Toán học về thua lỗ: bất đối xứng phục hồi và rủi ro phá sản

Sau sụt giảm 10%, trở lại đỉnh trước đó cần lợi suất 11,1%; sau 50% cần 100%, và sau 90% cần 900%. Các giá trị này suy ra từ một đẳng thức số học và không cần dữ liệu thị trường. Một trường hợp khác là rủi ro phá sản: đây là kết quả của mô hình dựa trên phân phối đã xác định và tham số ước lượng từ mẫu. Bài này suy ra bảng phục hồi, kiểm tra giả định của công thức phá sản và so sánh đường vốn theo các quy tắc tính khối lượng khác nhau. Sau đó xét chi phí, thứ tự kết quả và bất định ước lượng. Nhờ vậy, mỗi con số có thể đi kèm cơ sở tính và điều kiện sử dụng.

Ba tham số đầu vào chi phối mọi phép tính tiếp theo. Bài này không suy ra tham số nào — đó là nhiệm vụ của bài 9.6. Ở đây, chúng chỉ là các con số do bạn cung cấp.

• Tỷ lệ thắng (p): đi vào công thức ở mục 3 và mô phỏng; giá trị minh họa dùng bên dưới là 55%.
• Tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro (RR): xác định quy mô thắng so với thua trong phân phối được mô phỏng lấy mẫu; ví dụ là 1:1,5, nhưng mục 3 và 11 chủ động dùng 1:1, vì chỉ tỷ lệ này đáp ứng công thức phá sản của người chơi.
• Giá trị kỳ vọng: trung bình suy ra từ phân phối kết quả đã quy định; riêng nó không xác định rủi ro phá sản, ví dụ +0,54 R gộp và +0,35 R sau chi phí khớp lệnh (mục 8).

1. Suy ra công thức và bảng phục hồi đầy đủ — từ −5% đến −90%

Vốn sau mức sụt giảm theo tỷ phần DD đo từ đỉnh là K × (1 − DD). Để trở lại K, số tiền đã giảm đó phải tăng thêm phần chênh lệch còn thiếu K × DD, và lợi suất được tính trên số còn lại sau khoản lỗ:

Z = K × DDK × (1 − DD) = DD1 − DD

K được triệt tiêu và biến mất, nên kết quả không phụ thuộc quy mô tài khoản, công cụ hay bộ quy tắc. Đây là một đẳng thức số học: đúng theo định nghĩa mà không cần dữ liệu. Không kết quả nào khác trong bài có tính chất đó: rủi ro phá sản và mô phỏng đều là kết quả mô hình.

Thay −50%: Z = 0,50 / 0,50 = 1,00, được +100%. Với −20%: Z = 0,20 / 0,80 = 0,25, được +25%. Bài 9.1 cung cấp bảng rút gọn; bản đầy đủ bên dưới có hai cột cho biết cần bao nhiêu giao dịch tại giá trị kỳ vọng đã quy định để đạt lợi suất đó. Mỗi cột trong ba cột số dùng một cơ sở khác nhau; đừng trộn lẫn.

Ba cột có cơ sở khác nhau; chỉ giải thích chúng mới giúp bảng không gây hiểu nhầm. Sụt giảm được đo từ đỉnh đường vốn. Lợi suất phục hồi được tính từ đáy— vốn sau khoản lỗ — nên −50% đòi hỏi +100% thay vì +50%. Hai cột số giao dịch đều giả định giá trị kỳ vọng +0,4% mỗi giao dịch nhưng dùng cơ sở khác nhau.
A) Số tiền rủi ro cố định: mỗi giao dịch đóng góp trung bình +0,4% vốn ban đầu (cố định 40 PLN khi bắt đầu với 10 000 PLN), bất kể giá trị tài khoản hiện tại. Công thức: N = DD / 0,004. Khoản lỗ đã nằm trong trung bình này: tổng kỳ vọng của N kết quả là N × 0,004 × K0 và bằng số tiền còn thiếu DD × K0 đúng khi N = DD / 0,004, bất kể số giao dịch thua trong chuỗi. Đây là tính tuyến tính của tổng kỳ vọng; không đòi hỏi mỗi giao dịch tạo đúng mức trung bình. N xác định khi nào tổng trung bình bằng số tiền còn thiếu. Nó không phải trung bình hay trung vị thời gian phục hồi lần đầu; điều đó cần mô hình chạm ngưỡng riêng. Đây là đại lượng gộp: chi phí giao dịch bị bỏ qua. Nếu chi phí không âm làm giảm cùng mức trung bình nhưng vẫn giữ nó dương, đẳng thức tổng trung bình sẽ xảy ra muộn hơn. Điều này không hàm ý ước lượng thấp hơn cho thời gian ngẫu nhiên phục hồi lần đầu.
B) Tỷ lệ phần trăm vốn cố định: cùng giá trị kỳ vọng nhưng tính trên vốn chủ sở hữu hiện tại, vốn đã nhỏ hơn sau sụt giảm. Công thức: N = ln(1/(1 − DD)) / ln(1,004). Lâu hơn cột A vì mỗi khoản lãi dùng cơ sở nhỏ hơn.
Hai cột đều cho số giao dịch. Đổi sang thời gian cần tần suất giao dịch của bạn; xem ví dụ bên dưới.

Quy đổi sang thời gian cho cột B, tại hai tần suất. Bảng dùng giá trị minh họa; giả định trung bình +0,4% mỗi giao dịch giữ nguyên suốt thời gian phục hồi, điều không có gì bảo đảm. Cột giao dịch dùng giá trị chính xác từ công thức cột B (trước làm tròn), nên có thể tính trực tiếp số tháng: 26,4 / 5 ≈ 5,3, 89,3 / 20 ≈ 4,5.

Hàm Z = DD/(1 − DD) đồng biến và lồi trên toàn miền từ 0 đến 1 — không có ngưỡng nào mà “điều gì đó thay đổi”. Mức tăng là liên tục: từ −5% đến −20%, lợi suất cần thiết tăng từ +5,3% lên +25%; từ −20% đến −50%, từ +25% lên +100%; khi sụt giảm sâu hơn −50%, từ +100% lên +900%. Mọi ngưỡng giảm hoặc dừng giao dịch đều là quyết định được ghi trước; công thức không gợi ra ngưỡng nào. Nguồn gốc của ngưỡng và cách ghi điều kiện tiếp tục được trình bày trong bài 9.8.

Một hệ quả vượt ra ngoài riêng thời gian phục hồi: sụt giảm làm giảm vốn hiện tại, chính là đại lượng được so với ngưỡng đóng bắt buộc, tính trên tất cả vị thế mở của tài khoản. Định nghĩa và cơ chế của các đại lượng đó thuộc phần 2, còn tác động của khoảng trống giá lên giá khớp thuộc bài 9.10.

