Währungspaarkorrelation, verborgenes Engagement und Portfoliorisiko

Drei Positionen mit einem Verlustbudget von jeweils 1 % des Kapitals erfordern zwei separate Berechnungen. Auf dem illustrativen Konto mit 100.000 PLN beträgt die Standardabweichung des täglichen Portfolioergebnisses 1,53 %. Das Szenario aller Ausstiege zu den geplanten Preisen ergibt 3,00% bzw. 3,30% nach Hinzufügen von Slippage in Höhe von 10 % jedes Betrags, vor separaten Provisionen und Finanzierungskosten. Die erste Zahl beschreibt die Streuung um den Mittelwert, die zweite budgetiert eine bestimmte Ausführung. Keine ist der größtmögliche Verlust. Wir berechnen beide, berücksichtigen die Vorzeichen der Positionsrichtungen und zerlegen das Engagement in Währungen. Außerdem prüfen wir, wie Messfenster und Korrelationsunsicherheit die Schlussfolgerungen beeinflussen und wie viel Kapazität unter den schriftlichen Limits verbleibt.

1. Die beiden Zahlen, die als „Portfoliorisiko“ bezeichnet werden

Die klassische Portfolioformel von Markowitz¹ beschreibt die modellierte gemeinsame Volatilität, keinen garantierten Verlust beim Handel mit einem schützenden Ausstieg. Diese Unterscheidung kehrt in den meisten Korrelationsdiskussionen wieder; deshalb steht sie am Anfang statt in einer Fußnote.

Das Symbol σ bezeichnet die Standardabweichung des Positionsergebnisses um seinen Mittelwert über einen festgelegten Horizont und in Kontowährung. R bis zum schützenden Ausstieg beschreibt dagegen den Verlust bei einem bestimmten Ausführungspreis. Die Auftragsaktivierung garantiert weder diesen Preis noch einen auf R begrenzten Verlust. Wer R für σ einsetzt, verändert die Bedeutung der Formel und kann das Ergebnis über- oder unterschätzen.

Die erste Konsequenz betrifft negative Korrelation. „Bei einer Korrelation von −0,91 neutralisieren sich die Positionen; das effektive Risiko beträgt daher 0,42 % statt 2 %“ ist als Verlustbeschreibung falsch. Die modellierte Volatilität des Tagesergebnisses sinkt tatsächlich nahe null, doch beide schützenden Ausstiege können in derselben Sitzung auslösen. Es genügt, dass der Kurs zuerst in die eine und dann in die andere Richtung läuft — ein gewöhnlicher Tagesverlauf bei einer Datenveröffentlichung, kein Extremszenario. Die Verlustsumme bleibt dann bei 2 % zuzüglich Slippage auf beiden Teilpositionen.

Die zweite Konsequenz betrifft positive Korrelation. „Fünf Positionen zu 1 % mit einer Korrelation von +0,85 ergeben ein effektives Risiko von 4,69 %“ liest sich wie „weniger als 5 %, ich habe Spielraum“. Es gibt keinen Spielraum. 4,69 % sind die Standardabweichung des Tagesergebnisses unter der Annahme, dass σ jeder Position 1 % des Kapitals beträgt; lösen alle fünf Ausstiege aus, beträgt der Verlust 5 % zuzüglich Slippage auf jeder der fünf Teilpositionen.

Der weitere Artikel hält diese Trennung ein: Jede Berechnung nennt beide Zahlen nebeneinander.

2. Korrelation als Messung — vier Parameter und ein Beschreibungsblatt

Derselbe Koeffizient erfordert dieselbe Uhr

Beispiel eines Synchronisationsfehlers: In vier aufeinanderfolgenden Intervallen lauten die Renditen von A [1, −1, 1, −1], während B ein Intervall später reagiert. Der Vergleich von A mit einer um ein Intervall verzögerten Kopie ergibt das entgegengesetzte Vorzeichen, obwohl die Reihen nach korrekter Ausrichtung identisch sind. Bei echten Daten verschieben wir die Uhr nicht, um eine höhere Korrelation zu erhalten: Gemeinsame Zeitzone, Sitzungsgrenzen und Regeln für fehlende Kurse werden vor der Messung festgelegt. Tägliche Positionsergebnisse mit unterschiedlichen Bewertungszeitpunkten bilden keine einheitliche Matrix.

Korrelation ist eine Zahl von −1,00 bis +1,00, die beschreibt, wie stark zwei Reihen gemeinsam verlaufen. Für sich ist die Zahl jedoch kein Datenpunkt, solange Sie nicht wissen, wie sie berechnet wurde. Die Änderung eines einzigen der vier Messparameter verändert das Ergebnis genug, um die Schlussfolgerung zu bestimmen.

• Zeitraum — von wann bis wann, mit Messdatum
• Beobachtungshäufigkeit — tägliche, stündliche oder wöchentliche Daten
• Transformation der Reihen — Preisniveaus oder Renditen; bei Renditen einfache oder logarithmische
• Beobachtungsanzahl — denn von ihr hängt der Schätzfehler ab

Eine auf Preisniveaus berechnete Korrelation ist meist hoch und praktisch nutzlos: Sie misst einen gemeinsamen Trend, nicht den Gleichlauf der Renditen. Zwei Währungspaare in einem langen Trend können eine Niveaukorrelation von +0,95 haben, während ihre täglichen Renditen nahezu unabhängig sind. Für die Portfoliorechnung verwenden Sie logarithmische Renditen ln(C_t/C_t−1) aus Schlusskursen zur selben Uhrzeit.

Ein Korrelationsblatt — dasselbe Paar mit vier Parametersätzen

Blätter A und B verändern sowohl Zeitraum als auch Häufigkeit. Alle Koeffizienten sind erfundene didaktische Daten: Die Datumsangaben beschreiben einen Messentwurf, keine durchgeführte Messung. Die Differenz von 0,26 lässt sich ohne tatsächliche Reihen und geeigneten Stichprobenvergleich weder der Häufigkeit noch einer Marktänderung oder dem Zufall zuschreiben. Die Standardfehlerzeile verwendet lediglich eine Näherung für unabhängige normalverteilte Beobachtungen.

Blatt D zeigt den Häufigkeitsvergleich bei unverändertem Zeitraum und unveränderter Transformation. Bei echten Daten stammen Tages- und Stundenwerte teilweise aus denselben Preisänderungen. Unterschiede können Aggregation, Verzögerungen, asynchrone Kurse oder die Stundenauswahl widerspiegeln; die vier Zahlen allein bestimmen die Ursache nicht.

Die praktische Folge ist einfach: Wenn Sie ein Portfolio auf täglicher Korrelation aufbauen, aber in einem Stundenfenster handeln, berechnen Sie das Risiko aus einer anderen Größe als Ihrer tatsächlichen Exposition. Messen Sie über den Horizont, in dem Sie die Position halten.

Wie viel der Ablesung Rauschen ist

Unter der Annahme einer zweidimensionalen Normalverteilung und unabhängiger Beobachtungen beträgt der Standardfehler des Korrelationskoeffizienten:

$$SE(\rho) \approx \frac{1 - \rho^2}{\sqrt{n - 1}}$$

n ist die Renditeanzahl. Diese Näherung setzt unabhängige Beobachtungen aus einer zweidimensionalen Normalverteilung voraus. Zeitabhängigkeit, Volatilitätscluster und eine andere Verteilung können die Unsicherheit verändern; sie machen diese Tabelle nicht zu einer allgemeingültigen unteren Schätzung. Fehlerrichtung und -ausmaß müssen an Daten geprüft werden. Bei kleinen Stichproben und Koeffizienten nahe ±1 ist die Fisher-Transformation zweckmäßiger.

Ein Unterschied zwischen Korrelationen über 30 und 90 Sitzungen kann ein nützlicher Alarm sein; eine Schwelle von 0,25 hat aber keine allgemeingültige statistische Interpretation. Bei zwei unabhängigen Stichproben mit Koeffizienten nahe 0,5 beträgt der angenäherte Standardfehler der Differenz √(0,142²+0,080²)≈0,163, das Doppelte also 0,33. Diese Hilfsrechnung entscheidet weder den Vergleich verschachtelter Fenster noch rechtfertigt sie, deren Differenz als „Rauschen“ zu bezeichnen.

Bei verschachtelten Fenstern gilt Var(r₁−r₂)=Var(r₁)+Var(r₂)−2Cov(r₁,r₂). Die kürzere Stichprobe gehört zur längeren; deshalb verschwindet der Kovarianzterm im Allgemeinen nicht. Die Bewertung kann ein gemeinsames Modell oder zeitblockweises Ziehen mit erhaltener Überlappung verwenden. Ohne Rohdaten geben wir hier keine exakte Schwelle an; die Tabelle betrifft zwei getrennte Stichproben gleicher Länge.

3. Das Messfenster — eine Wahl, keine Konstante

Prüfung mit der Fisher-Transformation

Modellbeispiel: zwei unabhängige Fenster mit 29 Renditen, zweidimensionale Normalverteilung, Ablesungen 0,60 und 0,85. Die Transformation z=atanh(r) ergibt 0,69315 und 1,25615. Der Fehler der Differenz ist √(1/26+1/26)=0,27735; somit beträgt die Statistik (1,25615−0,69315)/0,27735=2,03. In einem angenäherten zweiseitigen Test überschreitet das 1,96 (p≈0,042). Das zeigt, warum ein einziger bei ρ=0,5 berechneter Standardfehler für beliebige Ablesungen die Schlussfolgerung verändern kann. Das Ergebnis gilt nicht für überlappende Fenster oder eine zeitabhängige Reihe.¹³

Die Standardfehlertabelle des vorigen Abschnitts zeigt nur die Hälfte des Problems. Die Fensterlänge steuert zwei Fehler zugleich, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Ein kurzes Fenster hat großen Zufallsfehler und geringe Verzögerung, ein langes kleinen Zufallsfehler und große Verzögerung. Kein Fenster minimiert beides; seine Länge ist ein Kompromiss zwischen Fehler und Verzögerung.

