Drawdown: duas definições e procedimento para interromper operações

A mesma conta pode mostrar drawdown de 8,59%, ou 4.400 PLN, ou 11,72%, ou 6.000 PLN. Os dois resultados cobrem doze observações e pico de 51.200 PLN; a diferença é medir saldo realizado ou patrimônio. Com o limiar ilustrativo de interrupção de 10%, só o segundo aciona o procedimento. Antes de escolher o limiar, registre a grandeza medida, a referência e o período. Ligaremos essas definições à perda aceitável, à distribuição condicional das trajetórias e aos custos de recuperação. Assim, você poderá especificar ações após a violação e uma condição testável de retomada antes de precisar delas. A aula anterior tratou das alterações de uma posição; aqui controlamos a conta inteira.

1. Drawdown do patrimônio — definição, base e fórmula

O pico só pode lembrar o que já aconteceu

Para valores Et em instantes sucessivos, Ht=max(Ht−1,Et), com H₀=E₀, e DDt=1−Et/Ht. O MDD até t é o maior DD observado até então. Não usamos um máximo futuro. Exemplo em PLN: a trajetória 50.000→45.000→60.000 tem drawdown de 10% na segunda observação, não 25% medidos a partir dos 60.000 posteriores. O gatilho ao vivo usa o mesmo Ht da medição histórica.

Drawdown do patrimônio é a queda do valor da conta de um pico atingido ao fundo seguinte, expressa como fração desse pico. Três elementos precisam ser informados juntos, pois cada um altera o resultado: grandeza medida (saldo realizado ou patrimônio atual), ponto de referência (pico da trajetória ou saldo inicial) e período de medição.

DD_t = Pico − Valor_tPico × 100%

A fórmula é uma identidade aritmética: não contém hipótese sobre mercado ou estratégia. Todo o conteúdo está no que você usa como “Valor”. Essa escolha determina o número do extrato e o número inserido na regra de interrupção — esta é a tese do artigo.

Exemplo ilustrativo, conta em PLN: pico do patrimônio de 50.000 PLN, queda para 42.500 PLN. Drawdown = (50.000 − 42.500) / 50.000 = 15,00%, ou 7.500 PLN. Voltar a 46.000 PLN o reduz a 8,00% (4.000 PLN). Superar 50.000 PLN define novo pico e zera a medição. O trecho do pico ao fundo e de volta ao pico é um ciclo de drawdown; profundidade e duração são dois números separados (seção 3).

Curva do patrimônio e gráfico de drawdown

A curva do patrimônio mostra o valor da conta no tempo. Drawdowns aparecem como recuos dos picos, mas, com a conta crescendo, o eixo vertical os comprime: os mesmos 10% parecem diferentes em 20.000 e 200.000 PLN. Por isso, o segundo gráfico é o gráfico de drawdown abaixo do pico: seu eixo vertical mostra o drawdown atual como porcentagem do último pico; 0% marca novo pico e todo recuo fica abaixo de zero. A profundidade da barra é a do drawdown; a largura é o tempo abaixo do pico.

2. Duas definições na mesma trajetória — 8,59% e 11,72%

Depósitos e saques podem parecer drawdown

Exemplo sem posições abertas: conta de 50.000 PLN, saque de 10.000 PLN e saldo após saque de 40.000 PLN. O cálculo bruto mostra queda de 20%, embora o resultado do investimento seja zero. Para ajustar fluxos de caixa, pode-se usar o valor da cota: inicialmente 500 cotas a 100 PLN; o saque resgata 100 e deixa 400 a 100 PLN, então DD por cota=0%. Só cair a 95 PLN gera DD=5%, com conta de 38.000 PLN. Defina antes se o limiar protege o resultado ajustado pelos fluxos ou o valor absoluto do capital disponível. Um depósito adicional não deve apagar automaticamente um sinal de falha.

Saldo realizado inclui resultados lançados, comissões, financiamento, depósitos e saques. Patrimônio acrescenta a avaliação atual das posições abertas. Na tabela não há fluxos externos nem encargos separados, então o saldo muda ao encerrar posições. Na prática, também é preciso definir frequência e completude da avaliação: cotações desatualizadas podem deixar o patrimônio exibido inalterado apesar de movimento no mercado. As definições produzem mínimos e horários de disparo diferentes para o mesmo limiar.

Trajetória

Hipóteses. Conta em PLN, saldo inicial de 50.000 PLN, valores ilustrativos. Medição em doze momentos; “resultado das posições abertas” é o resultado não realizado das posições mantidas naquele instante. A coluna “patrimônio” soma as duas anteriores, conforme a identidade patrimônio = saldo realizado + resultado das posições abertas, retomada da seção 2 do curso. Os custos de execução já estão nos resultados mostrados.

Definição A — drawdown do saldo realizado

Pico do saldo: 51.200 PLN (t1). Menor saldo após o pico: 46.800 PLN (t6).

DD_A = (51.200 − 46.800) / 51.200 = 4.400 / 51.200 = 0,0859375 → 8,59% (4.400 PLN)

Definição B — drawdown do patrimônio atual

Pico do patrimônio: 51.200 PLN (t1, o mesmo). Menor patrimônio: 45.200 PLN (t8).