Nạp tiền không phục hồi khoản lỗ giao dịch

Ví dụ minh họa: tài khoản giảm từ 10 000 xuống 8 000 PLN, sau đó chủ tài khoản nạp 2 000 PLN. Số dư trở lại 10 000 PLN, nhưng lợi suất giao dịch vẫn là −20%. Tương tự, rút tiền sau khi có lãi không phải sụt giảm do giao dịch. Trước khi dùng DD/(1−DD), hãy xác định bạn đo hiệu quả đầu tư không có dòng tiền bên ngoài hay chỉ số tiền khả dụng trong tài khoản. Đại lượng sau quan trọng với khả năng tiếp tục giao dịch; đại lượng trước liên quan đến phục hồi hiệu quả.

2. Phục hồi với tỷ lệ phần trăm vốn cố định

Với tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định (1% mỗi giao dịch), số tiền rủi ro giảm cùng tài khoản. Cơ sở: vốn chủ sở hữu hiện tại đo trước khi mở vị thế. 1% của 10 000 PLN là 100 PLN; sau thua lỗ, 1% của 8 500 PLN là 85 PLN. Cùng quy tắc tạo số tiền khác nhau vì cơ sở đã đổi.

Điều này diễn ra ở cả hai hướng. Khoản lỗ tiếp theo mất ít PLN hơn, nhưng khoản thắng tiếp theo cũng thu ít hơn vì cả hai dùng cơ sở đã giảm. Giá trị minh họa, tài khoản theo PLN, giá trị kỳ vọng +0,4 R mỗi giao dịch:

Tỷ lệ ở đây là chính xác và suy ra trực tiếp từ định nghĩa: số tiền lãi co lại cùng tốc độ với vốn. Vì vậy cột B trong bảng ở mục 1 cho số lớn hơn cột A: với sụt giảm −50%, cần 174 giao dịch thay vì 125, tức nhiều hơn 39%. Hai cột tính cùng tỷ lệ phần trăm, chỉ khác cơ sở, và toàn bộ chênh lệch nằm ở đó.

Không quy tắc nào tốt hơn quy tắc kia, vì chúng trả lời câu hỏi khác nhau và có hệ quả khác nhau cho khối lượng vị thế, được trình bày trong bài 9.5. Lựa chọn cơ sở thay đổi số giao dịch cần để phục hồi, nên trích “cần phục hồi bao nhiêu” mà không nêu cơ sở là chưa đầy đủ.

3. Rủi ro phá sản — công thức, giả định và bảng tính lại

Rủi ro phá sản là xác suất vốn chạm ngưỡng dưới đã quy định. Trong toàn mục này, phá sản nghĩa là giảm còn 50% vốn ban đầu hoặc thấp hơn. Không có mục tiêu phía trên mà phải chạm ngưỡng dưới trước nó; mô hình cho phép giao dịch vô thời hạn. Thay đổi ngưỡng hoặc khung thời gian sẽ đổi câu hỏi và kết quả.

Biến thể mô hình và công thức

Phép tính dưới đây dùng mô hình phá sản của người chơi cổ điển^[1] ở phiên bản hai kết quả: mỗi giao dịch kết thúc bằng lãi hoặc lỗ cùng quy mô (tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro 1:1), số tiền chịu rủi ro là cố định, tỷ lệ thắng p không đổi, các kết quả liên tiếp độc lập, và khung thời gian là vô hạn.

P_ruin = (1 − edge1 + edge)^N=(1 − pp)^N

• p — tỷ lệ thắng ở dạng tỷ phần; edge = 2p − 1 (tỷ lệ thắng 55% cho lợi thế 0,10). Hai dạng của công thức giống hệt nhau: (1 − (2p−1)) / (1 + (2p−1)) = (1 − p)/p.
• N — số đơn vị rủi ro ngăn cách vốn hiện tại với ngưỡng phá sản. Lúc bắt đầu, rủi ro 2% vốn ban đầu và ngưỡng −50%: N = 50% / 2% = 25. Sau sụt giảm, khoảng cách được đo từ trạng thái tài khoản hiện tại; có ví dụ trong bài tập (mục 11).
• Kết quả là đại lượng không có thứ nguyên: nó không phụ thuộc đồng tiền tài khoản hay quy mô vốn, vì toàn bộ thông tin vốn nằm trong N.

Mô hình đòi hỏi số tiền rủi ro cố định. Với tỷ lệ phần trăm vốn hiện tại cố định, số tiền co lại cùng tài khoản, nên không có N nào từ công thức này mô tả đường đi đó; thay vào đó cần mô phỏng (mục 6).

Vốn thực sự có thể chạm ngưỡng nào?

Công thức dưới đây áp dụng cho p > 0,5; với p ≤ 0,5 xác suất phá sản trên khung thời gian vô hạn là 1, kể cả khi trung bình bằng không. Nếu khoảng cách hiện tại đến ngưỡng không phải bội số nguyên của số tiền cố định R, dùng N = ⌈(K − K_ruin)/R⌉, làm tròn lên. Vốn di chuyển trên lưới có khoảng cách R và không dừng giữa các điểm. Điều này áp dụng cho mô hình ±R và điều kiện “chạm ngưỡng hoặc thấp hơn”; với kết quả biến đổi, hãy dựng lại lưới của chúng hoặc mô phỏng đường đi.^[1]

Ví dụ minh họa: K = 10 000 PLN, ngưỡng 9 050 PLN, R = 300 PLN. Khoảng cách 950 PLN cho N = 4 và trạng thái dưới có thể đạt 8 800 PLN. Làm tròn thành N = 3 sẽ tính phá sản tại ngưỡng khác: 9 100 PLN, vẫn cao hơn rào cản đã quy định.

Bảng — có thể tái lập từng ô bằng công thức phía trên

Cách tái lập bất kỳ ô nào. Tỷ lệ thắng 52%, rủi ro 2%: (1 − 0,52)/0,52 = 0,923077; N = 50%/2% = 25; 0,92307725 = 0,13519, tức là 13,52%. Tỷ lệ thắng 58%, rủi ro 10%: 0,42/0,58 = 0,724138; N = 5; 0,7241385 = 0,19912, tức là 19,91%. Những giả định để bảng này đúng: phá sản được định nghĩa là giảm còn 50% vốn ban đầu; tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro 1:1; số tiền rủi ro cố định; tỷ lệ thắng không đổi; kết quả độc lập; chi phí khớp lệnh bằng không; khung thời gian vô hạn.

Bốn cách đọc bảng, không cách nào tự nó là khuyến nghị:

• Với tỷ lệ thắng 55% và rủi ro 1%, rủi ro phá sản theo mô hình là 0,0044%. Trên giấy có vẻ an toàn, nhưng chỉ vì mô hình giả định tỷ lệ 1:1, tỷ lệ thắng không đổi, không chi phí và giao dịch độc lập. Đây là giả định mô hình, không phải đặc điểm đã xác lập của mọi chuỗi thực tế. Chi phí bổ sung không âm làm xấu kết quả trên cùng đường đi, và sự tập trung thua lỗ thực tế có thể tăng rủi ro; sai số ước lượng tỷ lệ thắng và tỷ lệ khác 1:1 có thể làm nó đổi theo cả hai hướng, nên phải kiểm tra hướng thay đổi riêng trong từng trường hợp.
• Cùng tỷ lệ thắng 55% tại rủi ro 5% cho 13,44%. Tăng rủi ro mỗi giao dịch gấp năm làm xác suất phá sản theo mô hình tăng hơn ba nghìn lần, vì N nằm ở số mũ.
• Tỷ lệ thắng 52% tại rủi ro 2% cho 13,52%. Kỳ vọng dương và rủi ro phá sản khoảng một trên bảy hoàn toàn có thể cùng tồn tại: chúng là hai đại lượng khác nhau được tính từ cùng tham số.
• Quan hệ đúng theo cả hai chiều: rủi ro phá sản tăng khi rủi ro mỗi giao dịch tăng và giảm khi tỷ lệ thắng tăng. Ô nào đảo ngược điều đó là lỗi trong bảng hoặc công thức.

