Chance-Risiko-Verhältnis, Trefferquote und Erwartungswert – das Ergebnis je Trade berechnen

Eine Trefferquote von 80 % kann mit einem negativen Ergebnis einhergehen. Sie benötigen auch Durchschnittsgewinn, Durchschnittsverlust und Kosten eines abgeschlossenen Trades. Der Nettoerwartungswert verbindet sie; die Gewinnschwelle liefert die Trefferquote für einen Mittelwert von null bei festgelegten Ergebnissen. Diese Lektion definiert p, RR und E für den gesamten Abschnitt. Sie berechnen die Schwellenverschiebung in Prozentpunkten und untersuchen, was ein positiver Mittelwert allein über einen Monat, Drawdown oder die Positionsgröße aussagt. Die Beispiele sind illustrativ: Für Ihre eigene Rechnung brauchen Sie tatsächliche abgeschlossene Ergebnisse und eine einheitliche Kostenkonvention. Explizite Einheiten und Nenner machen Vergleiche aussagekräftig.

1. Drei Größen: Chance-Risiko-Verhältnis, Trefferquote, Erwartungswert

Dies ist der Referenzblock für den gesamten Kursabschnitt. Die Artikel 9.2, 9.5, 9.7, 9.8 und 9.11 verwenden diese drei Größen als Eingaben und verweisen für Definitionen hierher. Zwei Größen, die in diese Definitionen eingehen, haben ihren eigenen Platz in diesem Artikel: Zusammensetzung und Messung der Kosten K_t werden in Abschnitt 5 geklärt, die Gewinnschwellen-Trefferquote samt Herleitung in Abschnitt 2.

Die Risikoeinheit (R)

Die Risikoeinheit ist der Betrag, den Sie verlieren, wenn der Kurs den Schutzausstieg erreicht und der Auftrag zum angenommenen Preis ausgeführt wird. Wir bezeichnen ihn mit R. Das Ergebnis jedes Trades in R ist über unterschiedlich große Konten vergleichbar: 200 PLN zu riskieren und +460 PLN zu erzielen ergibt +2,3R, ob der Kontonettowert 20.000 oder 200.000 PLN beträgt. Wie das Volumen bestimmt wird, das R erzeugt, beschreibt 9.5; die Basis der Risikoprozentzahl behandelt 9.3. Für eine einzelne Position bezieht sich die Prozentzahl auf den aktuellen Kontonettowert vor Eröffnung. Für Periodensummen fixieren wir den zu Beginn festgelegten Betrag und benennen den Anfangskontonettowert; eine gesonderte Variante mit Zinseszinseffekt berechnet den Prozentsatz vor jedem Schritt neu. Eine Prozentzahl ohne angegebene Basis ist bedeutungslos: Bei einem unrealisierten Verlust offener Positionen ergeben dieselben „1 %“ vom abgerechneten Kontostand und vom aktuellen Kontonettowert zwei unterschiedliche Beträge; die Differenz wächst mit dem Verlust.

Das Chance-Risiko-Verhältnis (RR)

RR = ZS

Dabei ist Z der Durchschnittsgewinn der Gewinntrades und S der Durchschnittsverlust der Verlusttrades, beide in derselben Einheit (Kontowährung oder R) und beide als positive Werte. Die Schreibweise „1:2“ bedeutet in diesem Kurs RR = 2: Der Durchschnittsgewinn ist doppelt so groß wie der Durchschnittsverlust. „1:0,7“ bedeutet RR = 0,7; der Durchschnittsgewinn ist kleiner als der Durchschnittsverlust.

Die im gesamten Artikel geltende Konvention: Z und S sind Bruttogrößen. Das heißt: anhand abgeschlossener Trades gemessen, also realisiert und nicht geplant, jedoch vor Abzug der Ausführungskosten. Diese gehen gesondert als K_t in die Rechnung ein und werden genau einmal abgezogen (Abschnitte 4 und 5). Die umgekehrte Konvention, Z und S bereits nach Kosten, ohne gesondertes K_t, ist ebenso konsistent. Beide dürfen aber niemals vermischt werden: Einen Wert nach Kosten in Z einzusetzen und anschließend K_t abzuziehen zählt dieselbe Belastung doppelt. Bei kurzen Ausstiegsabständen kann das einen Unterschied von über zehn Prozent einer Risikoeinheit ausmachen. Überall in diesem Artikel, in den Tabellen und der Übung gilt die erste Konvention.

Die Trefferquote (p)

Die Trefferquote p ist der Anteil profitabler Trades an allen abgeschlossenen Trades, bei einer expliziten Brutto- oder Nettokonvention. Ordnen Sie genau null ergebende Trades einer dritten Gruppe p₀ zu; p₊+p₋+p₀=1. Verwenden Sie die binäre Formel, wenn p₀=0. Kosten bei einem Kursgewinn von null machen dieses Bruttoergebnis nicht zu einem Bruttoverlust; das Nettoergebnis kann dennoch negativ sein.

Der Erwartungswert (E)

E_R = p × RR − (1 − p)

Das Ergebnis als Vielfaches des je Trade eingegangenen Risikos, bei einem Durchschnittsverlust von 1 R, einem Durchschnittsgewinn von RR Risikoeinheiten und ohne Gruppe mit Nullergebnissen. Dies ist eine Bruttogröße: Nach der oben festgelegten Konvention enthalten Z und S keine Kosten; diese müssen deshalb gesondert abgezogen werden. Die Fassung in Kontowährung und nach Kosten steht in Abschnitt 4.

Drei durchgerechnete Beispiele

Chance-Risiko-Verhältnis und Trefferquote müssen gemeinsam betrachtet werden. Bei 1:2 (RR=2) und p=20%, 0,20×2−0,80=−0,40 R; bei p=45%, 0,45×2−0,55=+0,35 R. Bei 1:0,7 und p=68%, mit einem Durchschnittsgewinn unter dem Durchschnittsverlust, 0,68×0,7−0,32=+0,156 R. Ein Verhältnis unter 1 kann einen positiven Erwartungswert haben, während er bei 1:2 negativ sein kann. Ein Filter „nie unter 1:2“ verwirft das erste und lässt das zweite zu.

Beachten Sie den Status dieser Zahl: Beim Einstieg vom Chart abgelesene Abstände ergeben das geplante Verhältnis. In die Erwartungswertrechnung geht das realisierte Verhältnis ein, berechnet aus Mittelwerten abgeschlossener Trades und nach der folgenden Konvention vor Abzug der Ausführungskosten, weil diese gesondert als K_t eingehen. Abschnitt 3 beschreibt den Unterschied; seine systematische Quelle ist das Management offener Positionen, beschrieben in 9.7.

So gehen Nullergebnisse in den Mittelwert ein

Bei drei Gruppen E_gross=p₊Z−p₋S und E_net=p₊Z−p₋S−K_t, wobei K_t die Durchschnittskosten aller Trades bezeichnet. Beispiel: vier Gewinne von +2 R, vier Verluste von −1 R und zwei Nullergebnisse bei 0,1 R Kosten je Trade. Der Bruttomittelwert ist (8−4)/10=0,4 R; der Nettomittelwert beträgt 0,3 R. Entfernt man die Nullergebnisse, ergibt sich ein Bruttomittelwert von 0,5 R über acht Trades. Um den Mittelwert aller Trades wiederherzustellen, multiplizieren Sie mit 0,8 und ziehen dann die vollen Kosten von 0,1 R ab. Ein anderer Nenner verändert die Frage.

2. Gewinnschwellen-Trefferquote – Herleitung und Kosteneffekt

Die Gewinnschwellen-Trefferquote ist die Trefferquote, bei der der Erwartungswert null ist. Die Herleitung benötigt zwei Zeilen. Die Bedingung für einen Erwartungswert von null in Kontowährung mit den gesamten Durchschnittskosten eines Trades K_t:

p × Z − (1 − p) × S − K_t = 0

Umgestellt:

p* = S + K_tZ + S

Ohne Kosten (K_t = 0) vereinfacht sich die Formel zu p* = S/(Z + S), also nach Division von Zähler und Nenner durch S zu:

p*_{ohne Kosten} = 11 + RR

Einheitenprüfung: Z, S und K_t verwenden dieselbe Währung, daher ist p* dimensionslos. Bei Z>0, S>0 und 0≤K_t<Z liegt es in (0,1); bei K_t=Z ist es gleich 1, bei K_t>Z größer als 1 und ein positiver Erwartungswert ist mit diesen Ergebnissen unerreichbar. Richtungsprüfung: Höhere Kosten erhöhen Zähler und Schwelle; ein größeres Z senkt die Schwelle.

Die dritte Spalte wird berechnet aus p* = (1 + 0,10)/(RR + 1), bei einem Verlust von 1R und Kosten eines Trades für Eröffnung und Schließung von 0,10R. Die Kosten von 0,10R sind illustrativ: Sie entsprechen einem Schutzausstiegsabstand von 20 Pips bei Gesamtkosten von 2 Pips. Setzen Sie Ihren eigenen Wert aus Abschnitt 5 ein.

Zwei Schlussfolgerungen werden erst in der Differenzspalte sichtbar. Erstens erhöhen Kosten die Schwelle umso stärker, je kleiner das Verhältnis ist. Bei einem Verhältnis von 1:0,5 verschieben dieselben Kosten von 0,10R die Schwelle um 6,67 Prozentpunkte, bei 1:5 um 1,67. Zweitens ist die kostenfreie Fassung stets zu optimistisch, nicht wegen der Form dieses Zusammenhangs, sondern schlicht weil K_t positiv ist und die gesamte Schwellenanhebung davon herrührt. Was die umgekehrte Proportionalität zu (RR + 1) aussagt, ist das Ausmaß der Unterschätzung: Sie wächst bei nahen und schrumpft bei entfernten Zielen.