DD_B = (51.200 − 45.200) / 51.200 = 6.000 / 51.200 = 0,1171875 → 11,72% (6.000 PLN)

Para que serve cada uma

A consequência prática cabe em uma frase: a condição de interrupção mede patrimônio, e o registro dos resultados é apurado pelo saldo. Se a regra dissesse “interromper no drawdown de 15% do pico”, nenhuma definição cruzaria o limiar nesta trajetória: A dá 8,59% e B dá 11,72%. Com limiar de 10%, porém, A fica em silêncio e B aciona a interrupção em t8. Mesma conta, mesma regra, dois resultados.

3. Medidas de drawdown — máximo, média e tempo de recuperação

A frequência das observações altera o máximo visível

Duas leituras no fim do dia, 50.000 e 50.000 PLN, dão MDD=0%. Se entre elas o patrimônio subiu a 52.000 PLN e depois caiu a 48.000 PLN, o MDD intradiário=(52.000−48.000)/52.000=7,69%. Ao voltar a 50.000 PLN, o DD atual daquele pico ainda é 3,85%. Os dois resultados estão corretos nas respectivas grades de observação. Use a mesma definição, frequência e avaliação ao comparar limiar com teste; uma amostra diária não prova que o limiar nunca foi ultrapassado durante o dia.

“Drawdown de 12%” não basta: 12% de quê, medido com qual profundidade e por quanto tempo? As medidas abaixo respondem a perguntas diferentes e não substituem umas às outras.

Por que o máximo da amostra não basta como limiar

Exemplo ilustrativo: MDD de três anos de 12%. Limiar de 15% oferece margem de 3 pontos percentuais acima da amostra, mas não determina a probabilidade de interrupção futura. Ao estender uma trajetória, o MDD anterior permanece entre as observações; o máximo de outro período separado pode ser menor. O resultado também depende da distribuição, dependência, número de operações e medição. Pesquisas sobre processos de modelos descrevem essas relações sob hipóteses específicas, não uma obrigação universal de superar o máximo histórico.¹

A resposta comum — multiplicar o máximo histórico por 1,5 ou 2 — não tem derivação. Nada explica por que não 1,2 ou 3; o multiplicador só desloca a arbitrariedade e lhe dá aparência de cálculo. A seção 4 mostra outro caminho: derivar o limiar de duas grandezas que podem ser medidas nos seus registros, o drawdown contemplado pelos parâmetros e o número de operações que você aceita gastar na recuperação.

4. Drawdown esperado e sinal de falha — origem do limiar

Como conferir uma frequência sem confundi-la com previsão

A recorrência da sequência reproduz 0,3210% sem amostragem aleatória. Mantemos probabilidades de estado a₀,…,a₁₆ para o comprimento da sequência terminal de perdas antes de ocorrer uma sequência de 17. Começamos em a₀=1. Após uma operação, a′₀=(1−q)Σaj e a′j=qaj−1 para j=1,…,16. A massa de probabilidade ausente corresponde à probabilidade de uma sequência de 17 já ter ocorrido. Após 200 passos, 1−Σaj=0,003209956. A recorrência conta sequências de resultados independentes; não detecta falha nem substitui a distribuição dos valores completos de MDD.

Todo conjunto de regras com expectativa positiva gera drawdowns. A pergunta é: em qual profundidade o drawdown deixa de corresponder ao previsto pelos parâmetros? A resposta exige dois cálculos: quanto drawdown os parâmetros contemplam e quanto custa recuperar determinada profundidade.

Passo 1 — drawdown contemplado pelos parâmetros

O mecanismo mais simples é uma sequência de perdas consecutivas. Com risco constante r calculado sobre o valor atual da conta, uma sequência de L perdas produz drawdown de:

DD_sequência = 1 − (1 − r)^L

Com probabilidade de perda constante q e resultados independentes, a maior sequência em N operações tem distribuição própria. A expressão abaixo é uma aproximação da escala de comprimento da sequência, não a média, mediana ou quantil especificado. Ela não considera tamanhos dos ganhos e perdas e, sozinha, não determina a distribuição do MDD.

L ≈ ln N / ln(1 / q), com q = 1 − taxa de acerto

Substituição para risco de 1% do patrimônio por operação e amostra de N = 200 operações:

Hipóteses: resultados independentes, q constante, mesma fração r do patrimônio atual perdida em cada operação perdedora e ausência de custos separados. A tabela arredonda a sequência para o inteiro mais próximo. Medianas exatas, calculadas por recorrência da distribuição: q=0,55, 8 perdas em N=200 e 9 em N=500; q=0,40, respectivamente 5 e 6. A concentração de perdas pode alongar as sequências e a alternância pode encurtá-las; violar a independência não tem efeito em uma única direção.

Sequências de perdas são só um caminho para drawdown. O MDD também pode surgir de resultados alternados se os ganhos não restaurarem o pico. A tabela calcula consequências de comprimentos especificados; não determina um quantil inferior de MDD. Frequências de trajetórias completas exigem a distribuição dos tamanhos de resultados e sua dependência.

O comportamento durante drawdown e as formas de lidar com ele estão na seção 10 do curso; na seção 9 ficam apenas a regra, o limiar e quando foram registrados.