Phép tính cho hai mức rủi ro khi mọi tham số khác giữ nguyên

Tham số chung, giá trị minh họa: tỷ lệ thắng 55%, tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro 1:1, ngưỡng phá sản −50% vốn ban đầu, rủi ro được tính theo phần trăm vốn ban đầu rồi cố định thành số tiền.

• Rủi ro 1% mỗi giao dịch. N = 50/1 = 50. (0,45/0,55)50 = 0,818181850. Dùng logarit: 50 × ln(0,818182) = −10,0335, nên Pruin = e−10,0335 = 0,0000439 → 0,0044%.
• Rủi ro 2% mỗi giao dịch. N = 50/2 = 25. 25 × ln(0,818182) = −5,0168, nên Pruin = e−5,0168 = 0,006626 → 0,66%.
• Chênh lệch: tăng rủi ro mỗi giao dịch gấp đôi làm rủi ro phá sản theo mô hình tăng 151 lần, khi tỷ lệ thắng và tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro giữ nguyên. Kỳ vọng theo đơn vị R hoàn toàn không đổi.

Phạm vi phép tính. Kết quả ±R và số tiền rủi ro cố định là điều kiện cần của công thức này. Với tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định và hệ số nhân dương, tài khoản không thể về không trong hữu hạn bước nhưng có thể vượt ngưỡng phá sản dương. Tỷ lệ thắng không đổi và tính độc lập là giả định, không phải phát biểu về thị trường. Chi phí không âm bị trừ trên cùng đường đi tại cùng R không thể cải thiện vốn. Khung thời gian hữu hạn giới hạn thời điểm phá sản có thể xảy ra, nên xác suất không thể vượt xác suất trên khung vô hạn. Tuy nhiên, sự phụ thuộc, sai số tỷ lệ thắng và kết quả thay đổi có thể tác động theo cả hai hướng; riêng công thức không xác định được hướng đó.

Kiểm tra công thức không cần lấy mẫu ngẫu nhiên. Nghiệm thỏa mãn truy hồi h(i)=p h(i +1)+(1−p)h(i −1), điều kiện biên h(0)=1 và giới hạn h(i)→0 với p>0,5: thay h(i)=((1−p)/p)^i khiến vế phải bằng đúng vế trái. Với p≤0,5, nghiệm xác suất trên khung thời gian vô hạn là 1. Bảng cho xác suất của mô hình này.

4. Rủi ro phá sản khi tỷ lệ khác 1:1

Công thức ở mục 3 mô tả khoản cược có quy mô thắng và thua bằng nhau. Bộ quy tắc với tỷ lệ thắng 38% và tỷ lệ 1:3 không đáp ứng điều kiện đó; thay tỷ lệ thắng của nó vào công thức 1:1 cho lợi thế 2 × 0,38 − 1 = −0,24 và kết luận “chắc chắn phá sản”, trong khi giá trị kỳ vọng của bộ quy tắc này là 0,38 × 3 − 0,62 = +0,52 R. Công thức không sai; nó đã được áp dụng ngoài phạm vi có ý nghĩa.

Kết quả không cân xứng: tính xác suất chuyển trạng thái

Tỷ phần Kelly không thay thế lợi thế trong công thức phá sản. Nó tối ưu đại lượng khác, nên ký hiệu giống nhau không biện minh cho phép thay thế đó. Với số tiền rủi ro cố định và kết quả +aR và −bR, có thể xây dựng truy hồi chính xác. Gọi H_t(x) là xác suất vượt ngưỡng dưới trong tối đa t bước tiếp theo, từ khoảng cách x phía trên ngưỡng. Khi đó H_0(x)=0 với x>0, H_t(x)=1 với x≤0, và với x>0:

H_t(x)=p H_(t −1)(x +aR)+(1−p) H_(t −1)(x −bR).

Điều này suy ra bằng cách tách giao dịch đầu thành thắng và thua, như mô hình cổ điển ở mục 3.^[1] Phải quy định giá trị t. Với kết quả hữu tỷ trên lưới chung, hữu hạn bước cho hữu hạn trạng thái, nên không cần đoán công thức hay cắt cụt vốn phía trên. Có thể trừ chi phí cố định từ cả hai kết quả theo cùng quy trình.

Kiểm tra độ nhạy với sai số đồng thời của tham số bằng cùng ngưỡng, khung thời gian và quy tắc số tiền rủi ro. Làm xấu cặp minh họa từ p=55%, RR=1,5 thành p=52%, RR=1,2 đòi hỏi hai phép tính H riêng. Tiêu chuẩn Kelly và độ nhạy của tỷ phần có phép tính riêng trong 9.5; chúng không xấp xỉ xác suất phá sản.

Mô phỏng cho câu trả lời đáng tin cậy hơn. Bảng tiếp theo đến từ một mô phỏng thực hiện cho bài viết này: 40 000 đường đi với tối đa 500 giao dịch, bộ sinh NumPy PCG64 có hạt giống 20261005, kết quả hai giá trị với tỷ lệ thắng và tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro đã quy định, tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định, phá sản định nghĩa là giảm còn 50% vốn ban đầu (đường đi dừng ở đó), và chi phí khớp lệnh bằng không. Mọi giá trị đều mang tính minh họa. Tham số p và RR được cung cấp làm đầu vào; không tham số nào mô tả thị trường.

Mô phỏng của chúng tôi: 40 000 đường đi với tối đa 500 giao dịch, tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định, ngưỡng phá sản −50% vốn ban đầu, bỏ qua chi phí khớp lệnh, kết quả độc lập và phân phối hai điểm (thắng +RR, thua −1 R). Đường đi kết thúc khi lần đầu giảm đến ngưỡng phá sản hoặc sau 500 giao dịch; phân vị sụt giảm tối đa bao gồm cả đường đi đã dừng. Phân vị 95 của sụt giảm tối đa không phải trường hợp xấu nhất— riêng phân vị không giới hạn độ sâu của khoảng 5% đường đi còn lại. Giới hạn của một mô hình cụ thể được xác định riêng từ kết quả, khung thời gian và quy tắc dừng. Giá trị kỳ vọng ở cột thứ hai là gộp; mục 8 cho phiên bản sau chi phí khớp lệnh. Với phân phối khác hai điểm, cùng p và RR cho mức sụt giảm khác nhau.