Die Verzögerung eines rollierenden Fensters

Rollierende Korrelation ist nicht einfach der Durchschnitt der Regimekorrelationen. Bei gleichen Mittelwerten und Varianzen in beiden Regimen erhält das neue Regime im Gemisch das Gewicht m/n; daher werden nach 0,9n Beobachtungen 90 % der Änderung erreicht. Sind beide Varianzen im neuen Regime viermal höher, lautet sein Gewicht 4m/[4m+(n−m)]; 90 % werden bei m/n=9/13≈0,692 erreicht. Geänderte Mittelwerte oder ungleiche Skalenänderungen der beiden Teilreihen erfordern die vollständige Kovarianzrechnung der Mischung. Die folgende Tabelle zeigt nur gleiche Mittelwerte und Varianzen.

Beobachtungsanzahl für eine angenäherte Fehlergrenze

Die Tabelle zeigt die angenäherte Fehlerbreite einer Differenz zwischen zwei unabhängigen Ablesungen nahe ρ≈0,5. Die Bedingung 2SEΔ≤Δ ergibt die folgenden n. Das ist kein Testentwurf mit festgelegter Teststärke: Wer beispielsweise eine echte Änderung mit 80 % Wahrscheinlichkeit erkennen will, benötigt zusätzlich Teststärke, Signifikanzniveau und Koeffizienten unter den Hypothesen.

$$n \geq 1 + \left(\frac{2,121}{\Delta}\right)^2$$

451 betrifft eine Differenz von 0,10 und eine lokale Näherung bei ρ≈0,5. Es beweist nicht, dass die Unterscheidung von 0,60 und 0,70 genau 451 Beobachtungen erfordert. Eine größere Stichprobe reduziert bei stabilem Prozess die Unsicherheit, kann jedoch alte und neue Bedingungen mischen. Die Fensterwahl verbindet deshalb Genauigkeit, Reaktionsfähigkeit und Horizont der gemessenen Ergebnisse.

Das Auswahlverfahren

Die Entscheidung lässt sich auf vier Schritte reduzieren, die einmal durchgeführt und mit den übrigen Parametern festgehalten werden.

1. Bestimmen Sie die zu erkennende Differenz. Nicht „Ich möchte die Korrelation kennen“, sondern „Ich möchte wissen, ob sie die Schwelle überschritten hat, bei der ich eine Position ablehne“. Beträgt diese 0,70 und liegen typische Ablesungen bei etwa 0,50, gilt Δ = 0,20.
2. Vergleichen Sie mehrere Fenster mit denselben synchronisierten Renditen. Ein längeres Fenster hilft bei der Bewertung der Ablesestabilität, ein kürzeres zeigt jüngere Bedingungen. Eine Haltedauer von einem Tag disqualifiziert nicht 114 tägliche Renditen als Stichprobe zur Schätzung des Eintagesrisikos. Ergebnishorizont und Stichprobenlänge haben unterschiedliche Aufgaben.
3. Trennen Sie die Entscheidungsschwelle von einer Signifikanzbehauptung. Ein Limit von 0,70 kann auch bei kurzem Fenster eine Vorsichtsregel sein, sofern die Reaktion auf eine unsichere Ablesung schriftlich feststeht. Eine kurze Stichprobe macht nicht jede Messung zur Lotterie; sie erfordert die Darstellung einer breiteren Unsicherheitsspanne.
4. Legen Sie die Reaktion auf widersprüchliche Fenster fest. Sie können eine Variante mit höherer positiver Ergebnisabhängigkeit neu berechnen, das Engagement reduzieren oder eine Position ablehnen. Halten Sie den Auslöser vorab fest. Die später verwendeten 180 Sitzungen sind der Parameter eines illustrativen Verfahrens, kein statistisch vorgegebenes Minimum.

4. Die Korrelationsmatrix — was sie enthält und was nicht

Warum wir die gesamte Matrix prüfen

Die drei Koeffizienten ρ₁₂=1, ρ₁₃=0,82 und ρ₂₃=0,74 liegen jeweils in [−1,1], können aber keine Korrelationsmatrix bilden: Zwei identische standardisierte Reihen müssen dieselbe Korrelation mit der dritten aufweisen. Der kleinste Eigenwert dieser Matrix beträgt −0,00796. Eine rechnerisch gültige Stressvariante lautet Cstress=(1−λ)C+λJ, wobei alle Einträge von J eins sind und 0≤λ≤1 gilt. Die Mischung positiv semidefiniter Matrizen erhält diese Eigenschaft. Die Übung verwendet λ=0,5; das ist keine Prognose der Marktabhängigkeit.

Eine Korrelationsmatrix ist eine symmetrische Tabelle, deren Zellen jeweils den Koeffizienten für ein Reihenpaar angeben. Auf der Diagonale steht immer +1,00. Die folgende Matrix umfasst acht Währungspaare — sieben Hauptpaare und einen Kreuzkurs (EUR/GBP) — und wird auf täglichen logarithmischen Renditen berechnet. Die Werte sind illustrativ — sie zeigen typische strukturelle Beziehungen, keine Ablesung aus einem bestimmten Fenster.

Bei zeitgleichen, konsistenten Kursen impliziert EUR/GBP=(EUR/USD)/(GBP/USD) exakt rlog(EUR/GBP)=rlog(EUR/USD)−rlog(GBP/USD). Erst die Annahme gleicher Standardabweichungen beider Teilreihen ergibt eine Korrelation mit Z von [ρ(EUR/USD,Z)−ρ(GBP/USD,Z)]/√(2−2ρ). Bei ρ=0,87 beträgt der Nenner 0,5099 und die gerundete letzte Zeile +0,25; −0,25; +0,14; +0,20; −0,25; −0,18; −0,24. Die Matrix ist auf zwei Dezimalstellen gerundet. Ihr kleinster Eigenwert beträgt +0,00443; damit bleibt sie positiv definit. Eine Matrix mit exakt hergeleiteter Kreuzkursreihe wäre singulär. Separate Schätzungen müssen Datenkonsistenz und positive Semidefinitheit berücksichtigen.

Eine Matrix wird in zwei Schritten gelesen. Zuerst suchen Sie Absolutwerte über 0,70 als Kandidaten für einen starken Zusammenhang. Dann passen Sie das Vorzeichen an die Positionsrichtungen an und betrachten die Ergebniskorrelation: Ist sie hoch und positiv, verlieren die Positionen gemeinsam und werden als konzentriertes Engagement mit summiertem Nominalwert behandelt. Ist sie hoch und negativ, gleichen sich die Teilpositionen in der modellierten Volatilität aus; jede behält aber ihr eigenes Ausstiegsbudget und ihre Kosten. Long EUR/USD und Long GBP/USD bei +0,87 sind ein Makrothema in zwei Verpackungen. Long EUR/USD und Long USD/CHF bei −0,91 ergeben eine Ergebniskorrelation von −0,91 — teilweise neutralisiertes Engagement mit zwei Ausstiegsbudgets, keine Diversifikation (Rechnung: Portfolio C in Abschnitt 11).

5. Verborgenes Währungsengagement — Positionen in Teilwährungen zerlegen

Die Korrelationsmatrix zeigt den Gleichlauf, nicht Ihre Nettoposition. Jedes Paar besteht aus zwei Währungen: Sie kaufen eine und verkaufen die andere. Bei mehreren Positionen überschneiden sie sich; es entsteht ein konzentriertes Engagement unter mehreren Namen. Die Zerlegung in Teilwährungen (Netto-Währungsengagement) rechnet alle offenen Positionen in ein Nettoengagement je Währung um, ausgedrückt in Kontowährung.

Die Vorzeichenregel

Ohne getrennte Vorzeichen behandelt die Summe jede Position als Long und liegt bei einem gemischten Portfolio um den Wert jeder entgegengesetzten Teilposition falsch. Das ist der häufigste verborgene Fehler dieser Rechnung.

Die Rechnung mit drei Positionen

Illustrative Annahmen. Kontonettowert vor Einstieg: 100.000 PLN. R=1.000 PLN je Position, also 1 % dieser Basis. Rechnen Sie alle Nominalwerte mit einem gemeinsamen Satz hypothetischer Bewertungskurse desselben Zeitpunkts in PLN um. Es sind Modellwerte ohne historische Kurse; das Positionsbuch enthält außerdem die ursprünglichen Währungseinheiten. Beide Seiten jeder Transaktion haben bei dieser Bewertung denselben Nominalwert. Kontraktumrechnung — Kursabschnitt 2.

1. Long EUR/USD, Nominalwert 100.000 PLN
2. Long GBP/USD, Nominalwert 120.000 PLN
3. Short USD/CHF, Nominalwert 90.000 PLN

Das Portfolio hat bei 100.000 PLN Kontonettowert ein nominales USD-Engagement von −310.000 PLN. Ein kleiner Anstieg des PLN-Werts von USD um 1 %, bei unveränderten PLN-Werten von EUR, GBP und CHF, reduziert seine Bewertung in linearer Näherung um 3.100 PLN. Das ist ein ausdrückliches Währungsszenario, keine Prognose aller Wechselkursbewegungen. Schließungskosten und Änderungen der Umrechnungskurse sind separat zu behandeln.

Lots werden teils als Kurzform für den Nominalwert in Kontowährung verwendet. Das funktioniert nur bei Instrumenten mit ähnlicher Volatilität und ähnlichem Pip-Wert; ein Lot EUR/USD und ein Lot GBP/JPY erfüllen diese Bedingung nicht. Unterschiedliche Instrumentenvolatilitäten berücksichtigt die Portfoliorechnung ohnehin über σ_i; daher ist es einfacher, von Anfang an in Kontowährung zu rechnen.

6. Die vollständige Zerlegung in Währungsfaktoren

Die drei Positionen des vorigen Abschnitts lieferten ein offensichtliches Ergebnis, weil alle den Dollar auf derselben Seite hatten. Bei Kreuzkursen und Positionen beider Richtungen ist das Ergebnis nicht mehr offensichtlich — dann zeigt sich, dass die Rechnung tatsächlich durchgeführt werden muss, statt sie nach Augenmaß zu schätzen.

Der zu zerlegende Satz

Annahmen (illustrative Werte). Aktuelles Kapital 100.000 PLN, gemessen vor Eröffnung der ersten Position. Positionsrisiko: 0,60 % = 600 PLN, fünf Positionen, also Summe der Risikobeträge 3,00 % = 3.000 PLN. Das Konzentrationslimit ist dieselbe Regel wie im gesamten Artikel — 3 × das Risiko einer einzelnen Position; das Limit ist eine Regel, keine Zahl. Bei 0,60 % je Position ergibt es 1,80 %, bei 1,00 % dagegen 3,00 %.