Passo 2 — custo da recuperação

O segundo cálculo começa pela identidade de recuperação Z = DD / (1 − DD), derivada em 9.2. O retorno exigido não basta como critério, pois não informa o tempo necessário. A conversão em número de operações com expectativa E_R em unidades de risco e risco r por operação:

n ≈ ln(1 / (1 − DD)) / (E_R × r)

O denominador no modelo exato de crescimento logarítmico é g=E[ln(1+rX)], com X como resultado líquido em R. Para p=0,45, ganho de 5/3R e perda de −1R, a média aritmética é exatamente +0,20R. Com r=1%, g=0,00191050. A escala −ln(1−DD)/g dá 85,07 operações para DD=15% e 150,58 para 25%. É distância dividida pela taxa média de crescimento, não tempo esperado de primeiro retorno nem número mínimo de operações. Trajetórias aleatórias podem voltar antes, depois ou não voltar no horizonte examinado.

Substituição para E_R = +0,20R e r = 1% do patrimônio (valores ilustrativos; use os seus registros e as definições de 9.6):

A terceira coluna é uma escala da aproximação g≈ERr; não é previsão de tempo nem seu limite inferior. Custo adicional c=0,05R por operação reduz a média de 0,20R a 0,15R. Na mesma aproximação, a escala para DD=15% sobe de 81,26 a 108,35 operações. Com a distribuição completa p=0,45, X=5/3−0,05 ou −1−0,05 e r=1%, a taxa g≈0,00141129 dá cerca de 115,16. O custo é descontado uma vez e os parâmetros continuam sendo hipóteses constantes do modelo.

Passo 3 — registrar o limiar como regra

Com r=1%, dezessete perdas integrais dão DD=1−0,99¹⁷=15,71%. A recorrência exata com N=200 resultados independentes e q=0,55 dá probabilidade de 0,3210% de ocorrer sequência de pelo menos dezessete perdas. Esse evento está contido em MDD≥15%, mas não descreve todos os caminhos até ele. É calculado ao lado do MDD completo para evitar justificar o limiar só pela sequência.

Simulação didática realizada: p=0,45, r=1% do patrimônio antes da operação, X=5/3 ou −1 para ER=+0,20R; X=19/9 ou −1 para ER=+0,40R. Resultados independentes, custos incluídos no X especificado e posições sequenciais. Cada variante: 20.000 trajetórias de 200 operações, NumPy 2.3.5, Generator(MT19937), semente 20260803, quantis com interpolação linear. Com ER=0,20R, 14,82% das trajetórias cruzam o limiar de 15%; com ER=0,40R, 4,36%. Valores em moeda ao lado das porcentagens são conversões de um pico hipotético de 50.000 PLN, não médias monetárias da simulação. Superar p99 é raro neste modelo, mas possível; não prova falha. Escolher o limiar combina frequência aceitável de interrupção e capacidade de suportar perdas; não separa dois tipos de mercado sem erro.

5. Interruptor de segurança — o que registrar

O gatilho não garante o patrimônio após encerrar

Exemplo: H=50.000 PLN e limiar de 15% dão nível de disparo de 42.500 PLN. A leitura completa mais próxima é 42.300 PLN, detectando a regra com DD=15,40%. A execução adversa adicional contra os preços dessa avaliação custa 300 PLN, mais encargos separados de encerramento de 60 PLN. Patrimônio após encerrar: 41.940 PLN, DD=16,12%. A avaliação inicial já inclui spread; não o somamos novamente. O procedimento também deve prever cancelar ordens capazes de reabrir posições e conferir a exposição final. O limiar é condição de ação, não preço final garantido.

Um interruptor de segurança é um limiar escrito previamente que, ao ser ultrapassado, leva a encerrar posições e não abrir novas por tempo definido, até cumprir condição definida. A execução desse registro depende de uma coisa: poder verificar a condição sem recorrer ao julgamento da situação. A forma típica de uma regra escrita falhar nesse teste está na última nota da seção.

Quatro campos para preencher antes do drawdown

O procedimento de interrupção tem quatro campos. Os três primeiros sem o quarto adiam a decisão de voltar para o momento em que é mais difícil tomá-la nos termos estabelecidos antes.

Duas propriedades da redação determinam sua execução:

• Escolha regra percentual, monetária ou ambas e informe a base. 15% de um pico de 50.000 PLN são 7.500 PLN. Limite fixo de 7.500 PLN também pode ser intencional, mas com pico de 100.000 PLN representa 7,5%. Não mude a interpretação durante a medição. Depósitos, saques e arredondamento de volume exigem regras explícitas; o cálculo de volume está em 9.5.
• Base explicitamente informada. Sem informar se é saldo realizado ou patrimônio, e se a referência é pico ou saldo inicial do período, o mesmo limiar dá respostas diferentes (seção 2). Neste exemplo, a condição mede patrimônio E a partir do pico H já atingido. A condição separada de fechamento compulsório depende de E em relação à margem exigida M, podendo mudar também quando M muda

De onde vem o número do primeiro campo

O limiar combina duas informações: a perda suportável pela conta e a frequência das violações no modelo assumido. A distância logarítmica dividida pela taxa de crescimento descreve a escala de recuperação, mas não determina quando haverá retorno. Parâmetros e limiar são escritos antes do uso; não são valores universais para toda conta.

