko kebangkrutan yang dihitung dengan nilai bruto merupakan estimasi yang lebih rendah.

Asumsi bahwa hasil saling independen

Pengambilan hasil satu per satu dengan pengembalian mengasumsikan independensi antartransaksi berurutan. Model volatilitas bersyarat seperti ARCH dari Engle menggambarkan ketergantungan varians; makalah tahun 1982 tersebut meneliti inflasi Inggris.^[4] Hal itu tidak menyiratkan bahwa hasil suatu aturan perdagangan mata uang tertentu pasti mengelompok menjadi rentetan kerugian. Jika pengelompokan itu terjadi, pengambilan satu per satu menghilangkannya. Dengan ketergantungan yang berganti arah, metode itu justru dapat menghasilkan rentetan yang lebih panjang daripada mekanisme sebenarnya. Periksa arahnya pada hasil dari aturan yang sama.

Tingkat kemenangan yang sama, dua mekanisme rentetan yang berbeda

Sebagai ilustrasi, misalkan frekuensi kerugian jangka panjang q=0,4. Dalam model independen, probabilitas dua kerugian dalam satu blok tertentu adalah 0,4²=0,16. Dalam model stasioner dengan P(kerugian setelah kerugian)=0,6 dan P(kerugian setelah kemenangan)=0,2667, nilainya sekitar 0,4×0,6=0,24. Dengan probabilitas transisi 0,2 dan 0,5333, nilainya turun menjadi 0,4×0,2=0,08, meskipun tingkat kemenangan tetap 60%. Mempertahankan rata-rata dan frekuensi yang sama tidak menentukan panjang rentetan. Ini membantah klaim bahwa setiap ketergantungan memperburuk hasil simulasi independen.

Distribusi yang dibentuk dari kejadian yang sudah terjadi

Pengambilan acak dari data Anda sendiri hanya mereproduksi hasil yang termuat di dalamnya. Keterbatasan model normal juga dibahas dalam bacaan tambahan^[2]. Kami tidak menganggap buku tersebut mengukur ekor distribusi suatu deret tertentu ataupun mengasumsikan satu distribusi perubahan kurs di sini. Skenario terpisah dapat memuat kerugian yang berkali-kali lebih besar daripada rencana; jika sampel tidak memuat observasi semacam itu, simulasi tidak akan pernah menghasilkannya—bahkan dengan sejuta lintasan. Pengambilan acak dari kumpulan data ini tidak dapat mereproduksi episode kerugian ekstrem yang tidak ada di dalamnya. Hal ini tidak menyiratkan satu arah galat yang universal untuk setiap kuantil; karena itu, lengkapi hasil dengan skenario eksplisit yang tidak terdapat dalam sampel. Pelengkap praktisnya adalah perhitungan bersyarat yang terpisah: satu hasil dengan asumsi satu dari dua ratus transaksi berakhir pada −5 R, dan hasil lain dengan asumsi satu dari lima ratus berakhir pada −10 R. Perhitungan itu hanya menyatakan berapa banyak modal yang diambil oleh satu kejadian semacam itu.

Asumsi bahwa parameter stabil

Tingkat kemenangan dan rasio imbalan terhadap risiko yang dimasukkan ke rumus berasal dari masa lalu dan mengandung galat estimasi yang dibahas pada bagian 9. Model memperlakukannya sebagai konstanta. Jika parameter berubah dari waktu ke waktu, hitung ulang juga varian menggunakan beberapa subperiode yang dipilih secara eksplisit dan nyatakan kriteria pemilihannya. Subperiode dengan rata-rata lebih rendah atau rentetan kerugian lebih panjang dapat memperburuk hasil tertentu, tetapi parameter tidak harus bergerak bersama. Ini adalah analisis sensitivitas, bukan bukti bahwa jendela historis terburuk memprediksi masa depan dengan lebih baik. Penilaian apakah seperangkat aturan masih bekerja dibahas dalam bagian 8; artikel ini hanya menghitung konsekuensi parameter yang ditetapkan.

Lintasan rata-rata bukan waktu pemulihan pertama

Kolom A dan B pada Bagian 1 menunjukkan kapan lintasan modal rata-rata deterministik mencapai puncak lama: masing-masing dengan jumlah tetap dan pengali 1+0,004. Keduanya bukan rata-rata maupun median waktu pemulihan pertama sebuah rekening individual. Waktu tersebut bergantung pada seluruh distribusi dan lintasan; beberapa lintasan mungkin tidak pulih dalam horizon. Dalam simulasi, catat waktu pemulihan pertama secara terpisah dan laporkan proporsi lintasan yang belum pulih, alih-alih mengeluarkannya dari perhitungan rata-rata waktu.

11. Latihan pemeriksaan mandiri

Datanya berbeda dari semua yang digunakan di atas. Hitung sendiri sebelum melihat solusinya.

Solusi.

Butir 1. Drawdown dari puncak: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, menghasilkan −35%. Imbal hasil yang diperlukan: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, menghasilkan +53,8%. Dalam PLN: kekurangannya PLN 8.400, dihitung terhadap PLN 15.600, sehingga diperoleh 8 400 / 15 600 = 53,8%; kesesuaian kedua metode memeriksa aritmetika. Ini adalah kenaikan modal yang dibutuhkan dari titik terendah ke puncak. Jika kedua keadaan sudah setelah biaya, Anda harus memperoleh PLN 8.400 neto; jangan menambahkan biaya lagi ke rasio itu sendiri. Rumus tidak menyatakan berapa hasil bruto ataupun berapa lama waktu yang diperlukan untuk kenaikan tersebut.