Die Differenzspalte hat noch eine Eigenschaft, die vor Abschnitt 5 wichtig ist. Der Schwellenanstieg beträgt genau K_t/(Z + S); er hängt also weder von der Trefferquote noch davon ab, wie getreu Sie den Plan ausführen. Er hängt allein von Kosten und der Summe aus Durchschnittsgewinn und Durchschnittsverlust ab. Die praktische Folge: Zwei Trades mit identischem Verhältnis, aber unterschiedlichen Schutzausstiegsabständen haben einen unterschiedlichen Schwellenanstieg, weil bei festen Kosten in Pips ein kürzerer Ausstieg ein kleineres (Z + S) in Pips bedeutet. Dieselbe Geometrie in R-Einheiten bedeutet daher nicht dieselbe Schwelle in Prozentpunkten; die Rechnung steht in Abschnitt 5.

Schwelle und Erwartungswert sind zwei Seiten derselben Identität. Zieht man die Nullbedingung von der Definition des Erwartungswerts ab, erhält man E_net = (p - p*) x (Z + S): Der Nettoerwartungswert ist der Trefferquotenabstand über der Schwelle multipliziert mit der Summe aus Durchschnittsgewinn und Durchschnittsverlust. Abstand in Prozentpunkten und Erwartungswert in Währung tragen damit dieselbe Information in zwei Einheiten. Prüfung anhand der Übungsdaten aus Abschnitt 10: (38,00% - 33,24%) x 680 PLN ≈ 32,4 PLN; bis auf die Rundung der Schwelle dieselbe Zahl wie in der vollständigen Formel (32,40 PLN). Ergeben die beiden Wege unterschiedliche Ergebnisse, liegt ein Rechenfehler vor: meistens doppelt gezählte Kosten oder die falsche Prozentbasis.

Die Gewinnschwellen-Trefferquote ist eine arithmetische Identität: Sie folgt aus der Definition des Erwartungswerts und gilt unabhängig von Markt, Instrument und Horizont. Keine Identität ist dagegen die Behauptung, Ihre Trefferquote betrage einen bestimmten Wert: Das ist eine Stichprobenschätzung mit einem Fehler, den Abschnitt 8 behandelt.

Ergebnisabhängige Kosten verändern die Schwelle

Unterscheiden sich die mittleren Gewinnkosten K_z von den mittleren Verlustkosten K_s, dürfen Sie ihren ungewichteten Mittelwert bei wechselndem p nicht als Konstante behandeln. E_net=p(Z−K_z)−(1−p)(S+K_s); bei positivem Nenner gilt p*=(S+K_s)/(Z+S+K_s−K_z). Illustrative Werte Z=300 PLN, S=100 PLN, K_z=10 PLN, K_s=30 PLN ergeben 130/420=30,95%. Mit Kosten von 20 PLN ergäben sich 30 %, doch 20 PLN sind nur bei p=50 % der richtige Durchschnitt, nicht an der gesuchten Schwelle. Bei p=40 % betragen die Durchschnittskosten 22 PLN und E=38 PLN. Beide Rechenwege stimmen überein.

3. Ergebnis in Risikoeinheiten: geplant, realisiert, nach Ausführungskosten

Das Trade-Ergebnis in Risikoeinheiten erfordert eine einzige Division:

Ergebnis in R = Trade-Ergebnis in Kontowährungbeim Einstieg zugewiesenes Risiko (1 R)

Ergebnisse in Einheiten des Anfangsrisikos festzuhalten und ihre Verteilung zu analysieren ist ein in der Fachliteratur beschriebener Ansatz^[1]. Sie riskierten 200 USD und schlossen mit 460 USD Gewinn → +2,3R. Ein voller Verlust → -1,0R. Schließen mit 140 USD Verlust, bevor der Kurs den Schutzausstieg erreicht → -0,7R.

Ergebnisse in R zu erfassen normalisiert sie hinsichtlich der Kontogröße, aber nicht hinsichtlich der Risikohöhe. +1,0R bei riskierten 1 % des aktuellen Kontonettowerts (bei 20.000 PLN: 200 PLN) und +1,0R bei 10 % derselben Basis (2.000 PLN) sind dieselbe R-Zahl und zwei völlig verschiedene Entscheidungen. Nennen Sie Prozentsatz und Betrag gemeinsam, zuerst den Prozentsatz, dann den Betrag in Kontowährung.

Mittlere Ergebnisse in R und PLN können entgegengesetzte Vorzeichen haben

Illustrativ hat der erste Trade 100 PLN Budget und +2 R Ergebnis, also +200 PLN; der zweite hat 400 PLN Budget und −1 R Ergebnis, also −400 PLN. Das mittlere Einheitenergebnis ist +0,5 R, das mittlere Geldbetragsergebnis jedoch −100 PLN. Mittleres R mit dem mittleren Risikobudget zu multiplizieren ergibt im Allgemeinen nicht die mittleren PLN: E[R_i B_i]=E[R_i]E[B_i]+Cov(R_i,B_i). Berechnen Sie jeden Betrag mit seinem eigenen Budget. Geben Sie an, ob der Mittelwert Trades gleich oder nach eingesetztem Kapital gewichtet.

Drei Ebenen desselben Ergebnisses

Der R-Wert lässt sich anhand von drei unterschiedlichen Datensätzen berechnen; Lehrmaterialien nennen meist nur den ersten:

• Geplantes R – aus der Auftragsgeometrie vor dem Einstieg. Einstieg 1,0850, Schutzausstieg 1,0820, Ziel 1,0910 → geplantes Verhältnis 1:2,0
• Realisiertes Ergebnis gegenüber Mittelkursen —vor Ausführungskosten. Schließen bei 1,0885 ergibt aus der Kursgeometrie +1,17 R statt geplanter +2,0 R; nach Ausführungskosten verbleiben auf dem Konto +1,06 R. Der Durchschnittsgewinn Z verwendet +1,17 R, weil Kosten gesondert als K_t
• Ausführungsverlust – der Ergebnisteil, der durch Spread (die volle Geld-Brief-Differenz, einmal je Eröffnung und Schließung bezahlt), Provision auf beide Aufträge und Slippage bei Aktivierung des Schutzauftrags aufgezehrt wird. Messen Sie ihn anhand Ihrer eigenen abgeschlossenen Trades; die illustrativen Werte dieses Artikels ersetzen keine Messung

Hier werden Z und S anhand der Mittelkursbewegung bis zum tatsächlichen Ausstiegszeitpunkt gemessen; Spread, Slippage und Provision werden gesondert abgezogen. Ausführungspreise von 1,08510 und 1,08843 ergeben bereits 33,3 Pips; abzüglich einer Provision von umgerechnet 1,4 Pips verbleiben 31,9 Pips oder 1,0633 R. Stammen Z und S direkt aus Ausführungen, ziehen Sie Spread und Slippage nicht erneut ab. Provision und Finanzierung bleiben gesondert, sofern sie nicht bereits enthalten sind. Das geplante Ziel ersetzt kein realisiertes Ergebnis; Durchschnittswerte müssen tatsächliche Ausstiege einschließlich vorzeitiger Ausstiege und Ausführungen jenseits der Barriere enthalten.

Illustrative Werte ohne Swap; 1 R = 30 Pips. Rechnen Sie in Pips, um Rundungsverschiebungen zu vermeiden: 60−25−3,1=31,9 Pips, oder 31,9/30=+1,063 R, gerundet auf +1,06 R. Die Ausführungskosten betragen insgesamt 3,1 Pips: Slippage 0,3, Spread 1,4 und Provision 1,4. Der Spread geht einmal als volle Differenz zwischen Kauf- und Verkaufsquotierung für Eröffnung und Schließung ein; Provision je Seite wird auf beide Aufträge erhoben (Abschnitt 5). Gerundete R-Komponenten ergeben 0,010+0,047+0,047=0,104 R, gegenüber exakt 3,1/30=0,1033 R. Die Differenz von 0,001 R entsteht durch Rundung der Komponenten; deshalb verwendet das Wasserfalldiagramm 0,103 R. Beachten Sie den Status von +1,17 R: vor Ausführungskosten realisiert, geht es unter dieser Konvention in den Durchschnittsgewinn Z ein. +1,06 R ist das Nettoergebnis des Kontos; es in Z zu verwenden und zugleich K_t abzuziehen würde Kosten doppelt zählen. Dieser Gewinntrade aktivierte seinen Schutzstop nicht, daher wird hier keine Slippage beim Stopausstieg berechnet; die Verlustvariante in Abschnitt 5 berücksichtigt sie gesondert.

Die Mindestaufzeichnung, die diese Rechnung ermöglicht

Zur Berechnung von Trefferquote, Durchschnittsgewinn, Durchschnittsverlust und Kosten genügen sechs Felder je Trade: Instrument, bei Eröffnung eingegangenes Risiko in Kontowährung, Abschlussergebnis in Kontowährung, Kosten beider Seiten, ob gemäß der niedergeschriebenen Regel geschlossen wurde, sowie das Datum. Ein vollständiger Tradingjournal-Standard mit aufgeteilten Diagnosefeldern gehört in einen anderen Kursteil und wird hier nicht entwickelt.

4. Erwartungswert – Herleitung, brutto und netto

Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert zweier möglicher Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten als Gewichten. In Kontowährung:

E_brutto = p × Z − (1 − p) × S

Dabei ist p die Trefferquote als Bruchteil; Z der Durchschnittsgewinn der Gewinntrades, anhand abgeschlossener Trades gemessen, in Kontowährung, vor Abzug der Ausführungskosten; S der Durchschnittsverlust der Verlusttrades unter denselben Bedingungen, als positiver Wert. Einschließlich der gesamten Durchschnittskosten eines Trades für Eröffnung und Schließung:

E_netto = p × Z − (1 − p) × S − K_t

Dabei ist K_t die Gesamtheit der Durchschnittskosten eines Trades für Eröffnung und Schließung: Spread wird einmal gezählt (die volle Geld-Brief-Differenz), Provision zweimal (auf beide Aufträge erhoben), dazu angenommene Slippage und bei Übernachthalten Swap-Punkte mit umgekehrtem Vorzeichen, weil eine Gutschrift die Kosten senkt. Alles in Kontowährung; Zusammensetzung und Messung von K_t werden in Abschnitt 5 geklärt. Bei Verlusten von genau 1R verkürzt sich die Formel zur Risikoeinheiten-Fassung: E_R = p x RR - (1 - p), wobei Kosten gesondert als Bruchteil von R abgezogen werden.