O que o interruptor não faz

O modo de execução não altera a regra. Execução automática e manual falham em pontos diferentes; comparar esses modos e avaliar o ambiente cabe às seções 11–13 do curso. A regra contém apenas a condição independente do modo: a leitura da conta determina a violação do limiar, não uma decisão de aceitá-la.

Fechamento compulsório não é uma variante do seu limiar. O nível de fechamento compulsório compara patrimônio e margem exigida e atua na conta pela regra da corretora; responde a outra pergunta e aciona em outro momento, diferente do limiar deste artigo, que não encerra nada “fisicamente”, apenas envia ordens. Os parâmetros do fechamento compulsório, com data de vigência, são entradas de 9.3, e a mecânica e o tratamento completo pertencem à seção 13 do curso.

6. Cascata de limites — referência a 9.3

Drawdown gradual pode contornar limites diários e semanais

Exemplo: uma perda diária de 1% do patrimônio por 17 sessões, reinício diário e semanal a cada cinco sessões. O limite diário de 3% nunca é atingido; cinco perdas dão 1−0,99⁵=4,90%, abaixo do semanal de 6%. Ainda assim, a queda do pico inicial é 1−0,99¹⁷=15,71%. Nenhum limite falhou: cada um mede um intervalo. Um limite mensal adicional pode acionar, conforme início do mês, base e nível.

Limites diários, semanais e mensais têm bases e reinícios próprios, descritos em 9.3. Podem parar uma sequência rápida antes do limite do pico, mas não precisam se esgotar antes dele. Perdas graduais distribuídas por períodos acumulam DD apesar dos reinícios por calendário. O limiar do pico continua sendo regra separada mesmo quando os limites menores funcionam corretamente.

O único cálculo acrescentado a 9.3 é a relação do limiar com o número de operações. Limiares percentuais não podem ser somados: cada perda seguinte usa base menor; dez perdas de 1% não fazem 10%. Vale a fórmula da seção 4, DD = 1 − (1 − r)^L, com r = 1% do patrimônio e conta de 50.000 PLN no dia da medição:

A tabela pressupõe perda integral de r medido no patrimônio antes de cada operação, sem custos separados. Execução adversa pode esgotar o limiar antes; o número de operações depende do tamanho dessa diferença e nem sempre é uma ou duas operações menor. Os valores usam base de 50.000 PLN. As linhas de calendário medem queda do patrimônio no início de seu período; o limiar DD usa pico anterior. Não somamos nem subtraímos essas porcentagens sem converter as bases.

Nível mensal de 12%, não 10% como no conjunto ilustrativo de 9.3. A diferença é convenção, não derivação: assumo que um limite superior comporte dois esgotamentos do inferior; dois limites semanais de 6% dão 1 − 0,94² = 11,64%, arredondado para cima a 12%. O “dois” é decisão operacional, não resultado. Derivar níveis, base, renovação e precedência em conflito cabe a 9.3 — aqui são apenas entradas; ao copiar limiares para o plano, use a referência, não esta tabela.

7. Condição de retomada e exposição após voltar

Interromper sem regra para voltar desloca a decisão de retomada para o momento em que os parâmetros são menos conhecidos. Por isso o quarto campo da seção 5 é escrito junto dos três primeiros, não depois. A condição de retomada precisa passar no mesmo teste da interrupção: poder verificar seu cumprimento sem julgar a situação.

Quatro formas objetivas de condição de retomada

O critério de voltar pode usar uma das quatro formas ou a combinação delas. Todas são verificáveis nos registros ou calendário:

• Tempo decorrido. “Sem novas posições por 10 sessões de bolsa após encerrar a última.” Vantagem: verificável sem dados adicionais. Limitação: não vincula a volta a nada referente à conta
• Revisão dos registros. Lista fechada de itens para conferir nas operações do drawdown, abaixo. Vantagem: liga a volta à apuração do ocorrido. Limitação: a revisão em si não muda os parâmetros
• Valor da conta de volta acima de um nível. Depois de encerrar toda exposição e sem depósitos adicionais, os resultados do investimento não recuperam a perda. A condição E>92%H exige permitir antes uma exposição menor ou conflita com a proibição completa de novas posições. Depósito aumenta capital disponível, mas não confirma melhora das condições; registre o ajuste de fluxos separadamente.
• Número definido de operações em conta de teste. “20 operações seguidas em conta demo executadas conforme as regras escritas; um desvio zera o contador.” Vantagem: mede execução das regras, não resultado. Limitação: mede apenas execução; nada afirma nem pretende afirmar sobre os parâmetros

Lista de revisão — o que conferir nos números

A revisão responde a uma pergunta: as operações do período de drawdown seguiram as regras escritas? Cada item é uma leitura dos registros, não julgamento:

• O risco calculado antes da entrada, os custos e o volume respeitaram o limite? Separadamente: quanto a perda realizada ultrapassou o orçamento por gap, slippage ou financiamento? Só uma perda maior não prova erro de dimensionamento.
• Todas as entradas ocorreram nos horários escritos?
• A distância da saída de proteção mudou após abrir a posição e em qual direção?
• Houve posições simultâneas com moeda componente comum e qual era a exposição líquida a essa moeda (cálculo — 9.9)?
• Quanto o preço de saída realizado desviou do nível da ordem, separando saídas normais e saídas com spread ampliado?
• Quantas operações foram encerradas manualmente antes de tocar qualquer nível escrito?