Bảng tách hai câu hỏi. Phá sản nghĩa là giảm dưới một nửa vốn ban đầu, trong khi sụt giảm tối đa dùng vốn cao nhất trước đó. Vì vậy sụt giảm có thể vượt 50% từ đỉnh mới mà chưa chạm ngưỡng phá sản. Số lần phá sản ít tại 1% và 2% chỉ áp dụng cho bốn phân phối này và 500 bước. Nó không chứng minh sự kiện không thể xảy ra. Tại 5%, cả phân phối sụt giảm và số lần vượt ngưỡng đều đổi rõ rệt; riêng trung bình cao hơn không xếp hạng được các kết quả này.

Không có lần phá sản mô phỏng vẫn còn bất định

Nếu M đường đi độc lập không có lần phá sản nào, ghi 0/M. Cận trên xác suất một phía 95% trong mô hình cố định này suy ra từ (1−u)^M=0,05: u=1−0,05^(1/M). Với M=40 000, giá trị xấp xỉ 0,00749%; với 30 000, 0,00999%. Cận này mô tả sai số lấy mẫu mô phỏng. Nó không bao gồm tỷ lệ thắng sai, tổn thất cực đoan bị thiếu hay mô hình phụ thuộc không phù hợp.

Xác suất gặp k lần thua liên tiếp trong N giao dịch là câu hỏi riêng, với đáp án khác (1 − p)k; phép tính với tỷ lệ thắng và độ dài chuỗi đã quy định nằm trong bài 9.1, mục 4; bài 9.3 dùng độ dài chuỗi giả định làm đầu vào khi suy ra giới hạn rủi ro.

5. Thứ tự kết quả — cùng tập hợp, hai lần diễn tiến

Mục 8 để lại một điều hẹn giải thích ở đây: thứ tự kết quả quan trọng với đường đi dù không quan trọng với điểm cuối. Có thể kiểm tra câu đó bằng số học trên mười con số.

Hai đường đi có kết quả giống hệt — bốn lần thắng (+2 R, +2 R, +1,5 R, +1,5 R) và sáu khoản lỗ −1 R, tổng +1 R qua mười giao dịch, trung bình +0,10 R. Quy tắc khối lượng: tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định, 1% mỗi giao dịch. Vốn ban đầu 100 đơn vị; kết quả không có thứ nguyên, nên số đơn vị không quan trọng. Giới hạn quy định trước: sụt giảm −5% từ đỉnh.

Sụt giảm đo từ đỉnh đường vốn chủ sở hữu sau mỗi giao dịch. Vốn sau một giao dịch: K × (1 + 0,01 × R). Bảng làm tròn đến ba chữ số thập phân; bản thân phép tính không làm tròn trung gian.

Điểm cuối giống hệt đến chữ số thập phân: 100,912 ở cả hai đường đi, tức +0,912%. Sự trùng khớp có nguyên nhân thuần số học. Vốn cuối dưới tỷ lệ phần trăm cố định là tích K0 × Π(1 + 0,01 × Ri), và phép nhân có tính giao hoán — thứ tự thừa số không đổi tích. Với số tiền rủi ro cố định cũng vậy, nhưng nhờ tính giao hoán của phép cộng.

Mọi thứ khác đều khác nhau. Sụt giảm tối đa là 3,94% ở đường A và 5,85% ở đường B, lớn hơn một nửa trên cùng mười kết quả. Giới hạn −5% bị vượt ở giao dịch thứ sáu trên đường B, còn đường A không lần nào vượt. Nếu giới hạn khiến dừng giao dịch, thì với cùng tập kết quả, một đường kết thúc ở giao dịch thứ mười tại +0,912%, đường kia bị cắt ở giao dịch thứ sáu tại −5,85% — và bốn khoản thắng có trong tập không bao giờ được thực hiện.

Kết luận thực tế có hai lớp. Trung bình số học của mẫu không mô tả thứ tự kết quả. Hai thứ tự của cùng tập kết quả có vốn cuối giống hệt ở đây nhưng có thể có sụt giảm hoàn toàn khác. Vì vậy, sụt giảm đo trên một chuỗi lịch sử là một hiện thực hóa trong họ đường đi có thể xảy ra; ngẫu nhiên hóa thứ tự giúp khám phá họ đó — chủ đề của mục tiếp theo.

6. Mô phỏng phân phối kết quả — lấy mẫu gì và kết quả không nói gì

Kiểm định lịch sử cho thấy một chuỗi: chuỗi đã xảy ra. Mô phỏng Monte Carlo xây dựng phân phối đường đi có thể xảy ra từ cùng dữ liệu; cần phân biệt hai thao tác thường được gọi bằng một từ. Hoán vị sắp xếp lại đúng các kết quả đó: thành phần và giá trị cuối giữ nguyên, chỉ đường đi thay đổi. Đây là kiểm tra thuần rủi ro thứ tự kết quả, được thực hiện thủ công ở mục 5. Lấy mẫu có hoàn lại coi mẫu là phân phối để rút các danh sách mới: một số quan sát bị bỏ, số khác lặp lại, nên thành phần và giá trị cuối của từng đường đi cũng thay đổi. Mục 7 dùng lấy mẫu có hoàn lại.

Lấy mẫu gì: một kết quả giao dịch theo đơn vị R, từ phân phối thực nghiệm xây dựng từ hồ sơ của bạn (có hoàn lại), hoặc phân phối hai điểm quy định bởi tỷ lệ thắng và tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro. Giả định độc lập: mỗi lần rút độc lập với lần trước; hãy kiểm tra riêng trên chuỗi kết quả của quy tắc cụ thể. Số lần lặp: thêm lần lặp cho phân vị ổn định hơn; bài này dùng 40 000 ở mục 4 và 30 000 ở mục 8, luôn ghi cạnh kết quả. Biểu đồ sau thể hiện ba phân vị theo từng thời điểm từ xấp xỉ lognormal tường minh, thay vì tám đường đi được rút ngẫu nhiên.

Bốn đại lượng được đọc từ phân phối:

• Trung vị sụt giảm tối đa: mức sụt giảm mà một nửa số đường đi nằm phía trên. Nó không phải dự báo hay giới hạn.
• Phân vị 95 của sụt giảm tối đa. Đây không phải kịch bản xấu nhất. Khoảng 5% đường đi mô hình có sụt giảm sâu hơn. Riêng phân vị không giới hạn các đường còn lại; giới hạn của mô hình cụ thể là vấn đề riêng. Sự kiện khoảng trống giá được trình bày trong bài 9.10.
• Rủi ro phá sản: tỷ phần đường đi mà vốn giảm đến ngưỡng nhất định. Đại lượng phụ thuộc ngưỡng: không nêu ngưỡng thì không có ý nghĩa.
• Độ phân tán kết quả cuối, tức khoảng chứa một tỷ phần đường đi nhất định khi tham số giữ nguyên. Nó không trả lời lợi nhuận sẽ lớn bao nhiêu.