Die allgemeine Fassung in Risikoeinheiten, die auch bei einem Durchschnittsverlust ungleich 1R gilt: E_R = (S/R) x [p x RR - (1 - p)] - K_t/R – die Klammer der vereinfachten Fassung wird mit dem Quotienten S/R multipliziert. Zahlenprüfung: Bei p = 50 %, RR = 2 und S = 1,2R beträgt der Durchschnittsgewinn Z = RR x S = 2,4R, also E_gross = 0,5 x 2,4 - 0,5 x 1,2 = +0,60R; die vereinfachte Fassung ergäbe +0,50R und unterschätzte das Ergebnis um 0,1R. Die Fehlerrichtung hängt vom Vorzeichen der Klammer ab: Bei S > 1R unterschätzt die vereinfachte Fassung ein positives und mildert ein negatives Ergebnis, bei S < 1R wirkt es umgekehrt.

Satz A: Trefferquote 45 %, Verhältnis 1:2,1

• p = 0,45; Z = 2,1R; S = 1,0R
• E_gross = 0,45 × 2,1 − 0,55 × 1,0 = 0,945 − 0,55 = +0,395 R
• Bei Kosten von 0,083 R (2,5 Pips geteilt durch 30 Pips Ausstiegsabstand): E_net = 0,395 − 0,083 = +0,312 R

Satz B: Trefferquote 72 %, Verhältnis 1:0,5

• p = 0,72; Z = 0,6R; S = 1,2R
• E_gross = 0,72 × 0,6 − 0,28 × 1,2 = 0,432 − 0,336 = +0,096 R
• Bei denselben Kosten von 0,083 R: E_net = 0,096 − 0,083 = +0,013 R

Die Trefferquote von Modell B liegt 27 Prozentpunkte höher, der Bruttoerwartungswert ist jedoch etwa viermal kleiner. Sein Durchschnittsverlust übersteigt eine Risikoeinheit, S=1,2 R, während der Durchschnittsgewinn darunter liegt, Z=0,6 R. Die Trefferquote allein sagt nichts über das Vorzeichen des Ergebnisses aus. Bei Kosten von 0,10 R statt 0,083 R wird B negativ: 0,096−0,10=−0,004 R. Eine scheinbar konservative Marge kann schmaler sein als die Unsicherheit der gemessenen Kosten.

Hochrechnung auf einen Zeitraum – warum hier drei signifikante Stellen nicht gerechtfertigt sind

Für A mit netto E=0,3116667 R nehmen wir feste 500 PLN an, entsprechend 1 % von 50.000 PLN Kontonettowert vor der Periode. Halten Sie den Betrag für 15 Trades fest. Die erwartete Summe ist 15×0,3116667×500=PLN 2.337,50, also 4,675 % des Anfangskontonettowerts. Mittelwerte addieren sich auch ohne Unabhängigkeit, sofern jeder genannte Trade-Mittelwert weiter gilt. Die folgende einfache Berechnung von Standardabweichung und Summenverteilung benötigt Unabhängigkeit.

Die Standardabweichung eines einzelnen Trades bei A beträgt √(0,45×2,1²+0,55×1,0²−0,395²)=1,54 R. Über 15 unabhängige Trades beträgt die Abweichung der Summe 1,54×√15=5,97 R, also 5,97 Prozentpunkte des Anfangskontonettowerts bei festen 500 PLN gegenüber einem Mittelwert von netto +4,675 % oder brutto +5,93 %. Die Streuung übersteigt das gesamte erwartete Ergebnis. Ein monatliches „+5,93 %“ suggeriert Hundertstelpunktpräzision für eine Größe mit einer typischen Abweichung von etwa sechs Punkten und lässt außerdem die Kosten weg, weil die Zahl brutto ist.

Die Streuung der Summe wächst mit der Quadratwurzel der Trade-Anzahl, der Erwartungswert linear, sodass auf hinreichend lange Sicht der Mittelwert zu dominieren beginnt. „Hinreichend lang“ ist aber keine frei behauptbare Zahl; sie folgt aus dem Stichprobenplan, den 8.2 behandelt. Was der Mittelwert selbst langfristig nicht aussagt, zeigt Abschnitt 8.

Ein fester Bruchteil des aktuellen Kontonettowerts erfordert eine andere Rechnung

Bei f=0,01, unabhängigen identisch verteilten X und 15 Schritten K_15/K_0=∏(1+fX_i). Sein mittlerer Multiplikator ist (1+fE[X])^15. Für A nach festen Kosten von 0,083333 R ergibt sich +4,778 % Wachstum statt summierter 4,675 %. Die Multiplikatorvarianz ist (E[(1+fX)²])^15−(1+fE[X])^30, mit einer Standardabweichung von etwa 6,24 Prozentpunkten. Diese Rechnungen nehmen bekannte p=0,45, Ergebnisse von +2,016667 R und −1,083333 R und feste Kosten an; Schätzunsicherheit fehlt. Bei abhängigen Ergebnissen lassen sich erwartete Produkte nicht in Produkte von Erwartungswerten zerlegen.

5. Kosten als Eingangsgröße

Die Kosten eines Trades gehen als eine Zahl ein, K_t. Jede Komponente wird hier kurz definiert; Abschnitt 2 behandelt ihre Mechanik, die Abschnitte zur Brokerwahl die Ausführungsbedingungen und Anbieterunterschiede.

• Der Spread – die Differenz zwischen Geld- und Briefkurs. Er ist der volle Kostenbetrag für Eröffnung und Schließung, einmal je Trade bezahlt: Sie eröffnen zum schlechteren der beiden quotierten Preise und schließen zum schlechteren; damit ist die Differenz einmal bezahlt. Der Spread geht daher in K_t mit dem Multiplikator x1 ein; die volle Differenz mit zwei zu multiplizieren zählt dieselben Kosten doppelt.
• Provision – eine volumenabhängige Gebühr, bei provisionsbasierten Konten auf beiden Seiten des Trades.
• Slippage – die Differenz zwischen Auftrags- und Ausführungspreis; nach Aktivierung wird ein Schutzauftrag zur Marktorder und zum ersten verfügbaren Preis ausgeführt.
• Swap-Punkte – der bei Übertrag einer Position auf den nächsten Tag verbuchte Betrag; er kann positiv oder negativ sein.

K_t = [(s_Einstieg + s_Ausstieg)/2 + G] × V × w + C_{beide Seiten} − W_Swap

Alle Komponenten in derselben Einheit: in Kontowährung oder in Pips, die in Kontowährung umgerechnet werden. Geteilt durch R ergibt sich der Kostenbetrag in Risikoeinheiten; genau diese Zahl wird vom Bruttoerwartungswert abgezogen. Zwei Stellen werden häufig falsch gezählt und sollten gesondert erklärt werden.

Multiplikatoren und Vorzeichen. Bei Bruttoergebnissen anhand von Mittelkursen betragen die Spreadkosten für Eröffnung und Schließung (s_entry+s_exit)/2 Pips. Ein voller Spread ist eine Kurzform bei gleichem Einstiegs- und Ausstiegsspread. Einen weiteren vollen Spread zu addieren überschätzt die Kosten bei D=20 Pips und s=1,4 um 0,07 R. Bei Einstiegsspread 1 und Ausstiegsspread 5 sind es stattdessen 3 Pips. Slippage G ist die über Ein- und Ausstieg summierte Differenz zwischen Ausführung und passender Referenzquotierung derselben Seite; die halben Spreads sind nicht erneut enthalten. Berechnen Sie die Provision C beider Seiten aus dem Tarif: Verdoppeln Sie eine Rate je Seite, nicht eine Rate für Eröffnung und Schließung. W_swap ist der Auszugsbetrag, bei einer Gutschrift positiv; das Minuszeichen der Formel lässt eine Gutschrift die Kosten senken und eine Belastung sie erhöhen. Abschnitt 2 erklärt die Abrechnungsmechanik; hier sind dies Eingaben einer Rechnung.

Beginnen Sie die Messung Ihrer K_t mit der Wahl der Ergebnisbasis. Gewinn/Verlust aus zwei tatsächlichen Ausführungen enthält Spread und Slippage bereits; ergänzen Sie nur gesonderte Gebühren und Finanzierung, sofern das Nettoergebnis des Auszugs sie nicht schon umfasst. Ziehen Sie Ausführungskosten nicht doppelt ab. Eine Messung gegenüber Mittelkursen benötigt beide Referenzpreise, Einstiegs- und Ausstiegsspread sowie Ausführungen. Berechnen Sie halbe Spreads und Slippage gegenüber der passenden Quotierungsseite; Slippage gegenüber dem Mittelkurs enthielte den Spread bereits. Summieren Sie jedem abgeschlossenen Trade zuzurechnende Gebühren und ziehen Sie Finanzierung bei positiven Gutschriften ab. Für mittlere R-Kosten teilen Sie die Kosten jedes Trades vor dem Mitteln durch sein eigenes R; für Währungsmittelwerte mitteln Sie Beträge. Eine Monatsmessung beschreibt diesen Monat. Kosten variieren mit Tageszeit, Liquidität und Haltedauer; dokumentieren Sie Stichprobenzeitraum und Datenkonvention.