A revisão separa dois casos que exigem decisões distintas. Se houver desvios, o drawdown não serve para avaliar parâmetros, pois mede execução, não regras; a retomada exige impedir a repetição do desvio, verificável tecnicamente (uma conta em vez de duas, proteção enviada junto da posição, medição comum de todas as contas). Sem desvios, o drawdown serve para avaliação, mas ela pertence à seção 8 e exige amostra muito maior que o período do drawdown.

Exposição após voltar

Voltar com risco integral desfaz parte do efeito da interrupção: o próximo drawdown começa de um nível já reduzido. A regra de exposição menor expressa essa relação, não uma recomendação de cautela; a seção 8 calcula o que você compra e com o que paga. Redação objetiva (números ilustrativos; derive os seus na seção 8): “risco de 0,5% em vez de 1% desde a retomada até recuperar metade do drawdown; violar o limite diário nesse período leva ao início da condição de retomada, sem repetir a pausa (no gráfico abaixo, voltar à fase 2)”.

“Recuperar metade do drawdown” é uma regra operacional verificável. Ir de 85%H a 92,5%H exige retorno de 8,82% do fundo, mas não prova que a distribuição voltou aos parâmetros anteriores. Com ER=0,4R e r=0,5%, a escala aproximada é de cerca de 42 operações; isso não é número obrigatório de operações nem amostra que confirme vantagem.

ln(0,925/0,85)=0,0845574. Com g≈0,4×0,005=0,002, o quociente é 42,28; com r=1%, 21,14. O modelo exato de dois pontos p=0,45, X=19/9 ou −1 dá g≈0,00196821 para r=0,5% e escala de cerca de 42,96. É distância logarítmica dividida pela taxa, não tempo médio de primeira passagem.

8. Custo de recuperar com exposição reduzida

Reduzir risco por operação após drawdown é decisão operacional, não resultado do critério de Kelly. O critério de Kelly não contém regra alguma para mudar exposição após drawdown — determina fração do capital com parâmetros dados e constantes; associar seu nome ao procedimento de volta dá à heurística aparência de resultado matemático. O critério, suas frações e a sensibilidade ao erro de estimativa estão em 9.5. Aqui só importa o que a redução compra e com o que se paga.

Cálculo

Hipóteses ilustrativas. DD=15% do pico, ou 7.500 PLN com H=50.000 PLN. O resultado líquido X é 19/9R com probabilidade 0,45 ou −1R com probabilidade 0,55, com independência entre operações. ER=0,4R. Risco r é fração do patrimônio imediatamente antes da operação. A tabela usa g≈ERr e ln(1/0,85)=0,162519. A última coluna calcula a perda de uma sequência especificada de nove perdas, não um quantil de MDD. Os custos estão em X; não são somados novamente.

Na aproximação ERr, reduzir r à metade dobra a escala; g exato não é linear em r. O drawdown da mesma sequência de nove perdas cai conforme 1−(1−r)⁹. Comissão mínima pode elevar custo por R em volume pequeno, mas slippage que cresce mais que proporcionalmente ao tamanho costuma pesar mais na posição maior. Mudar volume exige novo cálculo de custos; não garante ER constante.

Condição em que todo este cálculo deixa de valer

Reduzir r não cria expectativa líquida positiva. Muda a distribuição do patrimônio, profundidade da perda e crescimento logarítmico; portanto, não só adia o mesmo resultado. Se os parâmetros mudaram, os cálculos antigos são ilustrações condicionais e precisam ser atualizados. A qualidade das regras é avaliada na seção 8; aqui se examinam consequências de parâmetros especificados e execução dos limites.

9. Drawdown em simulação — leitura dos quantis

Quanta incerteza 20.000 trajetórias eliminam?

Para frequência P(MDD≥15%)=0,1482 e M=20.000 trajetórias independentes, o erro padrão da proporção é √[0,1482×0,8518/20.000]=0,251 ponto percentual. Intervalo aproximado de 95%: 14,82%±0,49 ponto. Isso só cobre erro amostral dentro deste modelo fixo. Exclui erros em p, RR, custos e dependência. Aumentar M de 20.000 a 80.000 reduz o erro à metade aproximadamente, mas não corrige distribuição especificada incorretamente.

A simulação deve informar horizonte N, distribuição dos resultados, dependências e repetições. Reamostrar o histórico com reposição pode usar o mesmo horizonte ou outro, desde que a pergunta seja clara. Trajetória de 400 operações de uma amostra de 200 não cria 400 observações novas de mercado, mas pode examinar MDD do modelo em horizonte maior. Repetições controlam erro numérico, não erro de seleção do modelo. Fundamentos de simulação — 9.2.

Os números abaixo vêm de simulação de modelo realizada para esta revisão editorial, não de medição de mercado. Modelo: p=0,45, X=5/3 ou −1, r=1% do patrimônio, resultados sucessivos independentes, 20.000 trajetórias por comprimento, Generator(MT19937), semente 20260803 reiniciada em cada variante. MDD é calculado após cada operação a partir do pico atingido, incluindo patrimônio inicial. Quantis usam interpolação linear.