Schritt 1 — jede Position in zwei Währungen aufteilen

Die Vorzeichenregel aus dem vorigen Abschnitt wird mechanisch angewandt: Eine Long-Position gibt der Basiswährung ein Plus und der Notierungswährung ein Minus, eine Short-Position umgekehrt. In beide Zeilen geht derselbe Nominalwert ein.

Schritt 2 — je Währung summieren

Arithmetische Kontrolle: Die Summe aller Nettopositionen muss null ergeben, weil jede Position denselben Betrag einmal mit einem Plus und einmal mit einem Minus beiträgt. Hier: −90.000 + 70.000 + 70.000 − 70.000 + 30.000 − 10.000 = 0. Ergibt sich nicht null, haben Sie irgendwo ein Vorzeichen vertauscht oder einen Währungsschenkel ausgelassen.

Das Ergebnis überrascht, und gerade darin liegt sein größter Wert. Die größte nominale Nettoexposition entfällt auf den kanadischen Dollar — eine Währung, die in genau einem der fünf Paare vorkommt. Der US-Dollar, der in drei Paaren vertreten ist, liegt nur auf dem zweiten Platz, gleichauf mit dem australischen Dollar und dem Yen, weil sich die drei Dollarpositionen teilweise aufheben: Eine Shortposition im Dollar (−80.000) ergibt zusammen mit zwei Longpositionen (+60.000 und +90.000) netto +70.000. Das Pfund, das in zwei Paaren vorkommt, hat die geringste Exposition der gesamten Zusammenstellung — 60.000 short und 50.000 long heben sich fast vollständig auf.

Schritt 3 — konzentriertes Risiko, also die zweite Tabelle

Die nominale Nettoexposition beantwortet die Frage nach den Kosten einer Bewegung einer Währung. Die Frage nach dem Verlust beantwortet eine andere Größe: die Summe der Risikobeträge jener Positionen, die verlieren, wenn sich eine bestimmte Währung in eine Richtung bewegt. Sie wird für jede der beiden Richtungen getrennt berechnet; der größere Wert gilt als Konzentration.

Das größte konzentrierte Risiko beträgt 1,20% beim Dollar und liegt innerhalb der Grenze von 1,80%. Beachten Sie, dass die beiden Tabellen unterschiedliche Währungen als dominierend ausweisen: Nominal führt der kanadische Dollar mit −90%, beim Risiko der US-Dollar mit 1,20%. Das ist kein Widerspruch, denn sie messen Verschiedenes. Die nominale Exposition summiert Beträge algebraisch, sodass sich gegenläufige Positionen aufheben; das konzentrierte Risiko zählt nur jene Positionen, die gemeinsam verlieren, sodass keine Aufhebung stattfindet. Die Grenze wird auf die zweite Tabelle angewandt.

Schritt 4 — die Summe der Verluste

Fünf Positionen zu je 600 PLN: 3.000 PLN = 3,00% des Kapitals. Mit Slippage von 10% des Risikobetrags auf jedem Währungsschenkel: 5 × 660 = 3.300 PLN = 3,30% des Kapitals. Dieselbe Zahl wie bei den drei Positionen im vorherigen Abschnitt — denn die Summe der Verluste hängt vom Risikobudget ab, nicht davon, auf wie viele Positionen Sie es verteilen.

7. Gesamtexposition von drei Positionen, vollständig durchgerechnet

Was sich durch eine zusätzliche Position ändert

Veranschaulichung in PLN bei einem Kontonettowert von 100.000 PLN: Das bestehende Portfolio hat täglich σ=1.000 PLN, der Kandidat σ=500 PLN und dessen Ergebniskorrelation mit dem gesamten Portfolio beträgt −0,80. Nach der Aufnahme gilt Var=1.000²+500²+2×(−0,80)×1.000×500=450.000 PLN², also σneu=670,82 PLN. Bei einer Korrelation von 0 ergibt derselbe Kandidat 1.118,03 PLN. Eine niedrige Korrelation garantiert somit keine geringere Volatilität, eine stark negative Korrelation kann sie hingegen bewirken. In beiden Varianten steigt das Ausstiegsszenario-Budget um R und die Kosten des Kandidaten. Diese Rechnung ist von der Varianzänderung getrennt.

Dasselbe Portfolio wie in Abschnitt 5, bis zum Ende durchgerechnet. Die Rechnung führt beide Zahlen parallel mit, denn nur nebeneinander liefern sie eine nützliche Aussage.

Eingaben

Schritt 1 — das Vorzeichen übertragen

Korrelationen der Kursreihen aus der Matrix in Abschnitt 4: EUR/USD und GBP/USD +0,87; EUR/USD und USD/CHF −0,91; GBP/USD und USD/CHF −0,82. Die Positionen 1 und 2 sind long, Position 3 ist short, daher:

Alle drei Ergebniskorrelationen sind positiv und hoch. Ein Portfolio, das im Chart gemischt aussieht — zwei Longpositionen und eine Shortposition — ist in Wirklichkeit einheitlich.

Schritt 2 — modellierte Gesamtvolatilität

$$\sigma_p = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 + 2(\rho_{12}\sigma_1\sigma_2 + \rho_{13}\sigma_1\sigma_3 + \rho_{23}\sigma_2\sigma_3)}$$

Eingesetzt, in Prozent des Kapitals:

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,25 + 0,49 + 0,16 = 0,90
ρ₁₂σ₁σ₂ = 0,87 × 0,50 × 0,70 = 0,3045
ρ₁₃σ₁σ₃ = 0,91 × 0,50 × 0,40 = 0,1820
ρ₂₃σ₂σ₃ = 0,82 × 0,70 × 0,40 = 0,2296
2 × (0,3045 + 0,1820 + 0,2296) = 2 × 0,7161 = 1,4322

σ_p = √(0.90 + 1.4322) = √2.3322 = 1,53% des Kapitals pro Tag = 1.527 PLN

Kontrolle der Größenordnung: Das Ergebnis muss zwischen der größten einzelnen Standardabweichung (0,70%) und der Summe der Standardabweichungen (1,60%, die Grenze bei ρ = +1) liegen. Das tut es. Die untere Hälfte dieser Kontrolle gilt nur bei nichtnegativen Ergebniskorrelationen — bei negativen entfällt diese Untergrenze, wie Portfolio C in Abschnitt 11 zeigt, bei dem σ_p = 0,34% unter der Standardabweichung einer einzelnen Position liegt. Bei Unabhängigkeit wären es √0,90 = 0,95% gewesen — die Beziehung zwischen den Positionen erhöht die modellierte Volatilität um 61%.

Schritt 3 — die Summe der Verluste bei gleichzeitiger Auslösung der Ausstiege

Diese Rechnung ist getrennt und erfolgt durch Addition, nicht durch Wurzelziehen.

Alle Tabellenbeträge sind Verluste aus der Differenz zwischen tatsächlichen Einstiegs- und angenommenen Ausstiegspreisen; ein darin enthaltener Spread wird nicht nochmals addiert. G=10%R ist eine illustrative Verschlechterung der Ausführung, keine Messung oder Grenze. Bei gesonderter Provision und Finanzierung von 20 PLN je Position betragen die Nettoverluste in den drei Zeilen 3.060 PLN (3,06%), 3.360 PLN (3,36%) und 4.260 PLN (4,26%) derselben Basis von 100.000 PLN. Die Tabelle behandelt den Ausstiegspreis bewusst als Szenario: Ein Stop begrenzt eine Kurslücke nicht auf das angegebene Vielfache. Kostenrechnung — 9.6; größere Sprünge — 9.10.

Schritt 4 — beide Zahlen nebeneinander

Die modellierte Volatilität fiel weniger als halb so hoch aus wie die Summe der Verluste bei Auslösung der Ausstiege. Würde man 1,53% als „mein Risiko“ lesen, plante man Kapital für weniger als die Hälfte dessen ein, was das Konto tatsächlich in einer einzigen Sitzung verlassen kann.

Zwei Positionen bei unterschiedlichen Korrelationen

Eine Korrelation nahe null bedeutet keine lineare Abhängigkeit in dieser Stichprobe, nicht aber Unabhängigkeit oder Schutz in den Verteilungsschwänzen. Eine gemeinsame Währung allein bestimmt den Koeffizienten nicht: Volatilität, Zeitraum und Horizont jeder Komponente spielen eine Rolle. Longin und Solnik untersuchen Aktienmärkte; sie stellen keine numerischen Korrelationen von Währungspaaren fest.³

Eine vereinfachte Formel für N Positionen

Für N = 5, σ = 1,00% und ρ = 0,85: σ_p = 1% × √(5 + 20 × 0.85) = 1% × √22 = 4,69% des Kapitals pro Tag. Bei ρ = 0 wären es 1% × √5 = 2,24%, bei ρ = +1 — 5,00%.

Die Summe der Verluste bei Auslösung von fünf Ausstiegen mit jeweils 1% Risiko beträgt 5,00% unabhängig von der Korrelation und nach Hinzurechnung von 10% Slippage auf jedem Währungsschenkel — 5,50%. Die Zahl 4,69% bedeutet daher nicht „Bis 5% habe ich noch Spielraum“: Sie beschreibt eine völlig andere Größe und begrenzt den Verlust in keiner Richtung.

Stark negative Korrelationen lassen sich bei fünf Positionen auch nicht beliebig anordnen; dahinter steht keine Festlegung des Autors. Eine Korrelationsmatrix muss positiv semidefinit sein. Bei einheitlicher paarweiser Korrelation darf der Ausdruck N + N(N−1)ρ daher nicht unter null fallen; für N = 5 ergibt sich die Grenze ρ ≥ −0,25. Negative Beziehungen begrenzen einander mit wachsender Instrumentenzahl — das ist eine algebraische Eigenschaft der Matrix, keine redaktionelle Konvention.

8. Gemeinsame Schwellenunterschreitungen und Auslösung von Ausstiegen

Im Folgenden berechnen wir die gemeinsame Unterschreitung dreier Schwellen durch das Tagesendergebnis. Dieses Modell zeigt die Bedeutung der Abhängigkeit, beantwortet aber noch nicht, ob Orders während des Tages ausgelöst oder in derselben Minute ausgeführt wurden. Dafür braucht man Kursverläufe sowie Auslöse- und Ausführungsregeln.

Drei Dinge bilden dies ab: ein gemeinsamer Faktor, die Ausstiegsdistanz in Volatilitätseinheiten und die Konzentration der Bewegung innerhalb eines Zeitfensters. Die ersten beiden lassen sich am Portfolio aus Abschnitt 7 direkt berechnen.