Ein variabler Spread trägt zwei halbe Spreads bei

Bei Bruttoergebnissen anhand von Mittelkursen mindern Einstiegsspread s₁ und Ausstiegsspread s₂ das Ergebnis für Eröffnung und Schließung um (s₁+s₂)/2 Pips. Ein voller Spread ist eine gültige Kurzform bei s₁=s₂. Illustrative s₁=1 Pip und s₂=5 Pips ergeben Kosten von 3 Pips, weder 1 noch 6. Bei w=10 USD/Pip/Lot und 0,2 Lot sind dies 6 USD. Ergebnisse aus beiden Ausführungspreisen enthalten diese halben Spreads bereits.

Kosten in Risikoeinheiten hängen vom Abstand des Schutzausstiegs ab

Kosten in Pips sind in erster Näherung konstant, während die Risikoeinheit mit dem Schutzausstiegsabstand wächst. Daraus folgt ein umgekehrter Zusammenhang: Je enger der Ausstieg, desto größer der Kostenanteil an der Risikoeinheit:

Die Tabellenwerte sind illustrativ und hängen von Instrument, Tageszeit und Broker ab. Ersetzen Sie sie vor einer Rechnung durch Ihre eigene Kostenmessung. Die letzte Spalte ist K_t/(RR + 1) für RR = 2, also der allein durch Kosten verursachte Anstieg der Gewinnschwellen-Trefferquote bei beiden Kostenvarianten.

Bei 8 Pips Abstand und 1,8 Pips Kosten verbrauchen die Kosten 22,5 % der Risikoeinheit, bei 80 Pips Abstand 2,3 %. Dasselbe Paar (Trefferquote, Verhältnis) ergibt daher je nach Schutzausstiegsabstand trotz identischer Geometrie in R-Einheiten ein anderes Nettoergebnis. Wie der Abstand selbst bestimmt wird – anhand der Widerlegung der Hypothese, nicht anhand eines akzeptablen Verlusts – beschreibt 9.4.

Feste Kosten, variabler Ausstiegsabstand – so verändert sich die Gewinnschwelle

Die vorige Tabelle zeigt den Kostenanteil an der Risikoeinheit. Diese Rechnung sollte zu Ende geführt werden, weil ein anderer Schutzausstiegsabstand zwei Dinge zugleich verändert, die in entgegengesetzte Richtungen wirken. Betrachten wir die häufigste Situation: Das Ziel wird durch ein in der Analyse festgelegtes Niveau bestimmt – woher ein solches Niveau stammt, wird an anderer Stelle im Kurs geklärt. Sein Einstiegsabstand ist daher fest und hängt nicht davon ab, wo Sie den Schutzausstieg setzen. Bezeichnen wir den Zielabstand mit T, den Schutzausstiegsabstand mit D und die Gesamtkosten eines Trades mit K, alles in Pips.

Setzen Sie dies in die Formel aus Abschnitt 2 ein, p* = (S + K_t)/(Z + S). Der Durchschnittsverlust ist D, der Durchschnittsgewinn T, die Kosten K – alles in denselben Pips, sodass sich die Einheiten kürzen und Folgendes verbleibt:

p* = D + KT + D

Dies ist dieselbe Formel wie oben, nur in Größen ausgedrückt, die Sie vor dem Einstieg im Chart haben. Nehmen Sie Gesamtkosten von 2,4 Pips und ein Ziel 60 Pips entfernt an und berechnen Sie drei Ausstiegsabstände:

Illustrative Werte: ein durch ein Niveau bestimmtes Ziel 60 Pips vom Einstieg entfernt, Gesamtkosten von 2,4 Pips unabhängig vom Ausstiegsabstand. Die Spalte „Schwelle mit Kosten“ wird unmittelbar berechnet aus (D + K)/(T + D), die Spalte „Schwelle ohne Kosten“ aus D/(T + D); der Anstieg ist ihre Differenz und gleich K/(T + D). Eine Prüfung für D = 30: (30 + 2,4)/(60 + 30) = 32,4/90 = 36,00%, und ohne Kosten 30/90 = 33,33% – eine Differenz von 2,67 Prozentpunkten, also 2,4/90. Es stimmt.

Diese Tabelle sagt mehr als das Verhältnis allein.

Der kostenbedingte Schwellenanstieg fällt bei wachsendem Ausstiegsabstand, aber langsam. Eine Verdoppelung von D von 20 auf 40 Pips senkt den Anstieg von 3,00 auf 2,40 Prozentpunkte, um ein Fünftel, nicht um die Hälfte. Der Grund steht in der Formel: Der Anstieg ist gleich K/(T + D), und im Nenner steht die Summe aus Ziel- und Ausstiegsabstand, nicht D allein. Bei einem durch ein Niveau bestimmten Ziel verdünnt ein weiter entfernter Schutzausstieg die Kosten bei Weitem nicht so stark, wie der Kostenanteil an der Risikoeinheit aus der vorigen Tabelle vermuten ließe.

Die zweite Bewegung dieser Tabelle verläuft entgegengesetzt und ist unvergleichlich größer. Zwischen D = 20 und D = 40 steigt die Schwelle mit Kosten von 28,00 % auf 42,40 %, um 14,4 Prozentpunkte, während allein die Kostenkomponente sich um 0,6 Punkte verändert. Alles Übrige kommt vom Verhältnis: Bei weiterem Ausstieg ergibt dasselbe Ziel ein kleineres RR. Beide Beobachtungen zusammen klären ein häufiges Missverständnis: Kosten sind kein Argument dafür, den Schutzausstieg weiter zu entfernen. Das verringert zwar den Kostenanteil an der Risikoeinheit, erhöht aber zugleich die erforderliche Trefferquote. Bei einem durch ein Niveau bestimmten Ziel ist der zweite Effekt über zwanzigmal stärker als der erste: 14,4 gegenüber 0,6 Prozentpunkten.

Es gibt jedoch eine Untergrenze, die die Schwelle bei keiner Ausstiegseinstellung unterschreitet. Wenn D gegen null fällt, strebt der Ausdruck (D + K)/(T + D) gegen K/T, in diesem Beispiel also gegen 2,4/60 = 4,0%. Das ist die rechnerische Untergrenze der Gewinnschwellen-Trefferquote bei gegebenen Kosten und gegebenem Zielabstand. Das ist keine erreichbare Konfiguration: Ein Ausstiegsabstand von null bedeutet keinen Trade, und die tatsächliche Änderung der Trefferquote muss gesondert geprüft werden. Als Vorprüfung ist die Zahl dennoch nützlich. Ist das Verhältnis Ihrer Kosten zum Zielabstand groß, behebt das keine Einstellung des Schutzausstiegs: Bei 2,4 Pips Kosten und einem Ziel 12 Pips entfernt beträgt die Untergrenze bereits 20 %. Die ganze Rechnung beginnt bei diesem Wert, bevor Weiteres hinzukommt.

Und ein Vorbehalt, ohne den die gesamte Tabelle irreführen würde: Ein anderer Ausstiegsabstand kann auch die Trefferquote verändern, was die Formel nicht erfasst, weil die Trefferquote ihre Eingabe ist. Die Schwellen in den letzten Spalten sagen, welche Trefferquote erforderlich ist, nicht welche eintreten wird. Wie beide Parameter zusammenhängen, behandelt Abschnitt 6; diese Beziehung lässt sich nur anhand Ihres eigenen Journals messen.

Kosten verändern sich im Zeitverlauf und zwischen Anbietern; sie gehen als Veränderung von K_t in diese Rechnung ein. Geben Sie den Erwartungswert bei typischen und erhöhten Kosten an und prüfen Sie, ob er bei Letzteren positiv bleibt. Andernfalls ist der Spielraum des Parametersatzes kleiner als die Kostenvariation selbst.

Die Schwelle kann außerhalb erreichbarer Trefferquoten liegen

Bei festen K≥0 p*=(S+K)/(Z+S) bleibt die Formel auch oberhalb von 1 sinnvoll. Illustrative Z=40 PLN, S=100 PLN, K=50 PLN ergeben p*=150/140=107,14 %. Selbst 100 % Gewinntrades verlieren 10 PLN je Trade; keine erreichbare Trefferquote liefert einen positiven Erwartungswert. Bei K=Z ergibt p*=1 mit lauter Gewinnen genau null. „Eine hohe Trefferquote ist nötig“ wäre hier der falsche Schluss.

6. Zwei Parametersätze mit ähnlichem Erwartungswert

Der Erwartungswert ist eine einzige Zahl, zu der viele Wege führen. Die beiden folgenden Varianten haben praktisch identische E_R und völlig verschiedene Ergebnisverteilungen. Die Namen sind beschreibend: Variante mit häufigen Gewinnen und Variante mit seltenen großen Gewinnen, damit sie nicht mit den Sätzen A und B aus Abschnitt 4 verwechselt werden, die ein anderes Parameterpaar darstellen:

Rechnung: Häufige Gewinne ergeben 0,70×0,88−0,30×0,88=0,616−0,264=+0,352 R; seltenere größere Gewinne ergeben 0,32×3,22−0,68×1,00=1,0304−0,6800=+0,3504 R. Die Standardabweichung verwendet √(E[X²]−E[X]²) für dieselben Brutto-Zweipunktverteilungen. Ziehen Sie illustrative feste Kosten von 0,10 R einmal als K_t ab: Die Nettomittelwerte sind 0,352−0,10=+0,252 R und 0,3504−0,10=+0,2504 R. Ihre Differenz von 0,0016 R bleibt nach Kosten bestehen; der Vergleich gilt daher auch für Nettomittelwerte.

Die Standardabweichungen einzelner Ergebnisse unterscheiden sich um etwa das 2,4-Fache. σ allein ordnet weder Quantile maximaler Drawdowns noch Längen von Verlustserien. Bei diesen konkreten Verteilungen liefern 200.000 unabhängige Pfade mit 50 Schritten mediane kumulative R-Drawdowns von 2,64 R und 8,56 R, gemessen von einem früheren kumulativen Höchststand zu einem späteren Tief; 9.8 definiert die Basis tatsächlicher Konten. Gesondert liefert eine Rekursion bei den genannten Trefferquoten über 200 unabhängige Ergebnisse Wahrscheinlichkeiten mindestens acht aufeinanderfolgender Verluste von etwa 0,9 % und 96 %. Diese Häufigkeiten folgen aus p, Schrittzahl und Abhängigkeitsannahmen, nicht aus σ allein.