Os valores são equivalentes percentuais com H=50.000 PLN. Neste experimento, mediana, p90 e desvio padrão do MDD aumentaram com o horizonte. Em trajetórias estendidas e aninhadas, o MDD não diminui; a dispersão da distribuição não precisa sempre crescer em todo modelo. O horizonte muda a grandeza medida; a quantidade de trajetórias muda a precisão numérica da estimativa. Dados futuros e incerteza em p e RR ficam fora do experimento.

Significado exato de cada quantil

A regra para toda leitura é: um quantil descreve um limite abaixo do qual fica certa proporção de observações; não descreve o tamanho nem limita a perda acima dele. É um corte da distribuição do modelo, que permite drawdowns maiores. Por exemplo, p99=23,58% não é seu máximo. Com 200 resultados de −1R e r=1%, o máximo deste modelo é 1−0,99²⁰⁰=86,60%; não é limite de perda de conta real.

O que o quantil não resolve na escolha do limiar

Quantil não é limiar pronto. p50 se refere à metade das trajetórias do modelo de 200 operações, sem duração de calendário atribuída. Com p99=23,58%, recuperar exige cerca de 30,85% a partir do fundo. Em outro exemplo de recuperação, com ER=0,4R, a escala −ln(1−DD)/(ERr) dá 67,22 operações para r=1% e 134,43 para r=0,5%. É outro modelo de crescimento, diferente do modelo dos quantis; não promete prazo de retorno. O limiar também reflete a perda monetária suportável.

Para p99 não arredondado=0,235754995: DD/(1−DD)=0,308481; −ln(1−DD)=0,268867. Dividir por 0,004 e 0,002 dá 67,22 e 134,43. A taxa logarítmica exata do modelo ER=0,4R leva a outras escalas. Calculamos antes de arredondar e informamos as hipóteses separadas.

Drawdown mede a conta, não a posição. Uma posição comprada em EUR/USD, outra comprada em GBP/USD e uma vendida em USD/CHF têm três nomes e um componente comum: exposição vendida ao dólar. O limiar pelo patrimônio cobre todas em conjunto, e essa é sua vantagem: não pode ser contornado dividindo a mesma exposição em símbolos distintos. O cálculo da exposição conjunta a determinada correlação e a decomposição em moedas estão em 9.9.

Separar preços de referência da execução efetiva ajuda a identificar fontes da perda. Mas não subtraímos o slippage total do MDD, pois drawdown depende da trajetória inteira e do pico. Construa trajetória de comparação com o custo removido explicitamente, preserve momentos dos fluxos e recalcule Ht e MDD. Manter as operações iguais torna isso aproximação contábil: melhor execução poderia mudar volume ou ativação de regras depois.

10. Erros típicos de medição e construção da regra

Pico das contas somadas não é soma dos seus picos

Duas contas na mesma moeda começam em 10.000+10.000 PLN. Depois A=12.000 e B=9.000, então A=9.000 e B=12.000. O patrimônio conjunto nos dois instantes é 21.000 PLN; portanto, o pico é 21.000 PLN e o DD atual=0%. Somar máximos separados 12.000+12.000=24.000 PLN produziria DD fictício de 12,5%. Primeiro some avaliações sincronizadas com câmbio comum; depois determine pico e drawdown.

Custos exigem nova trajetória, não subtração do MDD

Exemplo em PLN: trajetória real [10.000, 11.000, 10.000] tem MDD=1.000/11.000=9,09%. Custos acumulados excluídos na comparação: [0,100,300] PLN. Somá-los ao patrimônio dá [10.000,11.100,10.300], com MDD=800/11.100=7,21%. Fazer (1.000−300)/11.000=6,36% é errado, pois parte do custo veio antes do novo pico. O cenário contrafactual usa as mesmas operações e volumes; não avalia automaticamente o resultado sob outra execução.

Os erros abaixo são de medição e construção da regra, não da negociação. Todos geram número com aparência de resultado que não é resultado; nenhum precisa causar perda da conta para ser erro.

Erro 1: número de drawdown sem definição nem base

“Drawdown de 12%” não traz informação suficiente para uso. Faltam grandeza medida, saldo ou patrimônio; referência, pico ou saldo inicial; e período. A escala do erro é calculável: na trajetória da seção 2, os mesmos dados dão 8,59%, 11,72% ou 9,60% conforme a decisão. Redação correta: “drawdown de 11,72%, ou 6.000 PLN, medido no patrimônio a partir do pico de 51.200 PLN, no período t1–t8”. Valor sem porcentagem e porcentagem sem valor são igualmente incompletos: o primeiro não acompanha o tamanho da conta; a segunda não mostra o valor do extrato.

Erro 2: inferir parâmetros do período de drawdown

Drawdown de 10% após quarenta operações não basta para concluir nada; não porque quarenta seja fronteira, mas porque avaliar parâmetros exige incerteza calculada: intervalos para taxa de acerto e expectativa em amostra específica. Esse cálculo e a metodologia de avaliação são da seção 8. Não significa ignorar drawdown; ele justifica interromper no limiar escrito, não mudar as regras; mudá-las durante drawdown ainda troca um conjunto de propriedades conhecidas por outro de propriedades desconhecidas, no pior momento.