Trong tổng các kết quả độc lập có phương sai hữu hạn và không đổi, độ lệch chuẩn tăng theo căn bậc hai của số giao dịch, còn tổng kỳ vọng tăng tuyến tính. Đây không phải quy tắc phổ quát cho mọi khoảng phân phối hay cho vốn dưới rủi ro phần trăm cố định. Kéo dài cùng đường đi không thể làm giảm sụt giảm tối đa đã ghi, dù không nhất thiết làm nó sâu hơn. Hiểu biết về tham số là vấn đề riêng: mẫu độc lập dài hơn thu hẹp sai số ước lượng trung bình theo 1/√n (mục 9), và hai hướng không mâu thuẫn vì trả lời hai câu hỏi khác nhau.

Cần tách hai con số dễ nhầm ở đây, vì cả hai đều là “số giao dịch”. Độ dài một lần diễn tiến trong mô phỏng là lựa chọn khung thời gian: 500 giao dịch là câu hỏi “điều gì có thể xảy ra qua 500 giao dịch”. Kích thước mẫu riêng của bạn là số giao dịch dùng để xây dựng phân phối đầu vào, và chỉ nó quyết định độ chính xác hiểu biết về tham số. Rút 500 kết quả từ tập một trăm không tạo thông tin mới: khoảng tin cậy của kỳ vọng vẫn do một trăm quan sát quyết định (mục 9).

Hai số trung bình không tái dựng được phương sai

Nếu p là tần suất thắng, trung bình các nhóm là W và −L, phương sai là v_w và v_l, thì Var(X)=p v_w +(1−p)v_l +p(1−p)(W +L)². Phân phối hai điểm chỉ giữ số hạng cuối. Với p=0,5 và W=L=1 R, phương sai là 1 R². Nếu một nửa khoản thắng là +0,2 R và một nửa +1,8 R, với khoản thua âm tương ứng, trung bình nhóm vẫn là ±1 R nhưng phương sai thành 1,64 R². Phương sai lớn hơn vẫn không hàm ý mọi phân vị sụt giảm hay xác suất phá sản tại mọi ngưỡng đều phải tăng.

7. Mô phỏng từng bước

Chạy mô phỏng chỉ cần danh sách kết quả riêng theo đơn vị R và công cụ rút ngẫu nhiên. Bảng tính đủ cho vài trăm lần diễn tiến; nhiều hơn thì một đoạn mã ngắn thuận tiện hơn.

a) Đầu vào

Chất lượng mô phỏng phụ thuộc danh sách đầu vào. Mỗi giao dịch đã đóng cần một kết quả theo đơn vị R, tính sau chi phí: R = (kết quả theo đồng tiền tài khoản sau hoa hồng, điểm swap và trượt giá) / (số tiền rủi ro dự kiến khi vào lệnh). Mẫu số là rủi ro dự kiến chứ không phải rủi ro thực hiện, nên khoản lỗ có trượt giá tệ hơn −1,00 R và xuất hiện trong phân phối. Kết quả dương là lợi nhuận ròng theo cùng đơn vị.

b) Quy trình

1. Lập danh sách kết quả theo đơn vị R từ hồ sơ riêng, mỗi giao dịch đã đóng một giá trị.
2. Lấy mẫu có hoàn lại. Đặt độ dài một lần diễn tiến bằng khung thời gian đang hỏi. Nếu hỏi về phân phối sụt giảm trên mẫu sẵn có, đặt độ dài bằng kích thước mẫu riêng của bạn; khoảng tin cậy của tham số không thu hẹp vì bạn rút nhiều hơn.
3. Tính lại vốn sau mỗi giao dịch được rút theo quy tắc khối lượng riêng: với tỷ lệ phần trăm cố định K ← K × (1 + r × R), với số tiền cố định K ← K + số tiền × R.
4. Lặp lại đủ nhiều để phân vị ngừng thay đổi giữa các lần chạy, thường từ vài nghìn đến vài chục nghìn đường đi.
5. Đọc trung vị và phân vị 95 của sụt giảm tối đa, tỷ phần đường đi dưới ngưỡng phá sản và độ phân tán kết quả cuối. Ghi mọi giả định ngay cạnh; một tháng sau, chỉ chúng mới cho phép dựng lại nguồn gốc con số.

c) Chính xác từng con số nói lên điều gì

Bảng chủ động không đưa ngưỡng chấp nhận. “Rủi ro phá sản dưới 1%” là lựa chọn, không phải kết quả; lựa chọn phụ thuộc phần trăm vốn bạn có thể để không sử dụng và trong bao lâu. Ghi ngưỡng cùng điều kiện dừng và tiếp tục thuộc bài 9.8.

d) Đoạn mã

Thay mảng kết quả bằng giá trị riêng theo đơn vị R. Mã có hai chế độ: kết quả đã tính sau chi phí, hoặc kết quả gộp với chi phí cộng thêm như tham số ngẫu nhiên.

import numpy as np

def simulate(outcomes_R, repetitions=20_000, length=None,
             risk=0.01, ruin_threshold=0.50,
             outcomes_already_net=True,
             cost_R_mean=0.06, cost_R_sd=0.02,
             seed=7):
    """
    Phân phối kết quả được lấy mẫu có hoàn lại từ danh sách kết quả theo R của bạn.

    GIẢ ĐỊNH mà mã này chấp nhận nhưng không kiểm tra:
      - các kết quả liên tiếp độc lập (giả định cần kiểm tra);
      - tham số không đổi trong toàn bộ khung thời gian;
      - kết quả tương lai có cùng phân phối với mẫu.

    length=None -> độ dài đường đi bằng kích thước mẫu của bạn.
       Đường đi dài hơn đặt câu hỏi về khung thời gian khác;
       KHÔNG thu hẹp khoảng tin cậy của tham số.

    outcomes_already_net=True -> danh sách là kết quả ròng; không cộng chi phí.
    outcomes_already_net=False -> trừ chi phí độc lập max(0, Normal(mu,sigma)).
       mu và sigma mô tả phân phối chuẩn TRƯỚC khi chặn chi phí tại không,
       không phải trung bình và độ lệch chuẩn của chi phí sau khi chặn.
       Sự phụ thuộc giữa chi phí và kết quả không được mô hình hóa.
       Không dùng cả hai cách: như vậy chi phí bị tính hai lần.
    """
    rng = np.random.default_rng(seed)   # hạt giống giúp tái lập các lần lấy mẫu
    outcomes_R = np.asarray(outcomes_R, dtype=float)
    if outcomes_R.ndim != 1 or not len(outcomes_R) or not np.all(np.isfinite(outcomes_R)):
        raise ValueError("Cung cấp danh sách kết quả không rỗng, gồm các giá trị hữu hạn")
    if not (0 < risk < 1) or not (0 < ruin_threshold < 1):
        raise ValueError("Rủi ro và ngưỡng phải thuộc (0,1)")
    if length is None:
        length = len(outcomes_R)
    if repetitions < 1 or length < 1 or int(repetitions) != repetitions or int(length) != length:
        raise ValueError("Độ dài và số lần lặp phải là số nguyên dương")
    if cost_R_sd < 0:
        raise ValueError("Độ lệch chuẩn chi phí không được âm")
    if risk * np.min(outcomes_R) <= -1 and outcomes_already_net:
        raise ValueError("Mô hình yêu cầu hệ số nhân vốn dương")