Der Erwartungswert reicht nicht aus, um einen Parametersatz zu beschreiben. Zum Vergleich zweier Varianten brauchen Sie eine zweite Zahl: die Ergebnisstreuung, die sich in Drawdowns des Kontonettowerts niederschlägt. Die Messung nach zwei Drawdown-Definitionen und die Schwelle, ab der ein Drawdown nicht mehr zu den Parametern passt, beschreibt 9.8; die Verteilung möglicher Pfade bei gegebenen Parametern behandelt 9.2.

Die letzte Spalte ist eine Punktschätzung, positiv, sobald die genannte Differenz positiv ist. Werden Z, S und Kosten als bekannt behandelt, kann ein näherungsweises Trefferquotenintervall auch das Vorzeichen in der Grundgesamtheit beurteilen: Enthält es die Schwelle, weist dieses Kriterium keinen positiven Populationserwartungswert nach. Den Abstand mit etwa zwei Standardfehlern zu vergleichen ist eine Kurzform der normalen 95-%-Näherung; es verändert nicht das Vorzeichen des berechneten Abstands. Abschnitte 8 und 10 erläutern die Annahmen.

Dies ist eine didaktische Heuristik, kein Branchenmaßstab. Die Zeilen zeigen nur, wie Erwartungswert und Schwellenabstand aus einem Zahlenpaar entstehen. Sie besagen weder, dass eine bestimmte Trefferquote ein bestimmtes Verhältnis „begleitet“, noch dass eine Zeile ein Zielwert ist. Behandeln Sie die Tabellenwerte nicht als typisch: Es ist eine Skizze, die Sie durch Werte aus Ihrem eigenen Journal ersetzen.

Trefferquote und Verhältnis sind keine zwei unabhängigen Stellschrauben

Die Tabelle vergleicht beliebige Paare von p und RR. Eine geänderte Ausstiegsregel kann beide sowie Durchschnittsverlust und Kosten verändern. Nehmen Sie nach Verschieben eines Ziels oder Stops keine konstante Trefferquote an. Ein Rückgang ist aber auch mathematisch nicht zwangsläufig: Manche Änderungen beeinflussen Gewinnhöhen, ohne Ergebnisse zwischen Gruppen zu verschieben. Vergleichen Sie beide gemessenen Varianten; die Formel liefert keine Änderungsrichtung.

Beide Zahlen sind das Ergebnis einer einzigen Ausstiegsregel. Die Trefferquote ist der Anteil positiv abgeschlossener Trades, das Verhältnis der Quotient der Mittelwerte zweier Gruppen. Welche Trades in welcher Gruppe landen und wie hoch deren Mittelwerte sind, entscheidet aber derselbe Satz von Niveaus: Lage von Schutzausstieg und Ziel. Ein Verschieben eines der beiden überträgt manche Trades zwischen Gruppen und verändert gleichzeitig beide Mittelwerte. Nehmen Sie nicht an, ein besseres Verhältnis lasse Trefferquote und Durchschnittsverlust unverändert. In einer konkreten Stichprobe kann sich das Verhältnis auch ohne sinkende Trefferquote ändern; entscheidend ist die Ergebnisverteilung, nicht allein die Verschieberichtung des Niveaus.

Die drei häufigsten Eingriffe und die Richtung, in die jeder beide Zahlen zugleich verschiebt:

• Das Ziel bei unverändertem Stop erweitern. Bei identischen Einstiegen und Verläufen, festem Stop und Ausführungen an festgelegten Niveaus erhöht dies das geplante T/D. Ein ferneres Ziel vor dem Stop zu erreichen ist eine Teilmenge des Erreichens eines näheren; die Trefferquote dieses Modells kann daher nicht steigen, wohl aber gleich bleiben. Dies ist keine universelle Prognose für beobachtete Mittelwerte bei anderen Ausstiegen oder Ausführungen. Unverändertes D gewährleistet auch keine festen Kosten: Eine längere Haltedauer kann Finanzierung, Ausstiegsspread und Slippage verändern.
• Den Stop bei unverändertem Ziel enger setzen. Dasselbe Modell erhöht das geplante T/D, während die Wahrscheinlichkeit, das Ziel vor dem Stop zu erreichen, nicht steigen kann. Sie muss nicht strikt sinken: Das neue Niveau kann in einer konkreten Stichprobe kein Ergebnis verändern. Feste Pip-Kosten beanspruchen einen größeren Anteil am kleineren D, doch tatsächliche Kosten und Gruppenmittelwerte müssen neu berechnet werden. Bei anderen Ausstiegsregeln lässt T/D allein nicht auf Durchschnittsergebnisse schließen.
• Das Management offener Positionen—Stop auf Einstieg verschieben, nachziehen oder teilweise schließen—kann Trefferquote, Durchschnittsgewinn und Durchschnittsverlust je nach Regel und Kursverlauf in unterschiedliche Richtungen ändern. 9.7 liefert diese gesonderte Rechnung.

Ändern sich beide Zahlen, zeigt ein höheres Verhältnis allein nicht, ob das Ergebnis besser wurde. Eine beantwortbare Frage lautet: Wie weit darf die Trefferquote höchstens fallen, damit die Änderung sich noch lohnt. Das ist Arithmetik, und zwar eine kurze.

Schreiben Sie den Erwartungswert in Risikoeinheiten, um den Zusammenhang sichtbar zu machen. Umstellen von E_R = p × RR − (1 − p) ergibt:

E_R = p × (RR + 1) − 1

Dieser Vergleich setzt einen Durchschnittsverlust von 1 R in beiden Varianten und denselben Geldbetrag R nach Anpassung des Volumens voraus. Der Bruttoerwartungswert ist daher p×(RR+1)−1; der Nettoerwartungswert zieht zusätzlich Kosten in Risikoeinheiten ab. Die Ausstiegsänderung verbessert das Ergebnis genau dann, wenn ihr Anstieg dieses Produkts größer ist als ihr Kostenanstieg.

p₂ × (RR₂ + 1) − k₂ > p₁ × (RR₁ + 1) − k₁

wobei k die Kosten in Risikoeinheiten sind, für jede Variante gesondert berechnet: Mit dem Ausstiegsabstand ändern sie sich ebenfalls.

Fall eins: Das Ziel bei unverändertem Stop erweitern. Bleibt k gleich, kürzt es sich heraus. Die Bedingung lautet p_2 > p_1×(RR_1+1)/(RR_2+1). Von 1:1 zu 1:2 bei anfänglichem p=50 % ergibt sich p_2 > 0,50×2/3=33,3%. Bei genau 33⅓ % ist der Erwartungswert gleich; erst eine höhere Trefferquote verbessert ihn bei unveränderten Kosten. Unter dieser Grenze verschlechtert eine Zielerweiterung die Rechnung trotz schönerem Verhältnis und einer von 50 % auf 33,3 % gesunkenen Bruttogewinnschwelle.

Fall zwei: Den Stop bei unverändertem Ziel enger setzen. Hier steigt k und verschärft die Bedingung. Ziel 60 Pips, Gesamtkosten 2,4 Pips, Stop von 30 auf 20 Pips verkürzt, anfängliches p=45 %. Zuerst: RR_1=2,0, k_1=2,4/30=0,080 R, E_1=0,45×3−1−0,080=+0,270 R. Zweite Variante: RR_2=3,0, k_2=2,4/20=0,120 R. Die Trefferquote für gleichen Erwartungswert beträgt p_2=(0,45×3−0,080+0,120)/4=1,390/4=34,75%; tatsächlich ergibt 0,3475×4−1−0,120=+0,270 R. Ein engerer Stop von 30 auf 20 Pips verbessert das Ergebnis nur, wenn die Trefferquote um weniger als 10,25 Prozentpunkte fällt.

Ob sie weniger fällt, entscheidet keine Formel, sondern nur die Messung in Ihrem Journal. Ein solcher Vergleich liefert eine fehlerbehaftete Schätzung; bei einer typischen Anzahl abgeschlossener Trades lässt sich eine Differenz dieser Größenordnung meist nicht eindeutig feststellen. Bevor Sie Varianten vergleichen, lesen Sie daher 8.2: Dort wird erklärt, anhand welcher Stichprobe und Trade-Anzahl eine solche Differenz überhaupt messbar ist.

7. Ein festes Verhältnis als Regel – was es an der Rechnung verändert

Die Regel „Nie mit einem schlechteren Verhältnis als 1:2 einsteigen“ wirkt sicher, weil die Zahl vor dem Einstieg leicht prüfbar ist. Rechnerisch bringt sie jedoch mehr durcheinander, als sie ordnet.

Sie kehrt die Abhängigkeitsrichtung der Größen um

Der Schutzausstiegsabstand folgt aus dem Punkt, an dem die Hypothese widerlegt wird, nicht umgekehrt; das klärt 9.4. Eine feste Verhältnisregel kehrt die Reihenfolge um: Sie legt das Ziel als Vielfaches des Schutzausstiegsabstands fest. Das Verhältnis ist damit kein Rechenergebnis mehr, sondern eine Annahme.

Sie filtert Parametersätze mit positivem Erwartungswert heraus

Bei 1:1,22 und p=62 % beträgt der Bruttoerwartungswert 0,62×1,22−0,38=+0,376 R; die Gewinnschwelle bei Kosten von 0,10 R ist 1,10/2,22=49,5%. Der Abstand beträgt 12,5 Prozentpunkte. Eine Regel, die alles unter 1:2 ablehnt, entfernt dieses positive Setup trotz seines größeren Abstands als bei 1:2 und p=38 %: 0,38×2−0,62=+0,14 R brutto, nur 1,3 Punkte über der kostenbereinigten Schwelle von 36,7 %.