Erro 3: medir cada conta separadamente

Limiar calculado em uma conta não cobre exposição simultânea em outras. A solução entra no segundo campo da seção 5: a base é a soma dos patrimônios de todas as contas, e o pico é o pico dessa soma. Assim nenhuma conta fica fora do escopo. Vale também no sentido inverso: dividir a mesma exposição entre contas não reduz drawdown conjunto, pois os drawdowns ficam relacionados; o mecanismo está em 9.9.

Erro 4: somar porcentagens de bases variáveis

O cálculo ao decidir elevar risco após drawdown costuma ser feito por adição e erra duas vezes. Exemplo: a conta está 10% abaixo do pico de 50.000 PLN, em 45.000 PLN; vêm cinco perdas consecutivas calculadas desse valor de 45.000 PLN, não do pico.

Conferência final da soma. A terceira coluna parte de 45.000 PLN; a quarta, do pico de 50.000 PLN. Portanto, a quarta precisa somar a perda inicial de 5.000 PLN ao valor da terceira: 5.000 + 2.205 = 7.205 PLN e 5.000 + 4.324 = 9.324 PLN. Se não coincidirem, uma coluna usou base diferente; é a forma mais rápida de detectar esse erro na própria conta.

O erro no tamanho é pequeno e favorece você: o drawdown é menor que pela soma, pois cada perda usa base menor. O segundo erro é mais sério: somam-se valores de risco planejado, não perda realizada; cada execução pior amplia a perda real. Elevar risco de 1% a 2% acelera o aprofundamento do drawdown e não altera a expectativa expressa em unidades de risco — pois a unidade cresce junto com o risco. É a única grandeza constante; por isso, dizer “não altera a expectativa” sem unidade é falso. Na moeda da conta, a expectativa por operação dobra. Já o crescimento esperado do logaritmo do capital aumenta menos que duas vezes e, acima de certo risco, começa a cair: com acerto de 45% e razão retorno/risco de 5/3, dobrar risco de 1% a 2% o eleva de 0,00191 a 0,00364 por operação, ou 91%, não 100%. O nível a partir do qual essa taxa cai apesar do risco maior é derivado em 9.5. A distribuição também muda: o mesmo resultado passa de muitos eventos pequenos para menos eventos maiores.

Erro 5: condição de interrupção sem condição de retomada

Regra que termina na interrupção deixa pergunta inevitável em aberto, respondida depois no pior momento e sem critérios. As quatro formas objetivas da seção 7 permitem escolher uma e preencher parâmetros. “Voltarei quando decidir que estou pronto” não é condição, pois não se verifica se foi cumprida.

Erro 6: medir só profundidade, sem tempo

Um drawdown de 12% recuperado em duzentas operações e o mesmo drawdown de 12% recuperado em trinta operações são situações diferentes apesar do mesmo valor na tabela. A consequência é calculável: na mesma profundidade, mais tempo abaixo do pico implica mais tempo de exposição; custos também dependem do número de operações e do prazo das posições. Só isso não prova perda maior que ficar sem operar. Meça profundidade e tempo separadamente (seção 3); incluir tempo na regra exige condição própria em operações, descrita na seção 5.

11. Protocolo — cinco itens para registrar antes

O DD sozinho não determina se a causa foi trajetória aleatória adversa, falha nas regras, condições alteradas ou execução. O limiar escrito aciona ação em perda especificada. Simulação estima frequência de violações condicional ao modelo, não taxa real conhecida de alarmes falsos. O protocolo combina definição, limiar, escopo e retomada; diagnosticar causas permanece etapa separada.

Uma nota final sobre execução: a regra existe na medida em que pode ser executada sem decidir no momento da violação. Se exige perceber e aceitar o gatilho, depende justamente do fator que pretendia contornar. Automação não resolve tudo: traz falhas próprias, avaliadas nas seções 11–13; mas troca o que se exige no instante da violação, de uma decisão para sua ausência.

12. Exercício de autoavaliação

Dados diferentes dos anteriores. Conta em PLN, saldo inicial de 20.000 PLN, valores ilustrativos. Calcule antes de olhar a solução.

Tarefa.

1. Calcule o drawdown máximo da trajetória nas duas definições — saldo realizado e patrimônio. Informe porcentagem e PLN para cada um e indique o momento do fundo.
2. A regra diz: “interromper com drawdown de 15% do pico”. Decida para cada definição se a condição foi cumprida e quando.
3. Substitua sua taxa de acerto e risco por operação nas fórmulas da seção 4 — L ≈ ln N / ln(1/q) e DD = 1 − (1 − r)^L — e calcule o drawdown explicado pelos parâmetros com N igual ao número real de operações no período (a solução usa N=200). Escolha deliberadamente o limiar e informe seu valor na moeda da conta. Com modelo completo de trajetória, informe a frequência de atingimento no horizonte; só calcular sequência de perdas não a determina. Calcule também a escala −ln(1−DD)/g para g positivo dos resultados especificados, sem chamá-la de tempo esperado de primeiro retorno.
4. Escreva suas condições de interrupção e retomada nos quatro campos da seção 5, com seus números.