    ruins = 0
    max_drawdowns = []

    for _ in range(repetitions):
        capital = 1.0          # kết quả không có thứ nguyên
        peak = 1.0
        max_drawdown = 0.0
        sample = rng.choice(outcomes_R, size=length, replace=True)

        for outcome in sample:
            if not outcomes_already_net:
                cost = max(0.0, rng.normal(cost_R_mean, cost_R_sd))
                outcome = outcome - cost

            multiplier = 1 + risk * outcome
            if multiplier <= 0:
                raise ValueError("Kết quả kèm chi phí nằm ngoài miền xác định của mô hình")
            capital *= multiplier     # tỷ lệ phần trăm cố định của vốn chủ sở hữu hiện tại
            peak = max(peak, capital)
            max_drawdown = max(max_drawdown, (peak - capital) / peak)

            if capital <= (1 - ruin_threshold):
                ruins += 1
                break

        max_drawdowns.append(max_drawdown)

    return {
        "rủi ro phá sản": ruins / repetitions,
        "trung vị sụt giảm tối đa": float(np.median(max_drawdowns)),
        "phân vị 95 của sụt giảm tối đa": float(np.percentile(max_drawdowns, 95)),
        "độ dài đường đi": length,
        "kích thước mẫu": len(outcomes_R),
    }

# Giá trị tổng hợp (ví dụ chạy được): thay bằng kết quả của bạn
# theo đơn vị R, sau chi phí, mỗi giao dịch đã đóng một giá trị:
my_outcomes = np.array([
    -1.05, 1.78, -1.02, 2.25, -1.11, 1.46, -1.03, -1.07, 3.02, -1.00,
    -1.09, 0.74, -1.02, -1.14, 2.03, -1.06, 1.35, -1.01, -1.08, 2.71
])
print(simulate(my_outcomes, risk=0.01))

Vốn ban đầu đặt bằng 1. Ngưỡng phá sản là tỷ phần của giá trị đó, còn sụt giảm tối đa đo từ đỉnh hiện tại; đồng tiền tài khoản không đổi cả hai tỷ số. Dòng capital *= (1 + risk * outcome) biểu diễn tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định; thay phép nhân bằng phép cộng nếu dùng số tiền rủi ro cố định. Chi phí mặc định 0,06 R chỉ để minh họa và có thể cao gấp nhiều lần khi khoảng cách thoát bảo vệ ngắn; mục 8 cho thấy cách nó đi vào phép tính. Danh sách my_outcomes chứa hai mươi giá trị chỉ để mã chạy được; chúng không phải đo lường thị trường hay mẫu đủ để chứng minh tham số ổn định. Chi phí ngẫu nhiên của mã độc lập với kết quả và bị chặn dưới tại không; tham số mô tả phân phối chuẩn trước khi chặn.

8. Chi phí khớp lệnh là tham số đầu vào

Kỳ vọng đi vào công thức rủi ro phá sản và mô phỏng. Nếu dùng bản gộp, kết quả cũng là gộp; chênh lệch không chỉ mang tính hình thức, vì chi phí tác động riêng lên mỗi giao dịch, kể cả giao dịch thua. Bài này không mô tả nguồn gốc các thành phần hay yếu tố chi phối chúng: điều đó được trình bày trong phần 2, còn điều kiện khớp lệnh tại nhà môi giới nằm trong phần 11–13. Ở đây chi phí là một con số đầu vào, chỉ tác động của nó lên phép tính mới quan trọng.

Cùng chi phí theo pip chiếm tỷ phần lớn hơn của R khi mức thoát bảo vệ gần giá vào hơn; quy mô vị thế và khoảng cách thoát được trình bày trong bài 9.5. Bên dưới, chi phí là con số đã tính theo đơn vị R.

Quy đổi: cùng bộ tham số ở dạng gộp và ròng

Đầu vào minh họa: vị thế trên cặp tiền chính, khoảng cách thoát bảo vệ 50 pip, giữ vị thế qua bốn đêm, rủi ro dự kiến 1 R. Mỗi thành phần chi phí được liệt kê riêng:

• toàn bộ spread khứ hồi — chênh lệch giữa mua khi vào và bán khi thoát, 4 pip so với khoảng cách 50 pip: −0,08 R. Tính spread đúng một lần; chia thành “vào” và “thoát” với toàn bộ giá trị sẽ tính cùng chi phí hai lần
• mức trượt giá giả định: −0,03 R
• điểm swap qua bốn đêm: −0,08 R
• tổng: −0,19 R mỗi giao dịch, dù kết thúc có lãi hay lỗ

Tác động lên một giao dịch: lãi gộp +1,80 R cho kết quả ròng +1,61 R, còn lỗ gộp −1,00 R cho kết quả ròng −1,19 R. Chi phí tác động cả hai kết quả theo cùng hướng.

Tác động lên kỳ vọng với tỷ lệ thắng 55%:

• gộp: 0,55 × 1,80 − 0,45 × 1,00 = 0,99 − 0,45 = +0,540 R
• ròng: 0,55 × 1,61 − 0,45 × 1,19 = 0,8855 − 0,5355 = +0,350 R
• chênh lệch: −0,19 R, giảm 35,2% so với giá trị kỳ vọng gộp — đúng bằng chi phí đơn vị, vì chi phí tính trên mỗi giao dịch làm giảm kỳ vọng bằng toàn bộ số tiền đó.

Tác động lên phân phối kết quả — mô phỏng của chúng tôi, 30 000 đường đi với tối đa 500 giao dịch (dừng khi lần đầu chạm ngưỡng), tỷ lệ phần trăm vốn chủ sở hữu hiện tại cố định, ngưỡng phá sản −50%:

Hai phiên bản dùng cùng dấu kết quả được rút: p=0,55, kết quả gộp +1,8 R hoặc −1 R, chi phí ròng 0,19 R mỗi bước. Bộ sinh PCG64, hạt giống 20261005; 30 000 đường đi độc lập với tối đa 500 bước, dừng khi vốn≤0,5 vốn ban đầu, phân vị MDD từ đỉnh hiện tại dùng nội suy tuyến tính. Trung vị tại 1% tăng từ 7,93% lên 10,92%, tại 2% từ 15,35% lên 20,91%. Mỗi phiên bản có 0/30 000 đường đi phá sản; điều đó không chứng minh xác suất bằng không. Kiểm tra riêng các dạng phụ thuộc kết quả khác.