Sie verschiebt Trefferquote und Kosten, ohne die Widerlegungsmarke zu beachten

Wird ein starres Verhältnis durch einen engeren Stop statt ein erweitertes Ziel erreicht, schrumpft der Abstand unabhängig von der Widerlegungsmarke. Relative Kosten steigen (Abschnitt 5); im illustrativen Szenario senkt der nähere Stop auch die Trefferquote. Von 50 Pips Abstand und 60 Pips Ziel (1:1,2) auf 30 Pips bei gleichem Ziel (1:2) zu wechseln, während p von 58 % auf 35 % fällt, verändert den Bruttoerwartungswert von 0,58×1,2−0,42=+0,276 R auf 0,35×2−0,65=+0,050 R. Der Kostenanteil steigt von 0,036 auf 0,060 R: Dieselben illustrativen 1,8 Pips aus der ersten Tabelle in Abschnitt 5 werden durch 50 oder 30 geteilt. Die zweite Variante ist netto negativ, −0,010 R.

8. Was der Erwartungswert nicht aussagt

Der Erwartungswert ist der Mittelwert vieler Wiederholungen bei unveränderten Parametern. Die folgende Liste nennt Fragen, die er nicht beantwortet; jede hat eine eigene Messgröße und eine eigene zuständige Lektion in diesem Kursabschnitt.

Die Streuung eines Einzelergebnisses und die Unsicherheit des Mittelwerts sind zwei verschiedene Zahlen

Unterscheiden Sie zwei völlig verschiedene Größen. Die Standardabweichung eines einzelnen Ergebnisses beschreibt die Streuung der Ergebnisse um den Mittelwert und sinkt nicht mit der Trade-Anzahl. Der Standardfehler der Mittelwertschätzung beschreibt, wie genau Sie den Erwartungswert selbst kennen, und fällt wie 1/√N. Wer beides vermischt, gelangt zu Sätzen, in denen ein positiver Mittelwert einen Verlauf garantieren soll.

SE = s√N

Für das Zweipunktmodell A gilt σ=3,1√(0,45×0,55)=1,54223 R. Ein illustratives Normalintervall für 100 unabhängige Beobachtungen mit diesem σ lautet brutto 0,395±1,96×σ/10, also +0,0927 bis +0,6973 R. Ein Abzug fester Kosten von 0,083333 R ergibt +0,0094 bis +0,6139 R und schließt null aus. Ersetzt man σ durch ein gleich großes Stichproben-s und den Multiplikator t₉₉≈1,984, beträgt die Untergrenze etwa +0,0057 R.⁶ Die positive Untergrenze reagiert empfindlich auf angenommene Streuung und Kosten; Nähe zu null kehrt ihr Vorzeichen jedoch nicht um.

Streuung innerhalb der Gruppen kann das Intervall verändern

Die volle Ergebnisvarianz beträgt p v_z+(1−p)v_s+p(1−p)(Z+S)². Das Zweipunkt-σ von A, 1,54223 R, umfasst nur den letzten Term. Haben beide Gruppen illustrativ eine Standardabweichung von 0,8 R, wird das volle σ zu √(1,54223²+0,8²)=1,73737 R. Dasselbe normale Nettointervall bei 100 Ergebnissen hat nun etwa −0,0289 R als Untergrenze, ohne Änderung von p, Z oder S. Ein aus Gruppenmittelwerten abgeleitetes Intervall darf nicht als eines mit der tatsächlichen Standardabweichung der vollständigen Stichprobe dargestellt werden.

Der Mittelwert beschreibt nicht die Folge, die Sie beobachten werden

Ein Erwartungswert von +0,395 R ist keine einzelne Auszahlung. In diesem Zweipunktbeispiel liefert A +2,1 R oder −1,0 R und nichts dazwischen; der Mittelwert beschreibt ihren Durchschnitt. Die Summe hat eine eigene Verteilung: Gewinne k in N Trades sind binomialverteilt und das Gesamtergebnis beträgt k×2,1−(N−k)×1,0=3,1k−N. Ein Gewinn erfordert daher k>N/3,1. Über 20 Trades sind mindestens sieben Gewinne nötig; die Wahrscheinlichkeit für weniger beträgt 13,0 %.

Diese Binomialrechnung verwendet p=0,45, brutto Z=2,1 R, S=1,0 R und unabhängige Folgeergebnisse. Tatsächliche Aufzeichnungen müssen die Unabhängigkeitsannahme nicht erfüllen; Kovarianz verändert die Summenvarianz, aber ihr Vorzeichen allein bestimmt nicht die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Verlustschwelle zu überschreiten. Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit in einem vollständigen Abhängigkeitsmodell. Die Werte sind illustrativ. Bei Kosten von 0,083333 R erfordert k>20×1,083333/3,1≈6,989 weiterhin sieben Gewinne; die Verlustwahrscheinlichkeit bleibt 12,9934 %. Auf diesem diskreten Raster ändern die Kosten die nötige Gewinnanzahl nicht. Bei 0,10 R Kosten sind acht Gewinne nötig und die Verlustwahrscheinlichkeit steigt.

Eine verlierende Periode von 20 Trades hat in diesem festgelegten Modell etwa 13 % Wahrscheinlichkeit. Ein negativer Monat ist eine Beobachtung, weist aber allein keine Verschlechterung der Parameter nach. Das vorab festgelegte Handlungslimit aus Artikel 9.8 kann bei einem gewählten Drawdown stoppen. Sein Erreichen beweist weder den Verlust des Vorteils noch ein Modellversagen: Die Regel birgt Risiken von Fehlalarm und übersehener Veränderung. Artikel 8.2 bewertet Regeln und Daten.

Parameter verändern sich im Zeitverlauf; das Intervall deckt das nicht ab

Das obige Intervall beschreibt die Unsicherheit einer Schätzung auf der vorhandenen Stichprobe. Es sagt nichts darüber, ob die Parameter künftig gleich bleiben. Trefferquote und Verhältnis sind Eigenschaften von Regeln, die auf einen bestimmten Marktzeitraum treffen; andere Volatilität, Liquidität oder Kosten verändern sie ohne Vorwarnung. Ein schmales positives Intervall bedeutet daher nur, dass Ihre Daten mit einem positiven Mittelwert in ihrem Herkunftszeitraum vereinbar sind. Die Nichtstationarität der Parameter ist eine gesonderte Frage, die kein Intervall klärt.

Eine erneute Stichprobenziehung aus der Stichprobe kann ebenfalls die Mittelwertunsicherheit beurteilen.⁴ Diese Methode hat Annahmen, die 9.2 behandelt. Hier unterscheiden wir mittleres Ergebnis, Streuung einzelner Ergebnisse und Standardfehler des Mittelwerts. Artikel 8.2 behandelt Stichprobenauswahl, Abschlusszeitpunkt und Regelvergleich; nur die Trade-Anzahl im Nenner zu ändern genügt nicht, wenn die Daten nach Beobachtung der Ergebnisse gewählt wurden.

Kontoverlauf und Überleben einer Serie erfordern eine eigene Rechnung

Die beiden Varianten in Abschnitt 6 haben ähnliche Mittelwerte, aber unterschiedliche vollständige Ergebnisverteilungen. Für den festgelegten Horizont berechneten wir verschiedene mediane Drawdowns und Serienhäufigkeiten. Eine 2,4-fache Standardabweichung allein bestimmt nicht die Wahrscheinlichkeit, eine beliebige Schwelle zu überschreiten. Ruinrisiko lässt sich nicht allein vom Erwartungswert ablesen. Es braucht Ergebnisverteilung und Abhängigkeit, Risikobetragsregel, Horizont und Barriere. 9.2 ^[3] liefert Formel, Modellvariante und durchgerechnete Beispiele. Mittelwert und Streuung sind Eingaben, rekonstruieren aber allein weder Randverteilung noch Reihenfolge.

Ein Jahresergebnis hat ein Intervall, keine einzelne Zahl

Den Erwartungswert auf ein Jahr hochzurechnen liefert das Zentrum einer Verteilung, nicht ein Intervall. Betrachten wir p=37 % und 1:2, gemessen anhand bereits kostenbereinigter Ergebnisse. Das kehrt die Konvention aus Abschnitt 1 um, ist aber gültig, wenn K_t nicht erneut abgezogen wird: E_net=0,37×2−0,63=+0,11 R; Standardabweichung einzelner Ergebnisse 1,45 R. Bei festen 500 PLN je Trade, 1 % von anfänglichen 50.000 PLN Kontonettowert, über 144 Jahrestrades:

• Erwartungswert der Summe: 144 x 0,11 x 1% = +15,8% des Kontonettowerts, also rund 7.900 PLN (ohne Zinseszinseffekt);
• Standardabweichung der Summe: 1,45 x √144 x 1% = ±17,4 Prozentpunkte;
• näherungsweises zentrales 90-%-Intervall aus einer Normalapproximation: von −12,8 % bis +44,4 %;
• Exakte Ereigniswahrscheinlichkeiten: Verlust 15,92 % (k≤47), null 4,62 % (k=48) und nichtpositives Ergebnis 20,54 % (k≤48), bei unabhängigen Ergebnissen und konstantem p=0,37.

Grenze der Rechnung. Wir summieren oder multiplizieren alle 144 festgelegten Ergebnisse ohne vorzeitigen Stopp. Feste 500 PLN lassen die extreme Summe aus 144 Verlusten −72.000 PLN erreichen und damit die anfänglichen 50.000 PLN Kontonettowert übersteigen. Das beschreibt die Verteilung der Ergebnissumme, nicht Zahlungsfähigkeit oder Überleben eines tatsächlichen Kontos. Modellieren Sie die Kontobarriere und gestoppte Pfade gesondert; siehe 9.2.