Schritt 1 — ein Faktor bildet die gesamte Matrix nach

Die Matrix aus Abschnitt 7 lässt sich durch Xi=aiF+√(1−ai²)εi nachbilden, wobei F und die drei εi unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind. Dann gilt Corr(Xi,Xj)=aiaj. Wir berechnen die Faktorladungen für die drei positiven Koeffizienten. Diese algebraische Zerlegung identifiziert F nicht als Dollarkurs; sie ist eine mögliche statistische Konstruktion.

$$a = \sqrt{\frac{\rho_{12} \cdot \rho_{13}}{\rho_{23}}}, \qquad b = \frac{\rho_{12}}{a}, \qquad c = \frac{\rho_{13}}{a}$$

a = √((0,87 × 0,91) / 0,82) = √(0,7917 / 0,82) = √0,96549 = 0,983
b = 0,87 / 0,98259 = 0,885
c = 0,91 / 0,98259 = 0,926

Kontrolle: b×c=0,885413×0,926122=0,820000. Jede Ladung liegt in [−1,1], sodass die Varianzen der idiosynkratischen Komponenten nichtnegativ sind. Das Modell bildet die drei Korrelationen exakt nach und behält zugleich in jeder Position eine idiosynkratische Komponente bei. Es beweist nicht, dass sämtliche tatsächlichen Gewinne und Verluste aus einer einzigen Währung stammen.

Schritt 2 — die Ausstiegsdistanz in Volatilitätseinheiten

Risikobetrag und Standardabweichung der Position ergeben in ihrem Verhältnis eine dritte Größe: wie viele tägliche Standardabweichungen der schützende Ausstieg vom Einstieg entfernt ist. Nennen wir sie k:

$$k_i = \frac{R_i}{\sigma_i}$$

Bei gleichem R ist R/σ bei der zweiten Position am kleinsten. Innerhalb desselben Modells mit Erwartungswert null unterschreitet ihr Endergebnis die Schwelle am häufigsten. Um die tatsächliche Ausstiegshäufigkeit zu beurteilen, braucht man zusätzlich Kursverlauf, Expositionsdauer und Kosten.

Schritt 3 — die Schwelle für den gemeinsamen Faktor

Lassen wir εi vorübergehend weg, ergibt eine ungünstige Bewegung des gemeinsamen Faktors um z Standardabweichungen ein Ergebnis von ai×z Standardabweichungen der Position. Die Schwelle der gemeinsamen Komponente ist z≥ki/ai. Nach Wiedereinbeziehung der idiosynkratischen Komponenten ist diese Bedingung allein weder notwendig noch hinreichend dafür, dass das Gesamtergebnis die Schwelle unterschreitet.

$$z \geq \frac{k_i}{a_i}$$

Die Schwellen der gemeinsamen Komponente liegen bei 1,61, 2,04 und 2,70. Die einseitige Normalverteilungsschwanz-Wahrscheinlichkeit jenseits der größten beträgt etwa 0,35%, doch die Gesamtergebnisse enthalten εi. Durch Integration des Modells ergibt sich eine 0,5216% Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei Tagesendergebnisse unter −Ri liegen. Dies bleibt von der Wahrscheinlichkeit dreier Intraday-Orderauslösungen getrennt.

Schritt 4 — dasselbe über ein Jahr und der Vergleich mit Unabhängigkeit

Unter der zusätzlichen Annahme von 250 unabhängigen Tagen mit unveränderter Verteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens einer gemeinsamen Unterschreitung zum Tagesschluss 1−(1−0,005216064)²⁵⁰=72,95%. Dies beschreibt eine hypothetisch aufrechterhaltene Exposition, kein nach aufeinanderfolgenden Stops verkleinertes Portfolio.

Bei drei unabhängigen normalverteilten Endergebnissen mit denselben Schwellen betragen die Schwanzwahrscheinlichkeiten Φ(−2)=2,275%, Φ(−1/0,7)=7,656% und Φ(−2,5)=0,621%. Ihr Produkt beträgt 0,0010816%, und die Wahrscheinlichkeit mindestens einer Unterschreitung an 250 unabhängigen Tagen beträgt etwa 0,270%. Hier werden zwei Modelle von Endergebnissen verglichen.

In diesem Beispiel erhöht der gemeinsame Faktor die Wahrscheinlichkeit einer Unterschreitung durch das Endergebnis gegenüber Unabhängigkeit etwa um das 482-Fache. Diese Rechnung spricht dafür, Abhängigkeiten zu prüfen, bestimmt aber nicht die Wahrscheinlichkeit, das gesamte Stopbudget tatsächlich zu verlieren. Zur Kontrolle: In einem kontinuierlichen Brownschen Modell ohne Drift wird eine einzelne Barriere bei −2σ vor Tagesende mit Wahrscheinlichkeit 2Φ(−2)=4,55% berührt, während das Endergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,275% unter dieser Barriere liegt. Der Verlauf kann wieder über die Barriere zurückkehren; ein Markt mit Kurslücken erfordert weitere Annahmen.

Schritt 5 — was geschieht, wenn die Ausstiegsdistanzen in Volatilitätseinheiten identisch sind

Viele Leser setzen ihre schützenden Ausstiege auf ein festes Vielfaches der Instrumentenvolatilität — beispielsweise alle auf 2,00 tägliche Standardabweichungen. Bei einer solchen Einstellung liegen die Schwellen des gemeinsamen Faktors nicht mehr so weit auseinander:

z₁ = 2,00 / 0,983 = 2,04 · z₂ = 2,00 / 0,885 = 2,26 · z₃ = 2,00 / 0,926 = 2,16

Setzt man alle ki=2, liefert dasselbe Endergebnismodell 0,8601% gemeinsame Unterschreitungen und über 250 unabhängige Tage eine Wahrscheinlichkeit von 88,46% für mindestens ein solches Ereignis. Die Schwanzwahrscheinlichkeit von 1,19% jenseits der Schwelle des gemeinsamen Faktors ersetzt dieses Integral nicht: Sie lässt die idiosynkratischen Komponenten weg.

Der Vergleich verändert zwei bestimmte Barrieren: k₂ steigt von 1,43 auf 2 und k₃ sinkt von 2,5 auf 2. Das kombinierte Modellergebnis steigt, aber vereinheitlichte Schwellen haben nicht immer diesen Effekt. Berechnen Sie die neuen Schwellen und Nominalwerte erneut; „gleiche Distanzen in Volatilitätseinheiten“ allein klären die Risikofrage nicht.

9. Korrelation unter Stress — was diese Rechnung nicht abdeckt

Die Korrelation ist nicht verpflichtet, auf dem Niveau Ihres historischen Tests zu bleiben. Wer das Portfoliorisiko auf historische Korrelationen aufbaut, baut auf der Annahme von Kontinuität auf — und der Markt garantiert keine Kontinuität.

Unter Stress kann die Abhängigkeit enger oder schwächer werden oder ihr Vorzeichen wechseln. Bei festen positiven σ-Skalen erhöht eine steigende positive Ergebniskorrelation die Varianz ihrer Summe; auf eine geänderte Kurskorrelation müssen weiterhin die Positionsvorzeichen angewandt werden. In einem Portfolio mit gegenläufigen Positionsrichtungen kann dieselbe Änderung eines Kurskoeffizienten anders wirken.

Eine plötzliche Einschränkung der Finanzierung und die Schließung ähnlicher Expositionen können gemeinsame Kursbewegungen verstärken. Brunnermeier, Nagel und Pedersen beschreiben diesen Zusammenhang für auf Zinsdifferenzen beruhende Währungspositionen.⁵ Dies ist ein wirtschaftlicher Mechanismus einer möglichen Verteilungsänderung, keine gesonderte Korrelationsart oder ein Beweis dafür, dass irgendein Koeffizient steigen muss.

Die BIZ-Berichte zum Pfund 2016 und die RBA-Berichte zum Yen 2019 dokumentieren schnelle Bewegungen, schwache Liquidität und Ausführungsprobleme.⁶⁷ Die SNB-Mitteilung bestätigt den Regimewechsel bei EUR/CHF im Jahr 2015.⁸ Diese Quellen ermitteln weder Koeffizienten für unser Portfolio noch beweisen sie, dass jede Korrelation vor dem Ereignis vollständig nutzlos war. Niveaus, Zeiten und Interpretationsgrenzen werden in 9.10.

Korrelierte Bewegungen und schlechtere Ausführung können gemeinsam auftreten. Die Slippage von 10%R in der Tabelle ist daher nur ein Szenarioparameter; wir haben keine Grundlage, sie allgemein als optimistisch oder repräsentativ zu bezeichnen. Budgetierung erfordert den Verlust zu tatsächlichen Preisen, Provisionen und Finanzierung; die Szenariohäufigkeit erfordert ein gemeinsames Modell der Kursverläufe.

10. Wie viel dieser Rechnung Stress übersteht — die Zahlen

Der vorherige Abschnitt hat das Phänomen beschrieben. Rechnen wir es nun aus, denn erst die Arithmetik zeigt, welcher Teil der verbreiteten These über Korrelation in Krisen stimmt und welcher die Aufmerksamkeit auf die falsche Größe lenkt.

Die folgende Stressvariante trennt zwei angenommene Änderungen: einen Anstieg positiver Ergebniskorrelationen und einen Anstieg der Standardabweichungen. Wir behaupten nicht, dass sie in jeder Krise auftreten. Wir berechnen sie getrennt für das Portfolio aus Abschnitt 7 und das gestreute Portfolio B aus Abschnitt 11.

Das konzentrierte Portfolio

Die drei Positionen aus Abschnitt 7: σ = 0,50% / 0,70% / 0,40%, Ergebniskorrelationen +0,87 / +0,91 / +0,82, Risikobetrag 1,00% je Position, Kapital 100.000 PLN. Die Stressvariante — illustrative Werte — nimmt an, dass alle drei Korrelationen auf 0,97 steigen und sich alle Standardabweichungen verdoppeln.

Die Variante mit ausschließlich höheren Korrelationen. Die Quadratsumme bleibt unverändert: 0,90. Der Kreuzterm: 2 × 0,97 × (0,35 + 0,20 + 0,28) = 2 × 0,97 × 0,83 = 1,6102. σ_p = √(0.90 + 1.6102) = √2.5102 = 1,58%.