Espaço para seu resultado: drawdown do saldo ______ % (______ PLN, momento ______) · drawdown do patrimônio ______ % (______ PLN, momento ______) · limiar de 15% ultrapassado na definição ______________ · meus parâmetros: taxa de acerto ______ %, risco ______ % do patrimônio, expectativa ______ R · meu N: ______ · drawdown explicado pelos parâmetros: ______ % (______ PLN) · meu limiar de interrupção: ______ % (______ PLN) · escala de crescimento do modelo −ln(1−DD)/g: ______ operações (não tempo de primeiro retorno) · frequência de atingimento do limiar no modelo e horizonte: ______.

Solução comentada

Passo 1 — pico comum. O maior valor das duas grandezas ocorre em t2 e é 21.500 PLN. A referência é igual nas duas definições; toda a diferença virá do fundo.

Passo 2 — definição A, saldo realizado. Menor saldo após o pico: 18.800 PLN em t7 (o saldo não muda entre t2 e t5 porque a posição continua aberta).

DD_A = (21.500 − 18.800) / 21.500 = 2.700 / 21.500 = 0,125581 → 12,56% (2.700 PLN), fundo em t7

Passo 3 — definição B, patrimônio. Menor patrimônio: 18.040 PLN em t8.

DD_B = (21.500 − 18.040) / 21.500 = 3.460 / 21.500 = 0,160930 → 16,09% (3.460 PLN), fundo em t8

Passo 4 — conferência do limiar. Limiar de 15% do pico de 21.500 PLN corresponde a 21.500 × 0,85 = 18.275 PLN.

• Definição A: o saldo mínimo de 18.800 PLN fica acima de 18.275 PLN → a condição não é satisfeita em nenhum momento. Drawdown de 12,56% fica abaixo do limiar.
• Definição B: o patrimônio de 18.040 PLN fica abaixo de 18.275 PLN → a condição é satisfeita em t8. Drawdown de 16,09% supera o limiar em 1,09 ponto percentual.

Conclusão. Mesma trajetória, mesmo limiar, duas respostas opostas sobre interromper. A diferença é 3,53 pontos percentuais (16,09% contra 12,56%), ou 760 PLN, exatamente a perda não realizada em t8. Uma terceira base, queda contra saldo inicial de 20.000 PLN, dá outro número: (20.000 − 18.040) / 20.000 = 9,80%, que também não cruza o limiar. Por isso a regra precisa conter definição e número, e a condição de interrupção mede patrimônio.

Passo 5 — drawdown contemplado pelos seus parâmetros. Não há resposta única, pois os números são seus. Abaixo está o procedimento com outros parâmetros: acerto de 52%, risco de 0,8% do patrimônio, expectativa de +0,25R, amostra N = 200. É cenário separado, com pico de 20.000 PLN, não a trajetória da tabela do exercício; lá o pico é 21.500 PLN e limiar de −12% seria 2.580 PLN, nível de 18.920 PLN:

1. Maior sequência típica. q = 1 − 0,52 = 0,48; L ≈ ln 200 / ln(1 / 0,48) = 5,298 / 0,734 = 7,2 → 7 perdas (aproximação logarítmica; a mediana exata da distribuição da maior sequência aqui é 6 — a fórmula aproxima o comprimento, como na seção 4).
2. Drawdown dessa sequência. DD = 1 − (1 − 0,008)⁷ = 1 − 0,9453 = 5,47%, ou 1.093 PLN em conta de 20.000 PLN. É o que só a sequência típica explica nesses parâmetros.
3. Variante de limiar de 12%. Com H=20.000 PLN, o valor é 2.400 PLN e o retorno exigido do fundo ao pico é 0,12/0,88=13,64%. A escala aproximada −ln(0,88)/(0,25×0,008)=63,92 operações assume ER=0,25R e r=0,8%. Não é tempo médio de recuperação; sem a distribuição de X não se determina g exato.
4. Decisão. Sete perdas integrais dão DD=5,47%, mas não impõem limite inferior ao limiar aceitável. Pode-se escolher limiar menor em troca de pausas mais frequentes. Escolher 12% exige avaliar perda monetária, frequência de violações do modelo, execução e retomada. Escala de 64 não significa “64 operações sem progresso”.

MDD completo também inclui trajetórias mistas. Só 5,47% não é quantil nem limite inferior de DD futuro. Tempo de retorno é aleatório; o quociente com ERr não dá mínimo nem máximo. Informe essas limitações junto dos números na solução.

Passo 6 — registrar suas condições. Modelo dos quatro campos para preencher com seus valores: “(1) O patrimônio conjunto de todas as contas cai 15% abaixo do maior valor registrado desde o início do período de apuração atual. (2) A interrupção cobre todos os instrumentos e contas; posições abertas são encerradas. (3) Sem novas posições por pelo menos 10 sessões. (4) Retomar após esse prazo e a lista de revisão da seção 7, com risco de 0,5% em vez de 1% por operação até recuperar metade do drawdown; violar o limite diário nesse período leva ao início do item 4, sem repetir a pausa do item 3.” Os números são ilustrativos: derive 15% pelo cálculo da seção 4 com sua taxa de acerto e risco, e 0,5% e “metade do drawdown” pelo cálculo da seção 8.

Você mediu o drawdown da conta inteira. Outra pergunta é quanto veio de posições que só pareciam independentes — 9.9 mostra como calcular exposição conjunta e identificar moeda componente comum antes de o limiar disparar.