9. Bao nhiêu giao dịch đứng sau ước lượng tham số

Tỷ lệ thắng và tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro đi vào công thức ở mục 3 là ước lượng từ mẫu có sai số. Nửa độ rộng khoảng tin cậy 95% của giá trị kỳ vọng là 1,96 × σ / √n, trong đó σ là độ lệch chuẩn một kết quả theo đơn vị R và n là số quan sát. Bên dưới giả định σ = 1,5 R để minh họa:

Phép tính: 1,96 × 1,5 / √n. Với n = 100: 1,96 × 1,5 / 10 = 0,294. Khi độ lệch chuẩn lớn hơn 1,5 R (có thể xảy ra tại tỷ lệ 1:3 nhưng còn tùy tỷ lệ thắng và độ phân tán trong nhóm), cùng khoảng tin cậy cần mẫu lớn hơn tương ứng. Công thức giả định quan sát độc lập và xấp xỉ chuẩn cho trung bình (định lý giới hạn trung tâm), nên khoảng chỉ mang tính chỉ dẫn với mẫu nhỏ và phân phối kết quả lệch mạnh; σ = 1,5 R được giả định để minh họa. Phụ thuộc dương giữa kết quả có thể làm khoảng rộng hơn, phụ thuộc âm có thể thu hẹp; riêng thiếu độc lập không xác định hướng. Khi thay σ bằng độ lệch chuẩn mẫu s, khoảng tiêu chuẩn dùng phân phối t Student; xấp xỉ chuẩn bên dưới giả định σ minh họa đã biết.^[8]

Đọc kỹ hàng bốn trăm giao dịch. Ý nghĩa thống kê liên hệ độ lớn hiệu ứng, sai số và mức đã chọn; riêng số giao dịch không quyết định nó. Với nửa độ rộng ±0,15 R, ước lượng +0,10 R cho khoảng −0,05 R đến +0,25 R, gồm không: sau bốn trăm giao dịch, kết quả đó không thể được phân biệt với không có lợi thế. Để giá trị kỳ vọng quanh +0,10 R loại trừ không tại σ = 1,5 R cần n > (1,96 × 1,5 / 0,10)² ≈ 864 quan sát. Với +0,40 R, cùng bảng hoàn toàn khác: một trăm là đủ.

Vì vậy câu trả lời cho “bao nhiêu giao dịch” là: tùy độ lớn hiệu ứng muốn phân biệt với không và độ phân tán kết quả. Mọi ngưỡng được nêu thiếu hai con số đó, dù một trăm, hai trăm hay năm trăm, đều là thông lệ thay vì kết quả tính toán.

10. Phép tính này không cho biết gì

Công thức bị dùng ngoài phạm vi

Thay tỷ lệ thắng vào công thức 1:1 khi tỷ lệ là 1:3 cho kết quả vô nghĩa: tại tỷ lệ thắng 35%, lợi thế là 2 × 0,35 − 1 = −0,30 và kết luận “chắc chắn phá sản”, trong khi giá trị kỳ vọng của bộ quy tắc này là 0,35 × 3 − 0,65 = +0,40 R. Công thức vẫn đúng; nó được áp dụng cho khoản cược không thuộc mô tả của nó. Điều kiện áp dụng là bộ phận của công thức cũng như vế phải.

Thay kỳ vọng ở dạng gộp

Chi phí khớp lệnh ảnh hưởng mỗi giao dịch, kể cả giao dịch thua, nên giảm kỳ vọng đúng bằng chi phí: mục 8 dùng 0,19 R, tức 35,2% giá trị gộp. Rủi ro phá sản tính từ giá trị gộp là một ước lượng thấp hơn.

Giả định kết quả độc lập

Lấy mẫu có hoàn lại từng kết quả riêng giả định độc lập giữa giao dịch liên tiếp. Mô hình biến động có điều kiện như ARCH của Engle mô tả sự phụ thuộc phương sai; nghiên cứu năm 1982 xét lạm phát Anh.^[4] Điều đó không hàm ý kết quả của quy tắc tiền tệ cụ thể phải tập trung thành chuỗi thua. Nếu có sự tập trung như vậy, lấy mẫu riêng lẻ xóa nó đi. Với sự phụ thuộc luân phiên, thao tác đó lại có thể tạo chuỗi dài hơn cơ chế thực tế. Kiểm tra hướng trên kết quả của cùng quy tắc.

Cùng tỷ lệ thắng, hai cơ chế chuỗi khác nhau

Để minh họa, đặt tần suất thua dài hạn q=0,4. Trong mô hình độc lập, xác suất hai lần thua trong khối đã quy định là 0,4²=0,16. Trong mô hình dừng với P(thua sau thua)=0,6 và P(thua sau thắng)=0,2667, giá trị xấp xỉ 0,4×0,6=0,24. Với xác suất chuyển 0,2 và 0,5333, nó giảm còn 0,4×0,2=0,08, dù tỷ lệ thắng vẫn là 60%. Giữ cùng trung bình và tần suất không xác định độ dài chuỗi. Điều này phản bác nhận định rằng mọi sự phụ thuộc đều làm xấu kết quả mô phỏng độc lập.

Phân phối xây dựng từ những gì đã xảy ra

Lấy mẫu dữ liệu riêng chỉ tái tạo được kết quả có trong đó. Giới hạn của mô hình chuẩn cũng được bàn trong tài liệu đọc thêm^[2]. Chúng tôi không gán cho cuốn sách việc đo đuôi phân phối của chuỗi cụ thể, cũng không giả định một phân phối duy nhất của biến động tỷ giá ở đây. Kịch bản riêng có thể chứa khoản lỗ lớn gấp nhiều lần dự kiến; nếu mẫu không có quan sát đó, mô phỏng không bao giờ tạo ra nó — dù có một triệu đường đi. Lấy mẫu bộ dữ liệu này không thể tái tạo sự kiện lỗ cực đoan vắng mặt. Điều đó không hàm ý hướng sai số phổ quát cho mọi phân vị; vì vậy bổ sung kết quả bằng kịch bản tường minh còn thiếu trong mẫu. Bổ sung thực tế là phép tính có điều kiện riêng: một kết quả giả định một giao dịch trong hai trăm kết thúc ở −5 R, một kết quả khác giả định một trong năm trăm kết thúc ở −10 R. Phép tính đó chỉ nói một sự kiện như vậy lấy đi bao nhiêu vốn.

Giả định tham số ổn định

Tỷ lệ thắng và tỷ lệ lợi nhuận/rủi ro đi vào công thức đến từ quá khứ và mang sai số ước lượng đã bàn ở mục 9. Mô hình coi chúng là hằng số. Nếu chúng thay đổi theo thời gian, tính lại các biến thể dùng vài giai đoạn con được chọn rõ ràng và nêu tiêu chí chọn. Giai đoạn có trung bình thấp hơn hoặc chuỗi thua dài hơn có thể làm xấu kết quả cụ thể, nhưng tham số không nhất thiết cùng thay đổi. Đây là phân tích độ nhạy, không chứng minh giai đoạn lịch sử xấu nhất dự báo tương lai tốt hơn. Đánh giá bộ quy tắc còn hoạt động hay không thuộc phần 8; bài này chỉ tính hệ quả của tham số đã quy định.