Die Variante mit ausschließlich verdoppelter Volatilität. Die Formel ist in σ homogen vom Grad eins; eine Verdopplung aller Standardabweichungen verdoppelt daher das Ergebnis exakt: σ_p = 2 × 1,53% = 3,05%.

Die Variante mit beiden Änderungen. σ = 1,00 / 1,40 / 0,80. Quadratsumme: 1,00 + 1,96 + 0,64 = 3,60. Kreuzterm: 2 × 0,97 × (1,40 + 0,80 + 1,12) = 2 × 0,97 × 3,32 = 6,4408. σ_p = √(3.60 + 6.4408) = √10.0408 = 3,17%.

Das gestreute Portfolio

Portfolio B aus Abschnitt 11: drei Positionen mit jeweils σ = 0,80%, Ergebniskorrelationen +0,35 / +0,20 / +0,10 und damit einer Summe von 0,65. Der Ausgangswert: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 1,66%.

Steigen alle drei Korrelationen auf 0,97, beträgt die Summe 2,91, also σ_p = 0.80% × √(3 + 2 × 2.91) = 0.80% × √8.82 = 0.80% × 2.9698 = 2,38%. Bei verdoppelter Volatilität und unveränderten Korrelationen: 2 × 1,66% = 3,32%. Bei beiden Änderungen: 1,60% × 2,9698 = 4,75%.

Der Vergleich

Aus diesem Vergleich folgen drei Dinge, von denen vor der Rechnung keines offensichtlich ist.

Erstens: Bei einem bereits konzentrierten Portfolio ist ein Anstieg der Korrelationen ein Effekt zweiter Ordnung. Er erhöht die modellierte Volatilität um 3,7%, während ein Anstieg der Volatilität selbst sie um 100% erhöht. Ein Portfolio mit Korrelationen in der Größenordnung von 0,9 hat durch deren Anstieg auf 0,97 nichts mehr zu verlieren — das hat es schon bei seiner Konstruktion verloren.

Zweitens: Beim gestreuten Portfolio kostet der Korrelationsanstieg 43,2%, also mehr als elfmal so viel wie beim konzentrierten. Unter Stress verschwinden etwa 97% des Vorteils, den die Streuung bei der modellierten Volatilität brachte: Der Vorsprung gegenüber der Summe der Standardabweichungen (2,40%) schmilzt von 0,74 Prozentpunkten unter Ausgangsbedingungen auf 0,02 Punkte bei Korrelationen von 0,97.

Die letzte Spalte bleibt konstant, weil wir dieselben R-Werte und denselben Ausführungsmultiplikator annehmen. Höheres σ und stärkere Abhängigkeit können dennoch die Häufigkeit und das gemeinsame Auftreten von Verlusten verändern, selbst wenn der Betrag des bedingten Szenarios von 3,30% unverändert bleibt. Schlechtere Ausführung erhöht seinen Betrag, ist aber nicht der einzige Kanal, über den Stress das Kontorisiko beeinflusst.

Woher eine Stresskorrelation nehmen?

Es gibt zwei ehrliche Wege, und beide haben einen Nachteil, der benannt werden muss.

Bedingte Messung. Die Abhängigkeit lässt sich für ausdrücklich ausgewählte Stresssitzungen messen, beispielsweise anhand hoher Volatilität. Die Stichprobenauswahl verändert die untersuchte Verteilung. Forbes und Rigobon zeigen unter einem bestimmten Modell eine mit der Varianz gemeinsamer Schocks zunehmende Korrelation;² dies beweist nicht, dass jeder Volatilitätsfilter jede Korrelation nach oben verzerrt. Geben Sie Auswahlkriterium, N und Methode an; eine kleine Teilstichprobe erfordert im Allgemeinen einen breiten Unsicherheitsbereich.

Zweiter Weg: ρ = +1 als arithmetische Grenze einsetzen. Der Vorteil: Dafür ist überhaupt keine Schätzung nötig, und es ergibt sich der höchste Wert, den die Formel liefern kann, also die Summe der Standardabweichungen — beim konzentrierten Portfolio 0,50% + 0,70% + 0,40% = 1,60% unter Ausgangsbedingungen und 3,20% bei verdoppelter Volatilität. Der Nachteil: Dies beschreibt den Markt nicht, sondern ist eine Obergrenze des Modells. Manche Beziehungen lösen sich unter Stress auf, andere wechseln das Vorzeichen; ρ = +1 ist daher keine Prognose. Es ist die Zahl, über die diese Formel nicht hinausreicht — über alles, was darüber hinaus geschieht, sagt sie nichts.

Volatilitätsmaße können eigene Modellgrenzen bilden, wenn Bedeutung und Annahmen ausdrücklich genannt werden. Das Ausstiegsszenario-Budget hängt nicht unmittelbar von geschätzter Korrelation ab, wohl aber von Ausführungspreisen, Kosten und Portfoliozusammensetzung. Die praktische Kontrolle kann beide Arten von Grenzen nutzen.

11. Drei Portfolios, mit derselben Methode berechnet

Drei Zusammensetzungen, dasselbe aktuelle Kapital von 100.000 PLN und dasselbe Risiko von 1,00% (1.000 PLN) je Position. Damit sich die Zusammensetzungen miteinander vergleichen lassen, hat hier jede Position eine identische Standardabweichung von σ = 0,80% des Kapitals pro Tag — eine für den Vergleich gewählte Vereinfachung, die nötig ist, damit die Formel mit einheitlicher paarweiser Korrelation funktioniert. In Abschnitt 7 hatten dieselben Instrumente unterschiedliche σ (0,50%, 0,70% und 0,40%), weil sich sowohl ihre Nominalwerte als auch die tägliche Volatilität des Instruments selbst unterschieden; in Ihrer eigenen Rechnung wird σ für jede Position getrennt gemessen. Alle Werte sind illustrativ. Für jedes Portfolio werden beide Zahlen angegeben.

Portfolio A — fünf Positionen, eine Exposition

Die durchschnittliche paarweise Ergebniskorrelation, berechnet aus der Matrix in Abschnitt 4 nach Übertragung der Vorzeichen für alle zehn Paare — (0,87 + 0,72 + 0,91 + 0,38 + 0,65 + 0,82 + 0,25 + 0,62 + 0,45 + 0,35) / 10 = 6,02 / 10 — beträgt +0,6020. Modellierte Volatilität: 0,80% × √(5 + 20 × 0,6020) = 0,80% × √17,04 = 3,30% des Kapitals pro Tag. Summe der Verluste bei Auslösung von fünf Ausstiegen: 5 × 1.000 = 5.000 PLN = 5,00%, mit 10% Slippage je Währungsschenkel — 5,50% = 5.500 PLN. Auf den Dollar konzentriertes Risiko: 5,00%, also 5 × das Risiko einer einzelnen Position bei einer angenommenen Grenze von 3 ×. Das Portfolio überschreitet die Grenze um zwei Positionen, obwohl jede für sich die Regel „1% je Trade“ einhält.

Portfolio B — drei Faktoren

Die Summe der paarweisen Korrelationen ist 0,65, also beträgt die modellierte Volatilität: 0,80% × √(3 + 2 × 0,65) = 0,80% × √4,30 = 0,80% × 2,0736 = 1,66% des Kapitals pro Tag. Summe der Verluste bei Auslösung von drei Ausstiegen: 3,00%, mit Slippage 3,30% = 3.300 PLN.

Der Euro steht in zwei Positionen auf entgegengesetzten Seiten. Eine Nettoexposition von null erfordert dennoch gleiche EUR-Nominalwerte, nicht gleiche R-Beträge. Diese Variante nimmt für beide Währungsschenkel denselben EUR-Nominalwert, bewertet mit 100.000 PLN zu einem gemeinsamen Zeitpunkt an; AUD/JPY hat einen Nominalwert von 80.000 PLN. Dann gilt netto EUR=0; die übrigen Expositionen betragen USD−100.000, GBP+100.000, AUD+80.000 und JPY−80.000 PLN. Das konzentrierte Stopbudget in einer Richtung beträgt höchstens 1.000 PLN. Der Rückgang der aufsummierten Verluste von 5,50% auf 3,30% entsteht durch weniger gleich große R-Budgets; die Änderung von σ entsteht durch Skalen und Abhängigkeit.

Portfolio C — zwei Positionen mit gegenläufigen Expositionen

Long EUR/USD und long USD/CHF mit jeweils 1,00% Risiko. Die Kurskorrelation beträgt −0,91, beide Positionen sind long, daher beträgt auch die Ergebniskorrelation −0,91.

Modellierte Volatilität: 0,80% × √(2 + 2 × (−0,91)) = 0,80% × √0,18 = 0,34% des Kapitals pro Tag. Summe der Verluste bei Auslösung beider Ausstiege: 2,00%, mit Slippage 2,20% = 2.200 PLN.

USD-Nominalwerte heben sich nur bei passender Abstimmung exakt auf. Bei illustrativem EUR/USD=1,10 und USD/CHF=0,90 verkauft eine Longposition über 100.000 EUR 110.000 USD. Die zweite muss genau 110.000 USD kaufen und 99.000 CHF verkaufen. Übrig bleiben +100.000 EUR und −99.000 CHF, entsprechend long EUR/CHF zu 0,99. Ein anderer Nominalwert des zweiten Währungsschenkels lässt eine USD-Exposition bestehen. Zwei Instrumente haben zwei Kostenverzeichnisse; die Gesamtgebühren können höher sein, doch allein die Positionszahl beweist keine Verdopplung der Kosten in PLN.

Die Spalte der modellierten Volatilität und die Spalte der Verlustsumme haben dieselbe Reihenfolge, aber völlig unterschiedliche Skalen. Portfolio C hat eine fast zehnmal niedrigere modellierte Volatilität als Portfolio A (0,34% gegenüber 3,30%), seine Verlustsumme ist aber nur zweieinhalbmal niedriger (2,20% gegenüber 5,50%).

12. Positionszahl und die Grenze der Diversifikation

Die Frage „Wie viele Positionen kann ich gleichzeitig halten?“ kommt in jedem Gespräch über Portfolios wieder und wird fast immer mit einer Zahl ohne rechnerische Grundlage beantwortet. Die Rechnung existiert und liefert eine zweiteilige Antwort, denn hinter der Frage verbergen sich zwei unterschiedliche Situationen.