„Ein Jahresergebnis um 10–14 %“ beschreibt daher eine Variation der Punktschätzung, nicht die Spanne möglicher Ergebnisse. Unter diesen Parametern ist das relevante Intervall eine Größenordnung breiter, 57 statt vier Prozentpunkte, und enthält Negatives. Ein Verlustjahr weist keine falschen Parameter nach: Im Festbetragsmodell mit genau diesen Eingaben hat es etwa 15,92 % Wahrscheinlichkeit. Weitere 4,62 % sind exakt null; gemeinsam ergeben sie 20,54 %.

Dasselbe Jahr mit Verzinsung des aktuellen Kontonettowerts

Bei 1 % Risiko des aktuellen Kontonettowerts vor jedem Trade ist der finale Kontonettowert nach k Gewinnen in 144 Schritten K_0×1,02^k×0,99^(144−k). Ein positives Jahr erfordert k>−144 ln(0,99)/[ln(1,02)−ln(0,99)]≈48,4792, also mindestens 49 Gewinne. Verlust tritt bei k≤48 mit 20,54 % Wahrscheinlichkeit ein; exakt null hat 0 % Wahrscheinlichkeit, weil die Schwelle nicht ganzzahlig ist. Feste Beträge ergaben null bei 48 Gewinnen; Zinseszinseffekt ergibt etwa −1,420 %. Die Wahrscheinlichkeit eines positiven Jahres bleibt etwa 79,46 %, die Verlustwahrscheinlichkeit unterscheidet sich jedoch. Das mittlere Wachstum mit Zinseszinseffekt beträgt 1,0011^144−1=17,153%; der Median bei k=53 ist 14,449 %. Übertragen Sie die Reihenfolge von Mittelwert und Median nicht automatisch auf jede Verteilung.

Wenige Trades können den Großteil des Ergebnisses ausmachen

Eine Folge mit Ergebnissen von +8R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R, -1R hat einen Mittelwert von (8 - 6)/7 = +0,29R. Entfernen Sie einen Trade, beträgt der Mittelwert -6/6 = -1,00R. Ein aus einer Stichprobe berechneter Erwartungswert, bei dem mehr als die Hälfte der Summe aus einer einzigen Beobachtung stammt, ist eine Schätzung mit sehr breitem Intervall. Das wird erst sichtbar, wenn Sie den Anteil der größten Ergebnisse an der Summe berechnen, nicht beim Blick auf den Mittelwert. Nennen Sie neben dem Mittelwert Median und Anteil der größten fünf Prozent der Gewinne an der Gewinnsumme.

Der Mittelwert gilt auch bei mehreren Ergebnisgrößen, rekonstruiert aber nicht den Rand der Verteilung

Die Mittelwertidentität benötigt keine zwei festen Ergebnisse. Sind Z und S tatsächliche Gruppenmittelwerte und gibt es keine Nullergebnisse, E=pZ−(1−p)S gilt sie weiterhin für mehrere Ergebnisgrößen. Eine Zweipunktverteilung wird nur zur Berechnung der Varianz aus p, Z und S oder binomialer Serienwahrscheinlichkeiten angenommen. Gruppen durch ihre Mittelwerte zu ersetzen entfernt die gruppeninterne Streuung; deshalb ist die vereinfachte Varianz nicht größer als die Varianz der vollständigen Daten. Sie beschreibt nicht den gesamten linken Verteilungsrand.

Ein Modell „Verluste immer gleich 1 R“ begrenzt seine eigenen festgelegten Ergebnisse, nicht die tatsächliche Ausführung. Gap-Verluste hängen von Ausführungspreisen ab, die ein Stopniveau nicht garantiert; 9.10 erläutert und berechnet sie. Ersetzt man unter denselben 100 Trades einen Verlust von −1 R durch −6 R, sinkt ihr Mittelwert um (−6+1)/100=−0,05 R. Dies liegt außerhalb des festen Zweiergebnis-Modells; berechnen Sie tatsächliche Gruppenmittelwerte und Randverteilungsmodell vor weiterer Verwendung neu. Artikel 9.8 definiert Drawdown.

Für Ihre eigene Rechnung folgt eine unmittelbar anwendbare Regel: Berechnen Sie den Durchschnittsverlust S anhand aller abgeschlossenen Verlusttrades, einschließlich solcher über 1R, und nennen Sie den größten Einzelverlust der Stichprobe daneben. Bei S von 1,0R und einem größten Einzelverlust von 4,2R bleibt der Mittelwert selbst richtig; der für Drawdowns entscheidende linke Verteilungsrand liegt jedoch außerhalb dieser Rechnung und benötigt eine eigene Aufzeichnung.

Andere Kennzahlen sind Umformungen derselben drei Zahlen

Der Profitfaktor ist eine Umformung derselben drei Zahlen^[2]:

PF = p × Z(1 − p) × S

Für das festgelegte Bruttomodell A gilt PF=(0,45×2,1)/(0,55×1)=1,7182; für B gilt PF=(0,72×0,6)/(0,28×1,2)=1,2857. Dies sind Modellrechnungen, keine gemessenen Aufzeichnungen. Bei festen Kosten von 0,083333 R liefert A netto +2,016667 und −1,083333 R, also PF_net=(0,45×2,016667)/(0,55×1,083333)=1,5231. Brutto-PF ersetzt keinen Nettoerwartungswert. PF<1 bedeutet unter derselben Konvention, dass die Gesamtverluste die Gesamtgewinne übersteigen. Die Präzision des empirischen PF benötigt vollständige Ergebnisse und Trade-Anzahl; ein Mittelwertintervall lässt sich nicht unmittelbar auf dieses nichtlineare Verhältnis übertragen.

Ebenso ist das realisierte Verhältnis (Durchschnittsgewinn geteilt durch Durchschnittsverlust abgeschlossener Trades) dasselbe RR, nur aus Ergebnissen statt aus Auftragsgeometrie berechnet. Der Unterschied zwischen geplantem und realisiertem Verhältnis ist dieselbe in Abschnitt 3 behandelte Größe.

Im Portfolio addiert sich der Mittelwert, nicht die Streuung

Der Erwartungswert mehrerer gleichzeitig offener Positionen ist die Summe ihrer Erwartungswerte; die Additivität des Mittelwerts hängt nicht von der Abhängigkeit der Ergebnisse ab. Die Streuung des Gesamtergebnisses ist nicht additiv und hängt davon ab, wie stark sich die Positionen gemeinsam bewegen. Eine gesonderte Größe ist das Verlustbudget bei gleichzeitiger Ausführung aller Schutzausstiege: Summe der Risikobeträge in Kontowährung, erhöht um schlechtere Ausführungen. Beide Zahlen beantworten unterschiedliche Fragen und ersetzen einander nicht. Die Arithmetik der Portfoliovolatilität, die Zerlegung in Positionswährungen und die verborgene gemeinsame Währungsexponierung behandelt 9.9; hier genügt der Schluss, dass die Anzahl der Instrumente keine Diversifikationskennzahl ist.

9. Die häufigsten Interpretationsfehler

Fehler 1: Nur nach der Trefferquote urteilen

„68 % Trefferquote: Das System ist gut.“ Bei 0,5 R Durchschnittsgewinn und 1,3 R Durchschnittsverlust 0,68×0,5−0,32×1,3=0,34−0,416=−0,076 R. Die Trefferquote beträgt 68 %, der Erwartungswert ist dennoch negativ, weil der Durchschnittsverlust eine Risikoeinheit übersteigt und der Durchschnittsgewinn darunter liegt. Weder Trefferquote noch Verhältnis allein bestimmen das Vorzeichen.

Fehler 2: Geplante statt realisierter Werte einsetzen

In die Formel gehen Mittelwerte abgeschlossener Trades ein, berechnet vor Abzug der Ausführungskosten; Kosten gehen gesondert als K_t ein und werden einmal abgezogen. Ein aus der Auftragsgeometrie abgelesenes Verhältnis ist geplant; davon trennen es die Ausführungsabweichung und die Abweichung von der Ausstiegsregel, deren Richtung und Größe nur das Journal zeigt. Mit geplanten Werten zu rechnen liefert ein Ergebnis, das nicht auf dem Auszug steht; siehe Abschnitt 3.

Fehler 3: Erwartungswert ohne Kosten

Ein ohne K_t angegebener Wert ist eine Bruttogröße und für Entscheidungen ungeeignet. Bei kurzem Schutzausstiegsabstand machen Kosten mehrere zehn Prozent einer Risikoeinheit aus (Abschnitt 5) und entscheiden bei schmalem Spielraum über das Ergebnisvorzeichen.

Fehler 4: Blockwahrscheinlichkeit mit dem Auftreten einer Serie verwechseln

Der Ausdruck (1 - p)^k bezieht sich auf einen vorab benannten Block. Die Wahrscheinlichkeit, einer solchen Serie irgendwo innerhalb von N Trades zu begegnen, ist viel größer und nähert sich bei einigen hundert Trades der Gewissheit. Blöcke überlappen und dürfen nicht als disjunkte Ereignisse gezählt werden. Bei 32 % Trefferquote und 200 Trades beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens acht aufeinanderfolgender Verluste etwa 96 %, obwohl 0,68⁸ 4,6 % beträgt; beide Zahlen unter der vereinfachenden Annahme unabhängiger Folgeergebnisse.

Fehler 5: Den Mittelwert als Verlaufsbeschreibung behandeln

Ein positiver Erwartungswert bedeutet nicht, dass das Ergebnis nur eine Frage der Zeit ist. Er beschreibt das Verteilungszentrum bei unveränderten Parametern; Streuung um dieses Zentrum beschreibt die Standardabweichung, Unsicherheit des Zentrums selbst der Standardfehler. Das sind drei verschiedene Zahlen und drei verschiedene Aussagen.