Butir 2. Model: gambler’s ruin, rasio 1:1, jumlah risiko tetap, horizon tak terbatas. Rasio: (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N dihitung dari ekuitas berjalan ke ambang kebangkrutan karena sebagian jaraknya sudah ditempuh. Ambang: 24.000 × (1 − 0,40) = PLN 14.400. Jumlah risiko: 1,5% × 24.000 = PLN 360 (tetap, dihitung dari modal awal). Jarak: 15.600 − 14.400 = PLN 1.200.

• Risiko 1,5%: N=⌈1200/360⌉=4. Keadaan pertama yang dapat dicapai pada atau di bawah ambang: PLN 14.160; (0,46/0,54)^4=0,526570, sehingga diperoleh 52,66%.
• Risiko 3%: R=PLN 720, N=⌈1200/720⌉=2; (0,46/0,54)^2=0,725652, sehingga diperoleh 72,57%. Menggandakan jumlah risiko meningkatkan hasil sebesar 19,91 poin persentase, atau sekitar 1,38 kali.
• Pada awalnya, dengan R=PLN 360, jaraknya PLN 9.600, sehingga N=⌈9600/360⌉=27 dan hasilnya adalah 1,32%. Mencapai PLN 15.600 meningkatkan risiko bersyarat dari keadaan saat ini sekitar empat puluh kali. Eksponen bekerja dengan cara yang sama pada setiap N; yang berubah adalah jarak ke batas.

Butir 3. Hasil tersebut mengasumsikan hasil ±R, jumlah risiko tetap, tingkat kemenangan konstan p=0,54, independensi, biaya nol, dan horizon tak terbatas. Simpangan baku teoretis untuk distribusi ini adalah σ=√(1−0,08²)=0,9968 R, bukan 1,5 R. Pendekatan normal terhadap ketidakpastian rata-rata pada 100 observasi memiliki setengah lebar sekitar 0,195 R; ini menggambarkan ketidakpastian p yang diabaikan dalam hasil kebangkrutan di atas. Biaya tambahan yang tidak negatif memperburuk lintasan yang sama, sedangkan horizon terbatas mengurangi kesempatan terjadinya kebangkrutan. Ketergantungan dan perubahan parameter dapat bekerja ke kedua arah. Untuk p≤0,5 dalam model ±R ini, probabilitas kebangkrutan pada horizon tak terbatas adalah 1, meskipun rata-rata waktu mencapai batas dapat tak terhingga pada p=0,5.

Butir 4 tidak memiliki satu solusi tunggal. Skemanya sama: ambang kebangkrutan Anda sendiri dalam mata uang → jarak dari ekuitas berjalan ke ambang → bagi dengan jumlah risiko uang tetap Anda sendiri → bulatkan ke atas hingga batas yang dapat dicapai → N → ((1 − p)/p)N. Catat hasil bersama daftar asumsi pada butir 3: daftar itu merupakan bagian dari jawaban.

12. Lima angka yang perlu Anda hitung

Masing-masing memerlukan dasar dan asumsi yang dinyatakan; hanya dengan itulah angka tersebut dapat dibandingkan dengan apa pun:

1. Ekspektasi setelah biaya eksekusi, dalam satuan R dan mata uang rekening, dengan komposisi biaya dinyatakan. Definisi dan penurunannya diberikan dalam artikel 9.6.
2. Imbal hasil yang dibutuhkan untuk memulihkan drawdown tipikal dan drawdown terdalam Anda sejauh ini, dari identitas Z = DD/(1 − DD), yang dihitung dari titik terendah.
3. Risiko kebangkrutan pada risiko per transaksi Anda, dengan ambang kebangkrutan, varian model, dan daftar asumsi dinyatakan. Tanpa ketiganya, angka itu tidak berarti apa-apa.
4. Median dan persentil ke-95 drawdown maksimum dari simulasi menggunakan hasil Anda sendiri. Angka kedua bukan skenario terburuk; angka itu sendiri tidak menggambarkan kedalaman bagian distribusi yang tersisa. Batas model ditetapkan secara terpisah.
5. Setengah lebar interval kepercayaan untuk ekspektasi Anda pada jumlah transaksi Anda. Rata-rata tetap merupakan estimasi meskipun interval tidak mencakup nol. Interval yang mencakup nol juga menunjukkan bahwa, berdasarkan asumsi-asumsi ini, sampel tidak dapat membedakan rata-rata positif dari rata-rata nol atau negatif. Ketidakpastian parameter terbawa ke perhitungan yang bergantung pada distribusi hasil; imbal hasil yang dibutuhkan untuk memulihkan penurunan tertentu sendiri merupakan identitas aritmetika.

Kelima angka tersebut menggambarkan konsekuensi parameter yang Anda masukkan sendiri. Tidak satu pun menentukan apakah seperangkat aturan Anda memiliki keunggulan (pertanyaan itu dibahas dalam bagian 8), dan tidak satu pun mengubah kumpulan hasil dengan ekspektasi negatif menjadi menguntungkan.

Artikel berikutnya (9.3) membalik arah perhitungan ini: alih-alih menghitung risiko kebangkrutan untuk persentase tertentu, artikel itu menurunkan persentase yang diperbolehkan dari drawdown tertentu dan panjang rentetan kerugian yang diasumsikan.

Lebih banyak putaran tidak dapat menggantikan sampel yang lebih besar

Simulasi memiliki dua galat. Yang pertama berasal dari pengambilan M lintasan pada parameter tetap; yang kedua berasal dari estimasi parameter tersebut menggunakan n hasil nyata. M=100.000 pada n=20 dapat mereproduksi distribusi yang tidak pasti dari dua puluh observasi dengan sangat presisi. Untuk memisahkan keduanya, hitung beberapa skenario masukan dan ulangi pengambilan dengan seed berbeda di dalam setiap skenario. Jangan menyebut perubahan antarskenario sebagai galat Monte Carlo.