Zwei Wege, eine Position hinzuzufügen

Erste Variante: Sie fügen Risiko hinzu. Jede neue Position hat einen eigenen Risikobetrag und ein eigenes σ, und das Budget wächst mit ihr. Die Summe positiver Ausstiegsbudgets steigt um das neue R. Die Modellvarianz verändert sich dagegen um σn²+2Cov(P,Xn), wobei P das Ergebnis des bestehenden Portfolios ist. Bei hinreichend negativer Kovarianz kann sie trotz zusätzlicher Währungsschenkel sinken. Berechnen Sie dies getrennt vom Anstieg des gesamten R.

Zweite Variante: Sie teilen dasselbe Budget auf. Sie haben eine feste Summe der Standardabweichungen, die Sie auf N Positionen verteilen wollen, sodass jede σ = σ_B/N erhält. Die Aufteilung der Summe der Standardabweichungen legt die Risikobeträge aber nicht fest: ΣR ist ein eigenes Budget und eine eigene Entscheidung. Dieser Abschnitt nimmt daher ausdrücklich beide Aufteilungen zugleich an — σ_i = σ_B/N und R_i = R_B/N —, denn nur dann betrifft ein Vergleich verschiedener N dieselbe Wette. Dies ist die eigentliche Frage zur Diversifikation und die einzige mit einer sinnvollen Antwort. Bei einheitlichem σ je Position und einheitlicher paarweiser Korrelation ρ:

$$\sigma_p = \frac{\sigma_B}{N} \cdot \sqrt{N + N(N-1)\rho} = \sigma_B \cdot \sqrt{\frac{1 + (N-1)\rho}{N}}$$

Der letzte Ausdruck ist der Schlüssel zum gesamten Abschnitt, denn wenn N gegen unendlich geht, konvergiert er gegen σ_B × √ρ. Bei positiver Korrelation gibt es daher eine Untergrenze, unter die die modellierte Portfoliovolatilität nicht fällt, egal wie viele Positionen es gibt — und sie liegt umso höher, je höher die Korrelation ist.

Tabelle: Was die nächste Position bringt

Die Zeile ρ = 0,75 liest sich so: Von zwei auf zwanzig Positionen zu gehen senkt die modellierte Volatilität von 1,871% auf 1,746%, also um 0,124 Prozentpunkte. Achtzehn zusätzliche Positionen, jede mit eigenem Spread, eigener Provision und eigenem Ausführungsrisiko, bringen ein Achtel Prozentpunkt. Der angestrebte Grenzwert liegt bei 1,732% — also 93% des Werts, den das Portfolio bereits mit zwei Positionen hat. Der gesamte mögliche Vorteil einer Verteilung auf beliebig viele Instrumente beträgt bei dieser Korrelation, ausgehend von zwei Positionen, 0,139 Prozentpunkte.

Wo der zusätzliche Nutzen unbedeutend wird

Berechnen wir, welcher Anteil des gesamten möglichen Diversifikationsvorteils bei einem gegebenen N bereits erreicht ist. Der Gesamtvorteil ist die Differenz zwischen einer Position (2,00%) und dem Grenzwert; der erreichte Vorteil ist die Differenz zwischen einer Position und dem Wert bei N.

Das Ergebnis ist gegenüber der Korrelation überraschend stabil: Bei fünf Positionen haben Sie bereits etwa drei Viertel dessen erreicht, was Diversifikation insgesamt bringen kann, bei zehn etwa neun Zehntel. Der Rest verteilt sich auf Position elf und weitere, von denen jede einen vollständigen Satz aus Spread und Provision kostet und dem Ausführungsrisiko einen weiteren Währungsschenkel hinzufügt. Das ist keine Empfehlung, „fünf Positionen zu halten“, sondern ein Hinweis darauf, wo das Diversifikationsargument nicht mehr trägt und nur noch das Kostenargument bleibt.

Die Korrelationsuntergrenze bei N Positionen

Die in Abschnitt 7 ohne Herleitung genannte Grenze von −0,25 für fünf Positionen ist ein Spezialfall einer allgemeinen Bedingung. Bei einheitlicher paarweiser Korrelation darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein. Daraus folgt:

$$\rho \geq -\frac{1}{N-1}$$

Die Bedingung ρ≥−1/(N−1) begrenzt die niedrigste mögliche einheitliche Korrelation. Bei gleichen Skalen gilt sie auch für den Durchschnitt aller Korrelationen, weil die Varianz der Summe nicht negativ sein kann. Sie verlangt nicht, dass sich der tatsächliche Durchschnitt beim Hinzufügen von Positionen null nähert: Er kann hoch und positiv bleiben. Uneinheitliche Zeiträume oder ein paarweiser Ausschluss fehlender Daten können eine Matrix erzeugen, die die positive Semidefinitheit verletzt.

Das Randrisiko, das mit N nicht schrumpft

Die Summe der Verluste bei Auslösung sämtlicher Ausstiege kommt in den obigen Tabellen kein einziges Mal vor. Das ist kein Versehen: Unter der zweiten gewählten Annahme — einer festen, gleichmäßig aufgeteilten Summe der Risikobeträge ΣR = R_B — ist sie bei zwei Positionen genauso groß wie bei zwanzig. Das folgt nicht allein aus der Aufteilung von σ_B; es ist eine eigene, oben ausdrücklich getroffene Annahme. Eine als fester Anteil des Risikobetrags berechnete Slippage summiert sich dann zu g × R_B und ändert sich ebenfalls nicht.

Etwas anderes verändert sich hingegen — die Anzahl der Währungsschenkel, die bei einem einzelnen Ereignis einer atypischen Ausführung ausgesetzt sind. Nehmen wir für eine Sitzung mit einem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit atypischer Ausführung von 5% je Währungsschenkel an (ein illustrativer Wert).

Die Spalte mit 5% nimmt einen vollkommen gemeinsamen Ereignisindikator an: Mit Wahrscheinlichkeit 0,05 hat jeder Währungsschenkel eine ungewöhnliche Ausführung, andernfalls keiner. Bei fünf unabhängigen Indikatoren beträgt das Produkt 0,05⁵=0,00003125%, was ein Verhältnis von 160.000 ergibt. Ein gemeinsamer Faktor allein belegt diese Zahl nicht. Bei festem ΣR bleiben R-proportionale Kosten konstant; mehr Orders können Mindestgebühren erhöhen, und Ausführungsszenarien müssen für jedes Niveau gesondert berechnet werden.

Im Vergleich zur vorherigen Tabelle: Bei ρ = 0,75 senkt der Schritt von fünf auf zehn Positionen die modellierte Volatilität von 1,789% auf 1,761%, also um 0,028 Prozentpunkte — und verdoppelt gleichzeitig die Anzahl der Orders, die bei einem einzelnen Ereignis einen schlechteren Ausführungspreis erhalten können. Die Entscheidung über die nächste Position hängt daher zugleich von der marginalen Verringerung von σ_p und von den Ausführungskosten ab, nicht von einer Zahl zum Auswendiglernen.

13. Die Grenzen der Diversifikation am Devisenmarkt

Am Aktienmarkt beruht Diversifikation auf der Anzahl der Instrumente, von denen es mehrere Tausend gibt. Am Devisenmarkt ergeben acht wichtige Währungen 28 Paare, die aber sämtlich Kombinationen derselben acht Komponenten sind — und der größte Teil des Umsatzes läuft über den Dollar¹². Der gemeinsame Faktor steckt daher im Aufbau des Marktes, nicht in der Instrumentenauswahl.

Eine zusätzliche Position mit niedriger Korrelation kann die Volatilität gegenüber einer alternativen Position gleicher Skala senken, muss aber σ des bestehenden Portfolios nicht verringern. Entscheidend ist der Term σneu²+2Cov(Portfolio,neu). Jedes positive neue R erhöht das summierte Ausstiegsszenario-Budget, wenn alle anderen Größen konstant bleiben.

Die Spalte zum konzentrierten Risiko wird mechanisch gelesen: Entscheidend ist, wie viele Positionen verlieren, wenn sich dieselbe Währung in dieselbe Richtung bewegt, nicht wie viele Positionen im Portfolio liegen. In der ersten Zusammensetzung steht der Dollar in vier Positionen auf derselben Seite, also beträgt die Konzentration 4 × Positionsrisiko. In der zweiten steht der Euro in zwei Paaren auf derselben Seite — daher 2 ×, obwohl es drei Positionen mit drei unterschiedlichen Namen sind. In der dritten wiederholt sich keine Währung auch nur einmal: Drei Paare verteilen sich auf sechs unterschiedliche Währungen, sodass die Konzentration auf 1 × Positionsrisiko sinkt, das bei jeder Positionszahl erreichbare Minimum. Diese Spalte belohnt daher keine Streuung von Namen, sondern das Fehlen wiederholter Währungen.

Die dritte Zusammensetzung erfordert eine Korrektur, die in Darstellungen zur Diversifikation oft fehlt. Sie entfernt den Dollar nicht als gemeinsamen Nenner, denn USD/CAD hat USD als Basiswährung — eine der drei Positionen reagiert weiterhin unmittelbar auf USD selbst. Eine Zusammenstellung ohne USD-Paare, etwa EUR/GBP, AUD/NZD und CAD/CHF, entfernt direkte Dollarschenkel. Auch in einem Portfolio mit Dollarpaaren lassen sich vorzeichenbehaftete USD-Nettonominalwerte durch konsistente Bewertungen und passende Volumina neutralisieren. Keine der beiden Konstruktionen beseitigt für sich allein indirekte USD-Einflüsse oder gemeinsame Makrofaktoren. Kreuzkurse können andere Faktoren teilen: Bei starker Risikoaversion können beide Rohstoffwährungsschenkel gegenüber als sicher geltenden Währungen verlieren. Der Mechanismus gehört zu Kursabschnitt 7; hier zählt seine rechnerische Folge — die Korrelation in einem ruhigen Fenster bestimmt nicht die Abhängigkeit im Stressfenster. Messen Sie Richtung und Ausmaß des Unterschieds für die angegebenen Reihen und berücksichtigen Sie anschließend die Positionsvorzeichen.