Fehler 6: Einen Erwartungswert für heterogene Daten berechnen

Ein gemeinsamer Mittelwert über Instrumente, Uhrzeiten und Einstiegsregeln ist ein gewichteter Mittelwert von Größen mit möglicherweise unterschiedlichen Vorzeichen. Insgesamt +0,18 R kann Teilmengen von +0,39 und −0,15 R verbinden. Berechnen Sie separat für unabhängig steuerbare Teilmengen. Die Aufteilung verringert jedes N, kann aber auch jedes s verringern. Berechnen Sie s_i/√N_i neu, berücksichtigen Sie Abhängigkeit und dokumentieren Sie, ob die Aufteilung nach Betrachtung der Ergebnisse gewählt wurde. Kleineres N allein garantiert nicht für jede Teilmenge ein breiteres Intervall.

Fehler 7: Erwartungswerte addieren, ohne die Exponierung zu prüfen

Der Erwartungswert ist additiv, die Streuung nicht. Fünf Positionen mit derselben Währungsexponierung und je 1 % des aktuellen Kontonettowerts (bei 25.000 PLN je 250 PLN) sind keine fünf unabhängigen Wetten. Die Rechnung steht in 9.9.

Fehler 8: Eine Identität mit einem Modellergebnis verwechseln

Erwartungswert- und Gewinnschwellenformel sind arithmetische Identitäten: per Definition wahr, ganz ohne Daten. Ruinrisiko, Simulation der Ergebnisverteilung und Konfidenzintervalle sind Ergebnisse von Modellen, die auf angenommener Verteilung, Unabhängigkeitsannahme und aus einer Stichprobe geschätzten Parametern aufbauen. Prüfen Sie, welche Annahmen des gewählten Modells für die Stichprobe gerechtfertigt sind. Wir unterstellen nicht, dass jede verletzt wird. Die Wirkungsrichtung einer Annahmenverletzung hängt von konkreter Verteilung, Abhängigkeit und berechnetem Ereignis ab. Eine Gewissheit versprechende Überschrift darf nur über der ersten Gruppe stehen.

10. Übung zur Selbstkontrolle

Die Aufgabe. Berechnen Sie der Reihe nach: (1) den Risikobetrag R in PLN; (2) das Chance-Risiko-Verhältnis; (3) Brutto- und Nettoerwartungswert in PLN und Risikoeinheiten; (4) Gewinnschwellen-Trefferquote ohne und mit Kosten sowie Differenz in Prozentpunkten; (5) Trefferquotenabstand über der Schwelle; (6) Erwartungswert der Summe von 18 Trades in PLN und als Prozentsatz des Kontonettowerts; (7) Standardabweichung dieser Summe; (8) Standardfehler des Nettoerwartungswerts und sein 95-%-Intervall. Schreiben Sie Ihre Ergebnisse vor dem Lesen der Lösung auf. Wiederholen Sie anschließend die gesamte Rechnung mit Ihren eigenen Journalzahlen.

Musterlösung

1. Risikobetrag. R = PLN 25.000 × 0,008 = PLN 200. Hier ist er gleich dem Durchschnittsverlust S, sodass Risikoeinheit und Durchschnittsverlust übereinstimmen, was die Umrechnung in R vereinfacht. Im Allgemeinen müssen sie nicht übereinstimmen.

2. Chance-Risiko-Verhältnis. RR = Z/S = 480/200 = 2,40, also 1:2,4 nach der Schreibweise dieses Kurses.

3. Erwartungswert. Brutto:

E_brutto = 0,38 × 480 PLN − 0,62 × 200 PLN = 182,40 − 124,00 = +58,40 PLN

Netto, nach Abzug der gesamten Kosten eines Trades:

E_netto = 58,40 PLN − 26,00 PLN = +32,40 PLN

In Risikoeinheiten durch R=200 PLN teilen: brutto 58,40/200=+0,292 R; netto 32,40/200=+0,162 R. Prüfung: 0,38×2,40−0,62=0,912−0,620=+0,292 R, passend zum Bruttobetrag in Geld. Die Kosten betragen 26/200=0,130 R; 0,292−0,130=0,162 R, passend zum Nettoergebnis.

4. Gewinnschwellen-Trefferquote. Ohne Kosten:

p*_{ohne Kosten} = 200/(480 + 200) = 0,2941 = 29,41%

Mit Kosten:

p* = (200 + 26)/(480 + 200) = 226/680 = 0,3324 = 33,24%

Die Differenz: +3,82 Prozentpunkte. Prüfung: Kosten geteilt durch die Summe (Z + S), also 26/680 = 0,0382 – dieselbe Zahl bestätigt, dass der Schwellenanstieg allein von Kosten und der Summe Z + S abhängt.

5. Der Abstand über der Schwelle. 38,00% - 33,24% = +4,76 Prozentpunkte. Ein Perspektivwechsel: Stiegen die Kosten von 26 PLN auf 58 PLN, stiege die Schwelle auf 258/680 = 37,94% und der Abstand verschwände fast vollständig. Die Kostensensitivität des Ergebnisses ist hier daher hoch.

6. Erwartete Summe von 18 Trades. 18×PLN 32,40=+PLN 583,20, oder 583,20/25.000=+2,33% des aktuellen Kontonettowerts. Nettobetrag unter der Annahme von 200 PLN festem Risiko je Trade und 26 PLN festen Kosten. Die Additivität der Mittelwerte benötigt keine Unabhängigkeit, die folgende einfache Summenstreuungsrechnung dagegen schon.

7. Standardabweichung der Summe. Für einen Trade (anhand von Bruttowerten):

s = √(0,38 × 480² + 0,62 × 200² − 58,40²) = 330,06 PLN

Für die Summe von 18 Trades: 330,06 x √18 = 1.400,34 PLN, also 5,60 Prozentpunkte des Anfangskontonettowerts gegenüber +2,33 % Erwartungswert. Die Streuung ist mehr als doppelt so groß wie der Mittelwert; ein Verlustmonat gehört bei diesen Parametern zum gewöhnlichen Verlauf und rechtfertigt allein keine Änderung.

8. Standardfehler des Nettoerwartungswerts. Bei festen Kosten ist die Standardabweichung einzelner Nettoergebnisse gleich der Bruttoabweichung: 26 PLN von jedem Trade abzuziehen verschiebt die Verteilung, ohne ihre Streuung zu ändern. SE=330,06/√150=PLN 26,95, oder 0,135 R. Das 95-%-Intervall beträgt 32,40±1,96×26,95: −20,4 bis +85,2 PLN je Trade oder −0,102 bis +0,426 R. Es enthält null.

Was die Übung nicht nachweist. Die Trefferquote von 38 % stammt aus 150 Trades: SE=√(0,38×0,62/150)=3,96 Prozentpunkte, mit einem näherungsweisen 95-%-Intervall von 30,2 %–45,8 %. Seine Untergrenze liegt unter der Gewinnschwelle von 33,24 %. Das Kriterium aus Abschnitt 11 vergleicht den Abstand mit 1,96 Standardfehlern, dem Multiplikator für 95 % Konfidenz, der in Abschnitt 11 und seinen Tabellen auf zwei gerundet ist. Hier sind 1,96×3,96=7,76 Punkte dem Abstand von 4,76 gegenüberzustellen: 4,76/3,96=1,20 Standardfehler, weniger als 1,96. Dieses Kriterium behandelt Durchschnittsgewinn, Durchschnittsverlust und Kosten als bekannt, obwohl sie aus derselben Stichprobe stammen. Das Intervall aus Punkt 8 mit 95 % Konfidenz für den Nettoerwartungswert ist vollständiger; es enthält ebenfalls null und führt zum selben Schluss. „Abstand +4,76 Prozentpunkte“ ist eine Punktschätzung mit einem Intervall, das negative Werte einschließt. Dieses Kriterium klärt daher nicht das Vorzeichen des Populationsmittelwerts. Der Abstand von +4,76 Prozentpunkten selbst bleibt eine positive Punktschätzung. Ungeklärt bedeutet nicht negativ; diese Daten unterscheiden ein positives System nicht von einem mit Mittelwert null. Artikel 8.2 erklärt einen Messplan, der dies leisten kann.

11. Was vor dem Einstieg berechnet sein muss

Drei Zahlen mit jeweils ausdrücklich angegebener Basis und Einheit:

1. Das Chance-Risiko-Verhältnis dieses konkreten Trades – aus Abständen zur Widerlegungsmarke und zum Ziel mit dem Vorbehalt, dass dies ein geplanter Wert ist
2. Der Erwartungswert Ihres Parametersatzes nach Kosten – aus abgeschlossenen Trades berechnet, in R und Kontowährung angegeben, samt zugrunde liegender Trade-Anzahl
3. Trefferquotenabstand über der kostengerechten Schwelle in Prozentpunkten, neben dem Standardfehler der Trefferquote. Ein positiver Abstand unter etwa zwei Standardfehlern bleibt eine positive Schätzung. Bei normaler 95-%-Näherung mit bekannten Z, S und Kosten enthält das Intervall die Schwelle; das Kriterium weist somit keinen positiven Populationserwartungswert nach. Artikel 8.2 behandelt Vorteilsbeurteilung, Tests und Stichproben; hier lesen Sie die Unsicherheit Ihrer Schätzung.

Die aus diesen Zahlen folgende Positionsgröße wird bestimmt in 9.5; die einzuhaltenden Grenzen in 9.3.

Der Erwartungswert beschreibt einen Trade im Mittel vieler Wiederholungen. Was Sie nach Eröffnung mit der Position tun, verändert alle drei Eingangsgrößen dieser Rechnung – Trefferquote, Durchschnittsgewinn und Durchschnittsverlust – und erfordert daher eine eigene Rechnung. Das behandelt Artikel 9.7: Verschieben auf Einstand, nachgezogener Ausstieg und Skalierung, jeweils mit der Richtung, in die sich alle drei Parameter zugleich verändern.