Đường đi trung bình không phải thời gian phục hồi lần đầu

Cột A và B ở mục 1 cho biết khi nào đường vốn trung bình tất định chạm đỉnh cũ: lần lượt với số tiền cố định và hệ số nhân 1+0,004. Chúng không phải trung bình hay trung vị thời gian phục hồi lần đầu của một tài khoản riêng. Thời gian đó tùy toàn bộ phân phối và đường đi; một số đường có thể không phục hồi trong khung thời gian. Trong mô phỏng, ghi thời gian phục hồi lần đầu riêng và báo tỷ phần đường chưa phục hồi thay vì loại chúng khỏi thời gian trung bình.

11. Bài tập tự kiểm tra

Dữ liệu khác mọi ví dụ phía trên. Hãy tự tính trước khi xem lời giải.

Lời giải.

Câu 1. Sụt giảm từ đỉnh: (24 000 − 15 600) / 24 000 = 8 400 / 24 000 = 0,35, cho −35%. Lợi suất cần thiết: Z = 0,35 / (1 − 0,35) = 0,35 / 0,65 = 0,5385, cho +53,8%. Theo PLN: thiếu 8 400 PLN, tính trên 15 600 PLN, cho 8 400 / 15 600 = 53,8%; hai cách khớp nhau giúp kiểm tra số học. Đây là mức tăng vốn cần từ đáy đến đỉnh. Nếu cả hai trạng thái đều sau chi phí, bạn phải kiếm 8 400 PLN ròng; không cộng chi phí lần nữa vào chính tỷ số. Công thức không nói cần bao nhiêu kết quả gộp hay bao lâu để tăng số vốn đó.

Câu 2. Mô hình: phá sản của người chơi, tỷ lệ 1:1, số tiền rủi ro cố định, khung thời gian vô hạn. Tỷ số (1 − 0,54)/0,54 = 0,46/0,54 = 0,851852. N được tính từ vốn chủ sở hữu hiện tại đến ngưỡng phá sản vì đã đi qua một phần khoảng cách. Ngưỡng: 24.000 × (1 − 0,40) = PLN 14.400. Số tiền rủi ro: 1,5% × 24.000 = PLN 360 (cố định, từ vốn ban đầu). Khoảng cách: 15.600 − 14.400 = PLN 1.200.

• Rủi ro 1,5%: N=⌈1200/360⌉=4. Trạng thái đầu tiên có thể đạt tại hoặc dưới ngưỡng: 14 160 PLN; (0,46/0,54)^4=0,526570, cho 52,66%.
• Rủi ro 3%: R=720 PLN, N=⌈1200/720⌉=2; (0,46/0,54)^2=0,725652, cho 72,57%. Tăng số tiền rủi ro gấp đôi làm kết quả tăng 19,91 điểm phần trăm, khoảng 1,38 lần.
• Lúc bắt đầu với R=360 PLN, khoảng cách là 9 600 PLN, nên N=⌈9600/360⌉=27 và kết quả là 1,32%. Chạm 15 600 PLN đã làm rủi ro có điều kiện từ trạng thái hiện tại tăng khoảng bốn mươi lần. Số mũ hoạt động giống nhau tại mọi N; khoảng cách đến rào cản đã đổi.

Câu 3. Kết quả giả định kết quả ±R, số tiền rủi ro cố định, tỷ lệ thắng không đổi p=0,54, độc lập, chi phí không và khung thời gian vô hạn. Độ lệch chuẩn lý thuyết của phân phối này là σ=√(1−0,08²)=0,9968 R, thay vì 1,5 R. Xấp xỉ chuẩn cho bất định của trung bình với 100 quan sát có nửa độ rộng khoảng 0,195 R; nó mô tả bất định của p bị bỏ qua trong kết quả phá sản phía trên. Chi phí bổ sung không âm làm xấu cùng đường đi, còn khung hữu hạn giảm cơ hội phá sản. Sự phụ thuộc và thay đổi tham số có thể tác động theo cả hai hướng. Với p≤0,5 trong mô hình ±R này, xác suất phá sản trên khung vô hạn là 1, dù thời gian chạm ngưỡng trung bình có thể vô hạn tại p=0,5.

Câu 4 không có lời giải duy nhất. Quy trình giống nhau: ngưỡng phá sản riêng theo tiền → khoảng cách từ vốn hiện tại → chia cho số tiền rủi ro cố định riêng → làm tròn lên đến ngưỡng có thể đạt → N → ((1 − p)/p)N. Ghi kết quả cùng danh sách giả định ở câu 3: danh sách đó là một phần đáp án.

12. Năm con số bạn cần tính sẵn

Mỗi con số cần nêu cơ sở và giả định; chỉ khi đó mới có thể so sánh:

1. Kỳ vọng sau chi phí khớp lệnh, theo đơn vị R và đồng tiền tài khoản, kèm thành phần chi phí. Định nghĩa và cách suy ra nằm trong bài 9.6.
2. Lợi suất cần để phục hồi mức sụt giảm điển hình và sâu nhất đến nay của bạn, theo đẳng thức Z = DD/(1 − DD), tính từ đáy.
3. Rủi ro phá sản tại mức rủi ro mỗi giao dịch của bạn, kèm ngưỡng phá sản, biến thể mô hình và danh sách giả định. Thiếu ba điều đó, con số không có ý nghĩa.
4. Trung vị và phân vị 95 của sụt giảm tối đa từ mô phỏng dùng kết quả riêng. Đại lượng sau không phải trường hợp xấu nhất; riêng nó không mô tả độ sâu phần còn lại của phân phối. Giới hạn mô hình được xác định riêng.
5. Nửa độ rộng khoảng tin cậy của kỳ vọng riêng tại số giao dịch của bạn. Trung bình vẫn là ước lượng dù khoảng loại trừ không. Khoảng bao gồm không còn cho thấy mẫu không thể phân biệt trung bình dương với không hoặc âm theo các giả định này. Bất định tham số truyền sang phép tính phụ thuộc phân phối kết quả; lợi suất cần để phục hồi mức giảm đã quy định tự nó là đẳng thức số học.

Cả năm mô tả hệ quả của tham số bạn tự cung cấp. Không đại lượng nào kết luận bộ quy tắc có lợi thế hay không (câu hỏi đó thuộc phần 8), và không đại lượng nào biến bộ quy tắc có kỳ vọng âm thành sinh lời.

Bài tiếp theo (9.3) đảo chiều phép tính: thay vì tính rủi ro phá sản cho tỷ lệ phần trăm đã cho, nó suy ra tỷ lệ cho phép từ mức sụt giảm đã cho và độ dài chuỗi thua giả định.

Thêm lần diễn tiến không thay thế được mẫu lớn hơn

Mô phỏng có hai sai số. Sai số thứ nhất từ rút M đường đi tại tham số cố định; thứ hai từ ước lượng tham số bằng n kết quả thực tế. M=100 000 tại n=20 có thể tái tạo rất chính xác một phân phối bất định của hai mươi quan sát. Để tách chúng, tính vài kịch bản đầu vào rồi lặp lấy mẫu với hạt giống khác nhau trong mỗi kịch bản. Không gọi thay đổi giữa kịch bản là sai số Monte Carlo.