Die nützliche operative Schlussfolgerung dieses Abschnitts ist kurz. Die Auswahl von Paaren, die von unterschiedlichen Faktoren getrieben werden, kann die Streuung täglicher Ergebnisse oder den gemeinsamen Verlust in einem gewählten Szenario verringern. Prüfen Sie dies anhand der Skalen, Vorzeichen und Abhängigkeiten des konkreten Portfolios; eine Liste unterschiedlicher Symbole allein belegt keinen Vorteil. Das rechtfertigt keine zusätzlichen Positionen — die Grenze gilt weiterhin für die Summe der Verluste.

14. Ein Portfolio von Regeln — mehrere Regelwerke gleichzeitig

Alles bisher Gesagte betraf ein Portfolio von Währungspaaren. Dieselbe verborgene Exposition erscheint eine Ebene höher, wenn Sie mehrere Einstiegsregeln gleichzeitig betreiben. Jede hat eigene Parameter und eine eigene Historie, doch die Risikorechnung lässt sich nicht für jede getrennt führen: Die Positionen landen auf einem Konto, binden einen gemeinsamen Marginpool und unterliegen einer gemeinsamen Zwangsschließung.

Drei Fragen sind zu klären; alle werden im Voraus dokumentiert.

Eine gemeinsame Grenze

Das Risikobudget ist ein einziges und gehört zum Konto, nicht zur Regel. Es ist definiert als die Summe der Risikobeträge aller gleichzeitig offenen Positionen, unabhängig davon, welche Regel sie eröffnet hat — also dieselbe Größe, die Schritt 3 in Abschnitt 7 berechnet. Eine Regel, die „ihre eigenen 3%“ hat, erhöht das Kontobudget in der Praxis um ihre 3%, statt es mit den anderen zu teilen.

Das Budget zwischen Regeln aufteilen

Annahmen (illustrative Werte). Aktuelles Kapital 100.000 PLN. Portfolio-Risikobudget: 4,00% = 4.000 PLN. Hälftige Aufteilung zwischen zwei Regeln: R1 — 2,00% = 2.000 PLN, R2 — 2,00% = 2.000 PLN. Risiko je Einzelposition in beiden Regeln: 1,00% = 1.000 PLN, daher kann jede Regel höchstens zwei Positionen gleichzeitig halten. Grenze des auf eine Währung konzentrierten Risikos: 3 × Positionsrisiko = 3,00% = 3.000 PLN.

Schritt vier zeigt, wozu diese Grenze besteht. Das Signal wird abgelehnt, obwohl sowohl das Budget von Regel R2 als auch das Budget des gesamten Portfolios es zulassen — bindend ist die Währungskonzentrationsgrenze, weil alle vier Positionen bei einer Dollaraufwertung verlieren. Ohne diese Grenze hätten R1 und R2 gemeinsam eine einzige Dollarwette über 4,00% aufgebaut, jede unter vollständiger Einhaltung ihrer eigenen Regeln.

Der Endzustand besteht aus drei Positionen zu je 1,00%, also genau dem in Abschnitt 7 berechneten Portfolio: modellierte Volatilität 1,53% des Kapitals pro Tag, Summe der Verluste bei Auslösung aller Ausstiege 3,00% und nach Hinzurechnung von Slippage ohne Kurslücke — 3,30% = 3.300 PLN. Die freien 1,00% des R2-Budgets bleiben frei, bis eine Dollarposition schließt oder ein Signal auf einen anderen Faktor erscheint.

Zwei gleichzeitige Signale auf verbundenen Instrumenten

Der schwierigere Fall: Beide Regeln liefern im selben Moment ein Signal auf Instrumente, die nach Zerlegung in Währungskomponenten in dieselbe Richtung zeigen. Beispiel: R1 signalisiert long GBP/USD, R2 signalisiert short EUR/GBP. Die Namen unterscheiden sich, doch short EUR/GBP ist eine Longposition im Pfund — beide Signale erhöhen dasselbe.

Nehmen wir an, die Pfundkonzentration beträgt bereits 2,00% (zwei frühere Positionen mit je 1,00% und dem Pfund auf derselben Seite), die Grenze 3,00%. Freier Spielraum: 1,00%. Zwei Signale zu je 1,00% ergeben zusammen 2,00% und überschreiten die Grenze.

Die Aufteilung eines Budgets in zwei Hälften ergibt ein σ, das nicht höher ist als bei einer vollen Position, nur bei gleichen σ/R-Verhältnissen beider Kandidaten und derselben Basis. Dann gilt σHälften=σvoll√[(1+ρ)/2]. Zwei Orders können Mindestgebühren verursachen, eine nominalwertproportionale Gebühr muss sich aber nicht verdoppeln. Die Variante ohne Kollisionsregel erhöht R von 3% auf 4% und das Slippage-Szenario von 3,3% auf 4,4%.

15. Eine Entscheidungstabelle zur Ablehnung einer Position

Die Tagesgrenze hat noch freie Kapazität

Veranschaulichung: Kontonettowert zu Tagesbeginn 100.000 PLN, Tagesverlustgrenze 3.500 PLN, bereits geschlossene Nettoverluste 400 PLN. Die verbleibende Kapazität beträgt 3.100 PLN. Bei aktuellem R=2.500 PLN und angenommener gemeinsamer zusätzlicher Ausführungsbelastung von 10%R gilt (2.500+Rn)×1,10≤3.100, also Rn≤318,18 PLN. Ohne Berücksichtigung früherer Verluste wären 681,82 PLN zulässig. Sind im offenen Verlust bereits die Bewegungen vom Einstieg bis zum aktuellen Preis enthalten, berechnen Sie nur den weiteren Verlust vom aktuellen Kontonettowert bis zum Ausstiegsszenario; andernfalls wird derselbe Verlust doppelt abgezogen.

Der vorherige Abschnitt zeigte einen Fall der Signalablehnung — Schritt vier, in dem die Konzentrationsgrenze vor dem Budget bindend wurde. Verallgemeinern wir ihn zu einer Folge von Tests mit Zahlenbedingungen, damit die Entscheidung keine situative Beurteilung erfordert.

Die Tests erfolgen der Reihe nach vor der Positionseröffnung anhand von Größen, die nach ihrer hypothetischen Aufnahme berechnet werden. Jeder Test liefert nicht nur eine Ja-Nein-Antwort, sondern auch einen freien Spielraum — den Risikobetrag, der noch hineinpasst. Dieser Spielraum ist wichtiger als die Antwort selbst, denn er bestimmt, ob die Position in verkleinerter Größe zugelassen werden kann.

Welcher Test bindend wird — die Zahlen

Ausgangszustand. Aktuelles Kapital 100.000 PLN. Drei offene Positionen aus Abschnitt 7 mit jeweils 1,00% Risiko, alle short im Dollar, also ΣR = 3,00% = 3.000 PLN und auf den Dollar konzentriertes Risiko S_USD = 3,00%. Portfoliobudget B = 4,00%. Akzeptabler täglicher Drawdown DD = 3,50% — ein illustrativer Wert; Herkunft und Basis der Tagesgrenze werden in 9.3 geklärt, die Drawdownmessung selbst nach zwei Definitionen samt Stoppbedingung in 9.8. Slippage g = 10%. Konzentrationsgrenze: 3 × R = 3 × 1,00% = 3,00%.

Der Kandidat. Long AUD/USD, Risiko R_n = 1,00% = 1.000 PLN. Die Ergebniskorrelation mit der ersten Position beträgt +0,72 — beide Positionen sind long, daher bleibt das Vorzeichen aus der Matrix in Abschnitt 4 erhalten. Auch der Kandidat ist short im Dollar, wie alle drei offenen Positionen. Vor der Rechnung ist ein Vorbehalt nötig: Der Wert +0,72 stammt aus einem Fenster von 90 Sitzungen, also 89 Renditebeobachtungen, und erfüllt daher die in T3 gesetzte Fensterbedingung nicht. Dieser Artikel enthält keinen Messwert aus einem so langen Fenster; einen hinzuzufügen hieße, einen Datenpunkt zu erfinden. T3 dient daher im Folgenden der Veranschaulichung des Verfahrens, nicht als bestandener Test — in den Begriffen von Abschnitt 3 ist es ein Alarm, keine entscheidende Messung. Das hat keinen Einfluss auf das Rechenergebnis: T2 lehnt den Kandidaten bei freiem Spielraum von null ab, unabhängig vom Wert irgendeiner Korrelation.

Der Kandidat passt nicht in die USD-Konzentrationsgrenze: Die verbleibende Kapazität ist null. Unabhängig davon lässt T4 181,82 PLN zusätzliches R zu. Ob dieser Betrag handelbar ist, erfordert Einstiegspreis, Ausstiegsdistanz, Kosten, Mindestvolumen und Volumenschritt. Ohne diese Eingaben lässt sich nicht bestimmen, ob die Position zu klein ist; hier lehnt bereits der Konzentrationstest sie ab.

Bei T1 sollte man gesondert innehalten: Das Portfoliobudget wurde eingehalten. Wäre es der einzige Test gewesen, hätte die vierte Position ungehindert aufgenommen werden können, und das Portfolio hätte 4,00% auf eine Währung konzentriertes Risiko sowie eine Verlustsumme von 4,40% gegenüber einem akzeptablen Drawdown von 3,50% gehabt. Ein Risikobudget allein genügt nicht als einzige Portfolioregel — es ist der schwächste der vier Tests, weil es nichts über die Beziehungen zwischen Positionen weiß.

16. Fünf Fehler in der Portfolioarithmetik

Fehler 1: Das Ergebnis der Portfolioformel als Verlustbetrag lesen

Der schwerwiegendste und häufigste Fehler. Das Ergebnis σ_p = 4,69% für fünf Positionen mit jeweils 1% Risiko wird manchmal als „effektives Risiko von 4,69%, also weniger als 5% — ich habe Spielraum“ beschrieben. Es gibt keinen Spielraum: 4,69% ist die Standardabweichung des täglichen Ergebnisses bei σ = 1% je Position, und die Summe der Verluste bei Auslösung von fünf Ausstiegen beträgt 5,00% plus Slippage auf jedem Währungsschenkel. Der Diagnosetest besteht aus einem Satz: Wenn die für σ eingesetzte Größe der Betrag ist, bei dem Sie die Position schließen, haben Sie die falsche Größe eingesetzt.

Fehler 2: Ein Portfolio ausschließlich aus Dollarpaaren

Vier gleichgerichtete XXX/USD-Positionen teilen eine Shortexposition im Dollar. Ihre anderen Währungen und Ergebnisskalen können unterschiedlich sein, sie sind daher nicht buchstäblich eine Position. Die Rolle des Dollars im Umsatz ist dokumentiert,¹² beweist aber keine bestimmte Korrelation für jedes Paar. Konzentrationsgrenze und Abhängigkeitsrechnung ergänzen einander.

Fehler 3: Auf eine Korrelation vor einem Regimewechsel vertrauen

Der Wert vor dem Ereignis beschreibt jene Stichprobe. Eine Änderung der Varianz gemeinsamer Schocks kann die Korrelation erhöhen, ohne die Beziehungsparameter zwischen den Instrumenten zu verändern, wie Forbes und Rigobon erläutern.² Eine andere Schockstruktur kann eine andere Richtung ergeben. Prüfen Sie Zeitraum, Skalen und Auswahlkriterium, bevor Sie einen Koeffizientensprung als Änderung der Abhängigkeit bezeichnen.

Fehler 4: Eine negative Korrelation als Absicherung behandeln

Bei einer Ergebniskorrelation von −0,91 fällt die Modellvolatilität zweier Positionen auf 0,34% (Portfolio C in Abschnitt 11), mitunter beschrieben als „effektives Risiko von 0,34% statt 2%“. Dies vermischt zwei Größen. Die Streuung des täglichen Ergebnisses sinkt tatsächlich; der summierte Verlust bei Auslösung beider Ausstiege bleibt unverändert bei 2,00% plus Slippage. Beide Währungsschenkel verursachen gesonderte Kosten; deren Summe muss nicht genau das Doppelte der Kosten eines Schenkels sein, weil Volumina und Spezifikationen eine Rolle spielen. Bei denselben Bruttoergebnissen senkt eine positive zusätzliche Belastung den Nettoerwartungswert. Bei diesem konkreten Portfolio C fällt die Standardabweichung auf 0,34%; allgemein senkt eine zusätzliche gegenläufige Position die Varianz nur, wenn σn²+2Cov(P,Xn)<0. Die beiden Ausstiegsbudgets bleiben ein getrenntes Szenario.

Fehler 5: Keine Grenze je Währung und Verwechslung von Korrelation mit Kausalität

Beide Gewohnheiten führen zum selben Ergebnis. Ohne Konzentrationsgrenze summieren sich sechs Positionen „zu 1%“ zu einer Wette über 6% — jede einzeln regelkonform, alle zusammen nicht. Die zweite Gewohnheit besteht darin, eine Position zu eröffnen mit der Begründung: „Weil EUR/USD gestiegen ist, wird auch GBP/USD steigen, denn die Korrelation beträgt +0,87.“ Der Koeffizient beschreibt einen gemeinsamen Faktor, keine Abfolge: Beide Paare reagieren auf den Dollarkurs, doch das Pfund hat eigene Faktoren, die diese Beziehung gerade heute auflösen können. Eine Konzentrationsgrenze beendet beide Gewohnheiten, denn sie verlangt keine Begründung, sondern eine Zahl.

17. Übung zur Selbstkontrolle

Das Portfolio unterscheidet sich von allen oben berechneten, die drei Korrelationskoeffizienten stammen aber aus der Matrix in Abschnitt 4 — prüfen Sie sie dort, bevor Sie beginnen. Rechnen Sie zunächst selbst und vergleichen Sie dann mit der Lösung.

Lösung

a) Vorzeichen übertragen. Positionen 1 und 2 sind beide long, daher bleibt das Vorzeichen erhalten: +0,92. Position 3 ist short, Positionen 1 und 2 sind long; daher kehrt sich das Vorzeichen in beiden Fällen um: +0,68 und +0,60. Alle drei Ergebniskorrelationen sind positiv — long AUD/USD, long NZD/USD und short USD/CAD sind drei Positionen short im Dollar.

b) Modellierte Gesamtvolatilität.

σ₁² + σ₂² + σ₃² = 0,36 + 0,3025 + 0,2025 = 0,8650
0,92 × 0,60 × 0,55 = 0,3036
0,68 × 0,60 × 0,45 = 0,1836
0,60 × 0,55 × 0,45 = 0,1485
2 × (0,3036 + 0,1836 + 0,1485) = 2 × 0,6357 = 1,2714

σp=√2,1364=1,461643% des Kontonettowerts. In PLN: 0,01461643×60.000=876,99 PLN≈877 PLN. Die Umrechnung nutzt den ungerundeten Wert; die angezeigten 1,46% dienen der Lesbarkeit, nicht als neue Recheneingabe.

Kontrolle: Das Ergebnis liegt zwischen der größten einzelnen Standardabweichung (0,60%) und der Summe der Standardabweichungen (1,60%) — wobei die untere Hälfte dieser Kontrolle nur gilt, weil alle drei Ergebniskorrelationen positiv ausfielen. Bei negativen entfällt sie, wie Portfolio C in Abschnitt 11 zeigt. Bei Unabhängigkeit wären es √0,8650 = 0,93% gewesen — die Beziehung erhöht die modellierte Volatilität um 57%.

c) Die Summe der Verluste bei Auslösung sämtlicher Ausstiege. Ohne Slippage: 3 × 750 = 2.250 PLN = 3,75% des Kapitals. Eine Slippage von 8% des Risikobetrags beträgt 60 PLN je Währungsschenkel, insgesamt also 180 PLN: 2.250 + 180 = 2.430 PLN = 4,05% des Kapitals.

d) Auf den Dollar konzentriertes Risiko. Alle drei Positionen verlieren bei einer Dollaraufwertung, daher beträgt das konzentrierte Risiko 3 × 1,25% = 3,75% des Kapitals = 2.250 PLN. Die Grenze: 3 × 1,25% = 3,75%. Das Portfolio liegt genau an der Grenze — eine vierte Position mit Dollarexposition auf derselben Seite passt nicht mehr hinein, wie gut ihre Einstiegsregel auch sein mag.

e) Grundlage der Kapitalplanung ist die Zahl aus Punkt (c): 4,05%. Die modellierte Volatilität von 1,46% beschreibt die Streuung des täglichen Ergebnisses beim angenommenen Horizont und der angenommenen Ergebnisverteilung und liegt 64% unter dem Betrag, der das Konto tatsächlich verlässt, wenn alle drei Ausstiege in derselben Sitzung ausgelöst werden.

f) Zweites Fenster und Stress. Für +0,78/+0,54/+0,46 beträgt der gemischte Term 2×(0,2574+0,1458+0,11385)=1,0341, also σp=√1,8991=1,378079% oder 826,85 PLN≈827 PLN. Das ist eine Änderung um 50,14 PLN, etwa −5,72% gegenüber dem Ergebnis des langen Fensters. SE(r)≈(1−r²)/√(N−1) ergibt bei N=89 0,0164; 0,0573; 0,0682; bei N=29 0,0740; 0,1339; 0,1490. Die Punktdifferenzen in r betragen 0,14; 0,14; 0,14, doch ihr Vergleich mit diesen sechs SE-Werten ist kein Signifikanztest. Das kurze Fenster liegt im langen: Var(rL−rS)=Var(rL)+Var(rS)−2Cov(rL,rS). Die letzte Kovarianz und die vollständigen Reihen fehlen; deshalb geben wir weder p noch ein Differenzintervall an. Auch die SE-Näherung erfordert die Annahmen aus Abschnitt 2. Die konsistente Stressvariante Cstress=0,5C+0,5J ergibt die Koeffizienten 0,96/0,84/0,80, Var=0,5×2,1364+0,5×1,60²=2,3482 und σp=1,532384% oder 919,43 PLN. Die Matrix ist positiv definit (kleinster Eigenwert 0,03697). Das Stopszenario einschließlich Slippage bleibt bei unverändertem R und unveränderter Ausführung vor gesonderten Kosten bei 2.430 PLN. Dies vergleicht drei Annahmen und ist kein Konfidenzintervall.

18. Was daraus folgt

Der gesamte Inhalt dieses Artikels lässt sich in zwei Zahlen und der Grenze zwischen ihnen fassen. Die modellierte Gesamtvolatilität beantwortet, wie stark das tägliche Portfolioergebnis streut — und dient dem Vergleich von Portfoliozusammensetzungen. Die Summe der Verluste bei gleichzeitiger Auslösung aller schützenden Ausstiege, erhöht um Slippage und eine Kurslücke auf jedem Währungsschenkel, beantwortet, wie viel das Konto verlässt — und ist die Zahl, nach der Sie Kapital und Grenzen planen. Die erste Zahl hängt von der Korrelation ab. Die zweite hängt überhaupt nicht davon ab.

Die vier folgenden Handlungen sind Rechnungen, keine Ratschläge. Zerlegen Sie Ihre Positionen in Währungskomponenten mit korrektem Vorzeichen und berechnen Sie die Nettoexposition jeder Währung in Kontowährung — ohne dies wissen Sie nicht, wie viele Wetten Sie halten. Berechnen Sie das auf jede Währung konzentrierte Risiko als Summe der Risikobeträge jener Positionen, die verlieren, wenn sich die Währung in eine Richtung bewegt, und vergleichen Sie es mit einer im Voraus dokumentierten Grenze. Dokumentieren Sie neben jedem Korrelationskoeffizienten die vier Messparameter und das Datum, denn ohne sie ist der Wert weder reproduzierbar noch vergleichbar. Übertragen Sie das Vorzeichen aus den Positionsrichtungen, bevor Sie etwas in die Formel einsetzen.

Sie sollten auch wissen, was diese Rechnung nicht liefert. Sie sagt Ihnen nicht, wie viel Sie tatsächlich riskieren — das sagt eine historisch berechnete Korrelation nicht, und Abschnitt 9 zeigt warum. Sie sagt Ihnen etwas Engeres: wie viel das Konto verlässt, wenn alle Ihre Hypothesen in derselben Sitzung scheitern — in einem Szenario mit der angenommenen Slippage und ohne Kurslücke; mit einer Kurslücke mehr, und diese Rechnung kennt keine Obergrenze. Übersteigt diese Zahl den Drawdown, den Sie verkraften können, verringern Sie die Positionszahl oder den Risikobetrag je Position — denn das sind die einzigen beiden Parameter, die sie verändern.

Im nächsten Artikel behandeln wir, was unterhalb der unteren Grenze dieser Rechnung geschieht: die Mechanik einer Kurslücke, den Verlust, wenn der Sprung die Ausstiegsdistanz übersteigt, und die Grenzen jener Maße, die den Verteilungsschwanz zu beschreiben versuchen.